山西省運城市2022-2023學年高三年級上冊期末調研測試數(shù)學試題（解析版）

運城市2022-2023學年第一學期期末調研測試高三數(shù)學試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設全集U=R,A={x|0<x<3},8={x|x<l},則圖中陰影部分表示的集合為()

A.[x\l<x<3}B.{x|l〈爛3}C.{x|l<x<3}D.{x|l<x<3}

【答案】D

【解析】

【分析】圖中陰影部分表示的集合為A&B,結合已知中的集合A,B,可得答案.

【詳解】圖中陰影部分表示的集合為AQjB,

全集U=R,A={x|0<爛3},B={x\x<\},^B^{x\x>\]

A=尤43},

故選：D.

2.已知aeR,z=9(i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則。=()

1+i

A.-1B.OC.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】化簡復數(shù)，由于復數(shù)是純虛數(shù)，則實部為0,虛部不為0.

_a+i_(tz+i)(l-i)_a-ai+i-i2_(a+l)+(l-a)i_(a+1)(1-a)i

=

【詳解】z=7-=-^—JQ—)2=2

[但=0

2

因為復數(shù)為純虛數(shù)，貝上/，所以,一

1-a八

——wO

12

故選：A

22=i(b>o)的一條漸近線方程為y=gx，

3.已知雙曲線C：^與則c的焦距為()

4b2

A.0B.yf5c.26D.2V5

【答案】D

【解析】

【分析】由題知雙曲線的焦點在x軸上，b=l,進而得°2="+32=5,再求焦距即可.

【詳解】解：由題知雙曲線的焦點在x軸上，/=4,即°=2,

bb

所以，雙曲線的漸近線方程為y=±-x=±—x,

a2

221

因為雙曲線C:2=1（）〉0）的一條漸近線方程為y=

所以b=l,

所以/=a2+b2=5，

所以，C的焦距為2途.

故選：D

4.《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓

錐為直角圓錐.如圖，若A及8都是直角圓錐SO底面圓的直徑，且NAOD=—,則異面直線SA與比）

3

所成角的余弦值為（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件證明DB//AC,得到N154c或其補角為異面直線SA與3D所成的角.在4c中

利用余弦定理計算可得結果.

【詳解】如圖，連接ARBCACSC.

s

D

因為。為A瓦CD中點，且A5=CD,所以四邊形"出。為矩形，

所以QB//AC,所以NS4C或其補角為異面直線S4與所成的角.

設圓。的半徑為1,則S4=SC=J5.

7C7[

因為NAOD=—,所以NADO=—.

33

在直角△ZMC中，CD=2,得AC=6.

所以cos/SA八叵邛號型=返

2xV2xV34

所以異面直線SA與5D所成角的余弦值為亞.

故選：C.

5.已知函數(shù)了(%)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)7(%)的解析式可能為()

B.小)=』

C./(x)=x3-ln|x|D."%)=e?.(/-1)

【答案】B

【解析】

【分析】由函數(shù)的奇偶性與單調性判斷,

【詳解】由圖知函數(shù)是奇函數(shù),

對于A,/(2)=^=-|,/(—2)=^^=24,故是非奇非偶函數(shù)，故排除A,

“4

對于C,當x>l時，/(力=丁.限為單調遞增函數(shù)，故排除C,

對于D,/(-x)=eH-(x2-1)=/(%),則"%)是偶函數(shù)，故排除D,

故選：B

―(3兀、#2+2sin2a八,cosa+sina/、

6.已知兀,〒，若-----------=9,則------------=()

v2)1-cos2acosa-sina

c99

A.—3B.3C.—D.—

77

【答案】B

【解析】

cin(y+COS(7

【分析】由題知sina<0,cosov0,進而結合二倍角公式整理得------------=3,即2sina=cosa,

sina

再代入求解即可.

【詳解】解：因為aw［兀,弓］,sincif<0,cosd/<0,

2+2sin2a2(1+sin2a)2(1+2sinacos(sincr+cos6z)2

=9,

1-cos2i1-(1-2sin2。)2sin2asin2a

sino+cosa

所以----；-------=3,即2sma=cosa

sma

,cosa+sina2sina+sina「

所以-------:—=-......:-=3.

cosa-sina2sma—sina

故選：B

7.已知實數(shù)a力滿足e2Y=a，Nln〃—l)=e3,其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則"的值為()

A.eB.e2C.e3D.e4

【答案】C

【解析】

【分析】由題知2—a—lna=0,2—(lnb—l)—ln(ln1)=0,進而構造函數(shù)/(%)=2—x—lnx,再根據(jù)

函數(shù)八％)的單調性得a+l=lnb,再與2—a=lna求和整理即可得答案.

【詳解】解：由題知e2T=a>0,

所以2—。=111。,111〃+111(111〃-1)=3,

所以2-Q-lnQ=0,2-(lnb-l)-ln(ln/?—l)=0

令f^x^=2-x-lnx,則/(^)=/(in/7-1)=0,

1丫]

因為,/'(%)=—1__=_J<0恒成立,

xx

所以，/(x)=2—x—Inx在(0,+“)上單調遞減，

所以，/(a)=/(ln/2-l)=0<=>a=ln/?-l,即a+l=lnZ?

因為2-a=lna,

所以a+l+2-a=lna+ln〃=lna〃=3,即=/

故選：C

8.已知5“為數(shù)列｛4｝的前幾項和，且滿足5,=(-1)'&-2一"，則Ss+S6=()

1111

A.---B.---C.---D.——

64321664

【答案】A

【解析】

【分析】由題，當”=1時，?1=---當“22時+士，進而分奇偶性討論得

4=：，〃為正偶數(shù)，4=-擊，〃為正奇數(shù)，再求和即可.

【詳解】解：因為S〃=(—1)%〃—2一〃，

所以，當〃=1時，31=q=一。1一2一1,解得q=-：,

當〃22時，氏=S〃—=(―1)〃%—2—〃—(―1尸。i+2一向=(―1)%+(—+±,

所以，當〃為偶數(shù)時，,n>2,故-2鹿+i'〃為正奇數(shù)；

—

當〃為奇數(shù)時,2a=-ctx+——?即。"T=%TT,故。〃=77,〃為正偶數(shù)；

所以S5+S6=2S5+4=21一：+《—《+，—/]+3=—/=一：'

故選：A

二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分)

9.近年來、新冠疫情波及到千家萬戶，人們的生活方式和習慣不得不發(fā)生轉變，短視頻成了觀眾空閑時娛樂

活動的首選.某電影藝術中心為了解短視頻平臺的觀眾年齡分布情況，向各大短視頻平臺的觀眾發(fā)放了線

上調查問卷，共回收有效樣本4000份，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確

的是()

B.在4000份有效樣本中，短視頻觀眾年齡在10~20歲的有1320人

C.估計短視頻觀眾的平均年齡為32歲

D.估計短視頻觀眾年齡的75%分位數(shù)為39歲

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)頻率和為1可構造方程求得。，知A錯誤；由頻率和頻數(shù)的關系可求得觀眾年齡在10?20歲

的人數(shù)，知B正確；由平均數(shù)和百分位數(shù)的估計方法可驗證知CD正確.

【詳解】解：對于A,(0.015+0.033+a+0.011+0.011)x10=1,,-.a=0.03,A錯誤；

對于B,由頻率分布直方圖知：短視頻觀眾年齡在10?20歲人對應頻率為0.15,

短視頻觀眾年齡在10?20歲的有4000x0.15=600人，B錯誤；

對于C,平均年齡亍=(0.015x15+0.033x25+0.03x35+0.011x45+0.011x55)x10=32,C正確；

對于D,設75%分位數(shù)為x,則0.015xl0+0.033xl0+(x—30)x0.03=0.75,解得：x=39,D正

確.

故選：CD.

10.已知函數(shù)/1(x)=sin(3x+e)[—'|<e<]J的圖像關于直線x=[對稱，貝i]()

A.7(%)滿足/仁+%)=-/

B.將函數(shù)的圖像向左平移?個單位長度后與g(x)=cos3x圖像重合

C.若|〃尤1)_〃/)|=2,則,_對的最小值為？

D.若y=|/(x)|在可上單調遞減，那么A—a的最大值是?

【答案】ABC

【解析】

/(x)=sinl3x-7^1j,進而結合三角函數(shù)的性質依次討論各選項即可得答案.

【分析】由題知0=-

4

//冗TT

【詳解】解：因為函數(shù)/(x)=sin(3x+o4-e<°<5的圖像關于直線X*對稱,

3冗7E7T

所以彳+9=5+kn.keZ,即0=—^+kit,kGZ,

7TJT

即冗一二71|,

因為-所以0：,/(x)=sin|3

4

717171

對I于TA,f/-兀--F%=si.n—兀F3。x---=sin-3xO,

112JU44

71?兀Q717171

---x=-sin——3x——=-sin(-3%)=sin3x,故/------FXx,A正確;

12441212

對于B,函數(shù)/(%)的圖像向左平移:個單位長度后得到的函數(shù)解析式為

71

y=sin3|xd■--71=sin3x+—=cos3x=^(x),故B正確;

442

對于C,設函數(shù)八外的最小正周期為T,則7=與，因為/■(%)111aX=1"(￡)強=—1,故當

|了(石卜/(%2)|=2時，氏-々1m=；7=白得=],故C正確;

對于D,y==sin(3x—()1JT-

在[a,可上單調遞減，那么A-a的最大值是^7=彳，故D錯誤.

故選：ABC

11.已知直線l：x-y+5=0,過直線上任意一點M作圓C:(x—3)2+V=4的兩條切線,切點分別為A,B,

則有(

A.|M4|長度的最小值為4后—2

B.不存在點M使得為60

C.當|同。卜|4卻最小時，直線A3的方程為X—2y—1=0

D.若圓C與x軸交點為P,Q,則MPMQ的最小值為28

【答案】BD

【解析】

【分析】由題知圓C的圓心為(3,0),半徑為廠=2,進而根據(jù)圓的切線問題依次討論各選項即可得答案.

【詳解】解：由題知圓C的圓心為(3,0),半徑為廠=2，

對于A,因為圓心(3,0)到直線/：x—y+5=。的距離為d=\=40,所以〔MCLn=4、回，故

2

|M4|m,n=yl\MC^,n-r=277;故A錯誤；

對于B,假設存在點”使得4MB為60，如圖，則NAMC=30，故在RtAiAMC中，

\MC\=2r=4,由A選項知iMC'n=40>4,故矛盾，即不存在點M使得為60，故B正

確；

對于C,由于MC，A5,故四邊形MACB的面積為SMACB=^\MC\-\AB\=2SAMAC=\MA\-r=2\MA\,

所以，|MCHAB|=4|MA|,故當最小時，I網(wǎng)最小，由A選項知

1MALn=JP/1=2J7‘此時MC'/,1//AB,即直線A3的斜率為1，由于直線

x—2y—l=0的斜率為故C錯誤；

對于D,由題知尸(l,0),Q(5,0),設〃(x,x+5),則

2WP-M2=(l-x,-x-5)-(5-^,-x-5)=(5-^)(l-x)+(x+5)2=2X2+4X+30

=2(X+1)2+28>28,當且僅當x=—1時等號成立，故的最小值為28,故D正確；

故選：BD

12.已知直三棱柱A5C-4與G中，AB，BC,AB==3與=2,。是AC的中點，。為4c的中點.點

A.無論點尸在BG上怎么運動，都有42，。四

B.當直線$P與平面BBC1所成的角最大時，三棱錐尸-BCD的外接球表面積為4萬

C.若三棱柱A3C-a3iG，內放有一球，則球的最大體積為T

D.△。月與周長的最小值、療+夜+1

【答案】ABD

【解析】

【分析】由題知AB,5cB與兩兩垂直，故以8為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，進而利用

AP-04=0判斷A；根據(jù)向量求解線面角得尸是BG的中點時直線4P與平面BBC1所成的角最大，進而

求解幾何體的外接球判斷B；根據(jù)Rt^ABC內切圓的半徑為「=2-0<1判斷C；根據(jù)P是8G的中點

時OP±BQ,OP±BtP求解判斷D.

【詳解】解：因為直三棱柱A3C-中，5月，平面ABC,

因為AB,BCu平面ABC,所以BB]，

因為A818C

所以，48,80,3與兩兩垂直，故以3為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，

因為43=3。=3用=2,。是AC的中點，。為A。的中點，點P是BG上的動點

則5（0,0,0）,C（2,0,0）,4（022）,4（0,0,2）,￡（2,0,2）,0（1,1,1）,75（1,1,0）,

P（a,0,a）（0<?<2）

對于A選項，4P=（a,-2,0-2）,。4=（一1,—1,1）,=—a+2+a—2=0,故人「‘。月，

AP1OBX,A正確；

對于B選項，由題已知平面B及G的法向量為〃=（0,1,0）,AP=（a,-2,?！?）,

設直線4P與平面BB?所成的角為夕，

A^Pn<g,當且僅當。=1

所以，sin￡=

A4WJ/+4+(a-2)2J2a2-4a+8回a-嚀+6

時等號成立，

此時尸是BG的中點，BD=CD=BP=CP=DP=叵BC=2,

此時中點E到氏C,D,P點的距離均為1,故三棱錐尸—BCD的外接球心為E，半徑為1,

所以，三棱錐尸-BCD的外接球表面積為4萬，故B正確；

對于C選項，三棱柱A3C-A31G，內放有一球，當球的體積最大時，為該三棱柱的內切球，由于

RtZkABC內切圓的半徑為廠=2-血<1，故三棱柱ABC-451G內切球的半徑為廠=2-a，其體積

不等于*,故c錯誤；

3

對于D,當P是BG的中點時，此時OP=（0,-L,0），Bf=（L0,T），BCX=（2,0,2）

此時OPBCl=0,OPBlP=0,即OP±BQ,OP±BXP,

所以當尸是BG的中點時，。尸，BG，op，gp,即OP,用p取得最小值，分別為OP=I，4P=J5

因為OB]=

所以，△。尸用周長的最小值6+也+1,故D正確.

故選：ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知(2x—3)7=/+a](x—1)+a。(x—1)~++(x—I)7,則a0=.

【答案】-84

【解析】

【分析】令％—1=/,則x=/+l,進而(2r—I),++%〃，再根據(jù)通項公式求解即可.

【詳解】解：令]-1=/,則x=/+l,

所以(2x—3)7—t/g+tZj(x—1)+a。(x—I)?++%(%—I)，等價于(2/—I)，=%+a/+g廠++af,

7

所以⑵—I)展開式的通項為Tk+X=C'(->⑵廣=C(->27d產(chǎn)//=0,1,2,,7,

令7—左=2得左=5,

575

所以，?2=C7(-1)2-=-84

故答案為：-84

14.己知忖=1,網(wǎng)=3,卜—H=4,則向量a在向量〃上的投影向量為.

1-h

【答案】—&##--

33

【解析】

【分析】由題知。為=-3,進而根據(jù)投影向量的概念求解即可.

【詳解】解：因為慟=1,網(wǎng)=3,|a—H=4

所以b―0=|a|-2tz-￡?+|z?|=1-2tz-Z?+9=16,解得a%=-3，

ba-b-31

所以，向量a在向量6上的投影向量為何,憶=§6z=一§61

故答案為：-二b

3

=。,〃2。22)[,若〃，)"(常則

15.已知定義在R上偶函數(shù)/(幻滿足7%

不等式爐(1+3)>丁的解集為

【答案】(0,+8)

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的滿足的性質推得其周期，進而推得e3/(3)=e2,再由/(%)>/'(-x)集合偶函數(shù)的求

導可得了⑴+/⑴〉。，可構造函數(shù)g(x)=e"(x),并判斷其單調性，從而將^(x+3)>《化為

ex+7(%+3)>e2=e3/(3),即g(x+3)>g⑶,利用函數(shù)單調性，即可求得答案.

33

【詳解】/(X--)-/(-%--)=0,且/⑺是定義在R上的偶函數(shù)，

3333

???/(%―5)=/(_%_5)=/(%+5)，以x+萬代換尤，得/(x)=/(x+3),

.../a)是以3為周期的周期函數(shù)，

故了(2022)=/(3x673+3)=』，即/(3)=-,e3/(3)=e2；

ee

由/(一%)=/(尤)可得=f'(x),即f'(-x)=,

又f(x)>,即f(x)+f\x)>0,

令g(x)=e"(x),則g'(x)=e*"(x)+/'(x)]〉0,

g(x)=e*/(x)為R上的增函數(shù)，

/.不等式ef(x+3)>—BPex+3f(x+3)>e2=e3/(3),

ex

即g(x+3)>g(3),/.x+3>3,.\x>0,

即不等式W(X+3)>二的解集為(0,+8),

e

故答案為：(0,+oo)

22

16.橢圓。：三+==1(?！?〉0)的左右焦點分別為耳、鳥,為橢圓上位于左軸上方的兩點，且滿足

RM〃F[N,若優(yōu)N|,用構成公比為2的等比數(shù)列，則C的離心率為

［答案］^21##—V105

1515

【解析】

<OA

【分析】設用N|=x,進而結合題意,根據(jù)橢圓的定義得|8N|斗田N|=辛，匡閭=/閨閭=芋

再結合余弦定理，根據(jù)cos/耳與N+cos/M耳工=0得15c2=74，進而可求得答案.

【詳解】解:設國N|=x,因為匡MJ耳閭,閨叫構成公比為2的等比數(shù)列,

所以優(yōu)N|=x,|鳥明=2x,閨叫=4%,

因為由橢圓的定義知區(qū)M+閨M=2a=6x，憂N|+閨N|=2a,

所以x=j即囚Mg閨M=m，

\F2M\=^,\FXM\=^

所以在△又寫心中，

162A242122A2

/v_閨M「+閨閶2Tg閭2_5如+4c--a—a+4c_12a2+36c2

2|畫M閭c4。c16ac48QC

2x-------2c----

33

在△人歹心中，

la2+4c2_25a2_§/+4°2

8S4/N」巴甘+田中TfW22

993-8a+12c

-2|居必用―2義匕2c~%一Aac

33

因為F}MF2N,

2222

12a+36c-8a+12c12/+36。2—964+144。2

所以耳與

cosNN+cosZMFXF2----------1----------

48。。4ac48QC

27

所以，整理得15。2=74，即c=二上

a215

_97^/105

所以，橢圓的禺心率《2=行e=------

15

故答案為：曙

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.設等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為已知。3+。7=18,4+%=10,各項均為正數(shù)的等比數(shù)列也｝滿足

…染，她=>

（1）求數(shù)列｛4｝與也｝的通項公式；

（2）設4=（4+；+2）0,求數(shù)列｛%｝的前幾項和北.

n-l

［答案1(1)an=2n—l,b“=

⑵4=7一竽

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式與等比數(shù)列性質計算得d=2嗎=1,區(qū)=工,b3=-,q=’，進

1642

而求解通項公式即可；

（2）由題知c〃=珠蟲，進而根據(jù)錯位相減法求解即可;

【小問1詳解】

解：設等差數(shù)列的公差為d,因為%+%=18,%+%=10

%+的=2al+8d=18

所以《c47s，解得d=2,%=1,

q+%=2q+4d=10

所以=1+2(〃-1)=2〃—1

因為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛〃｝滿足A+4=上，4&='

1616

9111

所以4A5=4=記,即4=W,故々=而,

所以，等比數(shù)列也｝的公比為/=*=；,解得q=g

所以〃=4尸

所以%=bn=

【小問2詳解】

(4+〃+2)73〃+1

解：由題知q,=?/?二-------

2〃2n

47103ri-23〃+1

所以<=吩+戲+聲+H--------------1---------

2〃T2"

47103n—23n+l

———r—T+-----+2"+i'

2223242"

1433333〃+1

所以，54=或+>+域+夢+H---------

T2"+,

1

1-

4,中H-1

3n+l433n+l733n+l

=—+3x——r-----1——1-

212.+121222”+i22"2'"1

763"+173〃+7

22〃+]2,+122"+]

所以看=7—竽

18.在銳角中，內角AB,C的對邊分別為“,仇c,且滿足：———=C°SA+COSB

6/COSB+PCOSAa+b

(1)求角C的大小;

(2)若c=3,角A與角B的內角平分線相交于點。，求△A3。面積的取值范圍.

7T

【答案】(1)-

3

(9-3/3A/3

(2)

I44

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦邊化角，并結合恒等變換得sin(C—A)=sin(B—C),再結合題意得2C=A+B,

進而根據(jù)內角和定理得答案;

2冗冗

(2)由題，結合(1)得NADB=—,設=則乙43。=——a,進而根據(jù)銳角三角形得

33

~2~a\9進而

—<a<~,在在△ABD中，由正弦定理得人。=sin

124

AD-ABsina=x3x2^/3sinsina=^^-sin^2a+^-^^-,再根據(jù)三角函數(shù)性

質求范圍即可.

【小問1詳解】

eL、，cosCcosA+cosB

解：因為--------------=------------

acosB+bcosAa+b

cosCcosA+cosBBncosC_cosC_cosA+cosB

所以---------------------------------，即~~71一.「一—~~；：~~~

sinAcosB+sinBcosAsinA+sinBsin(A+5)sinCsinA+sin5

所以sinCeosA+sinCeosB=sinAcosC+sinBcosC,

所以sinCcosA-sinAcosC=sinBcosC-sinCcosB,即sin(C-A)=sin(5-C),

因為在銳角一A5C中，C-AG,B—Ce

所以C—A=5—C,即2C=A+6,

因為A+3+C=7l,

jr

所以3C=A+B+C=TI,解得C=—

3

所以。=巴

3

【小問2詳解】

jr

解：因為c=—,角A與角B的內角平分線相交于點O,

3

所以NDAB=工NCAB,ND3A=工ZA3C,

22

所以NDAB+ZD3A=；NC43+；NABC=g(?！狢)=]

2兀

所以NADB

T

JT

設ZZMB=a,則NA3D=——a,

3

因為為銳角三角形,

所0<2。<二,0<_8=兀-3■-2。<工，解得—<a<—

232124

ABA￡>

所以，在△A3。中，由正弦定理

sinZADB~sinZABD

ABsinNABD

AD=

sinZADB

所以，△ABD面積=—AD-ABsintz=-x3x2A/3sin--tzsintz

22U

9.3g」班sin(21?？?/p>

=3A/3sinsina=-sina-cosa--------sm~a=

2226

因為所以2a十7￡

o

’9-3百3拒

所以，△。面積的取值范圍是

A3-4-，丁

19.為了迎接2022年世界杯足球賽，某足球俱樂部在對球員的使用上一般都進行一些數(shù)據(jù)分析，在上一年

的賽季中，A球員對球隊的貢獻度數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:

球隊勝球隊負總計

A上場22r

A未上場S1220

總計50

(1)求的值，據(jù)此能否有99%的把握認為球隊勝利與A球員有關；

(2)根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，5球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員四個位置，且出場率分別為：

0.2,0.3,0.2,0.3,當出任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員時，球隊贏球的概率依次為：0.2,0.2,0.4,0.3,貝的

①當他參加比賽時，求球隊某場比賽贏球的概率；

②當他參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，求8球員擔當守門員的概率;

③在2022年的4場聯(lián)賽中，用X表示“球隊贏了比賽的條件下8球員擔當守門員”的比賽場次數(shù)，求X的分

布列及期望.

附表及公式：

P(/叫0.150.100.050.0100.0050.001

k2.0722.7063.8416.6357.87910.828

2_n(ad-bcf

“(a+))(c+d)(a+c)(b+d)，

【答案】(1)r=8,s=8,沒有99%的把握認為球隊勝利與A球員有關;

14

(2)①0.27；②一；③分布列見解析，一.

33

【解析】

【分析】(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補全，再根據(jù)獨立性檢驗求解即可；

(2)①根據(jù)獨立事件的乘法公式求解即可；

②根據(jù)條件概率計算求解即可；

③由題知X進而根據(jù)二項分布求解即可.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意，補全列聯(lián)表如下表：

球隊勝球隊負總計

A上場22830

A未上場81220

總計302050

所以，廠=8,s=8,

250x(22x12—8x8)250x200x200

r二-------------------------------------------5.56<6.635

30x20x30x2030x20x30x209

所以，沒有99%的把握認為球隊勝利與A球員有關

【小問2詳解】

解：①根據(jù)題意，記8球員參加比賽時，球隊某場比賽贏球為事件A,

P(A)=0.2x0.2+03x0.2+0.4x0.2+0.3x0.3=0.27,

所以，B球員參加比賽時，球隊某場比賽贏球概率為Q27.

②記B球員擔當守門員為事件B,則尸(A3)=0.3x0.3=0.09,

所以，當8球員參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，8球員擔當守門員的概率為

因為相6制二黑號

所以，B球員參加比賽時，在球隊贏了某場比賽條件下，B球員擔當守門員的概率為工

3

③由②知，球隊贏了比賽的條件下B球員擔當守門員的概率為工，

3

由題知X的可能取值為0,1,2,3,4,且X4,1

所以小=。)同IJS嗡尸"刁=4|［制甯

尸(X=2)=G0苜4哈p(x=3)=C；

…)qiD5

所以，X的分布列如下表,

X01234

1632881

p

8181278181

所以，E(X)=4xg=：

20.如圖，水平面上擺放了兩個棱長為2班的正四面體B45D和QABC.

AC

(1)求證：ABLPQ.

(2)求二面角P—A。—8的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)遭I

33

【解析】

【分析】(1)連接CD與AB交于點。，過點RQ分別作尸石，平面海,平面ABC,垂足分別

為E,F,進而證明四邊形PQFE為平行四邊形，四邊形ABCD時菱形即可證明結論；

(2)取線段PQ的中點連接加，證明平面AC3。，進而根據(jù)A6_LCD可以以點。為坐標

原點，QAOCOM所在直線分別為蒼％z軸建立空間直角坐標系，再根據(jù)向量法求解即可.

【小問1詳解】

證明：因為△A3。與共面，

所以，連接CD與A3交于點。，

因為四面體B48D和QA5c是相同的正四面體，

所以，△A3。與均為等邊三角形，即4。=5。=45=4。=班＞,

所以，四邊形A3CD時菱形，則。為CD與A3中點，

過點RQ分別作PEL平面ABD,平面ABC,垂足分別為瓦尸，

所以，由正四面體的性質可知，瓦廠分別為△A3。、的中心，且E/在。。上，PE//QF,

因為正四面體A45D的棱長為26，

。2

所以0D=ADsin60=3,DE=-OD=2,EO=FO=1,

3

因為PEL平面ABD，DEu平面ABO，

所以PE_LDE,PE=JPD2-DE2=2A/2-

同理得。尸=20,

所以，QF=PE,故四邊形PQFE為平行四邊形，

所以PQ〃CD,

因為四邊形A3CD時菱形，CD±AB,

所以

易知OE=OF=』OD=1,故。為所中點,

3

因為四邊形PQFE為平行四邊形,

所以PQ//EF,PQ=EF,

因為O,M分別為EF,PQ中點,

所以OE//PM,OE=PM,

所以四邊形PEOM為平行四邊形，

所以OA///PE,

所以平面ACBZ),

因為AB_LCD,

所以，以點。為坐標原點，QAOCOM所在直線分別為蒼％z軸建立空間直角坐標系,

則A(6,0,0),B(-A0,0),P(0,-l,2叵),2(0,1,272)，

設平面PAQ的法向量為m=(%,%,4),PQ=(0,2,0),AP=(-6,—1,20)

?PQ—2y—0

則!—「，令％=2^2得a=^3,y=0,故根=(2^/2,0,A/3)，

m-AP=-43xl-y1^2y/2zi=0

設平面BAQ的法向量為n=(x2,y2,z2),BQ=(Al,272),BA=(26,0,0),

〃,BA=2y/3X?=0Lr-

則LL,令％=2j2得Z2=-1,%2=0,故〃=(0,2后1),

〃?BQ=V3X2+%+2A/2Z2=0

/\m-n-y/3A/33

所以‘叫"叫=同廳而=

33，

由圖可知，二面角P—AQ—5的平面角為銳角,

(1)如圖所示，線段A3為過點尸且與天軸垂直的弦，動點尸在線段A3上，過點P且斜率為1的直線/

與拋物線交于N(菁兩點，請問％+%是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理

由；

(2)過焦點戶作直線4與。交于E、Q兩點，分別過EQ作拋物線C的切線，已知兩切線交于點

求證：直線RQ、RF、RE的斜率成等差數(shù)列.

【答案】(1)%+%是定值;定值為4.

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)求得的坐標，設尸(1,%),%6[-2,2],可得直線/的方程，聯(lián)立拋物線方程，由根

與系數(shù)關系可得結論；

(2)設直線的方程為；x=ny+l,設點E(?,%),Q(￡,%)，聯(lián)立直線和拋物線方程，由根與系數(shù)關

-4

系可得為=——，利用直線斜率公式表示直線RQ、Rf\RE的斜率，化簡可證明結論.

%

【小問1詳解】

依題意知下(1,。)，將x=l代入C:y2=4x可得A(L2),5(L—2),

設P(l,%),%e[—2,2],所以直線/的方程為y=x—l+%,

y2-4x