第05講 4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（原卷版）

第05講4.3.2等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及求取思路，熟練掌握等比數(shù)列的五個(gè)量之間的關(guān)系并能由三求二，能用通項(xiàng)與和求通項(xiàng)。②會(huì)利用等比數(shù)列性質(zhì)簡化求和運(yùn)算，會(huì)利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征求最值。③能處理與等比數(shù)列相關(guān)的綜合問題。能掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的相關(guān)計(jì)算公式，能熟練處理與等比數(shù)列的相關(guān)量之間的關(guān)系，用函數(shù)的思想解決等比數(shù)列的相關(guān)問題，會(huì)利用等比數(shù)列的性質(zhì)靈活解決與之相關(guān)的問題知識(shí)點(diǎn)01：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式若等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,則它的前項(xiàng)和【即學(xué)即練1】（2023春·海南儋州·高二校考期中）在等比數(shù)列{an}中，(1)已知，求前4項(xiàng)和；(2)已知公比，前5項(xiàng)和，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)公比為，由，得，所以，所以；（2）由，得，所以.知識(shí)點(diǎn)02:等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,關(guān)于的性質(zhì)常考的有以下四類:(1)數(shù)列，，，,…組成公比為（）的等比數(shù)列(2)當(dāng)是偶數(shù)時(shí),;當(dāng)是奇數(shù)時(shí),(3)【即學(xué)即練2】（2023秋·山東棗莊·高二棗莊八中?？计谀┮阎缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由于是等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，其中，所以，所以.故選：A知識(shí)點(diǎn)03：錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和的方法叫做錯(cuò)位相減法,一般適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積所構(gòu)成的數(shù)列的前項(xiàng)和.題型01等比數(shù)列前項(xiàng)和的基本量計(jì)算【典例1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，．【典例2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為．(1)如果，，求；(2)如果，，求q；(3)如果，，求．【變式1】（2023春·廣東深圳·高二深圳第三高中校考期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求.【變式2】（2023·全國·高二課堂例題）已知數(shù)列是等比數(shù)列.(1)若，，求；(2)若，，，求；(3)若，，，求n.題型02等比數(shù)列前項(xiàng)和的片段和性質(zhì)【典例1】（2023秋·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．8 B．9 C．16 D．17【典例2】（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．【變式1】（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．20 B．30 C．35 D．40【變式2】（2023春·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，則（

）A．13 B．16 C．9 D．12題型03等比數(shù)列奇、偶項(xiàng)和的性質(zhì)【典例1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（）A． B．C． D．【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為，則的值為．【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，且公比，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為．【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)之和與所有偶數(shù)項(xiàng)之和的比為（

）A． B．2 C． D．【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，奇數(shù)項(xiàng)之和為21，偶數(shù)項(xiàng)之和為10，則這個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【變式3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知等比數(shù)列中，，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式4】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，求的值.題型04分組求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和【典例1】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足:.(1)證明:是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【典例2】（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù).【變式1】（2023秋·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且為等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求滿足的最大整數(shù).【變式2】（2023春·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？计谥校┮阎缺葦?shù)列中，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型05錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和【典例1】（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，.(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.【典例2】（2023秋·江蘇蘇州·高二星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式1】（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【變式2】（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，滿足：，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．題型06等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【典例1】（2023秋·湖南·高三雅禮中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，若成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則.【典例2】（2023秋·北京·高三北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，公差;等比數(shù)列中，，是和的等差中項(xiàng)，是和的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)記比較與的大小.【典例3】（2023秋·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列公差為2，且，，恰為等比數(shù)列的前三項(xiàng)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和．【變式1】（多選）（2023秋·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和.若與的等差中項(xiàng)為20，則（

）A． B．公比C． D．【變式2】（2023秋·廣東江門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【變式3】（2023秋·江西宜春·高三江西省豐城拖船中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．題型07等比數(shù)列求和在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用1．（2023·廣東揭陽·惠來縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”.其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人后天共走的里程數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列.類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列：1，1，3，27，729…是一階等比數(shù)列，則的值為（參考公式：）（

）A．60 B．120 C．240 D．4803．（2023春·安徽滁州·高二安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？计谀┠硶簲?shù)科考試中有這樣一道題：那年春，夫子游桃山，一路摘花飲酒而行，始切一斤桃花，飲一壺酒，復(fù)切一斤桃花，又飲一壺酒，后夫子惜酒故再切一斤桃花，只飲半壺酒，再切一斤桃花，飲半半壺酒，如是而行，終夫子切六斤桃花而醉臥桃山問：夫子切了六斤桃花一共飲了幾壺酒（

）A． B． C． D．4．（2023春·上海浦東新·高一上海師大附中?？计谀?）《孫子算經(jīng)》是我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作.在《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問題:“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”意思是一個(gè)整數(shù)除以三余二、除以五余三、除以七余二，求這個(gè)整數(shù).設(shè)這個(gè)整數(shù)為，當(dāng)時(shí)，試求符合條件的的個(gè)數(shù).（2）《九章算術(shù)》敘述了一個(gè)老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠“壯壯”日二尺，小鼠'果果'亦二尺.大鼠·壯壯'日自三分之二，小鼠‘果果'日自半.問:何日相逢?各穿幾何?”意思就是說，有一堵十尺厚的墻，兩只老鼠從兩邊向中間打洞，大老鼠“壯壯”第一天打二尺，小老鼠“果果”也是二尺.大老鼠“壯壯”每天的打洞進(jìn)度是前一天的倍，小老鼠“果果”每天的進(jìn)度是前一天的倍.問第300天結(jié)束時(shí)，兩只老鼠“壯壯”與“果果”是否能喜相逢?請(qǐng)說明理由.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·廣東湛江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)為公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B．2 C．或 D．或22．（2023春·北京·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列是遞增的等比數(shù)列,且,,則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．3．（2023春·北京·高二中關(guān)村中學(xué)?？计谥校┐笱軘?shù)列，來源于中國古代著作《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.其前項(xiàng)依次是、、、、、、、、、.其通項(xiàng)公式為如果把這個(gè)數(shù)列排成如下圖形狀，并記表示第m行中從左向右第n個(gè)數(shù)，則的值為（

）

A．1984 B．2048 C．5724 D．58324．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2023秋·四川雅安·高三?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．8 B．10 C．12 D．146．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．8 B．9 C．16 D．177．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．8．（2023春·河南鄭州·高二校聯(lián)考期中）數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023秋·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公比可能是（

）A． B． C． D．10．（2023秋·重慶南岸·高三重慶第二外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為；等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為，前項(xiàng)和為，下列說法正確的是（

）A．是等比數(shù)列，公比為B．是等差數(shù)列，公差為C．若，則，，成等差數(shù)列，公差是D．若，則，，成等比數(shù)列，公比是三、填空題11．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，則.12．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.四、解答題13．（2023秋·北京·高三北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，公差;等比數(shù)列中，，是和的等差中項(xiàng)，是和的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)記比較與的大小.14．（2023秋·北京·高三北京市廣渠門中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若分別是等比數(shù)列的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)，求使數(shù)列的前項(xiàng)和的最大正整數(shù)．B能力提升1．（2023秋·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為等比數(shù)列，的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若，則數(shù)列單調(diào)遞增B．若，則數(shù)列單調(diào)遞增C．若數(shù)列單調(diào)遞增，則D．若數(shù)列單調(diào)遞增，則2．（2023秋·山東·高三山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項(xiàng)組成新的數(shù)列，則（

）A．4048 B．2023 C．2022 D．40463．（2023秋·上海虹口·高二上外附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)n都有.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若（n為正整數(shù)），求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若（n為正整數(shù)），且不等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·江蘇蘇州·高二張家港市沙洲中學(xué)?？奸_學(xué)考試）“內(nèi)卷”作為高強(qiáng)度的競爭使人精疲力竭．?dāng)?shù)學(xué)中的螺旋線可以形象的展示“內(nèi)卷”這個(gè)詞，螺旋線這個(gè)名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如圖（1）所示．如圖（2）所示陰影部分也是一個(gè)美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形的邊長為4，取正方形各邊的四等分點(diǎn)，，，，作第2個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的四等分點(diǎn)，，，，作第3個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案．設(shè)正方形邊長為，后續(xù)各正方形邊長依次為，，…，，…；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，，…，，…．下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A．從正方形開始，連續(xù)3個(gè)正方形的面積之和為B．C．使得不等式成立的的最大值為4D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和2．（2023秋·天津紅橋·高三天津市瑞景中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.(3)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.(4)記的前項(xiàng)和為，求證：；3．（2023秋·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）教育儲(chǔ)蓄是指個(gè)人按國家有關(guān)規(guī)定在指定銀行開戶、存入規(guī)定數(shù)額資金、用于教育目的的專項(xiàng)儲(chǔ)蓄，是一種專