高中數(shù)學(xué)選擇性課時評價4等比數(shù)列（習(xí)題課）

三十等比數(shù)列(習(xí)題課)(15分鐘30分)1．在數(shù)列{an}中，an＝eq\f(2n－1,2n)，若{an}的前n項和Sn＝eq\f(321,64)，則n＝()A．3 B．4 C．5 D．6【解析】選D.由an＝eq\f(2n－1,2n)＝1－eq\f(1,2n)得，Sn＝n－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n)))＝n－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))，則Sn＝eq\f(321,64)＝n－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))，將各選項中的值代入驗證得n＝6.2．?dāng)?shù)列{an}的通項公式是an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，若前n項和為10，則項數(shù)為()A．11B．99C．120D．121【解析】選C.因為an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(eq\r(2)－1)＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋…＋(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＝eq\r(n＋1)－1，令eq\r(n＋1)－1＝10，得n＝120.3．在數(shù)列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，則S15＋S22－S31的值為________．【解析】因為S15＝1＋4×7＝29，S22＝(－4)×11＝－44，S31＝1＋15×4＝61.所以S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.答案：－764．(2021·臨沂高二檢測)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5＝________．【解析】在等比數(shù)列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比數(shù)列，因為S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝eq\f(3,4)S5，得S15∶S5＝3∶4.答案：3∶45．求數(shù)列2eq\f(1,4)，4eq\f(1,8)，6eq\f(1,16)，…，2n＋eq\f(1,2n＋1)，…的前n項和Sn.【解析】Sn＝2eq\f(1,4)＋4eq\f(1,8)＋6eq\f(1,16)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,2n＋1)))＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(1,8)＋…＋\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n（2n＋2）,2)＋＝n(n＋1)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2n＋1).(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝()A．2n－1 B．C． D．eq\f(1,2n－1)【解析】選B.因為an＋1＝Sn＋1－Sn，所以由Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，整理得3Sn＝2Sn＋1，所以eq\f(Sn＋1,Sn)＝eq\f(3,2)，所以數(shù)列{Sn}是以S1＝a1＝1為首項，eq\f(3,2)為公比的等比數(shù)列，故Sn＝.2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋n，前n項和為Sn，則S6等于()A．282B．70C．45D．147【解析】選D.因為an＝2n＋n，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝eq\f(2（1－2n）,1－2)＋eq\f(n（n＋1）,2)＝2n＋1－2＋eq\f(n（n＋1）,2)，所以S6＝27－2＋eq\f(6×7,2)＝147.3．(2021·廊坊高二檢測)已知函數(shù)y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)的圖象所過定點的橫、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列{an}的第二項與第三項，若bn＝eq\f(1,anan＋1)，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則T10＝()A．eq\f(10,11) B．eq\f(9,11) C．eq\f(12,11) D．1【解析】選A.因為函數(shù)y＝loga(x－1)＋3的圖象過定點(2，3)，所以a2＝2，a3＝3，故an＝n，所以bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，所以T10＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,10)－eq\f(1,11)＝1－eq\f(1,11)＝eq\f(10,11).4．(2021·宜昌高二檢測)已知正項等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項和為Sn，若a3＝1，eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a5)＝eq\f(21,4)，則()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))必是遞減數(shù)列B．S5＝eq\f(31,4)C．公比q＝eq\f(1,4) D．a(chǎn)1＝4【解析】選B.設(shè)等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公比為q，則q>0，因為a1a5＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝1，a3＝a1q2＝1，所以eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a5)＝1＋eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a5)＝1＋eq\f(a5＋a1,a1a5)＝1＋a1＋a5＝a1＋1＋eq\f(1,a1)＝eq\f(21,4)，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,q＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,4)，,q＝2.))當(dāng)a1＝4，q＝eq\f(1,2)時，S5＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝eq\f(31,4)，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是遞減數(shù)列；當(dāng)a1＝eq\f(1,4)，q＝2時，S5＝eq\f(31,4)，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是遞增數(shù)列；綜上，S5＝eq\f(31,4).【誤區(qū)警示】等比數(shù)列的單調(diào)性需要考慮首項和公比兩個要素．二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5．(2021·荊州高二檢測)記單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＋a4＝10，a2a3A．Sn＋1－Sn＝2n＋1B．a(chǎn)n＝2n－1C．Sn＝2n－1D．Sn＝2n－1－1【解析】選BC.因為數(shù)列{an}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且a2＋a4＝10>0，所以an>0，因為a2a3a4＝64，所以aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝64，解得a3＝4，因為a2＋a4＝10，所以eq\f(4,q)＋4q＝10，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或eq\f(1,2)，又?jǐn)?shù)列{an}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，取q＝2，a1＝eq\f(a3,q2)＝eq\f(4,4)＝1，所以an＝2n－1，Sn＝eq\f(2n－1,2－1)＝2n－1，Sn＋1－Sn＝2n＋1－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n－1))＝2n.6．計算機病毒危害很大，一直是計算機學(xué)家研究的對象．當(dāng)計算機內(nèi)某文件被病毒感染后，該病毒文件就不斷地感染其他未被感染文件．計算機學(xué)家們研究的一個數(shù)字為計算機病毒傳染指數(shù)C0，即一個病毒文件在一分鐘內(nèi)平均所傳染的文件數(shù)，某計算機病毒的傳染指數(shù)C0＝2，若一臺計算機有105個可能被感染的文件，如果該臺計算機有一半以上文件被感染，則該計算機將處于癱瘓狀態(tài)．該計算機現(xiàn)只有一個病毒文件，如果未經(jīng)防毒和殺毒處理，則下列說法中正確的是()A．在第3分鐘內(nèi)，該計算機新感染了18個文件B．經(jīng)過5分鐘，該計算機共有243個病毒文件C．10分鐘后，該計算機處于癱瘓狀態(tài)D．該計算機癱瘓前，每分鐘內(nèi)新被感染的文件數(shù)成公比為2的等比數(shù)列【解析】選ABC.設(shè)第n＋1分鐘之內(nèi)新感染的文件數(shù)為an＋1，前n分鐘內(nèi)新感染的病毒文件數(shù)之和為Sn，則an＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn＋1))，且a1＝2，由an＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn＋1))可得an＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn－1＋1))，兩式相減得：an＋1－an＝2an，所以an＋1＝3an，所以每分鐘內(nèi)新感染的病毒構(gòu)成以a1＝2為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an＝2×3n－1，在第3分鐘內(nèi)，該計算機新感染了a3＝2×33－1＝18個文件，故選項A正確；經(jīng)過5分鐘，該計算機共有1＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－35)),1－3)＝35＝243個病毒文件，故選項B正確；10分鐘后，計算機感染病毒的總數(shù)為1＋a1＋a2＋…＋a10＝1＋eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－310)),1－3)＝310>eq\f(1,2)×105，所以計算機處于癱瘓狀態(tài)，故選項C正確；該計算機癱瘓前，每分鐘內(nèi)新被感染的文件數(shù)成公比為3的等比數(shù)列，故選項D不正確．三、填空題(每小題5分，共10分)7．(2021·海口高二檢測)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S4＝2，S8＝6，則a17＋a18＋a19＋a20的值為________．【解析】由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比數(shù)列．由題意可知上面數(shù)列的首項為S4＝2，公比為eq\f(S8－S4,S4)＝2，故S4n－S4n－4＝2n(n≥2)，所以a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32.答案：328．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,2)＋eq\r(an－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)))，且a1＝eq\f(1,2)，則該數(shù)列的前2020項的和等于________．【解析】因為a1＝eq\f(1,2)，又an＋1＝eq\f(1,2)＋eq\r(an－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)))，所以a2＝1，從而a3＝eq\f(1,2)，a4＝1，即得an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n＝2k－1（k∈N*），,1，n＝2k（k∈N*），))故數(shù)列的前2020項的和等于S2020＝1010×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝1515.答案：1515四、解答題(每小題10分，共20分)9．一個熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%.這個熱氣球上升的高度能超過125m嗎？【解析】用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度，由題意，得an＋1＝eq\f(4,5)an，因此，數(shù)列{an}是首項a1＝25，公比q＝eq\f(4,5)的等比數(shù)列．熱氣球在前n分鐘內(nèi)上升的總高度為Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝＝125×<125.故這個熱氣球上升的高度不可能超過125m．10．已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a1＝2，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝a4＋8.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＝an＋2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，d>0.由題意得(2＋d)2＝2＋3d＋8，解得d＝2.故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n.(2)因為bn＝an＋2an＝2n＋22n，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n)＝(2＋4＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n)＝eq\f(（2＋2n）·n,2)＋eq\f(4·（1－4n）,1－4)＝n(n＋1)＋eq\f(4n＋1－4,3).1．(2021·鄭州高二檢測)定義eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x))表示不超過x的最大整數(shù)，如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0.39))＝0，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1.28))＝1.若數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項公式為an＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(log2n))，Sn為數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項和，則S2047＝()A．211＋2 B．3×211＋2C．6×211＋2 D．9×211＋2【解析】選D.因為n≥1，所以log2n≥0，當(dāng)0≤log2n<1時，n＝1，即a1＝0(共1項)；當(dāng)1≤log2n<2時，n＝2，3，即a2＝a3＝1(共2項)；當(dāng)2≤log2n<3時，n＝4，5，6，7，即a4＝a5＝a6＝a7＝2(共4項)；…當(dāng)k≤log2n<k＋1時，n＝2k，2k＋1，…，2k＋1－1，即a2k＝a2k＋1＝…＝a2k＋1－1＝k(共2k項)，由1＋2＋22＋…＋2k＝2047，得eq\f(1－2k＋1,1－2)＝2047.即2k＋1＝2048，所以k＝10.所以S2047＝0×1＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋10×210，則2S2047＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋10×211，兩式相減得－S2047＝2＋22＋23＋24＋…＋210－10×211＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－210)),1－2)－10×211＝－9×211－2，所以S2047＝9×211＋2.2．等差數(shù)列{an}(n∈N*)中，a1，a