2022年安徽省合肥市無為開城中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022年安徽省合肥市無為開城中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知三條不同的直線a，b，c，若a⊥b，則“a⊥c”是“b∥c”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)直線平行和垂直的關(guān)系結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：垂直于同一條直線的兩條直線不一定平行，即當(dāng)a⊥c時，b∥c不一定成立，即充分性不成立，若b∥c，則a⊥c成立，即必要性成立，則“a⊥c”是“b∥c”的必要不充分條件，故選：B2.將最小正周期為3π的函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的圖象向左平移個單位，得到偶函數(shù)圖象，則滿足題意的φ的一個可能值為（）A． B．﹣ C．﹣ D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】由周期求得ω，可得函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．【解答】解：由于函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）=cos（ωx+φ+）的最小正周期為3π=，求得ω=，∴函數(shù)f（x）=cos（x+φ+）．再把f（x）的圖象向左平移個單位，得到偶函數(shù)y=cos[（x+）+φ+]=cos（x++φ）圖象，則滿足題意的φ的一個可能值為﹣，故選：B．3.若將一個真命題中的“平面”換成“直線”，“直線”換成“平面”后仍是真命題，則稱該命

題為“可換命題”．下列四個命題：

①垂直于同一平面的兩直線平行；②垂直于同一平面的兩平面平行；

③平行于同一直線的兩直線平行；④平行于同一平面的兩直線平行．

其中是“可換命題”的是

A.①②B.③④C.①③D.①④參考答案：C4.已知集合，，則A∩B=（

）A.(－1,0] B.[－1,2] C.[－2,1) D.[0,1)參考答案：D【分析】解出集合，利用交集的定義得出集合.【詳解】，因此，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，同時也考查了一元二次不等式的解法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′（x），對于任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x）=4x2﹣f（﹣x），當(dāng)x∈（﹣∞，0）時，f′（x）+＜4x，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．[﹣，+∞） B．[﹣，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[﹣2，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】利用構(gòu)造法設(shè)g（x）=f（x）﹣2x2，推出g（x）為奇函數(shù)，判斷g（x）的單調(diào)性，然后推出不等式得到結(jié)果．【解答】解：∵f（x）=4x2﹣f（﹣x），∴f（x）﹣2x2+f（﹣x）﹣2x2=0，設(shè)g（x）=f（x）﹣2x2，則g（x）+g（﹣x）=0，∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．∵x∈（﹣∞，0）時，f′（x）+＜4x，g′（x）=f′（x）﹣4x＜﹣，故函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上也是減函數(shù)，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，則f（m+1）﹣2（m+1）2≤f（﹣m）﹣2m2，即g（m+1）＜g（﹣m），∴m+1≥﹣m，解得：m≥﹣，故選：A．6.命題“?x∈R，2x＞0”的否定是（）A．?x∈R，2x＞0 B．?x∈R，2x≤0 C．?x∈R，2x＜0 D．?x∈R，2x≤0參考答案：B【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題，去判斷．【解答】解：因?yàn)槊}是全稱命題，根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，所以命題的否定?x∈R，2x≤0．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查全稱命題的否定，要求掌握全稱命題的否定是特稱命題．7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2，則輸出的P值為()A．2

B．3C．4

D．5參考答案：C8.橢圓5x2﹣ky2=5的一個焦點(diǎn)是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】把橢圓5x2﹣ky2=5化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2=1，則c2=﹣﹣1=4，解得k，再進(jìn)行判定即可．【解答】解：橢圓5x2﹣ky2=5化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2=1，則c2=﹣﹣1=4，解得k=﹣1，故選：A．9.在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82，84，84，86，86，86，88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是

A.眾數(shù)B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.標(biāo)準(zhǔn)差參考答案：D略10.已知△ABC的周長為9，且，則cosC的值為 （

） A． B． C． D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且滿足關(guān)系式f(x)=，則f'（2）的值等于

．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】求導(dǎo)數(shù)，然后令x=1，即可求出f′（1）的值，再代值計(jì)算即可【解答】解：∵f（x）=+3xf′（1），∴f′（x）=﹣+3f′（1），令x=1，則f′（1）=﹣1+3f′（1），∴f′（1）=，∴f′（2）=﹣+=故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，要注意f′（1）是個常數(shù)，通過求導(dǎo)構(gòu)造關(guān)于f′（1）的方程是解決本題的關(guān)鍵．12.如圖,在正方體中,點(diǎn)P是上底面內(nèi)一動點(diǎn),則三棱錐的主視圖與左視圖的面積的比值為_________.參考答案：113.設(shè)函數(shù)，對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

參考答案：.試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)，對任意，從而解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是，填寫考點(diǎn)：本試題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用。點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是要對于不等式的恒成立問題要轉(zhuǎn)換為分離參數(shù)的思想求解函數(shù)的最值。14.如果橢圓+=1的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是．參考答案：x+2y﹣8=0【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】若設(shè)弦的端點(diǎn)為M（x1，y1）、N（x2，y2），代入橢圓方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得直線斜率k，從而求出弦所在的直線方程．【解答】解：設(shè)弦的端點(diǎn)為M（x1，y1）、N（x2，y2），代入橢圓方程+=1，得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②，得9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中點(diǎn)坐標(biāo)=4，=2，代入上式，得36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，∴直線斜率為k==﹣，所求弦的直線方程為：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故答案為：x+2y﹣8=0．【點(diǎn)評】本題考查了圓錐曲線的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，通過作差的方法，求得直線斜率k的應(yīng)用模型，屬于中檔題．15.已知，則曲線在M的作用下得到的新曲線方程_________.參考答案：【分析】設(shè)對應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)題意，得到，求解即可【詳解】設(shè)原曲線上任一點(diǎn)在作用下對應(yīng)點(diǎn)，則即，解得，代入得，則曲線在的作用下得到的新曲線方程為答案：【點(diǎn)睛】本題考查變換前后坐標(biāo)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題16.如果執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，輸入,則輸出的數(shù)=

.參考答案：417.2個女生與2個男生排成一排合影，則恰有一個女生站在兩男生之間的排列種數(shù)為___；參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的兩邊對x求導(dǎo)，得（﹣sin2x）?2=4cosx（﹣sinx），化簡后得等式sin2x=2cosxsinx．（1）利用上述方法，試由等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+…+Cnn﹣1xn﹣1+Cnnxn（x∈R，正整數(shù)n≥2），①證明：n[（1+x）n﹣1﹣1]=kxk﹣1；②求C101+2C102+3C103+…+10C1010．（2）對于正整數(shù)n≥3，求（﹣1）kk（k+1）Cnk．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）①對二項(xiàng)式定理的展開式兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，移項(xiàng)得到恒等式；②對①，令x=1，n=10，由恒等式計(jì)算即可得到所求值；（2）對①中的x賦值﹣1，整理得到恒等式（﹣1）kk=0；對二項(xiàng)式的定理的兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，再對得到的等式對x兩邊求導(dǎo)數(shù)，給x賦值﹣1化簡可得（﹣1）kk2=0，相加即可得到所求（﹣1）kk（k+1）Cnk．【解答】解：（1）①證明：等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+…+Cnn﹣1xn﹣1+Cnnxn（x∈R，正整數(shù)n≥2），兩邊對x求導(dǎo)，可得n（1+x）n﹣1=Cn1+2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1，即有n[（1+x）n﹣1﹣1]=2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1=kxk﹣1；②由①令x=1可得，n（2n﹣1﹣1）=k，可得，C101+2C102+3C103+…+10C1010=10+10（29﹣1）=5120；（2）在①式中，令x=﹣1，可得n[（1﹣1）n﹣1﹣1]=k（﹣1）k﹣1，整理得（﹣1）k﹣1k=0，所以（﹣1）kk=0；由n（1+x）n﹣1=Cn1+2Cn2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1，n≥3，兩邊對x求導(dǎo)，得n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2Cn2+3?2Cn3x+…+n（n﹣1）Cnnxn﹣2在上式中，令x=﹣1，得0=2Cn2+3?2Cn3（﹣1）+…+n（n﹣1）Cn2（﹣1）n﹣2即k（k﹣1）（﹣1）k﹣2=0，亦即（k2﹣k）（﹣1）k=0，又（﹣1）kk=0，兩式相加可得，（﹣1）kk2=0，綜上可得，（﹣1）kk（k+1）Cnk=（﹣1）kk2+（﹣1）kk=0．19.（本小題滿分13分）在直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），以為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．（１）求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（２）確定直線和圓的位置關(guān)系．參考答案：解：（１）由，消去參數(shù)，得直線的普通方程為，由，即，消去參數(shù)，得直接坐標(biāo)方程為（２）由（１）得圓心，半徑，∴到的距離，所以，直線與圓相交．20.已知橢圓上的點(diǎn)到橢圓右焦點(diǎn)的最大距離為，離心率，直線過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)．（I）求橢圓的方程；（Ⅱ）上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說明理由．

參考答案：解：（I）由條件知，解得，所以，故橢圓方程為．……4分（Ⅱ）C上存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立．由（Ⅰ）知C的方程為+=6.設(shè)(ⅰ)當(dāng)垂直于軸時，由知，C上不存在點(diǎn)P使成立．

……5分（ⅱ）

將于是,=,C上的點(diǎn)P使成立的充要條件是，設(shè)，則

……7分所以.因?yàn)樵跈E圓上，將代入橢圓方程，得：，所以，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．……9分綜上，C上存在點(diǎn)使成立，此時的方程為.

……10分

略21.（本小題滿分12分）記（）．（1）求的值；

（2）猜想與的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．參考答案：解：（I），，（II）猜想：即：（n∈N*）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①時，已證②假設(shè)n=k時，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：則由①，②可知，對任意，都成立.

22.已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）對函數(shù)求導(dǎo)，令f′（1）=0，即可解出a值．（Ⅱ）f′（x）＞0，對a的取值范圍進(jìn)行討論，分類解出單調(diào)區(qū)間．a(chǎn)≥2時，在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，（Ⅲ）由（2）的結(jié)論根據(jù)單調(diào)性確定出最小值，當(dāng)a≥2時，由（II）知，f（x）的最小值為f（0）=1，恒成立；當(dāng)0＜a＜2時，判斷知最小