浙江省諸暨市2022-2023學(xué)年高三年級(jí)上冊1月期末數(shù)學(xué)試題

諸暨市2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期末考試試題

局二數(shù)學(xué)

注意：

1.本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2.請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=3—i,則z-5=()

A.-3B.0C.4D.5

2.已知集合。,集合A。。，且gA={l,4},則。=()

A.{1}B.{2}C.{±2}D.{1,±2}

3.邊長為2的正△ABC中，G為重心，P為線段8c上一動(dòng)點(diǎn)，則AG-AP=()

A.1B.2C.(BG-BA).(BA-BP)D.|(AB+AC)-AP

4.2022年，考古學(xué)家對某一古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料(草裹泥)上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年

代學(xué)檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的57.4%.若碳14的初始量為匕衰減率為p(0<p<l),經(jīng)

過尤年后，殘留量為y滿足函數(shù)為丁=左(1-°尸，已知碳14的半衰期為5730,則可估計(jì)該建筑大約是那一年

建成.(參考數(shù)據(jù)1g0.574a—0.241,1g2a0.301)()

A.公元前1217年B.公元前1423年C.公元前2562年D.公元前2913年

22

5.已知雙曲線C:?-4=1,月,8分別為左、右焦點(diǎn)，尸為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，若/公尸耳的平分線與x

軸交于點(diǎn)M(l,0),貝力。。|為()

A.A/19B.A/31C.4A/2D.6

都有了(X)>；，則當(dāng)。取到最大值時(shí)，/(X)的

6.已知函數(shù)/(%)=sin,(?！?)對任意xe

7.已知a=sin0.1,6=lnl.l,c=-1.005,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.ob>aD.c>a>b

8.數(shù)字1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的的六位數(shù)，A表示事件“1和2相鄰”，2表示事件“偶數(shù)不相

鄰”，C表示事件“任何連續(xù)兩個(gè)位置奇偶都不相同”，D表示事件“奇數(shù)按從小到大的順序排列”.則（）

A.事件A與事件8相互獨(dú)立B.事件A與事件C相互獨(dú)立

C.事件A與事件。相互獨(dú)立D.事件B與事件C相互獨(dú)立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求。全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.“直線/:y=Ax+b和圓O:x2+y2=2有公共點(diǎn)”的一個(gè)充分不必要要條件是（）

A.b=1B.k=lC.b2-k2<1D.b2-2k2<2

10.已知函數(shù)/（x）=（l+x）"+（l+x）",其中x的系數(shù)為8,則/的系數(shù)可能為（）

A.12B.16C.24D.28

11.已知拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)為人尸是拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，A,8是拋物線C上兩個(gè)不同的

動(dòng)點(diǎn)，（）

A.若直線AB過點(diǎn)F,則面積最小值為4B.若直線4B過點(diǎn)F,則PA-PBN0

C.若直線A8過點(diǎn)P,貝U|AF|+|8E|<2|PE|D.若直線AB過點(diǎn)P,貝U|A用+|3F|>2|PF|

12.定義域?yàn)镽的函數(shù)/（X）的導(dǎo)數(shù)為r（x）,若/⑴=1,且o<ra）</（%）,則（）

d

a-niHb/⑵<2c-嗎,小卡

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)｛4｝是首項(xiàng)為1的數(shù)列，且4a.=2",則劭）=.

,（八兀、V2cosa+1e.

14.已知?！?,一,tana--產(chǎn)-----，貝!Jsine=__________.

I2）V3-V2sincif

15.如圖正四棱臺(tái)ABC。-上下底面分別是邊長為4,6的正方形，若[A4j￡[G,36],則該棱

臺(tái)外接球表面積的取值范圍是.

16.已知函數(shù)/（X）=-...,若Xi./eR,實(shí)數(shù)m滿足/—mt則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

X+1

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（本題10分）已知S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)的和，且q=l,a“+i=6二+￡.

（I）求數(shù)列｛S,J的通項(xiàng)公式；

（H）若％=（-1）&,求數(shù)列也｝的前2n項(xiàng)和Tln.

18.（本題12分）記銳角ZkABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,AA3C外接圓的半徑為R,已知

acosB—〃cosA=R.

TT

（I）若3=2,求A的值；

4

R-C

（II）求——的取值范圍.

b

19.（本題12分）如圖，四棱錐尸—ABCD中，底面ABC。為平行四邊形，//_1_面42cAB±PC,

BC=AP=?AB=2.

（I）求點(diǎn)A到平面P8C的距離；

（II）求二面角C—P￡>—A的正弦值.

20.（本題12分）某課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取了高年級(jí)的100名學(xué)生

某次考試的成績（滿分100分），若按單科85分以上（含85分），則該課成績?yōu)閮?yōu)秀，根據(jù)調(diào)查成績得出下面

的2x2列聯(lián)表（單位：人）.

數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀

物理成績優(yōu)秀1614

物理成績不優(yōu)秀2050

（I）根據(jù)調(diào)查所得數(shù)據(jù)，該課題組至少有多大把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間有關(guān)系？

（II）①隨機(jī)從這100名學(xué)生中抽取1名學(xué)生，在已知該學(xué)生“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀”的情況下，求該學(xué)生物理成績

不優(yōu)秀的概率，

②隨機(jī)從這100名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，記2人中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)為X,物理成績優(yōu)秀的人數(shù)為y,設(shè)

X=x-y,求X=1的概率.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.050.0100.001

k3.8416.63510.828

21.(本題12分)在平面直角坐標(biāo)系九Oy中，已知點(diǎn)A(-2,0),8(2,0),直線PA與直線PB的斜率之積為-L

4

記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(I)求曲線C的方程；

(111)若直線/：丁=米+m與曲線。交于加,雙兩點(diǎn),直線胚4,凡2與〉軸分別交于E,尸兩點(diǎn)，若￡0=30戶，

求證：直線/過定點(diǎn).

22.(本題12分)已知函數(shù)/(x)=ate3-lnx,a>0.

2

(I)若a=l,記/(x)的最小值為機(jī)，求證：m>—+In2.

(II)方程=有兩個(gè)不同的實(shí)根石,々，且玉+々=2,求證：X]%<22。

2023年1月浙江諸暨市數(shù)學(xué)試卷解析

選擇題部分(共60分)

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.解析：因?yàn)閨z|=H=羋=6，則zN=|z『=5,故選D.

1+zJ2

2.解析：因?yàn)?。+1=4=>〃2=1,不滿足，則/=4=>〃=±2=>3〃+1=7,-5,滿足，故選C

33

3.解析：投影可知AG-AP=|AG|X」AG|=」AG|2

22

4.解析：因?yàn)?7.4%=(1-p)*,50%=(1—p)573。nx土4588，則

57301g0.50.301

4588—2022=2566,故選C.

5.解析：光學(xué)性質(zhì)為切線’方程為？-亳=1,又因?yàn)檫^“(1,0),則$lnxo=4ny：=15,

則|。尸|=61,故選B.

卜…（c3兀、兀713兀g71々、13?？谪?5兀

8J33832836

4447i，兀、

:.G）<—,當(dāng)。二一時(shí)對稱中心滿足一x+—=E,左EZ,所以一個(gè)對稱中心為一,0,故選C.

333312）

xx

7.解析：由泰勒定理可知：ci—sin0.1=%-----1-----1-=0.1+鱉+^2221+

3!5!6120

xxX0001

Z7=lnl.l=ln(l+0.1)=%-—+--——+=0.1—0.005+2竺乙＜0.1

2343

1八八＜犬九八八:1八八八八＜八八＜

c—co.i—1.005—1+?xH?-----?1-----F—1.005—1+0.11+0.005H--0--.0--0--1-1--0--.-0--0--0--1F0?-1.005

2!3!624

八10.0010.0001Q口也7

=0.1H---------1-----------1-?■顯然c＞a＞b,故選D.

624

253233

8解析：p⑷AA1午4A=16年)=7A丁41

io

4

＜=J_=1PO).以(￡一+614)+或以以否」7

…華2=P(A)P(。)，P(AC)=G2看一,C；2/方=言一P(A)P(C),故選C.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求。全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.解析：由“直線/:y=Ax+b和圓O:d+y2=2有公共點(diǎn)”可得圓心到直線得距離

d=^—<42^b2<2k2+2,所以當(dāng)6=1時(shí)顯然成立，A正確;

VF+1

當(dāng)/—左24I時(shí)也可得/4242+2,c正確；

故選AC.

10.解析：x的系數(shù)為8,則。+〃=8,

則卡的系數(shù)為第+C；=1(a2-a+Zj2-Zj)=1(iz+Z?)(?+Z7-l)-aZ7=28-aZ?

仍可能為7,12,15,16,則28—H?可取12,16,

故選AB.

11.解析：若直線A8過點(diǎn)R設(shè)45：%=町+1,帶入拋物線方程，有y2=4my+4,

設(shè)人（%，%），3（%2，%），則有％+%=4加,％%=-4,5△皿=|必_%|之4,A正確；

2

PA-PB=%々+%+x2+1+X%=4+m—4>0，B正確；

若直線AB過點(diǎn)尸，設(shè)=—1,代入拋物線方程，有y2=4my—4,

設(shè)A（%,%）,3（%2,%），則有%+%=4加,%%=4,

2

貝!J|AF\+\BF|=x；+l+x2+\=m^yx+）+2=4ni+2>2|PF\，故選ABD.

12.解析：設(shè)g（x）=〃?，則g'（x）=［）（x）：/（r）］<0,所以g（x）=j”在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，于

exe*e

是：｛&〉&=，，于是/（▲［〉、〉工,所以A正確；

!ee［22

"2）<'（）=—，于是/（2）<e,所以B錯(cuò)誤；

eee

乂』〉人」，于是所以C正確；

ee4一

由于而/（2）<e,D無法判斷,不一定正確.

故答案為：AC.

非選擇題部分（共90分）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.解析："'"14+2=2—=2,得吐=2,又01a2=2,得%=2,所以％0=氏"=32,答案為：32.

aa

nn+l2"an

ellsinaJ2cosi+l八”?口.（兀、J2cL/八兀）

14.解析：tani=---=—7=——7=-----,化間得sm?！?——>0,又0,一，

COS6ZV3-v2sin6ZV672\2）

所以a—烏是第一象限角，得cos（。—二］=也，

66）2

..._.叫兀Le百V21_癡+后族且4V6+V2

qxsincc=sina—H———x1x-=------------,答案為：.

6)6\222244

15.解析：由題意四棱臺(tái)的上下底面外接圓半徑分別為20,30,高為/2=J|AA|「_2w[l,5]；設(shè)四棱臺(tái)

的外接球半徑為R,則日土JR2_18『+(2揚(yáng)2=R』2代—18=1,Me[0,9]

所以，4爐6[72,153],所以棱臺(tái)外接球表面積Se[72兀,153兀].

故答案為：[72兀,153兀].

4x—a16.

16.解析：設(shè)/=4x—a,則y=/(x)=^—=---------5~-(re7?).

x+1t+2。/+。+16

當(dāng)，=0時(shí)，y=0；

J

當(dāng).WO時(shí)，y=2]A，/(%)max=/?>°，/(%)min=/2

(_1_。+16+2aa+，a+16a-，Q+16

t

QQ

所以一<f(x)<一，

〃一，/+16〃+，/+16

由/(七)"(々)=—加n—42/OOmax./OOmin=-4,即療<4n—2WmW2.

故答案為：[—2,2].

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.解析：(1)因?yàn)閍“M=S〃M—S“，所以S.M—S〃=￡二+四，解得￡二一四=1，所以｛點(diǎn)｝是

公差為1的等差數(shù)列，則瘋=廓+九一1=〃，所以S,=〃2.

2

(2)由(1)可得：Sn=n,所以4=底+何:=〃+〃—1=2〃一1,

所以a=(-1)"(2H-1),所以b2n_l+b2n=2,

則12“=3+&)+(4+%)++(&,1+&“)=27?.

dbC

18.解析：(1)根據(jù)正弦定理---=-----=-----=2R,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,因?yàn)?/p>

sinAsinBsinC

acosB—bcosA=R,所以2RsinAcosB—2HsinjBcosA=H,所以sin(A—5)=g,因?yàn)锳Be[。,]),

7T7TSjT

所以A—B=—,B=—,解得4=一

6412

7T5TE

(2)因?yàn)锳=—+B,所以。=兀一(A+B)=——2B,

66

0C<A4<—兀

2

因?yàn)椋肌＃?苦所以Be則

o<V

l-2sin——IB廠

R—c_R—2RsinC_l—2sinC_(6J_1-cos23-sin23

b2RsinB2sinB2sin52sinB

2

2sinB-2^sinBcosB=sinB_^cosB=2s.nr

2sinBI3)

19.解析：(1)連接AC,上4_1面48。；.24_1AB,PAJ_AC

AB±PA,AB±PC,QAu面B4C,尸Cu面B4C,PAPC=Pr.AB，面用C..AB，AC,以A

為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，A尸為z軸建立坐標(biāo)系

A(0,0,0),尸(0,0,2),B(a,0,0),C(0,A/2,0),。(—&,a,0)

設(shè)面PBC的法向量為〃=（1,及）,z0）

n-BC^OA/2X0+A/2°,令4=],則/%=0,九=(夜，&J)

即<

n-BP-0—A/2XQ+2Z0—0

me口us,\AP-n\22石

4到面PBC距禺d=J---------=-=------

\n\后5

(2)設(shè)面尸CD的法向量為々=(%,%*1)

Y\-CP=0即-yflyx+2^=0

二.玉=0,令Z]=l,則％=0,:,Y\=(0,A/2,1)

々,CD=0—A/2XJ=0

設(shè)面PAD的法向量為%=(x2,y2,z2)

n-AD=0—V2X+V2y=0八八,(—

<2即199Z2=0令％2=1，則%=8，「?%=(11，°)

n2-AP=0[2Z2=Q

ri-%y/26

12匐聞533

^6

二面角C—?D—A的正弦值為一

3

_______100(16-50-14-20)2

20.解析：(1)K?=亡5.59

(16+14)-(20+50)-(16+50)-(14+20)

3.841<K?<6.635至少有95%把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間有關(guān)系

(2)X=1有2種情況:

1、取出1個(gè)數(shù)學(xué)優(yōu)秀物理不優(yōu)秀的學(xué)生，1個(gè)數(shù)學(xué)物理都不優(yōu)秀的學(xué)生

2、取出1個(gè)數(shù)學(xué)物理都優(yōu)秀的學(xué)生，1個(gè)數(shù)學(xué)優(yōu)秀物理不優(yōu)秀的學(xué)生

…，、C^-C'C'-C*2032132

P(X=1)=2050+-20=—+——=—.

喘。金。99495495

21.解析：(1)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則!——=—+/=l(x^+2).

x+2x244

(2)解析1：

y=kx+m

設(shè)%),?/(乙,%)，由<22(左之22

x=>4+1)X+8^7nx+4m_4=0,

彳+y=1

8km4加之—4

n2+M-------——=——5----.

124^2+11241+1

(2、(-2\

MA:y=qMx+2)=>E0,^-,MB:y=3^(x-2)=>/0,二^

%+2I玉+2J%2一2<x2_2J

:.(g+m)(x2—2)=3(也+m)(毛+2)

/.2kXyX2+(2k+3m)+%2)+4(^—m)x2+8m=0

（左一加）14如〃一2+（4左2+1

=0,對任意x2都成立,

k=m＞故直線/過定點(diǎn)（—1,0）.

解析2：EO=3OF=>yE=-3yF=>=3kBN

設(shè)M4:x=)_2,NB:x=3)+2,A/(石,％),N(為2,%)，

x=ty-2

/\4/，2/_84f、

二“2+4),2_的=0=%=涔7=刊

由＜X221

—+V=1、產(chǎn)+47+4,

14,

x=3ty+2

'-18/+8-12P

2-12t

由Vx+2_]封9/+4)/+12。=0=%=0N

9/+4、t2+47+4,

%=黑=占''班方程為：y-4?4t(2產(chǎn)-8)

產(chǎn)+43/一4I/+4J

由（2產(chǎn)8）

Hn4?4t4t

即y=—弓—x-+/+4'J-3?-4(x+1)

-3/一4（3/一4）（產(chǎn)+4）

:.k=m,直線/恒過定點(diǎn)（一L。）.

22.解析：(1)f(%)=xex—Inx,(x>0),r(x)=(x+l)e'—>/"(九)=(x+2)e*H—y>0,

XX

.?./'(X)在(0,+8)上單調(diào)