第六章 計數(shù)原理（單元知識清單）（人教A版2019選擇性必修第三冊）

選擇性必修三第六章計數(shù)原理知識點清單一、本章思維導圖§6.1分類加法與分步乘法計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，那么完成這件事情共有種不同的方法.利用分類加法計數(shù)原理解題的注意事項(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事可以有哪些辦法,怎么才算是完成這件事.(2)完成這件事的n類辦法,無論用哪類辦法中的哪種方法都可以單獨完成這件事,而不需要用到其他的方法.(3)確立恰當?shù)姆诸悩藴?準確地對“完成這件事的辦法”進行分類,要求每一種方法必屬于某一類辦法,不同類辦法的任意兩種方法不同,也就是分類必須既不重復也不遺漏.從集合的角度看,若完成一件事分A,B兩類辦法,則A∩B=?,A∪B=I(I表示全集).2.分步乘法計數(shù)原理：完成一件事有兩個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，那么完成這件事情共有種不同的方法.利用分步乘法計數(shù)原理解題的注意事項(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事需要幾步.(2)完成這件事需要分成若干個步驟,只有每個步驟都完成了,才算完成這件事,無論缺少哪一步,這件事都不可能完成.(3)根據(jù)題意正確分步,要求各步之間必須連續(xù),只有按照這幾步逐一去做,才能完成這件事,各步之間既不能重復也不能遺漏.(4)對于同一個題目,標準不同,分步也不同.分步的基本要求:一是完成一件事,必須且只需連續(xù)做完幾步,既不漏步也不重步;二是不同步驟的方法不能互相替代.利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路(1)分類:將完成這件事的辦法分成若干類;(2)計數(shù):求出每一類中的方法數(shù);(3)結(jié)論:將每一類中的方法數(shù)相加得最終結(jié)果.兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法.2.區(qū)別

分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關鍵詞是“分類”完成一件事共有n個步驟,關鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關聯(lián)的、獨立的,“關聯(lián)”確保不遺漏,“獨立”確保不重復§6.2排列與組合1.排列定義：從個不同的元素中任取個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從個不同的元素中取出個元素的一個排列.全排列：把個不同的元素全部取出的一個排列，叫做個元素的一個全排列.2.相同排列:兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.排列應注意的問題(1)排列的定義中包括兩個基本內(nèi)容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”.(2)定義中的“一定順序”說明了排列的本質(zhì):有序.3.排列數(shù)：從個不同的元素中任取個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，記作.4.排列數(shù)公式：（1）；（2），規(guī)定.；5.組合定義：從個不同的元素中取出個元素作為一組，叫做從個不同的元素中取出個元素的一個組合.6.組合數(shù)：從個不同的元素中取出個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，記作.7.組合數(shù)公式：（1）或或；（2），規(guī)定；（3）.8.排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系(1)共同點:兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素.(2)不同點:排列與元素的順序有關,組合與元素的順序無關.§6.3二項式定理1.二項式定理（1）二項式定理：.右邊的多項式叫做的二項展開式.（2）二項展開式的通項：第項：.（3）二項式系數(shù)：2.二項式系數(shù)的性質(zhì)：（1）若令,則有：，若令，則有.奇數(shù)項二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)的和.即.（2）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即；（3）增減性與最大值：當時，二項式系數(shù)的值逐漸增大，當時,的值逐漸減??；當為偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當為奇數(shù)時，中間的兩項和相等，且同時取最大值.3.二項式定理形式上的特點(1)二項展開式有n+1項,而不是n項.(2)二項式系數(shù)都是Cnk(k=0,1,2,…,n),(3)二項展開式中的二項式系數(shù)的和等于2n,即Cn0+Cn1+C(4)在排列方式上,按照字母a的降冪排列,從第一項起,次數(shù)由n次逐項減少1次直到0次,同時字母b按升冪排列,次數(shù)由0次逐項增加1次直到n次.二、計數(shù)原理：分類加法計數(shù)原理與分步乘法考點一、分類加法計數(shù)原理1.完成一項工作，有兩種方法，有5個人只會用第一種方法，另外有4個人只會第二種方法，從這9個人中選1個人完成這項工作，則不同的選法共有（）A．5種 B．4種 C．9種 D．45種【答案】C【解析】會用第一種方法的有5個人，選1個人完成這項工作有5種選擇；會用第二種方法的有4個人，選1個人完成這項工作有4種選擇；兩者相加一共有9種選擇，故選：C.考點一、分類加法計數(shù)原理2.將編號1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（）A．16種 B．12種 C．9種 D．6種【答案】B【解析】由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，當四個小球分組為如下情況時，放球方法有：當1與2號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當1與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；^當1與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當2與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當2與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當3與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；因此，不同的放球方法有12種，故選B.考點二、分步乘法計數(shù)原理3.某校為了慶祝新中國成立70周年舉辦文藝匯演，原節(jié)目單上有10個節(jié)目已經(jīng)排好順序，又有3個新節(jié)目需要加進去，不改變原來節(jié)目的順序，則新節(jié)目單的排法有（）種A．165 B．286 C．990 D．1716【答案】D【解析】第一步：10個節(jié)目空出11個位置，加入1個新來的節(jié)目，所以加入一個新節(jié)目有11種方法，第二步：從排好的11個節(jié)目空出的12個位置中，加入第2個新節(jié)目，有12種方法，第三步：從排好的12個節(jié)目空出的13個位置中，加入第3個新節(jié)目，有13種方法，所以由分步乘法計數(shù)原理得，加入3個新節(jié)目后的節(jié)目單的排法有（種）.故選：D考點二、分步乘法計數(shù)原理4.從集合中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復數(shù)，其中虛數(shù)有（）A．10個 B．12個 C．16個 D．20個【答案】C【解析】∵a，b互不相等且為虛數(shù)，∴所有b只能從{1，2，3，4}中選一個有4種，a從剩余的4個選一個有4種，∴根據(jù)分步計數(shù)原理知虛數(shù)有4×4＝16（個）．故選：C．考點三、兩個計數(shù)原理綜合運用5.某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學校利用星期六組織學生到某廠進行社會實踐活動．選2個班參加社會實踐，要求這2個班不同年級，有_______種不同的選法．【答案】【解析】選2個班參加社會實踐，這2個班不同年級，2個班為高一和高二各一個班有，2個班為高二和高三各一個班有，2個班為高三和高一各一個班有，所以不同的選法共有.故答案為：.6.某學校需要把包含甲，乙，丙在內(nèi)的6名教育專家安排到高一，高二，高三三個年級去聽課，每個年級安排2名專家，已知甲必須安排到高一年級，乙和丙不能安排到同一年級，則安排方案的種數(shù)有（）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【答案】B【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①甲和乙丙中1人在高一，此時高一的安排方法有種，高二的選法有種，則此時有種安排分法，②甲和其他三人中的1人在高一，則乙丙三人分別在高二、高三，有2種情況，將其他三人全排列，安排到三個年級，有種安排方法，則此時有種安排方法；故有種安排方法；安排方案的種數(shù)有12+24=36故選：B．6.2.1排列及排列數(shù)考點一、排列的概念7.下列問題是排列問題的是()A．從10名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？B．10個人互相通信一次，共寫了多少封信？C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？D．從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個相加，其結(jié)果共有多少種？【答案】B【解析】排列問題是與順序有關的問題，四個選項中只有B中的問題是與順序相關的，其他問題都與順序無關，所以選B.考點一、排列的概念8.下列問題是排列問題的是()A．從8名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？B．10個人互相通信一次，共寫了多少封信？C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？D．從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個相乘，其結(jié)果共有多少種？【答案】B【解析】排列問題是與順序有關的問題，四個選項中只有B中的問題是與順序有關的，其他問題都與順序無關．故選B.考點二、排列數(shù)9.對于滿足的正整數(shù)n，（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)排列數(shù)定義，要確定元素總數(shù)和選取個數(shù)，元素總數(shù)為，選取個數(shù)為，.故選：C．考點二、排列數(shù)10.若，則（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】,化解得解得：m=（舍）或m=5故選：A考點三、排隊問題11.有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，女生必須站在一起；(4)全體排成一排，男生互不相鄰；(5)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；(6)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600；（6）3720.【解析】（1）從7人中選5人排列，共有（種．（2）分兩步完成，先選3人站前排，有種方法，余下4人站后排，有種方法，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得一共有（種.（3）捆綁法，將女生看成一個整體，進行全排列，有種，再與3名男生進行全排列有種，共有（種．（4）插空法，先排女生，再在空位中插入男生，故有（種．（5）先排甲，有5種方法，其余6人有種排列方法，共有(種).（6）7名學生全排列，有種方法，其中甲在最左邊時，有種方法，乙在最右邊時，有種方法，其中都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形，有種方法，故共有(種).考點三、排隊問題12.參加完某項活動的6名成員合影留念，前排和后排各3人，不同排法的種數(shù)為（）A．360 B．720 C．2160 D．4320【答案】B【解析】分兩步完成：第一步：從6人中選3人排前排：種不同排法；第二步：剩下的3人排后排：種不同排法，再按照分步乘法計數(shù)原理：種不同排法，故選：B.考點四、數(shù)字問題13.現(xiàn)有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個數(shù)字.（1）可以組成多少個無重復數(shù)字的三位數(shù)？（2）組成無重復數(shù)字的三位數(shù)中，315是從小到大排列的第幾個數(shù)？（3）可以組成多少個無重復數(shù)字的四位偶數(shù)？【答案】（1）648；（2）156；（3）2296；【解析】（1）由題意，無重復的三位數(shù)共有個；（2）當百位為1時，共有個數(shù)；當百位為2時，共有個數(shù)；當百位為3時，共有個數(shù)，所以315是第個數(shù)；（3）無重復的四位偶數(shù)，所以個位必須為0,2,4,6,8，千位上不能為0，當個位上為0時，共有個數(shù)；當個位上是2,4,6,8中的一個時，共有個數(shù)，所以無重復的四位偶數(shù)共有個數(shù)；考點四、數(shù)字問題14.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有A．144個 B．120個 C．96個 D．72個【答案】B【解析】根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個，末位數(shù)字為0、2、4中其中1個；分兩種情況討論：①首位數(shù)字為5時，末位數(shù)字有3種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3個位置上，有A43=24種情況，此時有3×24=72個，②首位數(shù)字為4時，末位數(shù)字有2種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3個位置上，有A43=24種情況，此時有2×24=48個，共有72+48=120個．故選B6.2.2組合及組合數(shù)考法一、組合的概念15.給出下列問題：①有10個車站，共需要準備多少種車票？②有10個車站，共有多少中不同的票價？③平面內(nèi)有10個點，共可作出多少條不同的有向線段？④有10個同學，假期約定每兩人通電話一次，共需通話多少次？⑤從10個同學中選出2名分別參加數(shù)學和物理競賽，有多少中選派方法？以上問題中，屬于組合問題的是_________(填寫問題序號).【答案】②④【解析】①有10個車站，共需要準備多少種車票？相當于從10個不同元素任取2個按一定順序排列起來，屬于排列問題；②有10個車站，共有多少中不同的票價？相當于從10個不同元素任取2個并成一組，屬于組合問題；③平面內(nèi)有10個點，共可作出多少條不同的有向線段？相當于從10個不同元素任取2個按一定順序排列起來，屬于排列問題；④有10個同學，假期約定每兩人通電話一次，共需通話多少次？相當于從10個不同元素任取2個并成一組，屬于組合問題；⑤從10個同學中選出2名分別參加數(shù)學和物理競賽，有多少中選派方法？相當于從10個不同元素任取2個按一定順序排列起來，屬于排列問題；以上問題中，屬于排列問題的是②④.考法一、組合的概念16.下列問題屬于排列問題的是（）①從10個人中選2人分別去種樹和掃地；②從10個人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊；④從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)作為中的底數(shù)與真數(shù)A．①④ B．①② C．④ D．①③④【答案】A【解析】排列的概念：從個元素中取個元素，按照一定順序排成一列，由題可知：①④中元素的選取有順序，②③中元素的選取無順序，由此可判斷出：①④是排列問題，故選：A考法二、組合數(shù)17.若，則n等于（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解析】根據(jù)題意，變形可得，；由組合性質(zhì)可得，，即，則可得到.故選：B.考法二、組合數(shù)18.設n為滿足不等式的最大正整數(shù)，則n的值為（）．A．11 B．10 C．9 D．8【答案】D【解析】設，則，又，，，由得：，，，，，的值為.故選：.考法三、組合應用19.男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名．現(xiàn)選派5人外出參加比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運動員3名，女運動員2名；(2)至少有1名女運動員；(3)隊長中至少有1人參加；(4)既要有隊長，又要有女運動員．【答案】（1）120（2）246（3）196（4）191【解析】(1)分兩步完成：第一步，選3名男運動員，有Ceq\o\al(3,6)種選法；第二步，選2名女運動員，有Ceq\o\al(2,4)種選法．由分步計數(shù)原理可得，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120(種)選法．(2)方法一“至少有1名女運動員”包括以下四種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分類計數(shù)原理可得總選法共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝246(種)．方法二“至少有1名女運動員”的反面為“全是男運動員”，可用間接法求解．從10人中任選5人有Ceq\o\al(5,10)種選法，其中全是男運動員的選法有Ceq\o\al(5,6)種．所以“至少有1名女運動員”的選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(種)．(3)方法一(直接法)可分類求解：“只有男隊長”的選法種數(shù)為Ceq\o\al(4,8)；“只有女隊長”的選法種數(shù)為Ceq\o\al(4,8)；“男、女隊長都入選”的選法種數(shù)為Ceq\o\al(3,8)，所以共有2Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(3,8)＝196(種)選法．方法二(間接法)從10人中任選5人有Ceq\o\al(5,10)種選法，其中不選隊長的方法有Ceq\o\al(5,8)種．所以“至少有1名隊長”的選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,8)＝196(種)．(4)當有女隊長時，其他人任意選，共有Ceq\o\al(4,9)種選法；當不選女隊長時，必選男隊長，共有Ceq\o\al(4,8)種選法，其中不含女運動員的選法有Ceq\o\al(4,5)種，所以不選女隊長時的選法共有(Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5))種．所以既要有隊長又要有女運動員的選法共有Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)＝191(種)．考法三、組合應用20.某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人．現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術(shù)考核．（Ⅰ）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；（Ⅱ）求從甲組抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．【答案】（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）因為車間甲組有10名工人，乙組有5名工人，所以甲、乙兩組的比例是，又因為從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術(shù)考核，所以從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)是2，1；（Ⅱ）因為車間甲組有10名工人，其中有4名女工人，所以從甲組抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）因為車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．6.2.3排列組合的綜合運用考法一、全排列21.2020年初，我國向相關國家派出了由醫(yī)療專家組成的醫(yī)療小組．現(xiàn)有四個醫(yī)療小組和4個需要援助的國家，每個醫(yī)療小組只去一個國家，且4個醫(yī)療小組去的國家各不相同，則不同的分配方法有（）A．64種 B．48種 C．24種 D．12種【答案】C【解析】4個醫(yī)療小組全排列后按順序到四個國家即可，共有種方法．故選：C．考法一、全排列22.3本不同的課外讀物分給3位同學，每人一本，則不同的分配方法有（）A．3種 B．6種 C．12種 D．5種【答案】B【解析】3本不同的課外讀物分給3位同學，每人一本，全排列：.故選：B考法二、相鄰問題23.某班優(yōu)秀學習小組有甲?乙?丙?丁?戊共5人，他們排成一排照相，則甲?乙二人相鄰的排法種數(shù)為（）A．24 B．36 C．48 D．60【答案】C【解析】先安排甲?乙相鄰，有種排法，再把甲、乙看作一個元素，與其余三個人全排列，故有排法種數(shù)為.故選：C24.在某場新冠肺炎疫情視頻會議中，甲?乙?丙?丁?戊五位疫情防控專家輪流發(fā)言，其中甲必須排在前兩位，丙?丁必須排在一起，則這五位專家的不同發(fā)言順序共有（）A．8種 B．12種 C．20種 D．24種【答案】C【解析】當甲排在第一位時，共有種發(fā)言順序，當甲排在第二位時，共有種發(fā)言順序，所以一共有種不同的發(fā)言順序.故選：C.考法三、不相鄰問題25.省實驗中學為預防秋季流感爆發(fā)，計劃安排學生在校內(nèi)進行常規(guī)體檢，共有3個檢查項目，需要安排在3間空教室進行檢查，學?，F(xiàn)有一排6間的空教室供選擇使用，但是為了避免學生擁擠，要求作為檢查項目的教室不能相鄰，則共有（）種安排方式.A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】6間空教室，有3個空教室不使用，故可把作為檢查項目的教室插入3個不使用的教室之間，故所有不同的安排方式的總數(shù)為.故選：B.考法三、不相鄰問題26.若5個人排成一列縱隊，則其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有（）A．12種 B．14種 C．5種 D．4種【答案】A【解析】分兩步完成：第一步，5個人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有種排法；第二步，從3個可插空檔給甲、乙、丙3人排隊有種插法.由分步乘法計數(shù)原理可知，一共有種排法.故答案選A考法四、分組分配27.疫情期間，上海某醫(yī)院安排5名專家到3個不同的區(qū)級醫(yī)院支援，每名專家只去一個區(qū)級醫(yī)院，每個區(qū)級醫(yī)院至少安排一名專家，則不同的安排方法共有（）A．60種 B．90種 C．150種 D．240種【答案】C【解析】5名專家到3個不同的區(qū)級醫(yī)院，分為1，2，2和1,1,3兩種情況；分為1，2，2時安排有;分為1，1，3時安排有所以一共有故選：C考法四、分組分配28.特崗教師是中央實施的一項對中西部地區(qū)農(nóng)村義務教育的特殊政策.某教育行政部門為本地兩所農(nóng)村小學招聘了6名特崗教師，其中體育教師2名，數(shù)學教師4名.按每所學校1名體育教師，2名數(shù)學教師進行分配，則不同的分配方案有（）A．24 B．14 C．12 D．8【答案】C【解析】先把4名數(shù)學教師平分為2組，有種方法，再把2名體育教師分別放入這兩組，有種方法，最后把這兩組教師分配到兩所農(nóng)村小學，共有種方法.故選：C.考向五、幾何問題29.以長方體的頂點為頂點的三棱錐共有（）個A．70 B．64 C．60 D．58【答案】D【解析】三棱錐有4個頂點，從長方體8個頂點中任取4個點共有種取法，排除其中四點共面的有：長方體的面6個，對角面6個，可得不同的三棱錐有個.故選：D.考向五、幾何問題30.以長方體的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出2個三角形，則這2個三角形不共面的情兄有（）種A．1480 B．1468 C．1516 D．1492【答案】B【解析】因為平行六面體的8個頂點任意三個均不共線，故從8個頂點中任取三個均可構(gòu)成一個三角形共有個三角形，從中任選兩個，共有種情況，因為平行六面體有六個面,六個對角面，從8個頂點中4點共面共有12種情況，每個面的四個頂點共確定6個不同的三角形，故任取出2個三角形，則這2個三角形不共面共有1540-12×6=1468種，故選：B.考向六、方程不等式問題31.方程的正整數(shù)解的個數(shù)__________.【答案】【解析】問題中的看作是三個盒子，問題則轉(zhuǎn)化為把個球放在三個不同的盒子里，有多少種方法．將個球排一排后，中間插入兩塊隔板將它們分成三堆球，使每一堆至少一個球．隔板不能相鄰，也不能放在兩端，只能放在中間的個空內(nèi)．共有種．故答案為：考向六、方程不等式問題32.三元一次方程x+y+z=13的非負整數(shù)解的個數(shù)有_____.【答案】【解析】由,則設，則且，則三元一次方程x+y+z=13的非負整數(shù)解的個數(shù)等價于,的解的個數(shù),等價于將16個相同的小球分成3組，每組至少1個小球的不同分法，又將16個相同的小球分成3組，每組至少1個的不同分法，只需在16個球之間的15個空中選2個空用隔板隔開即可，則共有種分法，即三元一次方程x+y+z=13的非負整數(shù)解的個數(shù)有個，故答案為：.考向七、數(shù)字問題33.從，，，，，中任取三個不同的數(shù)相加，則不同的結(jié)果共有（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【解析】在這六個數(shù)字中任取三個求和，則和的最小值為，和的最大值為，所以當從，，，，，中任取三個數(shù)相加時，則不同結(jié)果有種．故選：C.考向七、數(shù)字問題34.在1，2，3，4，5，6，7這組數(shù)據(jù)中，隨機取出五個不同的數(shù)，則數(shù)字5是取出的五個不同數(shù)的中位數(shù)的所有取法種數(shù)為()A．6 B．12 C．18 D．24【答案】A【解析】根據(jù)題意，數(shù)字5是取出的五個不同數(shù)的中位數(shù)，則取出的數(shù)字中必須有5、6、7，在1，2，3，4中有2個數(shù)字，則不同的取法有種，故選：．6.3二項式定理考法一、二項式定理展開式35.化簡多項式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的結(jié)果是()A．(2x+2)5 B．2x5C．(2x-1)5 D．32x5【答案】D【解析】依題意可知，多項式的每一項都可看作，故為的展開式，化簡.故選D.考法一、二項式定理展開式36.化簡：_________.【答案】【解析】則所以故答案為：.考法二、二項式指定項的系數(shù)與二項式系數(shù)37.二項式的展開式中的常數(shù)項是_______.（用數(shù)字作答）【答案】60【解析】有題意可得，二項式展開式的通項為：令可得，此時.考法二、二項式指定項的系數(shù)與二項式系數(shù)38.若的展開式中的系數(shù)為7，則實數(shù)=______.【答案】【解析】根據(jù)二項展開式的通項公式可得：，令，可得，，解得：，故答案為：考法三、多項式系數(shù)或二項式系數(shù)39.展開式中常數(shù)項為（）.A．11 B． C．8 D．【答案】B【解析】將看成一個整體，展開得到：的展開式為：取當時，系數(shù)為：當時，系數(shù)為：常數(shù)項為故答案選B考法三、多項式系數(shù)或二項式系數(shù)40.的展開式中常數(shù)項為()A． B． C． D．【答案】C【解析】的通項為，，根據(jù)式子可知當或時有常數(shù)項，令;令;故所求常數(shù)項為，故選C.考法四、二項式定理的性質(zhì)41.在的二項展開式中，若只有第5項的二項式系數(shù)最大，則的二項展開式中的常數(shù)項為（）A．960 B．1120 C．-560 D．-960【答案】B【解析】在（x﹣1）n（n∈N+）的二項展開式中，若只有第5項的二項式系數(shù)最大，則n=8，則=的二項展開式的通項公式為Tr+1=?28﹣r?（﹣1）r?x4﹣r，令4﹣r=0，求得r=4，可得展開式中的常數(shù)項為?24?（﹣1）4=1120，故選B．考法四、二項式定理的性質(zhì)42.已知展開式中各項系數(shù)的和為m，且，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù).【答案】59136【解析】設，令，得，所以，則展開式中有13項，且中間一項（第7項）的二項式系數(shù)最大，該項為.故所求的系數(shù)為59136.考法五、二項式系數(shù)或系數(shù)和43.在的二項展開式中，二項式系數(shù)之和為___________；所有項的系數(shù)之和為_______.【答案】【解析】根據(jù)二項展開式的性質(zhì)，展開式的二項式系數(shù)之和為，令可得所有項的系數(shù)之和為，故答案為：，考法五、二項式系數(shù)或系數(shù)和44.已知，則_____.【答案】【解析】對等式兩邊求導，得，令，則.考法六、二項式定理運用45.已知能夠被15整除，則________.【答案】14【解析】由題可知，所以，而75能被15整除，要使能夠被15整除，只需能被15整除即可，所以，解得：.故答案為：14.考法六、二項式定理運用46.的計算結(jié)果精確到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】故選B易混易錯練易錯點1混淆分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理1.有紅、黃、藍旗各3面,每次升1面、2面、3面在某一旗桿上縱向排列表示不同的信號,順序不同也表示不同的信號,共可以組成多少種不同的信號?【答案】39【解析】每次升1面旗可組成3種不同的信號;每次升2面旗可組成3×3=9種不同的信號;每次升3面旗可組成3×3×3=27種不同的信號.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共可組成3+9+27=39種不同的信號.易錯點2混淆排列問題與分步問題2.有4個不同的小球,4個不同的盒子,現(xiàn)在要把球全部放入盒子中.(1)共有多少種放法?(2)若每個盒子至少放一個小球,共有多少種不同的放法?(3)恰有一個盒子不放球,共有多少種放法?【答案】（1）256（2）24（3）144【解析】(1)易知每個球都有4種放法,由分步乘法計數(shù)原理知,共有4×4×4×4=256種不同的放法.(2)每個盒子至少放一個小球,即每個盒子中都放入一個小球,將4個盒子看作4個不同的位置,4個小球進行全排列,可得A44=24(3)恰有一個空盒,說明恰有一個盒子中有2個小球,從4個小球中選2個作為一個元素,同另外2個小球在4個位置進行排列,故共有C42A易錯警示要“從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素”,在排列問題中元素不能重復選取,而在用分步乘法計數(shù)原理解決問題時,元素可以重復選取.易錯點3忽略特殊元素與特殊位置3.(2020廣東汕頭一中高二下月考,)有5名同學站成一排拍畢業(yè)紀念照,其中甲必須站在正中間,并且乙、丙兩名同學不能相鄰,則不同的站法有()A.8種 B.16種 C.32種 D.48種【答案】B【解析】首先將甲排在中間,因為乙、丙兩名同學不能相鄰,所以兩人必須站在甲的兩側(cè),選出一人排在左側(cè),有C21另外一人排在右側(cè),有A21余下兩人排在余下的兩個空中,有A22所以不同的站法有C21A故選B.易錯點撥對于有特殊元素和特殊位置的問題,應先考慮特殊元素排在特殊位置,再排其他元素和其他位置.本題易出現(xiàn)這樣的錯誤解法:先排甲、乙、丙之外的兩人,有A22種排法;再將乙、丙兩人插入3個空中的2個,有A32種插法;最后甲站他們中間,有1種站法.所以不同的站法有A22A324.用0,1,2,3,4這五個數(shù)字可以組成沒有重復數(shù)字的:(1)三位偶數(shù)有多少個?(2)能被3整除的三位數(shù)有多少個?(3)比210大的三位數(shù)有多少個?【答案】（1）30（2）20（3）32【解析】(1)當個位是0時,有A42=12個;當個位是2時,有3×3=9個;當個位是4時,有3×3=9個.故共有12+9+9=30(2)沒有重復數(shù)字的能被3整除的三位數(shù)的數(shù)字組成共有0,1,2;0,2,4;1,2,3;2,3,4四種情況,故共有C21×A22+C21×A2(3)當百位是2時,共有A21×A31+2=8個;當百位是3時,共有A42=12個;當百位是4時故共有8+12+12=32個大于210的沒有重復數(shù)字的三位數(shù).易錯警示在與數(shù)字有關的排列問題中,易忽略“0”對特殊位置的要求,造成錯解.易錯點4混淆排列與組合的概念導致計數(shù)錯誤5.從5本不同的科普書和4本不同的數(shù)學書中選出4本,送給4位同學,每人1本.(以下問題用數(shù)字作答)(1)如果科普書和數(shù)學書各選2本,共有多少種不同的送法?(2)如果科普書甲和數(shù)學書乙必須送出,共有多少種不同的送法?(3)如果選出的4本書中至少有3本科普書,共有多少種不同的送法?【答案】（1）1440（2）504（3）1080【解析】(1)從5本科普書中選2本有C52種選法,從4本數(shù)學書中選2本有C42種選法,再把4本書給4所以科普書和數(shù)學書各選2本,共有C52C(2)因為科普書甲和數(shù)學書乙必須送出,所以再從其余7本書中選2本有C72種選法,再把4本書給4位同學有A44種送法,所以共有(3)選出的4本書均為科普書有C54種選法,選出的4本書中有3本科普書有C53C41種選法,再把4本書給4位同學有A44種送法,所以至少有3本科普書的送法有誤區(qū)警示解決計數(shù)問題時,首先要分清楚是排列問題還是組合問題,即看取出的元素是“排成一列”還是“并成一組”,不能將二者混淆,若將排列問題誤認為是組合問題,則會漏解,反之會重復計數(shù).易錯點5混淆展開式中項的系數(shù)與二項式系數(shù)6.在3x-123(1)若所有二項式系數(shù)之和為64,求展開式中二項式系數(shù)最大的項;(2)若前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列,求展開式中各項的系數(shù)和.【答案】（1）-52（2）【解析】(1)由已知得Cn0+Cn1+…+Cnn=64,所以展開式中二項式系數(shù)最大的項是第四項,即C63(x13)6-3-12x(2)3x-123xn的展開式的通項為Tr+1=Cn由已知,Cn0,12Cn1,14C∴3x-123xn=3x7.已知(1+mx)n(m∈R,n∈N*)的展開式的各二項式系數(shù)之和為32,且展開式中含x3項的系數(shù)為80.(1)求m,n的值;(2)求(1+mx)n(1-x)6的展開式中含x2項的系數(shù).【答案】（1）m=2，n=5（2）-5【解析】(1)由題意知2n=32,則n=5,(1+mx)5的展開式的通項為Tr+1=C5rmrxr(r=0,1,…,5),由題意知,當r=3時,C53m(2)由(1)知,m=2,n=5,所以(1+mx)n(1-x)6=(1+2x)5(1-x)6,(1+2x)5的展開式的通項為Tr+1=C5r2rxr(r=0,1,…,5),(1-x)6的展開式的通項為Tk+1=C6k(-1)kxk(k=0,1,…,6),①令r=0,k=2,此時含x2項的系數(shù)為C62×(-1)2=15;②令r=1,k=1,此時含x2項的系數(shù)為C51×21×C61×(-1)1=-60;③所以(1+2x)5(1-x)6的展開式中含x2項的系數(shù)為15+(-60)+40=-5.誤區(qū)警示(a+b)n的展開式中,第r+1項的二項式系數(shù)是Cnr(r=0,1,2,…,n),僅與n,r有關;而第r+1項的系數(shù)為該項字母前的數(shù)連同符號,不一定是二項式系數(shù)Cnr.注意二項式系數(shù)Cnr思想方法練一、分類討論思想在排列組合中的應用1.某中學話劇社的6個演員站成一排照相,高一、高二和高三年級均有2個演員,則高一與高二兩個年級中僅有一個年級的同學相鄰的站法種數(shù)為()A.48 B.144 C.288 D.576【答案】C【解析】分兩類進行討論.第一類,高一年級同學相鄰且高二年級同學不相鄰,把高一年級兩個同學“捆綁”看作一個元素,與高三年級兩個同學進行排列,有A22A33種不同排法,把高二年級兩個同學插入4個空位中的2個(插空法),有A42第二類,高二年級同學相鄰且高一年級同學不相鄰,與第一類方法相同,也有144種站法.由分類加法計數(shù)原理知,共有144+144=288種站法,故選C.2.如圖,用四種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(四種顏色全部使用),要求每個區(qū)域涂一種顏色,相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色,則不同的涂色方法有種.(用數(shù)字作答)

14523【答案】96【解析】由題意知本題是一個分步計數(shù)問題.第一步,涂區(qū)域1,有4種方法;第二步,涂區(qū)域2,有3種方法;第三步,涂區(qū)域4,有2種方法(此時,前三步已經(jīng)用去三種顏色);第四步,涂區(qū)域3,分兩類:第一類,區(qū)域3與區(qū)域1同色,則區(qū)域5涂第四種顏色;第二類,區(qū)域3與區(qū)域1不同色,則區(qū)域3涂第四種顏色,此時區(qū)域5就可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中的任意一種顏色,有3種方法.所以不同的涂色方法有4×3×2×(1×1+1×3)=96種.3.設x1、x2、x3、x4為自然數(shù)1、2、3、4的一個全排列,且滿足|x1-1|+|x2-2|+|x3-3|+|x4-4|=6,求這樣的排列的個數(shù).【答案】9【解析】由題知,|x1-1|,|x2-2|,|x3-3|,|x4-4|這四個自然數(shù)的和為6,分情況討論:①當四個自然數(shù)為1,1,1,3時,x1,x2,x3,x4的值對應有2,3,4,1和4,1,2,3兩種情況;②當四個自然數(shù)為1,1,2,2時,x1,x2,x3,x4的值對應有2,4,1,3和3,1,4,2兩種情況;③當四個自然數(shù)為1,2,3,0時,x1,x2,x3,x4的值對應有2,4,3,1和4,1,3,2和3,2,4,1和4,2,1,3四種情況;④當四個自然數(shù)為0,0,3,3時,x1,x2,x3,x4的值對應有4,2,3,1;⑤當四個自然數(shù)為0,2,2,2時,沒有符合的.故這樣的排列共有2+2+4+1=9個.二、整體思想在排列組合中的應用4.6本不同的書擺放在書架的同一層上,要求甲、乙兩本書必須擺放在兩端,丙、丁兩本書必須相鄰,則不同的擺放方法有()A.24種 B.36種 C.48種 D.60種【答案】A【解析】甲、乙兩本書必須擺放在兩端,有A22丙、丁兩本書必須相鄰,將其視為整體與另外兩本書全排列,有A22由分步乘法計數(shù)原理可得,不同的擺放方法有A22A5.有兩排座位,前排11個座位,后排12個座位,現(xiàn)安排2人坐下,規(guī)定前排中間的3個座位不能坐,并且這2人不左右相鄰,那么不同排法的種數(shù)是()A.234 B.346 C.350 D.363【答案】B【解析】易知一共可坐的位子有20個,2個人坐的方法數(shù)為A202,還需排除兩人左