高中人教A版數(shù)學選修1-1測評第三章導數(shù)及其應用測評

第三章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.已知函數(shù)f(x)=axx,且f'(4)=12,則a的值等于()A.14 B.5C.1 D.3解析由已知得f'(x)=a12因此有f'(4)=a124=12答案D2.曲線y=xx-2在點(1,1)處的切線方程為A.2x+y1=0 B.2xy3=0C.2xy+1=0 D.2x+y3=0解析由于y'=-2(x-2)2,所以切線斜率k=-2(1-2)2=2,答案A3.曲線f(x)=x3+x2在P0處的切線平行于直線y=4x1,則P0點的坐標為()A.(1,0) B.(2,8)C.(1,0)和(1,4) D.(2,8)和(1,4)解析依題意令f'(x)=3x2+1=4,解得x=±1,f(1)=0,f(1)=4,故P0點的坐標為(1,0),(1,4),故選C.答案C4.函數(shù)f(x)=2lnxx3x的單調(diào)遞增區(qū)間是(A.(1,3) B.(0,3)C.(3,+∞) D.(3,+∞)和(∞,1)解析f'(x)=2x1+3x2=-x2+2x+3x2,令f'(x)>答案B5.函數(shù)f(x)=3x2+lnx2x的極值點的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)個解析函數(shù)定義域為(0,+∞),且f'(x)=6x+1x2=6x2-2x+1x,由于x>0,g(x)=6x22x+1中Δ=20<0,所以g(x)>0恒成立,故f'(x)>0恒成立,即答案A6.已知函數(shù)y=f(x),其導函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)()A.在(∞,0)內(nèi)為減函數(shù)B.在x=0處取極小值C.在(4,+∞)內(nèi)為減函數(shù)D.在x=2處取極大值解析在(∞,0)內(nèi),f'(x)>0,故f(x)在(∞,0)內(nèi)為增函數(shù),A錯;在x=0處,導數(shù)由正變負,f(x)由增變減,故在x=0處取極大值,B錯;在(4,+∞)內(nèi),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù),C對;在x=2處取極小值,D錯.答案C7.已知函數(shù)f(x)=16x312ax2bx(a>0,b>0)的一個極值點為1,則ab的最大值為(A.1B.1C.1D.1解析f(x)=16x312ax2bx(a>0,可得f'(x)=12x2axb因為函數(shù)f(x)的一個極值點為1,所以f'(1)=0,即12ab=0,即a+b=1所以ab≤a+b22=116,當且僅當a=b=1所以ab的最大值為116故選D.答案D8.已知曲線y=aex+xlnx在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則()A.a=e,b=1 B.a=e,b=1C.a=e1,b=1 D.a=e1,b=1解析∵y'=aex+lnx+1,∴k=y'|x=1=ae+1=2,∴ae=1,a=e1.將點(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=1.答案D9.若不等式2xlnx≥x2+ax對x∈[1,+∞)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(∞,0)B.(∞,1]C.(0,+∞)D.[1,+∞)解析由2xlnx≥x2+ax,x∈[1,+∞),可知a≤2lnx+x.設h(x)=2lnx+x,x∈[1,+∞),則h'(x)=2x+1>0,所以函數(shù)h(x)在[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(1)=1,由題可知a≤h(x)min=1,故a的取值范圍是(∞,1].故選B答案B10.已知函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)內(nèi)的函數(shù),其導數(shù)為f'(x),且滿足f'(x)f(x)=exx2,又f(1)=e,則函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)A.有極大值 B.有極小值C.單調(diào)遞增 D.單調(diào)遞減解析由f'(x)f(x)=exx2可得f即f(x)于是f(x)ex=又因為f(1)=e,所以ee=1+c,故c=從而f(x)=ex于是f'(x)=ex(x-1)x2,令f'(x)=0得x=1,且當0<x<1當x>1時,f'(x)>0,故函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)有極小值.答案B11.若函數(shù)f(x)=x33x1對于區(qū)間[3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)f(x2)|≤t,則實數(shù)t的最小值是()A.20 B.18 C.3 D.0解析f'(x)=3x23=3(x1)(x+1),令f'(x)=0,得x=±1,所以1,1為函數(shù)f(x)的極值點.又f(3)=19,f(1)=1,f(1)=3,f(2)=1,所以在區(qū)間[3,2]上,f(x)max=1,f(x)min=19.由題設,知在區(qū)間[3,2]上,f(x)maxf(x)min≤t,從而t≥20,所以t的最小值是20.故選A.答案A12.定義在(0,+∞)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足xf'(x)=1+x,且f(1)=2,不等式f(x)≥(a+1)x+1有解,則正實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,e] B.(0,e)C.0,1e解析因為f'(x)=1+1x,故設f(x)=x+lnx+C因為f(1)=2,所以C=1,即f(x)=x+lnx+1.不等式f(x)≥(a+1)x+1有解可化為x+lnx+1≥(a+1)x+1,即lnxx≥a在(0,+∞)令g(x)=lnxx,則g'(x)=當x∈(0,e)時,g'(x)>0,g(x)在(0,e)內(nèi)為增函數(shù);當x∈(e,+∞)時,g'(x)<0,g(x)在(e,+∞)內(nèi)為減函數(shù);故g(x)max=g(e)=1e,所以0<a≤1e,故選答案C二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知a為正實數(shù),若函數(shù)f(x)=x33ax2+2a2的極小值為0,則a的值為.

解析由已知得f'(x)=3x26ax=3x(x2a),又a>0,所以由f'(x)>0,得x<0或x>2a,由f'(x)<0,得0<x<2a,所以f(x)在x=2a處取得極小值0,即f(x)極小值=f(2a)=(2a)33a(2a)2+2a2=4a3+2a2=0,又a>0,解得a=12答案114.已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示,則f'(-3)f解析f'(x)=3ax2+2bx+c,結(jié)合圖象可得x=1,2為導函數(shù)的零點,即f'(1)=f'(2)=0,故3解得a故f'(-3)答案515.某產(chǎn)品的銷售收入y1(單位:萬元)是產(chǎn)量x(單位:千臺)的函數(shù)y1=17x2,生產(chǎn)成本y2(單位:萬元)是產(chǎn)量x(單位:千臺)的函數(shù)y2=2x3x2,已知x>0,為使利潤最大,應生產(chǎn)千臺.

解析由題意,利潤y=y1y2=17x2(2x3x2)=18x22x3(x>0).y'=36x6x2,由y'=36x6x2=6x(6x)=0,解得x=6或x=0(舍去),當x∈(0,6)時,y'>0,當x∈(6,+∞)時,y'<0.所以函數(shù)在(0,6)內(nèi)為增函數(shù),在(6,+∞)內(nèi)為減函數(shù).則當x=6時,y有最大值,即生產(chǎn)6千臺時,利潤最大.答案616.設函數(shù)f(x)=2lnx12mx2nx,若x=2是f(x)的極大值點,則m的取值范圍為.解析函數(shù)定義域為(0,+∞).f'(x)=2xmxn,依題意有f'(2)=12mn=0,即n=12m于是f'(x)=2xmx+2m=(x若m≥0,顯然x=2是f(x)的極大值點,滿足題意;若m<0,則應有1m>解得m>12綜上,m的取值范圍為-1答案-三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=x32x2+ax1,且f'(1)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)求曲線f(x)在x=1處的切線方程.解(1)因為f(x)=x32x2+ax1,所以f'(x)=3x24x+a.因為f'(1)=1,所以3×124×1+a=1,解得a=2.故f(x)=x32x2+2x1.(2)由(1)知f'(x)=3x24x+2,所以曲線f(x)在x=1處的切線斜率k=f'(1)=9,又f(1)=6,因此切線方程為y+6=9(x+1),即9xy+3=0.18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=exx2ax的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b.(1)求實數(shù)a,b的值;(2)若函數(shù)g(x)=f'(x)-1x,求g(x)在(0,解(1)因為f'(x)=ex2xa,所以f'(0)=1a.于是由題知1a=2,解得a=1.因此f(x)=exx2+x,f(0)=1,于是1=2×0+b,解得b=1.(2)由(1)得g(x)=f'(所以g'(x)=ex(x-1)x2,令g'當x變化時,g'(x),g(x)的變化情況如下:x(0,1)1(1,+∞)g'(x)0+g(x)單調(diào)遞減↘極小值單調(diào)遞增↗所以g(x)在x=1取得極小值g(1)=e2,無極大值.19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3+x2x+c.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)有三個零點,求實數(shù)c的取值范圍.解(1)因為f(x)=x3+x2x+c,故f'(x)=3x2+2x1,由f'(x)>0,得x<1或x>13所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(∞,1)和13,+∞;(2)由(1)知,f(x)在x=1處取得極大值1+c,在x=13處取得極小值527因為函數(shù)f(x)有三個零點,所以1+c>0,-所以實數(shù)c的取值范圍為1,527.20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=a+lnxx在點(1,f(1))處的切線與(1)求實數(shù)a的值及f(x)的極值;(2)如果對任意x1,x2∈[e2,+∞),有|f(x1)f(x2)|≥k1x1-1x解(1)f'(x)=1x∵f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行,∴f'(1)=1-a-ln11∴f(x)=1+lnxx(x>0),f'(x)=當0<x<1時,f'(x)>0;當x>1時,f'(x)<0,∴f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,故f(x)在x=1處取得極大值1,無極小值.(2)由(1)的結(jié)論知,f(x)在[e2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,不妨設x1>x2≥e2,則|f(x1)f(x2)|≥k1x1-1x2等價于f(x1)f(x∴f(x2)kx2≥f(x1)kx1,即函數(shù)F(x)=f(x)kx在[e2,又F(x)=f(x)kx∴F'(x)=k-lnxx2≤0在[e2,∴k≤lnx在[e2,+∞)內(nèi)恒成立,令y=lnx,當x=e2時,y取最小值,即lne2=2,故k的取值范圍為(∞,2].21.(本小題滿分12分)如圖,從一個面積為15π的半圓形鐵皮上截取兩個高度均為x的矩形,并將截得的兩塊矩形鐵皮分別以AB,A1B1為母線卷成兩個高均為x的圓柱(無底面,連接部分材料損失忽略不計).記這兩個圓柱的體積之和為V.(1)將V表示成x的函數(shù)關系,并寫出x的取值范圍;(2)求兩個圓柱體積之和V的最大值.解(1)設半圓形鐵皮的半徑為r,自下而上兩個矩形卷成的圓柱的底面半徑分別為r1,r2.因為半圓形鐵皮的面積為15π,所以12πr2=15π,即r2=30因為2πr1=2r2-x2,所以r同理2πr2=2r2-(2x)2,所以卷成的兩個圓柱的體積之和V=f(x)=(πr12+πr22)·x=1π(60x因為0<2x<r=30,所以x的取值范圍是0,(2)由f(x)=1π(60x5x3),得f'(x)=1π(6015x令f'(x)=0,因為x∈0,302,故當x∈(0,2)時,f'(x)>0;當x∈2,302時,f'(x所以f(x)在(0,2)內(nèi)為增函數(shù),在2,30所以當x=2時,f(x)取得極大值,也是最大值.因此f(x)的最大值為f(2)=80π故兩個圓柱體積之和V的最大值為80π22.(本小題滿分12分)已知實數(shù)a≠0,設函數(shù)f(x)=alnx+1+x,x>0(1)當a=34時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)對任意x∈1e2,+∞均有f(x)≤x2a,求a解(1)當a=34時,f(x)=34lnx+1+x,f'(x)=3=(1+所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+∞).(2)由f(1)≤12a,得0<a≤當0<a≤24時,f(x)≤x2a等價于xa2令t=1a,則t≥22設g(t)=t2x2t1+x2lnx,t≥22,g(t)=xt1+1x21+xx2ln①當x∈17,+∞時,1+1x≤22則g(t)≥g(22)=8x421+x2ln記p(x)=4x221+xlnx,x≥1p'(x)=2=2=(x故x117,11(1,+∞)p'(x