新教材高中數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案4-1-2無理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)

4．1.2無理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)[目標(biāo)]1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化；2.掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．[重點(diǎn)]根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化．[難點(diǎn)]運(yùn)用有理數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值．知識點(diǎn)一分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義[填一填][答一答]1．可不可以理解為eq\f(m,n)個(gè)a相乘？它的實(shí)質(zhì)是什么？2．負(fù)數(shù)也有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪嗎？提示：在保證相應(yīng)的根式有意義的前提下，負(fù)數(shù)也存在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，如＝eq\r(4,－53)就沒有意義．知識點(diǎn)二有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)[填一填](1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．[答一答]3．在有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中，為什么要規(guī)定a>0?提示：(1)若a＝0，∵0的負(fù)數(shù)指數(shù)冪無意義，∴(ab)r＝ar·br，當(dāng)r<0時(shí)不成立，∴a≠0.(2)若a<0，(ar)s＝ars也不一定成立，∴a<0時(shí)不成立．因此規(guī)定a>0.4．若a∈R，α、β∈Q，(aα)β一定等于(aβ)α嗎？試舉例說明．提示：不一定相等．是沒有意義的．知識點(diǎn)三無理數(shù)指數(shù)冪[填一填]一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．[答一答]5．為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)冪的意義時(shí)，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？提示：底數(shù)大于零是必要的，否則會造成混亂，如a＝－1，則(－1)α是1還是－1就無法確定了，規(guī)定后就清楚了．類型一根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化[例1]將下列根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式：(1)eq\r(\f(1,a)\r(\f(1,a)))(a>0)；(2)eq\f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))(x≠0)；[變式訓(xùn)練1]用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式(a>0，b>0)：(1)eq\r(3,a)·eq\r(4,a)；(2)eq\r(a\r(a\r(a)))；(3)eq\r(3,a2)·eq\r(a3)；(4)(eq\r(3,a))2·eq\r(ab3).類型二利用有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)化簡與求值[例2]計(jì)算下列各式：1進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算的一般方法為化負(fù)數(shù)為正數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù).2一般情況下，指數(shù)的底數(shù)是大于0的，但具體題目要具體對待，一定要注意底數(shù)的正負(fù).[變式訓(xùn)練2]計(jì)算或化簡下列各式(其中式子中的字母均為正數(shù))．(1)(aeq\f(1,2)·eq\r(3,b2))－3÷eq\r(b－4·\r(a－2))；(2)[(0.027eq\f(2,3))－1.5]eq\f(1,3)＋[810.25－(－32)0.6－0.02×(eq\f(1,10))－2]eq\f(1,2).類型三條件因式的化簡與求值條件求值是代數(shù)式求值中的常見題型，一般要結(jié)合已知條件先化簡再求值，另外要特別注意條件的應(yīng)用，如條件中的隱含條件，整體代入等，可以簡化解題過程．本題若通過＝3解出a的值代入求值，則非常復(fù)雜．[變式訓(xùn)練3]已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求的值．1.eq\r(3,a)·eq\r(6,－a)等于(A)A．－eq\r(－a) B．－eq\r(a)C.eq\r(－a) D.eq\r(a)解析：由已知，得a≤0，則eq\r(3,a)·eq\r(6,－a)＝＝－eq\r(－a)，故選A.2．計(jì)算－0.01－0.5＋0.2－2－(2－3)－1＋(10－3)0的結(jié)果為(B)A．15 B．17C．35 D．37解析：原式＝＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))－2－(－1)－1＋1＝－10＋52＋1＋1＝17.解析：原式＝＋4＝－23.5．已知＝4，求eq\f(x＋x－1＋4,x2＋x－2－200)的值．解：∵＝4，∴x＋2＋x－1＝16.∴x＋x－1＝14，∴x2＋2＋x－2＝196，∴x2＋x－2＝194，∴原式＝eq\f(14＋4,194－200)＝－