（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 解三角形 第31課 余弦定理與解三角形 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

第31課余弦定理與解三角形(本課時(shí)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第頁(yè))自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修5P16練習(xí)1改編)在△ABC中，若a∶b∶c=2∶3∶4，則cosC=.【答案】-【解析】直接利用余弦定理，可得cosC=-.2.(必修5P15練習(xí)1改編)在△ABC中，若a=2，b=2，c=2，則角A=.【答案】45°【解析】由余弦定理，得cosA=，所以角A=45°.3.(必修5P17練習(xí)6改編)在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，那么角A=.【答案】60°【解析】由(a+b+c)(b+c-a)=3bc，得b2+c2-a2=bc，所以cosA==.因?yàn)?°<A<180°，所以A=60°.4.(必修5P17練習(xí)5改編)在△ABC中，已知c=2acosB，那么△ABC的形狀為三角形.【答案】等腰【解析】由余弦定理得c=2acosB=2a·，化簡(jiǎn)得a=b，所以△ABC為等腰三角形.5.(必修5P14例1改編)在△ABC中，若a=4，b=5，c=6，則△ABC的面積為.【答案】【解析】由余弦定理得cosA=，則sinA=，S△ABC=bc·sinA=×5×6×=.1.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.2.余弦定理的變式：cosA=，cosB=，cosC=.3.利用余弦定理，我們可以解決以下兩類解三角形的問(wèn)題：(1)已知三邊，求三個(gè)角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破結(jié)合余弦定理判斷三角形的形狀例1若△ABC滿足a(bcosB-ccosC)=(b2-c2)cosA，試判斷它的形狀.【思維引導(dǎo)】已知條件等式中既有邊又有角，因此考慮將邊與角的混合關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含有邊或者只含有角的關(guān)系，再作判斷.本題向邊轉(zhuǎn)化較容易.【解答】因?yàn)閍(bcosB-ccosC)=(b2-c2)cosA，所以ab·-ac·=(b2-c2)，去分母化簡(jiǎn)，得a2b2-b4-a2c2+c4=0，即(b2-c2)(a2-b2-c2)=0a2=b2+c2或b=c.所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.【精要點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的運(yùn)用能力.根據(jù)已知的邊角關(guān)系，判斷三角形的形狀是解三角形中的典型題型，通常利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含有邊或只含有角的關(guān)系，再求解.變式在△ABC中，已知acosA+bcosB=ccosC，試判斷△ABC的形狀.【解答】由acosA+bcosB=ccosC，得a·+b·=c·，化簡(jiǎn)得c4=(a2-b2)2，即b2+c2=a2或a2+c2=b2，所以△ABC為直角三角形.結(jié)合余弦定理解三角形例2(2015·宿遷一模)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，B=.(1)若a=2，b=2，求c的值；(2)若tanA=2，求tanC的值.【思維引導(dǎo)】(1)有關(guān)三邊一角問(wèn)題，首先考慮到余弦定理，求出邊c；(2)利用兩角和的正切公式求tanC.【解答】(1)由余弦定理，得b2=c2+a2-2c·acosB.因?yàn)锽=，a=2，b=2，所以12=c2+4-2c，即c2-2c-8=0.解得c=4或c=-2(舍去).所以c=4.(2)因?yàn)锳+B+C=π，tanA=2，tanB=，所以tanC=-tan(A+B)=-=-=.變式在△ABC中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a>c.若·=2，cosB=，b=3.(1)求a和c的值；(2)求cos(B-C)的值.【解答】(1)由·=2，得c·acosB=2.又因?yàn)閏osB=，所以ac=6.由余弦定理，得a2+c2=b2+2accosB，又b=3，所以a2+c2=9+2×2=13.聯(lián)立解得a=2，c=3或a=3，c=2.因?yàn)閍>c，所以a=3，c=2.(2)在△ABC中，sinB===，由正弦定理，得sinC=sinB=×=.因?yàn)閍=b>c，所以C為銳角，所以cosC===.所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=.結(jié)合正、余弦定理解三角形的面積問(wèn)題例3(2015·陜西卷)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量m=(a，b)與n=(cosA，sinB)平行.(1)求角A的大?。?2)若a=，b=2，求△ABC的面積.【解答】(1)因?yàn)閙∥n，所以asinB-bcosA=0.由正弦定理，得sinAsinB-sinBcosA=0，又因?yàn)閟inB≠0，所以tanA=，由于0<A<π，所以A=.(2)方法一：由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，而a=，b=2，A=，得7=4+c2-2c，即c2-2c-3=0，因?yàn)閏>0，所以c=3.故△ABC的面積S=bcsinA=.方法二：由正弦定理，得=，從而sinB=.又由a>b知A>B，所以cosB=，故sinC=sin(A+B)=sin=sinBcos+cosBsin=，故△ABC的面積S=absinC=.【精要點(diǎn)評(píng)】(1)本題考查解三角形和求三角形的面積，利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，繼而求出角A的大小.利用余弦定理求出c的值，代入到三角形面積公式中求解計(jì)算.(2)高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識(shí)綜合起來(lái)命題，其中關(guān)鍵是三角變換，而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式.變式(2014·安徽卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面積為，求cosA和a的值.【解答】由三角形面積公式，得S△ABC=bcsinA=sinA=，所以sinA=.因?yàn)閟in2A+cos2A=1，所以cosA=±=±.當(dāng)cosA=時(shí)，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×1×3×=8，所以a=2.②當(dāng)cosA=-時(shí)，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×1×3×=12，所以a=2.1.(2014·福建卷)在△ABC中，若A=60°，AC=2，BC=，則AB=.【答案】1【解析】由余弦定理得cosA=，即=，解得AB=1.2.(2014·蘇北四市期末)在△ABC中，已知AB=3，A=120°，且△ABC的面積為，那么BC邊的長(zhǎng)為.【答案】7【解析】由題意得S△ABC=×AB×AC×sinA=×AC=，所以AC=5.由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos120°=9+25-2×3×5×=49，解得BC=7.3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知b-c=a，2sinB=3sinC，則cosA=.【答案】-【解析】因?yàn)?sinB=3sinC，所以2b=3c.又因?yàn)閎-c=，所以a=2c，b=c，所以cosA===-.4.(2015·廣東卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a=2，c=2，cosA=，且b<c，則b=.【答案】2【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosΑ，所以22=b2+(2)2-2×b×2×，即b2-6b+8=0，解得b=2或b=4，因?yàn)閎<c，所以b=2.5.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a+b+c=8.(1)若a=2，b=，求cosC的值；(2)若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面積S=sinC，求a和b的值.【解答】(1)由題意可知c=8-(a+b)=.由余弦定理得cosC===-.(2)由sinAcos2+sinBcos2=2sinC，可得sinA·+sinB·=2sinC，化簡(jiǎn)，得sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC.因?yàn)閟inAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC，所以sinA+sinB=3sinC.由正弦定理可知a+b=3c.又a+b+c=8，所以a+b=6.由于S=absinC=sinC，所以ab=9，聯(lián)立解得a=3，b=3.【融會(huì)貫通】融會(huì)貫通能力提升已知△ABC的周長(zhǎng)為4(+1)，且sinB+sinC=sinA.(1)求邊長(zhǎng)a的值；(2)若S△ABC=3sinA，求角A的余弦值.【思維引導(dǎo)】【規(guī)范答題】(1)根據(jù)正弦定理可將sinB+sinC=sinA化為b+c=a…………3分聯(lián)立方程組解得a=4…………………6分所以邊長(zhǎng)a=4…………………7分(2)因?yàn)镾△ABC=3sinA，所以bcsinA=3sinA，則bc=6…………10分又由(1)可知b+c=4，所以cosA===………13分所以角A的余弦值為……………14分趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測(cè)與評(píng)估》中的練習(xí)第61~62頁(yè).【檢測(cè)與評(píng)估】第31課余弦定理與解三角形一、填空題1.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a=2，B=，c=2，則b=.

2.在△ABC中，若a2-c2+b2=ab，則角C的大小為.3.已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，則b=.4.(2014·江西卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若c2=(a-b)2+6，C=，則△ABC的面積為.5.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，若lg(a+c)+lg(a-c)=lgb-lg，則角A=.6.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若(a2+c2-b2)tanB=ac，則角B的大小為.7.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a2+b2=2c2，則cosC的最小值為.8.已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，那么△ABC的面積為.二、解答題9.(2015·天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為3，b-c=2，cosA=-.(1)求a和sinC的值；(2)求cos的值.10.(2015·浙江卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知tan=2.(1)求的值；(2)若B=，a=3，求△ABC的面積.11.在△ABC中，a2+c2=2b2，其中a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊.(1)求證：B≤；(2)若B=，且A為鈍角，求角A的大小.三、選做題(不要求解題過(guò)程，直接給出最終結(jié)果)12.有一解三角形的題目因紙張破損有一個(gè)條件不清，具體如下：在△ABC中，已知a=，2cos2=(-1)cosB，c=，求角A.(答案提示：A=60°，請(qǐng)將條件補(bǔ)充完整)13.已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a=2，且(2+b)·(sinA-sinB)=(c-b)sinC，則△ABC面積的最大值為.【檢測(cè)與評(píng)估答案】第31課余弦定理與解三角形1.2【解析】直接用余弦定理得b=2.2.30°【解析】由余弦定理可得cosC===，所以C=30°.3.54.【解析】由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，再根據(jù)題意得-2ab+6=-ab，即ab=6，因此△ABC的面積為absinC=3×=.5.120°【解析】由題意得lg[(a+c)(a-c)]=lg[b(b+c)]，所以(a+c)(a-c)=b(b+c).所以b2+c2-a2=-bc，所以cosA==-，所以A=120°.6.或【解析】由余弦定理，得=cosB，結(jié)合已知等式得cosB·tanB=，所以sinB=，所以B=或.7.【解析】cosC=≥=1-=.8.15【解析】由題意可設(shè)三邊長(zhǎng)分別為a-4，a，a+4，則由余弦定理得(a+4)2=a2+(a-4)2-2a(a-4)cos120°，解得a=10，則S△ABC=a(a-4)sin120°=15.9.(1)在△ABC中，由cosA=-，得sinA=，由bcsinA=3，得bc=24.又由b-c=2，解得b=6，c=4.由a2=b2+c2-2bccosA，可得a=8.再由=，得sinC=.(2)cos=cos2Acos-sin2Asin=(2cos2A-1)-sinAcosA=.10.(1)由tan=2，得tanA=，所以===.(2)由tanA=，可得sinA=，cosA=.又a=3，B=，由正弦定理知b=3.又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=，所以S△ABC=absinC=×3×3×=9.11.(1)由余弦定理得cosB==.因?yàn)閍2+c2≥2ac，所以cosB≥.又由0<B<π，得B≤.(2)由正弦定理得sin2A+sin2C=2sin2B.因?yàn)锽=，故2sin2B=1，于是sin2A=cos2C.因?yàn)锳為鈍角，所以sinA=cosC