07選填題之解三角形（解析版）

☆注：請(qǐng)用MicrosoftWord2016以上版本打開(kāi)文件進(jìn)行編輯，用WPS等其他軟件可能會(huì)出現(xiàn)亂碼等現(xiàn)象.高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義——選填題部分第7講解三角形解三角形問(wèn)題一直是近幾年高考的重點(diǎn)，主要考查以斜三角形為背景求三角形的基本量、面積或判斷三角形的形狀，解三角形與平面向量、不等式、三角函數(shù)性質(zhì)、三角恒等變換交匯命題成為高考的熱點(diǎn)．題型一、正、余弦定理基礎(chǔ)1．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的為（）A．若sinAa=cosBb=cosCB．a(chǎn)sinAC．若sinA＞sinB，則A＞B；反之，若A＞B，則sinA＞sinB D．若sin2A＝sin2B，則a＝b【解答】解：A，∵sinAa∴由正弦定理sinB＝cosB，sinC＝cosC，又∵B，C為△ABC的內(nèi)角，∴B＝C＝45°，故A＝90°，A正確；B，∵由正弦定理可得asinA=b∴b+csinB+sinC=2R(sinB+sinC)sinB+sinC=2C，在△ABC中，設(shè)外接圓的半徑為R，若sinA＞sinB，則2RsinA＞2RsinB，由正弦定理可得a＞b，即A＞B；若A＞B，即有a＞b，即2RsinA＞2RsinB，即a＞b．則在△ABC中，sinA＞sinB?A＞B，故C正確；D，∵sin2A＝sin2B∴sin2A﹣sin2B＝cos（A+B）sin（A﹣B）＝0∴cos（A+B）＝0或sin（A﹣B）＝0∴A+B=π2或A∴三角形為直角三角形或等腰三角形．故D錯(cuò)誤．故選：D．2．在△ABC中，cosC=23，AC＝4，BC＝3，則tanA．5 B．25 C．45 D．85【解答】解：∵cosC=23，AC＝4，BC＝∴tanC=1∴AB=AC2+BC2∴B＝π﹣2C，則tanB＝tan（π﹣2C）＝﹣tan2C=-2tanC1-tan故選：C．3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA=-14A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA=-∴a2解得3c2=1∴bc=故選：A．4．已知a、b、c分別為△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，acosc+3asinC-b-c=0，則A．π2 B．π3 C．π4 【解答】解：已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：sinAcosC+3sinAsinC﹣sinB﹣sinC＝0∴sinAcosC+3sinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC＝0，即sinAcosC+3sinAsinC﹣sinAcosC﹣cosAsinC﹣sinC＝∴3sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC＝0，∵sinC≠0，∴3sinA＝cosA+1，即sinA1+cosA∴tanA2∴A2=π6故選：B．5．△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），則A＝（）A．3π4 B．π3 C．π4 【解答】解：∵b＝c，∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝2b2﹣2b2cosA＝2b2（1﹣cosA），∵a2＝2b2（1﹣sinA），∴1﹣cosA＝1﹣sinA，則sinA＝cosA，即tanA＝1，即A=π故選：C．6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a＝23，c=22則1+tanAtanB=2cb，則∠C【解答】解：1+tanA根據(jù)正弦定理bsinB=c∵1+tanA∴sinCcosAsinB=2sinCsinB，即又A為三角形的內(nèi)角，∴∠A＝60°，∵a＝23，c＝22，sinA=3∴由正弦定理得：sinC=csinA又a＞c，∴A＞C，∴∠C＝45°．故答案為：45°題型二、角平分線問(wèn)題1．△ABC中，cosA=18，AB＝4，AC＝2，則∠A的角平分線A．22 B．23 C．2 D【解答】解：在△ABC中，因?yàn)閏osA=18，AB＝4，AC＝則由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA＝16+4﹣16×18=18，解得BC＝所以cosB=A根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得：CDBD=ACAB=12由余弦定理得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB?BD?cosB＝16+8﹣2×4×22×528故選：C．2．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知A=π3，a＝47，角A的平分線交邊BC于點(diǎn)D，其中AD＝33，則S△ABC＝123【解答】解：由A=π3，a＝4余弦定理：cosA=b2+c2-a22bc，即bc＝角A的平分線交邊BC于點(diǎn)D，由ABD和ADC面積和定理可得AD=2bccosA2b+c，AD即bc＝3（b+c）…②由①②解得：bc＝48．那么S△ABC=12cbsinA＝12故答案為：1233．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD＝1，則4a+c的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．7【解答】解：由題意得12acsin120°=12asin60°+即ac＝a+c，得1a+得4a+c＝（4a+c）（1a+1c）=ca+4ac+當(dāng)且僅當(dāng)ca=4ac，即c故選：B．題型三、中位線問(wèn)題1．△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別記a，b，c，若b＝5，c＝6，BC邊上的中線AD＝3，則AB→?ACA．15 B．﹣15 C．252 D．【解答】解：如圖所示，根據(jù)平面向量的加法平行四邊形法則可知，|AB|＝|AE|＝6，|BE|＝5，cosA＝cos（π﹣∠ABE）=-所以AB→故選：D．2．在銳角△ABC中，D是線段BC的中點(diǎn)，若AD＝2，BD=2，∠BAD＝30°，則角B＝45°，AC＝8-【解答】解：∵在△ABD中，AD＝2，BD=2，∠BAD＝30∴由正弦定理ADsinB=BDsin∠BAD，可得2sinB∵B為銳角，∴B＝45°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+30°＝75°，又D是線段BC的中點(diǎn)，∴CD=2∴在△ADC中，由余弦定理可得AC2＝AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC＝4+2﹣2×2×2×cos75°＝8﹣23故答案為：45°，8-3．已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D是BC的中點(diǎn)，且AD=10，若S△ABC＝4，b＞c，且b-csinAa=cosCA．60° B．120° C．45° D．90°【解答】解：∵b-csinAa=cosC，可得：b＝acosC+csin由正弦定理可得：sinB＝sinAcosC+sinCsinA，又∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA，∴sinCsinA＝sinCcosA，∵sinC≠0，∴sinA＝cosA，可得：A＝45°，可得：cosC=2b-∵S△ABC=12bcsinA＝4，可得：bc＝82∵cosC=a∴可得：2b-2c2a=a2+b2-∴由①②解得：c=4b=22（b＞c，故舍去），或∴a=b2+c∴A＝C＝45°，可得：B＝180°﹣A﹣B＝90°．故選：D．題型四、周長(zhǎng)、面積問(wèn)題1．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，則△ABC的面積為233【解答】解：△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．bsinC+csinB＝4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB＝4sinAsinBsinC，由于0＜B＜π，0＜C＜π，所以sinBsinC≠0，所以sinA=1則A=由于b2+c2﹣a2＝8，則：cosA=b①當(dāng)A=π6時(shí)，解得bc=8所以S△ABC②當(dāng)A=5π6時(shí)，解得bc=-故：S△ABC故答案為：232．△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若b2＝accosB，D為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且CA⊥CD，CA＝CD，BC＝BD，AD＝2，則△ABD的面積為1．【解答】解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：由b2＝accosB以及余弦定理得b2＝ac?a2得a2+c2＝3b2，又根據(jù)題意得AD＝2，AC＝CD=2，∴a2+c2＝6∵BC＝BD，∴B的橫坐標(biāo)為22，設(shè)B（22，又A（0，2），C（0，0），∴a2+c2＝BC2+AB2=12+t2+12+（t-2）2＝2t∴6＝2t2﹣22t+3，即t2-2t﹣3＝0解得t=322或∴B（22，322）或B（2由于這兩個(gè)點(diǎn)到直線AD：x+y-2=0的距離都等于∴△ABD的面積為12×1×2=故答案為：13．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足面積為332，3sinC﹣cosB＝cos（A﹣C），a=7A．2+7 B．3+7 C．4+7 【解答】解：∵3sinC﹣cosB＝cos（A﹣C），∴3sinC+cos（A+C）＝cos（A﹣C），∴3sinC+cosAcosC﹣sinAsinC＝cosAcosC+sinAsinC，∴3sinC＝2sinAsinC∵sinC≠0，∴sinA=3∵△ABC為銳角三角形，∴A＝60°，∵S=12bcsinA∴bc＝6，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc，∴（b+c）2＝7+18＝25，∴b+c＝5，∴△ABC的周長(zhǎng)為5+7故選：D．題型五、最值問(wèn)題1．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且（a﹣b）?sinA＝csinC﹣bsinB，若△ABC的面積為33，則△ABC的周長(zhǎng)的最小值為（）A．43 B．3+43 C．63 D．3【解答】解：∵（a﹣b）?sinA＝csinC﹣bsinB，∴由正弦定理可得（a﹣b）a＝c2﹣b2，可得a2+b2﹣c2＝ab，∴由余弦定理可得cosC=a2+b2∵△ABC的面積為33=12absinC=34ab∴由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab＝12，即c≥23，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝23時(shí)等號(hào)成立，∴△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c≥63，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝23時(shí)等號(hào)成立，即△ABC的周長(zhǎng)的最小值為63．故選：C．2．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2a-cb=cosCcosB，b＝A．43 B．23 C．2 D．3【解答】解：∵在△ABC中2a-cb∴（2a﹣c）cosB＝bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA，約掉sinA可得cosB=12，即B由余弦定理可得16＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào)，∴△ABC的面積S=12acsinB=34故選：A．3．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，a＝4，b∈（4，6），sin2A＝sinC，則c的取值范圍為（42，210）．．【解答】解：由正弦定理得，4sinA故c＝8cosA，因?yàn)?6＝b2+c2﹣2bccosA，所以16﹣b2＝64cos2A﹣16bcos2A，因?yàn)閎≠4，所以cos2A=16-所以c2＝64cos2A＝64×4+b16=4（4+b）∈（32故42故答案為：（42，210）．4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sinB+2sinAcosC＝0，則當(dāng)cosB取最小值時(shí)，acA．2 B．3 C．33 D．【解答】解：由已知，利用正弦定理，余弦定理可得：b+2a?a2+可得：a2+2b2﹣c2＝0，可得：b2=c可得：cosB=a2+當(dāng)3a4c=c4a，即a故選：C．5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且acosB﹣bcosA=35c，則tan（A﹣A．35 B．13 C．38 【解答】解：∵acosB﹣bcosA=35∴結(jié)合正弦定理，得sinAcosB﹣sinBcosA=35sin∵C＝π﹣（A+B），得sinC＝sin（A+B），∴sinAcosB﹣sinBcosA=35（sinAcosB+cosAsin整理，得sinAcosB＝4sinBcosA，同除以cosAcosB，得tanA＝4tanB，由此可得tan（A﹣B）=tanA-tanB∵A、B是三角形內(nèi)角，且tanA與tanB同號(hào)，∴A、B都是銳角，即tanA＞0，tanB＞0，∵1tanB+4tanB≥21∴tan（A﹣B）=31tanB+4tanB≤34，當(dāng)且僅當(dāng)1tanB=4tanB，即tanB=故選：D．6．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊依次為a，b，c，外接圓半徑為1，且滿(mǎn)足tanAtanB=2c-bb，則△ABC面積的最大值為【解答】解：由r＝1，利用正弦定理可得：c＝2rsinC＝2sinC，b＝2rsinB＝2sinB，∵tanA=sinAcosA，tanB∴tanAtanB∴sinAcosB＝cosA（2sinC﹣sinB）＝2sinCcosA﹣sinBcosA，即sinAcosB+cosAsinB＝sin（A+B）＝sinC＝2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA=12，即A∴cosA=b∴bc＝b2+c2﹣a2＝b2+c2﹣（2rsinA）2＝b2+c2﹣3≥2bc﹣3，∴bc≤3（當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)，取等號(hào)），∴△ABC面積為S=12bcsinA≤1則△ABC面積的最大值為：33故答案為：33題型六、取值范圍問(wèn)題1．銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a2﹣b2+ac＝0，則sinAsinBA．(0，22) B．(22，3【解答】解：∵由題意可得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+ac，∴a＝c﹣2acosB，由正弦定理得：sinA＝sinC﹣2sinAcosB＝sin（A+B）﹣2sinAcosB，化簡(jiǎn)得sinA＝sin（B﹣A），又△ABC為銳角三角形，∴B＝2A，又0＜B＝2A＜π2，0＜C＝π﹣3A∴π6＜A＜π4，則cosA∈（22，32），2cosA∴12cosA∈（33，∵sinAsinB=sinAsin2A=sinA故選：D．2．設(shè)銳角△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若3（acosB+bcosA）＝2csinC，b＝1，則c的取值范圍為（32，3）【解答】解：∵3(acosB+bcosA)=2csinC∴由正弦定理可得：3（sinAcosB+sinBcosA）＝2sin2C，∴3sin（A+B）=3sinC＝2sin2C∵sinC≠0，∴解得：sinC=3∴由C為銳角，可得C=π又在銳角△ABC中，有0＜A＜π2∴sinB∈（12，1∵b＝1，∴由正弦定理可得：c=bsinCsinB=32sinB故答案為：（32，33．銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC，若a=3，則b2+c2的取值范圍是（5，6]【解答】解：∵（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝（c﹣b）c，化為b2+c2﹣a2＝bc．由余弦定理可得：cosA=b∴A為銳角，可得A=π∵a=3∴由正弦定理可得：bsinB=∴可得：b2+c2＝（2sinB）2+[2sin（2π3-B）]2＝3+2sin2B+3sin2B＝4+2sin（2∵B∈（π6，π2），可得：2B-π6∈（∴sin（2B-π6）∈（12，1]，可得：b2+c2＝4+2sin（2B-π6）∈故答案為：（5，6]．4．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角；A，B，C所對(duì)邊分別為；a，b，c，若b2+c2＜a2，且cos2A﹣3sinA+1＝0，則sin（C﹣A）+32cos（2A﹣A．（-12，-34） B．（-12，-34] C．[0，3【解答】解：因?yàn)閏os2A﹣3sinA+1＝0，所以1﹣2sin2A﹣3sinA+1＝0，所以sinA=12或﹣又因?yàn)閏osA＜0，所以A=56所以sin（C﹣A）+32cos（2A﹣B）＝sin（C-5π6）+32cos[2＝sin（C-56π）+32sin又因?yàn)镃∈（0，π6所以cosC∈（32，1所以-12cosC∈（-1故選：A．5．在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足b2﹣a2＝ac，則1tanA-1tanB的取值范圍為（1【解答】解：∵b2﹣a2＝ac，∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+ac，∴c＝2acosB+a，∴sinC＝2sinAcosB+sinA，∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinA＝cosAsinB﹣sinAcosB＝sin（B﹣A），∵三角形ABC為銳角三角形，∴A＝B﹣A，∴B＝2A，∴C＝π﹣3A，∴0∴A∈（π6，π4），B∈（π3∴1tanA∵B∈（π3，π∴sinB∈（32，1∴1sinB∈，2∴1tanA-1tanB的范圍為（故答案為：（1，236．已知△ABC的周長(zhǎng)為6，且cos2B+2sinAsinC＝1，則BA→?BC→的取值范圍是[2【解答】解：由cos2B+2sinAsinC＝1，得2sinAsinC＝1﹣cos2B＝2sin2B，利用正弦定理可得b2＝ac，又a+b+c＝6，∴b=ac≤a+c2=6-b2再由|a﹣c|＜b，得（a﹣c）2＜b2，（a+c）2﹣4ac＜b2，∴（6﹣b）2﹣4b2＜b2，得b2+3b﹣9＞0，又b＞0，解得b＞3∴35-32＜∵cosB=a∴BA→?BC→=ac?cosB=a2則2≤BA∴BA→?BC→的取值范圍是故答案為：[2，27-95題型七、解三角形實(shí)際問(wèn)題1．如圖，兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的（）A．北偏東10° B．北偏西10° C．南偏東80° D．南偏西80°【解答】解：∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∵∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴∠DBA＝40°﹣30°＝10°，∴燈塔A在燈塔B的南偏西80°．故選：D．2．如圖所示，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走了100米到山腰B，在B處測(cè)得山頂P的仰角為75°，則山高h(yuǎn)＝256．【解答】解：△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝（90°﹣30°）﹣（90°﹣75°）＝45°，∴100sin45°=PBsin15°，∴PB=∴山高h(yuǎn)＝PQ＝PC+CQ＝PB?sin75°+AB?sin15°=50(3-1)×6故答案為：256．27．海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類(lèi)保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島_上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD=35m，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，則A、B兩點(diǎn)的距離為m

【答案】35【分析】根據(jù)已知的邊和角，在△BCD中，由正弦定理解得BD，在△ABD中，由余弦定理得AB.【詳解】因?yàn)椤螦DB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，所以∠ADC=150又因?yàn)椤螦CB=120°，所以∠BCD=135

在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD=CDsin∠CBD在△ABD中，由余弦定理得AB所以AB2=故答案為：355一、單選題1．在△ABC中，a+c=2b，則下列結(jié)論不成立的是（

）A．sinA+sinC=2C．sin2A2【答案】D【詳解】因?yàn)閍+c=2b，由正弦定理可得sinA+sinC=2由sinA+sinB=由sinA+sinC=2sinB由sin2又由B可知1-cosA+C2由sin2A2-故選：D．2．在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若B=π3,a=4，且該三角形有兩解，則bA．23,+∞C．0,4 D．3【答案】B【詳解】由正弦定理得asinA=因?yàn)樵撊切斡袃山猓师?故sinA∈(32故選：B3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則“acosA=bcosB”是“△ABC為等腰三角形A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【詳解】在△ABC中，由acosA=bcos即有sin2A=sin2B，而A,B,A+B∈(0,π)，于是2A=2B或2A+2B=命題“若acosA=bcosB，則當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，不一定是a=b，命題“若△ABC為等腰三角形，則acosA=b所以“acosA=bcosB”是“△ABC故選：D4．岳陽(yáng)樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱(chēng)為“江南三大名樓”，是“中國(guó)十大歷史文化名樓”之一，小李為測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度選取了與底部水平的直線AC，如圖，測(cè)得∠DAC=30°，∠DBC=45°，AB=14米，則岳陽(yáng)樓的高度CD約（

）（2≈1.414，3

A．18米 B．19米 C．20米 D．21米【答案】B【分析】在Rt△ADC中用CD表示AC，Rt△BDC中用CD表示BC，建立CD【詳解】在Rt△ADC中，∠DAC=30o，則AC=3CD，在Rt由AC-BC=AB，得3CD-CD=14，∴CD=143-1=73故選：B.5．如圖，在△ABC中，AC=1，AB=2，∠BAC=60°，BC，AB邊上的兩條中線AD，CE相交于點(diǎn)P，則cos∠DPE=（

A．32114 B．217 C．1【答案】D【詳解】因?yàn)锳C=1，AB=2，∠BAC=60°，由余弦定理得，BC得到BC=3，又BC2建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則有A(1,0),B(0,3),C(0,0)，又D,E分別為所以D(0,32),E(所以cos∠DPE=故選：D.6．在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，C的對(duì)邊.若b2=ac，且a2A．π6 B．π3 C．2π【答案】A【詳解】因?yàn)閎2=ac，且所以b2所以cosA=因?yàn)锳∈0,π，所以故選：A7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠BAC=π3，D為BC上一點(diǎn)，BD=2DC，AD=BD=32，則A．3332 B．938 C．【答案】D【詳解】

如圖所示，在△ABC中，由BD=2CD，得AD=又AD=BD，即AD=所以AD2化簡(jiǎn)得4a2=在△ABC中，由余弦定理得，b2+c由①②式，解得c=2b．由BD=32，得將其代入②式，得3342故△ABC的面積S=1故選：D8．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a=2，b=1且cosB=2cosA，則△ABC的面積S=A．1 B．32 C．22 D【答案】A【詳解】方法1：因?yàn)閍=2b，所以sinA=2又cosB=2cosA由于B∈0,π，解得sinB=由cosB=2cosA可得B,A均為銳角，所以cos所以A+B=π2，即C=π方法2：因?yàn)閍=2b，所以sinA=2sinB，又cos所以2sinAcos因?yàn)閍≠b，故A≠B，且2B∈0,π所以2A+2B=π則A+B=π2，故C=π故選：A9．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知cosBcosC=b2a-c，A．sinC=12 B．cosB=32【答案】C【詳解】∵cos由正弦定理可得cosB整理可得sinB所以sinB∵A為三角形內(nèi)角，sinA≠0∴cosB=12，∵B∈(0,π)，∴B=∵S△ABC=3∴334由余弦定理b2=a2解得a+c=23或a+c=-23（舍去），故C正確，D又3=a2+c2所以C=π3，則sinC=3故選：C.10．在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，且2b=a+c，∠B=30°，△ABC的面積為32，那么b等于（

A．1+32 B．1+3 C．2+【答案】B【詳解】由S△ABC可得ac=6，又2b=a+c，且b2得b2所以b2則b=3故選：B11．△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，∠ABC=120°，BD⊥BC交AC于點(diǎn)D，且BD=1，2a+c的最小值為（

）A．83 B．833 C．8【答案】B【詳解】由題意可知：∠ABD=120°，因?yàn)镾△ABC=S整理得1a則2a+c=1當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=4所以2a+c的最小值為83故選：B.12．如果△ABC內(nèi)接于半徑為R的圓，且2Rsin2A-sin2A．π6 B．π4 C．π3【答案】B【詳解】2RsinasinA-csina2+b2-所以C=π故選:B．13．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c，已知acosBcosA=-b-2c，且角A的平分線AD交BC于點(diǎn)D，AD=1A．5+26 B．6+26 C．5+25【答案】A【詳解】因?yàn)閍cosBcos由正弦定理可得-2sin因?yàn)锳、C∈0,π，則sinC>0，所以，cos因?yàn)榻茿的平分線AD交BC于點(diǎn)D，AD=1，由S△ABC=S所以，34bc=3所以，2AC+3AB=2b+3c==5+26當(dāng)且僅當(dāng)2bc=3c故2AC+3AB的最小值為5+26故選：A.14．在三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊為a,b,c.且2sinA+sinB=asinA．3+22 B．2+23 C．3 D【答案】A【詳解】在△ABC中，由正弦定理及2sinA+sinB=asinB，得因此a+b=(1當(dāng)且僅當(dāng)ba=2a所以當(dāng)a=2+1,b=2+2時(shí)，a+b故選：A15．下列命題正確的是（）①在△ABC中，“tanA>tanB”是“②在△ABC中，cosA<③在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，當(dāng)a2+c④在△ABC中，asin⑤在三角形中，已知兩邊和一角，則該三角形唯一確定．A．①②③ B．①②④ C．③④⑤ D．①④⑤【答案】B【詳解】①tanA>tanB若cosB<0，則有B>π2若a>b，可能cosA<0,此時(shí)sinAcos故“tanA>tanB”是“②若cosA<cosB，由A、B∈0,π，y=cos若sinA≤sinB，則有B≥與在△ABC中矛盾，故有sinA>由asinA=bsin若a>b，由asinA=即有0<B<A<π-B或若0<π-B<A<B<π，此時(shí)π與在△ABC中矛盾，故0<B<A<π-B，即有由y=cosx在0,π即a>b?A>B?cosA<cosB③由a2+c即B為銳角，但A或C可能為鈍角，故錯(cuò)誤；④在△ABC中，sinC=故sinA+sinB-則a+b-csin故asin⑤已知兩邊和一角，例如A=π6，a=2、此時(shí)sinB=b?sin故有兩解，即該三角形并不唯一確定，故錯(cuò)誤.故選：B.16．記銳角△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c=2且a2+b2-c2aA．(2+23,6] BC．(23,6] D【答案】A【詳解】在△ABC中，由射影定理得acos則題目條件a2+b由余弦定理得：a2則cosC=因?yàn)镃∈0,π，所以因?yàn)閏=2所以在△ABC中，由正弦定理得asin則△ABC周長(zhǎng)C△ABC因?yàn)閟in=3所以C△ABC因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，C=π則A+C>π2所以A+π所以sin所以C△ABC故選：A二、多選題17．下列命題中正確的是（

）A．在△ABC中，若sin2A=sin2BB．在△ABC中，A>B是sinA>C．函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移π4D．在△ABC中，若AB=3,AC=1,B=30°，則△ABC的面積為3【答案】BCD【詳解】A選項(xiàng)中，因?yàn)閟in2A=sin2B，所以2A=2B即A=B或A+B=π2，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，所以B選項(xiàng)中，由A>B，得a>b，則由正弦定理得，sinA>sinBC選項(xiàng)中，由函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移得y=sin2x+D選項(xiàng)中，由正弦定理得，ABsinC=ACsin則C=60°或C=120°，所以A=90°或A=30°，所以△ABC的面積為S=12×所以D正確．故選：BCD．18．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a=2，sinB=3sinA．滿(mǎn)足條件的△ABC不可能是直角三角形B．△ABC面積的最大值為3C．當(dāng)A=C時(shí)，△ABC的內(nèi)切圓的半徑為2D．若△ABC為銳角三角形，則c∈(1,【答案】BC【詳解】sinB=3sin對(duì)選項(xiàng)A：取c=1，則b=3，a=2，故a2=對(duì)選項(xiàng)B：設(shè)c=x，則b=3x，cosB=S=12×2xsinB=x1-cos對(duì)選項(xiàng)C：A=C時(shí)，a=c=2，b=23，cosB∈0,π，故B=2則12×2×2×sin對(duì)選項(xiàng)D：△ABC為銳角三角形，則b2<a2+且a2<b2+c2故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握余弦定理，從而得解.19．如圖，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=2,BC=6,AD=CD=4，下列說(shuō)法正確的是（

）A．四邊形ABCD的面積為8B．該外接圓的半徑為2C．BOD．過(guò)D作DF⊥BC交BC于F點(diǎn)，則DO【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，連接AC，在△ACD中，cosD=16+16-AC由于B+D=π，所以cosB+cosD=0，故所以cosD=-17，cos故S△ABCS△ADC故四邊形ABCD的面積為2437+對(duì)于B，設(shè)外接圓半徑為R，則2R=AC故該外接圓的直徑為4213，半徑為221對(duì)于C，連接BD，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥CD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，則由垂徑定理得：CG=12CD=2，由于A+C=即4+16-BD216+16+36-BD2且CE=BC?cosC=6×12=3，所以EF=3-2=1，即且EG與CD反向，故BO?CD=-對(duì)于D，由C選項(xiàng)可知：C=60°，故DF=CD?因?yàn)锳