2022年江蘇省南京市建寧中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2022年江蘇省南京市建寧中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知為的導(dǎo)數(shù)，若對于任意的都成立，則

A．

B．

C．

D．和的大小關(guān)系不確定參考答案：B略2.（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為A.12 B.16 C.20 D.24參考答案：A【分析】本題利用二項展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù)．【詳解】由題意得x3的系數(shù)為，故選A．【點睛】本題主要考查二項式定理，利用展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù)．2.給出下列四個命題：（1）若、是異面直線，則必存在唯一的一個平面同時平行、；（2）若、是異面直線，則必存在唯一的一個平面同時垂直、；（3）若、是異面直線，則過存在唯一的一個平面平行于；（4）若、是異面直線，則過存在唯一的一個平面垂直于；上述四個命題中，正確的命題有（

）

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個參考答案：A4.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．a(chǎn)R（1）當(dāng)a=1時,求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)f(x)在上存在極小值，求a的取值范圍；（3）若，證明：．參考答案：（1）解：∵，∴．令，得．∴當(dāng)時，，當(dāng)時，．∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．∴當(dāng)時，有最小值1．…………4分(2)∴在上遞增，若函數(shù)f(x)在上存在極小值，即在有解，a的取值范圍是…………8分（3）證明：由（1）知，對任意實數(shù)均有，即．令（），則，∴．即．∵∴．∵，∴．．…………14分略5.已知正三棱錐的所有棱長均為，則側(cè)面與底面所成二面角的余弦為

A．

B．

C．

D.參考答案：C略6.橢圓的焦點為,,過點作直線與橢圓相交,被橢圓截得的最短的線段MN的長為,的周長為20,則橢圓的離心率為

(

)參考答案：B7.已知函數(shù)有且只有一個極值點，則實數(shù)a構(gòu)成的集合是（）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，得，設(shè),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，根據(jù)函數(shù)有且只有一個極值點，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有一個交點，即可求解.【詳解】由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，得，即.設(shè),則，當(dāng)時，得；當(dāng)時，得或，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.因為函數(shù)有且只有一個極值點，所以直線與函數(shù)的圖象有一個交點，所以或.當(dāng)時恒成立，所以無極值，所以.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意把函數(shù)有且只有一個極值點，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有一個交點是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.8.為了研究某班學(xué)生的腳長x（單位厘米）和身高y（單位厘米）的關(guān)系，從該班隨機抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為．已知，，．該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為（

）A.160 B.164 C.166 D.170參考答案：C由已知,選C.【名師點睛】（1）判斷兩個變量是否線性相關(guān)及相關(guān)程度通常有兩種方法：（1）利用散點圖直觀判斷；（2）將相關(guān)數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式求出，然后根據(jù)的大小進行判斷．求線性回歸方程時在嚴格按照公式求解時，一定要注意計算的準確性．9.已知等比數(shù)列{an}中，a3=2，a4a6=16，則的值為（）A．2 B．4 C．8 D．16參考答案：B【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由題意和等比數(shù)列的通項得a1q2=2，a1q3a1q5=16，求出q2，即可得出結(jié)論．．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比是q，由a3=2，a4a6=16得，a1q2=2，a1q3a1q5=16，則a1=1，q2=2，∴==4，故選：B．10.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.二次方程x2-ax+b=0的兩根為sinq,cosq，那么動點(a,b)的軌跡方程是____參考答案：略12.函數(shù)的定義域為

．參考答案：13.若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是

參考答案：略14.若為不相等的兩個正數(shù)，則

（用＞,＜,=連接）參考答案：>15.若正數(shù)x，y滿足2x+y﹣3=0，則+的最小值為．參考答案：3【考點】基本不等式．【分析】利用“乘1法”基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時取等號．所以的最小值為3．故答案為：316.一個均勻小正方體的6個面中，三個面上標(biāo)以數(shù)字0，兩個面上標(biāo)以數(shù)字1，一個面上標(biāo)以數(shù)字2.將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是__________參考答案：試題分析：設(shè)ξ表示向上的數(shù)之積，則P(ξ＝1)＝×＝，P(ξ＝2)＝××＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝0)＝.∴Eξ＝1×＋2×＋4×＝考點：分布列與期望17.已知A船在燈塔C北偏東800處，且A船到燈塔C的距離為km，B船在燈塔C北偏東400處，A、B兩船間的距離為3km，則B船到燈塔C的距離為

.參考答案：

km

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分10分）如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，．（Ⅰ）求證平面；（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．參考答案：

四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，，，又，平面，，又平面平面，為平面與平面所成銳二面角的平面角．，．即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．

（法二）（Ⅰ）四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，，，又平面平面，且，

取，得．

平面，平面一個法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為，則．因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．19.（本題10分）．已知函數(shù)，若函數(shù)在點處的切線方程為．（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間（）上的最大值．參考答案：解：（1）由題意知，，函數(shù)在點處的切線方程為，，即，得

（2）由（1）知，

由得或，由得，

在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，分的極大值為，由得，，，結(jié)合的圖象可得：①當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值為，②當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值為，③當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值為

20.如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓周上的一點．（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；(6分)（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C-PB-A的余弦值．（6分）參考答案：(1)證明由AB是圓的直徑，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因為BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.（5分）(2)解方法一過C作CM∥AP，則CM⊥平面ABC.如圖，以點C為坐標(biāo)原點，分別以直線CB、CA、CM為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．因為AB＝2，AC＝1，所以BC＝.因為PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．故C＝(，0,0)，C＝(0,1,1)．設(shè)平面BCP的法向量為n1＝(x，y，z)，高考資源網(wǎng)則,所以不妨令y＝1，則n1＝(0,1，－1)．因為A＝(0,0,1)，A＝(，－1,0)，設(shè)平面ABP的法向量為n2＝(x，y，z)，則所以不妨令x＝1，則于是所以由題意可知二面角C-PB-A的余弦值為.(10分)方法二過C作CM⊥AB于M，因為PA⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以PA⊥CM，又PA∩AB＝A，故CM⊥平面PAB.過M作MN⊥PB于N，連接NC，由三垂線定理得CN⊥PB，所以∠CNM為二面角C-PB-A的平面角．在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，得BC＝，CM＝，BM＝，在R t△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝.因為Rt△BNM∽Rt△BAP，所以＝，故MN＝.又在Rt△CNM中，CN＝，故cos∠CNM＝.所以二面角C-PB-A的余弦值為.

21.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．（1）求角A的大??；（2）若a=，試求當(dāng)△ABC的面積取最大值時，△ABC的形狀．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根據(jù)余弦定理化簡已知的式子，化簡后求出cosA的值，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A；（2）由（1）和不等式求出bc的范圍，由三角形的面積公式，求出△ABC的面積取最大值時邊的值，即可判斷出△ABC的形狀．【解答】解：（1）∵（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，由余弦定理得（2b﹣c）?﹣a?=0，整理得b2+c2﹣a2=bc，…∴cosA==，∵0＜A＜π，∴A=；…（2）由（1）得b2+c2﹣bc=3，由b2+c2≥2bc得，bc≤3．…當(dāng)且僅當(dāng)b=c=時取等號，∴S△ABC=bcsinA≤×3×=．從而當(dāng)△ABC的面積最大時，a=b=c=．∴當(dāng)△ABC的面積取最大值時△ABC為等邊三角形．…22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四邊形ABCD滿足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，點M為PC中點．（1）求證：DM⊥平面PBC；（2）若點E為BC邊上的動點，且，是否存在實數(shù)λ，使得二面角P﹣DE﹣B的余弦值為？若存在，求出實數(shù)λ的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）取PB中點N，連結(jié)MN，AN．由三角形中位線定理可得四邊形ADMN為平行四邊形．由AP⊥AD，AB⊥AD，由線面垂直的判定可得AD⊥平面PAB．進一步得到AN⊥MN．再由AP=AB，得AN⊥PB，則AN⊥平面PBC．又AN∥DM，得DM⊥平面PBC；（2）以A為原點，方向為x軸的正方向，方向為y軸的正方向，方向為z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)E（2，t，0）（0≤t≤4），再求得P，D，B的坐標(biāo)，得到的坐標(biāo)，求出平面PDE的法向量，再由題意得到平面DEB的一個法向量，由兩法向量夾角的余弦值得到實數(shù)λ的值．【解答】（1）證明：如圖，取PB中點N，連結(jié)MN，AN．∵M是PC中點，∴MN∥BC，MN=BC=2．又∵BC∥AD，AD=2，∴MN∥AD，MN=AD，∴四邊形ADMN為平行四邊形．∵AP⊥AD，AB⊥AD，AP∩AB=A，∴AD⊥平面PAB．∵AN?平面PAB，∴AD⊥AN，則AN⊥MN．∵AP=AB，∴AN⊥PB，又MN∩PB=N，∴AN⊥平面PBC．∵A