球的表面積和體積學(xué)歷案 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

高一必修二學(xué)歷案主備人：學(xué)歷案編號(hào)：178.3.2第二課時(shí)球的表面積和體積自主學(xué)習(xí)【學(xué)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積公式及體積公式．(重點(diǎn))2.能運(yùn)用公式求圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積及體積，理解柱體、錐體、臺(tái)體的體積之間的關(guān)系．(難點(diǎn))3.會(huì)求組合體的表面積及體積．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))4.能解決與球有關(guān)的組合體的計(jì)算問題．(難點(diǎn))【自學(xué)評(píng)價(jià)】閱讀課本P116~P119，閱讀完課本后嘗試回答下列問題：幾何體表面積體積圓柱S表＝(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))V＝(r為底面半徑，h為高)圓錐S表＝(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))V＝(r為底面半徑，h為高)圓臺(tái)S表＝(r為下底面半徑，r′為上底面半徑，l為母線長(zhǎng))V＝(r′，r分別為上、下底面半徑，h為高)球S表＝(R為球的半徑)V＝(R為球的半徑)研習(xí)探究【研】學(xué)習(xí)任務(wù)一球的表面積和體積例1.如圖，某種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）例2．如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比.課堂練習(xí)：1.當(dāng)一個(gè)球的半徑滿足什么條件時(shí)，其體積和表面積的數(shù)值相等？2.(1)已知球的表面積為64π，求它的體積；(2)已知球的體積為eq\f(500,3)π，求它的表面積．學(xué)習(xí)任務(wù)二球的截面問題1.用與球心距離為1的平面去截球所得的截面面積為π，則球的表面積為()A.B.C.D.2.已知過球面上三點(diǎn)A，B，C的截面和球心的距離為球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，求球的表面積。學(xué)習(xí)任務(wù)三三角形的面積與球有關(guān)的切、接問題例3.將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為()A.eq\f(4π,3)B.eq\f(\r(2)π,3)C.eq\f(\r(3)π,2)D.eq\f(π,6)課本119頁(yè)練習(xí)：3.將一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，求可能制作的最大零件的體積.4.一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是80cm，60cm，55cm的水槽中裝有200000的水，現(xiàn)放入一個(gè)直徑為50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否會(huì)從水槽中溢出？5.一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24，則該球的體積為.6.甲球內(nèi)切于正方體的各面，乙球內(nèi)切于該正方體的各條棱，丙球外接于該正方體，則三球表面面積之比為()A.1:2:3B. C. D.例4.一個(gè)長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為________．變式：已知一個(gè)長(zhǎng)方體的三個(gè)面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積為________.例5.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．πa2B．eq\f(7,3)πa2C．eq\f(11,3)πa2D．5πa2例6.若棱長(zhǎng)為a的正四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上,求球的表面積．達(dá)標(biāo)練習(xí)【練】1.用與球心距離為2的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為()A.eq\f(20π,3)B.eq\f(20\r(5)π,3)C.20eq\r(5)πD.eq\f(100π,3)2.兩個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球，熔化成一個(gè)大球，這個(gè)大球的半徑是________.3.已知圓臺(tái)的上、下底面都是球O的截面，若圓臺(tái)的高為6，上、下底面的半徑分別為2，4，則球O的表面積為________.4.正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為2，其8個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則該球的表面積是多少？5.如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________.6.（選做）一個(gè)球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積.8.3.2第二課時(shí)球的表面積和體積參考答案自主學(xué)習(xí)【學(xué)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積公式及體積公式．(重點(diǎn))2.能運(yùn)用公式求圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積及體積，理解柱體、錐體、臺(tái)體的體積之間的關(guān)系．(難點(diǎn))3.會(huì)求組合體的表面積及體積．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))4.能解決與球有關(guān)的組合體的計(jì)算問題．(難點(diǎn))【自學(xué)評(píng)價(jià)】閱讀課本P116~P119，閱讀完課本后嘗試回答下列問題：幾何體表面積體積圓柱S表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))V＝πr2h(r為底面半徑，h為高)圓錐S表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))V＝eq\f(1,3)πr2h(r為底面半徑，h為高)圓臺(tái)S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r為下底面半徑，r′為上底面半徑，l為母線長(zhǎng))V＝eq\f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分別為上、下底面半徑，h為高)球S表＝4πR2(R為球的半徑)V＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)研習(xí)探究【研】學(xué)習(xí)任務(wù)一球的表面積和體積例1.如圖，某種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）解：一個(gè)浮標(biāo)的表面積是，所以給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆約需涂料.例2．如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比.解：設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.球的體積，圓柱的體積，.課堂練習(xí)：1.當(dāng)一個(gè)球的半徑滿足什么條件時(shí)，其體積和表面積的數(shù)值相等？解：設(shè)球的半徑為R時(shí)，其體積和表面積的數(shù)值相等.則，.2.(1)已知球的表面積為64π，求它的體積；(2)已知球的體積為eq\f(500,3)π，求它的表面積．解:(1)設(shè)球的半徑為r，則由已知得4πr2＝64π，r＝4.所以球的體積：V＝eq\f(4,3)×π×r3＝eq\f(256,3)π.(2)設(shè)球的半徑為R，由已知得eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π，所以R＝5，所以球的表面積為S＝4πR2＝4π×52＝100π.學(xué)習(xí)任務(wù)二球的截面問題1.用與球心距離為1的平面去截球所得的截面面積為π，則球的表面積為(C)A.B.C.D.2.已知過球面上三點(diǎn)A，B，C的截面和球心的距離為球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，求球的表面積。學(xué)習(xí)任務(wù)三三角形的面積與球有關(guān)的切、接問題例3.將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為(A)A.eq\f(4π,3)B.eq\f(\r(2)π,3)C.eq\f(\r(3)π,2)D.eq\f(π,6)解：可知該求內(nèi)切于正方體，所以2R=2，即R=1,課本119頁(yè)練習(xí)：3.將一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，求可能制作的最大零件的體積.解：由題意知，球內(nèi)切于正方體，，.所以球的體積，即可制作的最大零件的體積為.4.一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是80cm，60cm，55cm的水槽中裝有200000的水，現(xiàn)放入一個(gè)直徑為50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否會(huì)從水槽中溢出？解：球的體積，水中球的體積，長(zhǎng)方體的體積，.故水不會(huì)從水槽中溢出.5.一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24，則該球的體積為.6.甲球內(nèi)切于正方體的各面，乙球內(nèi)切于該正方體的各條棱，丙球外接于該正方體，則三球表面面積之比為(A)A.1:2:3B. C. D.例4.一個(gè)長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為________．解：可知，球的直徑等于正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即∴球的表面積為變式：已知一個(gè)長(zhǎng)方體的三個(gè)面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積為________.解：設(shè)長(zhǎng)方體從一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，則ab＝eq\r(2)，ac＝eq\r(3)，bc＝eq\r(6)，三式相乘得(abc)2＝6，故長(zhǎng)方體的體積V＝abc＝eq\r(6).例5.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．πa2B．eq\f(7,3)πa2C．eq\f(11,3)πa2D．5πa2解析：B如圖所示，設(shè)O1，O分別為上、下底面的中心，連接OO1，則球心O2為OO1的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于D點(diǎn)，連接AO2.∵AD＝eq\f(\r(3),2)a，AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(\r(3),3)a，OO2＝eq\f(a,2)，∴AOeq\o\al(2,2)＝eq\f(1,3)a2＋eq\f(1,4)a2＝eq\f(7,12)a2，故該球的表面積S球＝4π×eq\f(7,12)a2＝eq\f(7,3)πa2.例6.若棱長(zhǎng)為a的正四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上,求球的表面積．解：（法一）作出截面圖，如圖所示(法二)（補(bǔ)形法）把正四面體放在正方體中，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x，則a＝eq\r(2)x，由題意2R＝eq\r(3)x＝eq\r(3)×eq\f(\r(2)a,2)＝eq\f(\r(6),2)a，達(dá)標(biāo)練習(xí)【練】1.用與球心距離為2的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為()A.eq\f(20π,3)B.eq\f(20\r(5)π,3)C.20eq\r(5)πD.eq\f(100π,3)解:用一平面去截球所得截面的面積為π，所以截面圓的半徑為1.已知球心到該截面的距離為2，所以球的半徑為r＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以球的體積為：eq\f(4,3)π(eq\r(5))3＝eq\f(20\r(5)π,3).故選B.答案B2.兩個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球，熔化成一個(gè)大球，這個(gè)大球的半徑是________.解析設(shè)大球的半徑為R，則有eq\f(4,3)πR3＝2×eq\f(4,3)π×13，R3＝2，∴R＝eq\r(3,2).答案eq\r(3,2)3.已知圓臺(tái)的上、下底面都是球O的截面，若圓臺(tái)的高為6，上、下底面的半徑分別為2，4，則球O的表面積為________.解:設(shè)球的半徑為R，球心O到上底面的距離為x，則球心O到下底面的距離為|6－x|，結(jié)合勾股定理，建立等式22＋x2＝42＋|6－x|2，解得x＝4，所以R2＝x2＋22＝20，因而表面積S＝4πR2＝80π.答案80π4.正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為2，其8個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則該球的表面積是多少？解:易得球的半徑R＝eq\f(1,2)eq\r(12＋22＋12)＝eq\f(\r(6),2)，所以球的表面積是S＝4πR2＝6π.5.如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________.解:設(shè)球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)6.（選做）一個(gè)球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積.解:當(dāng)截面在球心的同側(cè)時(shí)，如圖(1)所示為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知AO1∥BO2，且O1，O2為兩截面圓的圓心，則OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.設(shè)球的半徑為Rcm，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm).同理，得O1A＝20(cm).設(shè)OO1＝xcm，則OO2＝(x＋9)cm.在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②聯(lián)立①②可得x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝25