07第七章 立體幾何初步（原卷版）

第七章立體幾何初步1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖(1)畫法：常用斜二測(cè)畫法．(2)規(guī)則①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR35．正方體與球的切、接常用結(jié)論：正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R.(1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a.(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a.(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.6．長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).7．正四面體的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),4)a，內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，其半徑R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長(zhǎng))．8．與平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論(1)與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)1過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l(2)基本事實(shí)1的三個(gè)推論推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面確定平面的依據(jù)9.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a，b是異面直線a?α10.基本事實(shí)4和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．11．異面直線所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).12．直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b13.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β性質(zhì)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面α∥β，a?α?a∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b14．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,,l⊥b,,a∩b＝O,,a?α,,b?α))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b15.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).16．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB．(3)二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.17．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α考點(diǎn)一立體圖形的展開圖【例1】已知圓錐的底面半徑為eq\r(2)，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)歸納點(diǎn)撥多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．32.如圖，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為5，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為()A．10 B．11C．12 D．13考點(diǎn)二表面積與體積【例2】(1)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫．已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為(eq\r(7)≈2.65)()A．1.0×109m3 B．1.2×109m3C．1.4×109m3 D．1.6×109m3(2)如圖所示，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，則四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為__________．歸納點(diǎn)撥(1)空間幾何體表面積的求法①旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系．②多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(2)求空間幾何體的體積的常用方法①公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進(jìn)行求解．②割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體．③等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．(多選)一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是()A．圓柱的側(cè)面積為4πR2B．圓錐的側(cè)面積為2πR2C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D．球的體積是圓錐體積的兩倍2.在多面體ABC－DEF中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AD，BE，CF都與平面ABC垂直，且AD＝2，BE＝1，CF＝3，則多面體ABC－DEF的體積是()A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．4eq\r(3)考點(diǎn)三外接球問題【例3】(1)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A．π B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)(2)已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100π B．128πC．144π D．192π歸納點(diǎn)撥到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．底面為正三角形的直棱柱ABC－A′B′C′的6個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，且AB＝6，AA′＝12，則球O的半徑是________．2．已知三棱錐A－BCD中，△ABD與△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且二面角A－BD－C為直二面角，則三棱錐A－BCD的外接球的表面積為()A．eq\f(10π,3) B．5πC．6π D．eq\f(20π,3)考點(diǎn)四內(nèi)切球問題【例4】(1)已知正三棱錐的高為6，內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切)的表面積為16π，則其底面邊長(zhǎng)為()A．18 B．12C．6eq\r(3) D．4eq\r(3)(2)在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則該球半徑的最大值為________．歸納點(diǎn)撥“切”的問題處理規(guī)律(1)找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作過球心的截面來解決．(2)體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是__________．考點(diǎn)五空間兩直線位置關(guān)系的判斷【例5】(1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交(2)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線歸納點(diǎn)撥空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定．異面直線的判定可采用直接法或反證法；平行直線的判定可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、基本事實(shí)4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；垂直關(guān)系的判定往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關(guān)系是()A．相交但不垂直B．相交且垂直C．異面D．平行2．(多選)四棱錐P－ABCD的所有棱長(zhǎng)都相等，M，N分別為PA，CD的中點(diǎn)，下列說法正確的是()A．MN與PD是異面直線 B．MN∥平面PBCC．MN∥AC D．MN⊥PB考點(diǎn)六異面直線所成的角【例6】在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(\r(5),6)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(2),2)求異面直線所成的角的方法和步驟(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．(2)求異面直線所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求”．其中空間選點(diǎn)任意，但要靈活，經(jīng)常選擇“端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進(jìn)行平移，作出異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問題，進(jìn)而求解．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．已知四棱錐P—ABCD的底面邊長(zhǎng)都為2，PA＝PC＝2eq\r(3)，PB＝PD，且∠DAB＝60°，M是PC的中點(diǎn)，則異面直線MB與AP所成的角為________．2.空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，則EF與AB所成角的大小為__________．考點(diǎn)七直線與平面平行的判定與性質(zhì)【例7】如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn)．(1)求證：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．歸納點(diǎn)撥(1)利用線面平行的判定定理證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線．(2)利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造過該直線與所證平面平行的平面，這種方法往往借助于比例線段或平行四邊形．(3)在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時(shí)才有直線與交線平行．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．對(duì)于空間中的兩條直線m，n和一個(gè)平面α，下列命題中真命題的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，n?α，則m∥nC．若m∥α，n⊥α，則m∥nD．若m⊥α，n⊥α，則m∥n2.如圖，在四棱錐E－ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，點(diǎn)F為棱DE的中點(diǎn)．證明：AF∥平面BCE.考點(diǎn)八平面與平面平行的判定與性質(zhì)【例8】如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[思路引導(dǎo)](1)由G、H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)→GH∥B1C1→GH∥BC→得結(jié)論．(2)eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(EF∥BC→EF∥面BCHG,A1E∥BG→A1E∥面BCHG))→面EFA1∥面BCHG.歸納點(diǎn)撥(1)判定面面平行的主要方法①利用面面平行的判定定理．②線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行)．(2)面面平行條件的應(yīng)用①兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行．②兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則α∥β的一個(gè)充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α2．如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.考點(diǎn)九平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【例9】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對(duì)角線BD，CD1上的點(diǎn)，且eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3).(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的點(diǎn)，eq\f(AR,AB)的值為多少時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請(qǐng)給出證明．歸納點(diǎn)撥證明平行關(guān)系的常用方法熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關(guān)鍵．面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．如圖所示，平面α∥平面β，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)C∈α，點(diǎn)B∈β，點(diǎn)D∈β，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD．(1)求證：EF∥平面β；(2)若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長(zhǎng)．考點(diǎn)十證明線面垂直【例10】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，PD＝AD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)且DF＝eq\f(1,2)AB，PH為△PAD中AD邊上的高．求證：(1)PH⊥平面ABCD；(2)EF⊥平面PAB．歸納點(diǎn)撥證明直線和平面垂直的常用方法(1)判定定理．(2)直線垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)．(3)面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)．(4)面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α)．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，以下說法正確的是()A．若l⊥m，m∥α，則l⊥αB．若l∥β，α⊥β，則l⊥αC．若l⊥m，m⊥β，α⊥β，則l⊥αD．若l⊥β，m⊥β，m⊥α，則l⊥α考點(diǎn)十一證明線線垂直【例11】如圖，已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面ABCD，再過A作AE⊥SB交SB于點(diǎn)E，過E作EF⊥SC交SC于點(diǎn)F.(1)求證：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于點(diǎn)G，求證：AG⊥SD．歸納點(diǎn)撥證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系．(2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)．(3)利用勾股定理的逆定理．(4)利用直線與平面垂直的性質(zhì)．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.考點(diǎn)十二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【例12】如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA．(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，求三棱錐Q－ABP的體積．歸納點(diǎn)撥(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．(2)已知平面垂直時(shí)，解題一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，將問題轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M是PD的中點(diǎn)．(1)證明：AM⊥平面PCD；(2)若AB＝2，求點(diǎn)C到平面PAB的距離．一、選擇題1．如圖所示的扇形是某個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，已知扇形所在圓的半徑R＝eq\r(5)，扇形弧長(zhǎng)l＝4π，則該圓錐的表面積為()A．2πB．(4＋2eq\r(5))πC．(3＋eq\r(5))πD．8π＋eq\r(5)2．已知某圓柱的軸截面是正方形，且該圓柱的側(cè)面積是4π，則該圓柱的體積是()A．2π B．4πC．8π D．12π3．與棱長(zhǎng)為eq\r(2)的正方體所有棱都相切的球的體積為()A．eq\f(2π,3) B．eq\f(3π,2)C．eq\f(4π,3) D．eq\f(3π,4)4．已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，則三棱錐O－ABC的體積為()A．eq\f(\r(2),12) B．eq\f(\r(3),12)C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(3),4)5．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線6.如圖，E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1D1與AA1的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是()A．直線AC與BF是相交直線B．直線C1E與AC互相平行C．直線C1E與BF是異面直線D．直線DB與AC互相垂直7．已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線l，m，n.“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件8．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)9．已知α，β，γ是三個(gè)不同的平面，且α∩γ＝m，β∩γ＝n，則“m∥n”是“α∥β”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件10．設(shè)m，n表示不同直線，α，β表示不同平面，則下列結(jié)論中正確的是()A．若m∥α，m∥n，則n∥αB．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，則n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，則n∥β11．過三棱柱ABC－A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有()A．4條B．6條C．8條D．12條12．如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線段DB，DD1上，且eq\f(DE,EB)＝eq\f(DF,FD1)