統(tǒng)計量及其抽樣分布第六章 (統(tǒng)計學(xué)課程)

統(tǒng)計量及其抽樣分布第六章(統(tǒng)計學(xué)課程)第6章統(tǒng)計量及其抽樣分布PowerPoint統(tǒng)計學(xué)§6.1統(tǒng)計量§6.2關(guān)于分布的幾個概念§6.3由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個重要分布§6.4樣本均值的分布與中心極限定理§6.5樣本比例的抽樣分布§6.6兩個樣本平均值之差的分布§6.7關(guān)于樣本方差的分布第6章統(tǒng)計量及其抽樣分布學(xué)習(xí)目標(biāo)理解統(tǒng)計量與分布的幾個概念掌握t、卡方、F三大分布掌握單總體參數(shù)（均值/比例/方差）推斷時樣本統(tǒng)計量的分布掌握雙總體參數(shù)（均值差）推斷時樣本統(tǒng)計量的分布§6.1統(tǒng)計量6.1.1統(tǒng)計量的概念6.1.2常用統(tǒng)計量6.1.3次序統(tǒng)計量6.1.4充分統(tǒng)計量統(tǒng)計量的概念(1)定義6.1設(shè)是從總體X中抽取的容量為n的一個樣本，如果由此樣本構(gòu)造一個1.統(tǒng)計量的定義：函數(shù)，不依賴于任何未知為一個參數(shù)，則稱函數(shù)統(tǒng)計量(或樣本統(tǒng)計量)。代入T計算的數(shù)值稱為一個具體的統(tǒng)計量值。(2)當(dāng)獲得樣本的一組具體觀測值后，統(tǒng)計量概念的例題【例6.1】設(shè)解：一個樣本，判斷下列各量是否為統(tǒng)計量。是從某總體X中抽取的(1)(2)是統(tǒng)計量，(3)(4)不是統(tǒng)計量，因為(3)(4)依賴總體分布的未知參數(shù)。常用統(tǒng)計量常用的統(tǒng)計量：是樣本的均值，反映總體期望的信息是樣本方差，反映總體方差的信息。樣本標(biāo)準(zhǔn)差S也是常用的統(tǒng)計量。常用統(tǒng)計量是樣本變異系數(shù)，反映總體變異系數(shù)C它反映了隨機變量在以它的均值為單位時，取值的離散程度。此統(tǒng)計量取消了均值不同對不同總體的離散程度的影響，常用來刻畫均值不同時，不同總體的離散程度。在投資項目的風(fēng).險分析中、不同群體或行業(yè)的收入差距描述中有廣泛的應(yīng)用。的信息。其中總體變異系數(shù)定義為次序統(tǒng)計量定義6.2設(shè)是從總體X中抽取的它是樣本滿足如下條件的函數(shù)：容量為n的一個樣本，稱為第i個次序統(tǒng)計量，時，每當(dāng)樣本得到一組觀測值中，其由小到大的順序的觀測值，第k個值就作為次序統(tǒng)計量稱為次序統(tǒng)計量。而分別為最小和最大次序統(tǒng)計量。稱為樣本極差。充分統(tǒng)計量充分統(tǒng)計量是指統(tǒng)計量的加工過程中一點信息都不損失的統(tǒng)計量?！纠?.2】某電子元件廠欲了解其產(chǎn)品的不合格率p，質(zhì)檢員抽檢了100個電子元件，檢查結(jié)果是，除前3個是不合格品(記為)外，其他都是合格品(記為)。當(dāng)企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)問及抽檢結(jié)果時，質(zhì)檢員給出如下兩種回答：(1)抽檢的100個元件中有3個不合格(2)抽檢的100個元件中前3個不合格解：T1為充分統(tǒng)計量?！?.2關(guān)于分布的幾個概念6.2.1抽樣分布6.2.2漸近分布(略)6.2.3隨機模擬獲得的近似分布(略)抽樣分布1.統(tǒng)計量的分布叫抽樣分布。

2.某個樣本統(tǒng)計量的抽樣分布：從理論上說就是在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由每一個樣本算出的該統(tǒng)計量數(shù)值的概率分布。3.正態(tài)條件下，主要有分布、t分布、F分布?！?.3由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個重要分布6.3.1分布6.3.2t分布6.3.3F分布6.3.1分布

2.定義6.3設(shè)隨機變量相互獨立，，則它們的且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布平方和服從自由度為n的分布。分布由阿貝(Abbe)1863年首先提出，后來由1.自由度是統(tǒng)計學(xué)中常用的一個概念，可以解釋3.海爾墨特(Hermert)和卡·皮爾遜(K.Pearson)分別于1875年和1900年推導(dǎo)出來的。為獨立變量的個數(shù)。6.3.1分布

設(shè)4.，則令，則5.分布的概率密度函數(shù)曲線為n=1圖6-1分布的概率密度函數(shù)曲線n=4n=10n=206.3.1分布

(1)分布的變量值始終為正的；分布的性質(zhì)和特點：6.(2)分布的形狀取決于自由度n的大小，通常為不對稱分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對稱，(3)數(shù)學(xué)期望和方差分別為(4)可加性：若，且獨立，則當(dāng)時，分布的極限分布是正態(tài)分布；6.3.2

t分布

2.定義6.4設(shè)隨機變量分布，記為t(n)，其中n為自由度。獨立，則且其分布稱為t分布，t分布也稱學(xué)生氏分布，是高塞特(W.S.Gosset)于1.提出的。1908年在一篇以“Student”為筆名的論文中首次6.3.2

t分布

3.t分布的概率密度函數(shù)曲線圖6-2t分布的概率密度函數(shù)曲線N(0，1)t(13)0t(4)6.3.2

t分布

(1)以0為中心，左右對稱的單峰分布；t分布的性質(zhì)和特點：4.(2)t分布的數(shù)學(xué)期望為：方差為：，顯然比N(0，1)大；(3)t分布是一簇曲線，其形態(tài)變化與n（確切地說與自由度）大小有關(guān)。自由度越小，t分布曲線越低平；自由度越大，t分布曲線越接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（u分布）曲線，在自由度大于30的情況下，t分布的曲線就很接近正態(tài)分布了。6.3.3

F分布

則稱X服從第一自由度為m，第二自由度為n的有如下表達式：F分布是統(tǒng)計學(xué)家費希爾首先提出的。F分布1.顯著性檢驗中都有著重要的地位。有著廣泛的應(yīng)用，如在方差分析、回歸方程的分布，隨機變量X分別服從自由度為m和n的2.定義6.5設(shè)隨機變量相互獨立，且F分布，記為F(m，n)，簡記為6.3.3

F分布

3.F分布的概率密度函數(shù)曲線圖6-3F分布的概率密度函數(shù)曲線F(1，10)F(5，10)F(10，10)6.3.3

F分布

F分布的性質(zhì)和特點：5.方差：(1)設(shè)隨機變量X服從則數(shù)學(xué)期望：(2)F分布與t分布的關(guān)系若分布，則§6.4樣本均值的分布與中心極限定理6.4.1樣本均值的分布6.4.2中心極限定理6.4.1樣本均值的分布的隨機變量。1.設(shè)是從某一總體中抽出的隨機樣本，則為互相獨立且與總體有相同分布2.要想知道的分布，必須知道總體分布。由于正態(tài)分布是最常見的分布之一，所以主要介紹即在總體分布為正態(tài)分布時樣本均值的分布。3.在總體分布為正態(tài)分布時，有的抽樣分布仍為正態(tài)分布，即說明用樣本均值時，平均來說去估計總體均值沒有偏差；當(dāng)n越來越大時，的離散程度越來越小，即用越來越準(zhǔn)確。估計6.4.1樣本均值的分布4.實際應(yīng)用中，總體的分布并不總是正態(tài)分布或近似但由中心極限定理知道，不管總體的分布是什么，的分布總是近似正態(tài)分布，只要此時樣本均值總體的有限。正態(tài)分布，此時的分布將取決于總體分布的情況。5.無論對什么總體分布，設(shè)總體均值為總體方差為，總有所以n較大時，即6.4.1樣本均值的分布6.由圖形來觀察：總體分布抽樣分布當(dāng)樣本容量足夠大時(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布一個任意分布的總體6.4.2中心極限定理中心極限定理：設(shè)從均值為

，方差為

的一個任意總體中抽取樣本量為n的樣本，當(dāng)n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為、方差為正態(tài)分布6.4.2中心極限定理

抽樣分布趨于正態(tài)分布的過程6.4.2中心極限定理2.實際應(yīng)用中，由于總體的分布未知，我們常要求n≥30。中心極限定理：設(shè)從均值為

，方差為

的一個任意總體中抽取樣本量為n的樣本，當(dāng)n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為、方差為正態(tài)分布注：1.中心極限定理要求n充分大，那么多大叫充分大呢？這與總體的分布形狀有關(guān)?？傮w偏離正態(tài)越遠，則要求n越大。3.大樣本與小樣本問題。在樣本量固定的條件下進行的統(tǒng)計推斷、問題分析，都稱為小樣本問題；而在樣本量n→∞的條件下進行的統(tǒng)計推斷、問題分析則稱為大樣本問題。一般統(tǒng)計學(xué)中的n≥30為大樣本，n<30為小樣本只是一種經(jīng)驗說法。例題講解【例6.4】解：解：例題講解解：例題講解【例6.5】解：例題講解解：

抽樣分布與總體分布的關(guān)系總體分布抽樣分布大樣本小樣本任何樣本正態(tài)分布非正態(tài)分布正態(tài)分布非正態(tài)分布§6.5樣本比例的抽樣分布1.總體(或樣本)中具有某種特征的個體個數(shù)與全部個數(shù)之比，稱為比例。例如：不同性別的人與全部人數(shù)之比。2.總體比例：樣本比例：3.由二項分布的原理和漸近分布的理論可知，所以樣本比例的分布：樣本比例的例題【例6.7】解