5.2.1 三角函數(shù)的概念（五大題型）（原卷版）

5．2．1三角函數(shù)的概念【題型歸納目錄】題型一：三角函數(shù)的定義題型二：判斷三角函數(shù)值的符號題型三：確定角所在象限題型四：誘導(dǎo)公式（一）的應(yīng)用題型五：圓上的動點與旋轉(zhuǎn)點【知識點梳理】知識點一：三角函數(shù)定義設(shè)是一個任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．知識點詮釋：（1）三角函數(shù)的值與點在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．我們只需計算點到原點的距離，那么，，．（2）三角函數(shù)符號是一個整體，離開的、、等是沒有意義的，它們表示的是一個比值，而不是、、與的積．知識點二：三角函數(shù)在各象限的符號三角函數(shù)在各象限的符號：在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號時，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知識點詮釋：口訣的含義是在第一象限各三角函數(shù)值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四象限余弦值為正．知識點三：誘導(dǎo)公式一由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，由此得到誘導(dǎo)公式一：，其中注意：利用誘導(dǎo)公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求（或）范圍內(nèi)角的三角函數(shù)值．知識點四、特殊角的三角函數(shù)值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010100010【典型例題】題型一：三角函數(shù)的定義例1．（23·24上·北京·階段練習(xí)）已知角終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．2例2．（23·24上·河西·階段練習(xí)）若角的終邊過點，則的值是（

）A． B．2 C． D．例3．（23·24上·陜西·階段練習(xí)）已知是角的終邊上一點，，則（

）A． B． C． D．變式1．（23·24上·榆林·階段練習(xí)）已知，終邊上有點，則（

）A． B． C． D．變式2．（23·24上·晉中·階段練習(xí)）若角的終邊上有一點，且，則（

）A．4 B． C．-1 D．變式3．（23·24上·渝中·階段練習(xí)）角的終邊上一點的坐標(biāo)為，且，則（

）A． B． C． D．變式4．（22·23下·眉山·期中）已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用三角函數(shù)的定義求值的策略（1）已知角的終邊在直線上求的三角函數(shù)值時，常用的解題方法有以下兩種：方法一：先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．方法二：在的終邊上任選一點，P到原點的距離為（）．則，．已知的終邊求的三角函數(shù)值時，用這幾個公式更方便．（2）當(dāng)角的終邊上點的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進行分類討論．（3）若終邊在直線上時，因為角的終邊是射線，應(yīng)分兩種情況處理．題型二：判斷三角函數(shù)值的符號例4．（22·23·宜賓·三模）已知角的終邊上一點的坐標(biāo)，其中a是非零實數(shù)，則下列三角函數(shù)值恒為正的是（

）A． B． C． D．例5．（22·23下·沈陽·期末）已知角的終邊經(jīng)過點，則下列各式一定為正的是（

）A． B． C． D．例6．（20·21上·喀什·階段練習(xí)）已知為第三象限角，那么下列正確的是（），A． B． C． D．變式5．（21·22上·山西·階段練習(xí)）下列各式的值為負的是（

）A． B． C． D．變式6．（21·22·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點在原點，以軸非負半軸為始邊，終邊經(jīng)過點，，則下列各式的值可能大于0的是（

）A． B． C． D．變式7．（18·19·貴陽·期末）下列三角函數(shù)值為正數(shù)的是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號也可以用下面的口訣記憶：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意為：第一象限各個三角函數(shù)均為正；第二象限只有正弦為正，其余兩個為負；第三象限正切為正，其余兩個為負；第四象限余弦為正，其余兩個為負．題型三：確定角所在象限例7．（20·21上·江西·期末）已知．則角所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例8．（20·21上·湖州·階段練習(xí)）我們知道，在直角坐標(biāo)系中，角的終邊在第幾象限，這個角就是第幾象限角．已知點在第三象限，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例9．（18·19下·西安·階段練習(xí)）若，則所在的象限是A．二、四 B．一、二 C．一、四 D．二、三變式8．（19·20·全國·課時練習(xí)）若,且,則角的終邊所在象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式9．（18·19上·哈爾濱·期末）若，則所在象限是A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限變式10．（17·18下·山西·期中）如果點位于第四象限，那么角所在的象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式11．（16·17上·豐臺·期末）如果點位于第四象限，那么角所在的象限是（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式12．（22·23上·大同·期末）點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限變式13．（22·23上·安徽·階段練習(xí)）設(shè)角是第一象限角，且滿足，則的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【方法技巧與總結(jié)】確定角所在象限的步驟（1）判斷該角的某些三角函數(shù)值的符號；（2）根據(jù)角的三角函數(shù)值的符號，確定角所在象限．題型四：誘導(dǎo)公式（一）的應(yīng)用例10．（21·22下·深圳·階段練習(xí)）．例11．（23·24上·徐州·階段練習(xí)）的值為．例12．（21·22上·全國·課時練習(xí)）已知是角的終邊上一點，則=.（變式14．（22·23上·西安·期末）．變式15．（20·21下·全國·課時練習(xí)）已知，其中a、b、α、β為常數(shù)．若，則.變式16．（22·23下·西城·階段練習(xí)）的值為變式17．（22·23下·浦東新·階段練習(xí)）.【方法技巧與總結(jié)】利用誘導(dǎo)公式一化簡或求值的步驟（1）將已知角化為（為整數(shù)，）或（為整數(shù)，）的形式．（2）將原三角函數(shù)值化為角的同名三角函數(shù)值．（3）借助特殊角的三角函數(shù)值或任意角的三角函數(shù)的定義達到化簡求值的目的．題型五：圓上的動點與旋轉(zhuǎn)點例13．（20·21上·益陽·期末）在直角坐標(biāo)系中，一個質(zhì)點在半徑為2的圓O上，以圓O與x正半軸的交點為起點，沿逆時針方向勻速運動到P點，每轉(zhuǎn)一圈，則后的長為（

）A． B．C． D．例14．（22·23下·順義·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，單位圓上一點P從點（0，1）出發(fā)，逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q的坐標(biāo)為（

）A． B．（）C．（，） D．（－，）例15．（22·23下·忻州·開學(xué)考試）在直角坐標(biāo)系中，若點從點出發(fā)，沿圓心在原點，半徑為3的圓按逆時針方向運動到達點，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．變式18．（21·22上·全國·專題練習(xí)）如圖所示，滾珠，同時從點出發(fā)沿圓形軌道勻速運動，滾珠按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，滾珠按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，相遇后發(fā)生碰撞，各自按照原來的速度大小反向運動．(1)求滾珠，第一次相遇時所用的時間及相遇點的坐標(biāo)；(2)求從出發(fā)到第二次相遇滾珠，各自滾動的路程．變式19．（19·20上·深圳·期末）如圖，動點P，Q從點出發(fā)，沿圓周運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，求P，Q第一次相遇時所用的時間?相遇點的坐標(biāo)及P，Q點各自走過的弧長.【方法技巧與總結(jié)】利用三角函數(shù)的定義求解【過關(guān)測試】一、單選題1．在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，則“角的終邊過點”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知角α的終邊過點，則（

）A． B． C． D．3．已知角終邊上有一點，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角4．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．我們學(xué)過度量角有角度制與弧度制，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度量角，因為在半徑不同的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種度量角的制度，叫做面度制.在面度制下，若角的面度數(shù)為，則角的正弦值是（

）A． B． C． D．6．已知角，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．7．已知是定義在有限實數(shù)集A上的函數(shù)，且，若函數(shù)的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則的值不可能是（

）A．0 B． C． D．8．質(zhì)點P和Q在以坐標(biāo)原點O為圓心，半徑為1的圓周上順時針作勻速圓周運動，同時出發(fā).P的角速度為3rad/s，起點為射線與圓的交點；Q的角速度為5rad/s，起點為圓與x軸正半軸交點，則當(dāng)質(zhì)點Q與P第二次相遇時，Q的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．角終邊在第二象限或第四象限的充要條件是B．圓的一條弦長等于半徑，則這條弦對的圓心角是C．經(jīng)過4小時時針轉(zhuǎn)了D．若角與終邊關(guān)于軸對稱，則10．已知角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，若,則下列各式的符號不能確定的是(

).A． B． C． D．11．求函數(shù)可能取值，其中

（

）A．16 B． C．10 D．-1012．若，，則可以是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角三、填空題13．已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在軸的正半軸上，終邊上一點，則.14．已知角θ的終邊經(jīng)過點，且θ與α的終邊關(guān)于x軸對稱，則15．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱，則滿足的一個角的值可以是．16．已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸的正半軸重合，將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點，則．四、解答題17．在單位圓中，確定下列三角函數(shù)值的符號：(1)；(2)；(3)；(4)．18．已知角的終邊在函數(shù)的圖象上，求，和．19．設(shè)α是銳角，利用單位圓證明下列不等式：(1)；(2)．20．已知，且有意義．(1)試判斷角所在的象限；(2)若角的終