第09講 二項(xiàng)式定理（六大題型）（解析版）

第09講二項(xiàng)式定理【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理1、定義一般地，對(duì)于任意正整數(shù)，都有：（），這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式．式中的做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用Tr+1表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)2、二項(xiàng)式（a+b）n的展開(kāi)式的特點(diǎn)：（1）項(xiàng)數(shù)：共有n+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；（2）二項(xiàng)式系數(shù)：第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；（3）次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n．字母a降冪排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，每一項(xiàng)中，a，b次數(shù)和均為n；知識(shí)點(diǎn)二、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：（）公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；知識(shí)點(diǎn)三：二項(xiàng)式系數(shù)及其性質(zhì)1、的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、、…具有如下性質(zhì)：①對(duì)稱性：二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；②增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值．其中，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，相等，且最大．③各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，即；④二項(xiàng)展開(kāi)式中各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋：二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)式的系數(shù)的區(qū)別二項(xiàng)展開(kāi)式中，第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是組合數(shù)，展開(kāi)式的系數(shù)是單項(xiàng)式的系數(shù)，二者不一定相等．2、展開(kāi)式中的系數(shù)求法（的整數(shù)且）知識(shí)點(diǎn)詮釋：三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開(kāi)式問(wèn)題，把某兩項(xiàng)結(jié)合為一項(xiàng)，利用二項(xiàng)式定理解決．知識(shí)點(diǎn)四：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用1、求展開(kāi)式中的指定的項(xiàng)或特定項(xiàng)（或其系數(shù)）．2、利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和．3、利用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題及余數(shù)的求法．4、證明有關(guān)的不等式問(wèn)題．5、進(jìn)行近似計(jì)算．【典型例題】題型一：求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)【例1】（2024·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）式子二項(xiàng)式定理展開(kāi)中的第6項(xiàng)為．【答案】【解析】由，所以二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，，，令，可得展開(kāi)式的第六項(xiàng)為.故答案為：.【變式1-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）的展開(kāi)式的第3項(xiàng)的系數(shù)為；常數(shù)項(xiàng)為．【答案】【解析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，可得展開(kāi)式中第3項(xiàng)為，所以第3項(xiàng)的系數(shù)為，令，可得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：；.【變式1-2】（2024·山東濱州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若的展開(kāi)式中的系數(shù)為50，則實(shí)數(shù)．【答案】【解析】∵的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，由已知的系數(shù)為，∴．故答案為：.題型二：二項(xiàng)式之積【例2】（2024·湖北武漢·高二武漢市東湖中學(xué)校考期末）展開(kāi)式中的系數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的展開(kāi)式中通項(xiàng)是，，則，要求展開(kāi)式中的系數(shù)，只需，故展開(kāi)式中的系數(shù)是.故選：A.【變式2-1】（2024·甘肅白銀·高二校考期末）的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（

）A． B．5 C．15 D．35【答案】D【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的通項(xiàng)，則含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選：D【變式2-2】（2024·遼寧本溪·高二?？计谀┑恼归_(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B．7 C．77 D．【答案】B【解析】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，故的展開(kāi)式中的系數(shù)為，故選：B.題型三：三項(xiàng)式及多項(xiàng)式展開(kāi)問(wèn)題【例3】（2024·貴州黔西·高二校考期末）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A．80 B．60 C． D．【答案】D【解析】，則其展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，則的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為，故選：D．【變式3-1】（2024·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A．20 B． C． D．15【答案】B【解析】，其展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，取得到的系數(shù)為．故選：B．【變式3-2】（2024·廣東揭陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．200 B．210 C．220 D．240【答案】B【解析】依題意，，而展開(kāi)式中的系數(shù)為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為210.故選：B題型四：有關(guān)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及計(jì)算的問(wèn)題【例4】（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)校考期末）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中僅有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中僅有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式共項(xiàng)，即，解得.故選：A.【變式4-1】（2024·河南周口·高二校考階段練習(xí)）的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的為，則不可能為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【解析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱關(guān)系，當(dāng)時(shí)，所有二項(xiàng)式系數(shù)中，最大；當(dāng)時(shí)，所有二項(xiàng)式系數(shù)中，，且均為最大；當(dāng)時(shí)，所有二項(xiàng)式系數(shù)中，最大；當(dāng)時(shí)，所有二項(xiàng)式系數(shù)中，，且均為最大；故選:A.【變式4-2】（2024·山東淄博·高二統(tǒng)考期末）已知的展開(kāi)式中第三項(xiàng)與第四項(xiàng)的系數(shù)之比為，則其展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)【答案】C【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)即為其二項(xiàng)式系數(shù)，所以第三項(xiàng)的系數(shù)為，第四項(xiàng)的系數(shù)為，所以，即，解得，所以展開(kāi)式一共有項(xiàng)，其第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.故選：C題型五：利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和【例5】（多選題）（2024·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）若，其中為實(shí)數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令，則原式轉(zhuǎn)化為，對(duì)A，令，得，故A正確；對(duì)B，由二項(xiàng)式定理得，故B錯(cuò)誤；對(duì)CD，令，得，令，得，所以，所以，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC【變式5-1】（多選題）（2024·河南·高二校聯(lián)考期末）已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A：取，則，則錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：取，則，則，故B正確；選項(xiàng)C：的展開(kāi)式通項(xiàng)為，所以，C正確；選項(xiàng)D：取，則，將其與作差，得，所以，故D正確.故選：BCD.【變式5-2】．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【解析】（1）在中，令，得．（2）令，得，令，得

②，兩式相減，得．（3）．【變式5-3】．（2024·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）已知二項(xiàng)式，且滿足.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）由得：，解得.（2）由（1）知，根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)，易知，，，為負(fù)值，其它系數(shù)為正值，所以，，于是，令則；令則；所以.題型六：二項(xiàng)式定理的綜合運(yùn)用【例6】（2024·湖北武漢·高二武漢市東湖中學(xué)校考期末）已知，且能被17整除，則的取值可以是.（寫出一個(gè)滿足題意的即可）【答案】1（答案不唯一）【解析】，要使能被17整除，則能被17整除即可，則，故可取，故答案為：【變式6-1】（2024·河南鄭州·高二校聯(lián)考期末）除以所得的余數(shù)是.【答案】22【解析】法一：由，前9項(xiàng)可以被整除，而，故余數(shù)為.法二：由，而，故余數(shù)為.故答案為：【變式6-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）用二項(xiàng)式定理估算.（精確到0.001）【答案】1.105【解析】.故答案為：1.105【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．1984 B．960 C．660 D．704【答案】D【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為．故選：D2．（2024·江西南昌·高二南昌十中校考階段練習(xí)）在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．299 B．300C． D．【答案】C【解析】的展開(kāi)式中，項(xiàng)是從5個(gè)多項(xiàng)式中任取1個(gè)用，再余下4個(gè)多項(xiàng)式中任取1個(gè)用，最后3個(gè)多項(xiàng)式都用1相乘的積，即，所以項(xiàng)的系數(shù)為.故選：C3．（2024·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若二項(xiàng)展開(kāi)式中的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)只有第項(xiàng)最大，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槎?xiàng)展開(kāi)式中的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)只有第項(xiàng)最大，所以，則展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），令，解得，所以，即展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.故選：D4．（2024·北京西城·高二期末）若的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B．945 C．2835 D．【答案】D【解析】令，得，得，則的展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，得，則，故展開(kāi)式中的系數(shù)為，故選：D．5．（2024·遼寧·高二盤錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）二項(xiàng)式展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B．70 C． D．【答案】D【解析】，令，即，故，即展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：D.6．（2024·遼寧·高二遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末），則（

）A．31 B．1023 C．1024 D．32【答案】B【解析】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以，當(dāng)時(shí)，可得為正數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得為負(fù)數(shù)，令，可得，令，可得，所以.故選：B.二、多選題7．（2024·云南紅河·高二開(kāi)遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在的展開(kāi)式中，則（

）A．所有項(xiàng)的系數(shù)和為0 B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)C．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64 D．常數(shù)項(xiàng)為【答案】BD【解析】A：設(shè)，所有項(xiàng)的系數(shù)為，所以，故A錯(cuò)誤；B：所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大的為和，對(duì)應(yīng)的是第3項(xiàng)和第4項(xiàng)，故B正確；C：所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，所以C錯(cuò)誤.D：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故D正確.故選：BD.8．（2024·江西宜春·高二校考階段練習(xí)）在的展開(kāi)式中，則（

）A．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為0C．常數(shù)項(xiàng)為D．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64【答案】AC【解析】A：所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大的為和，對(duì)應(yīng)的是第3項(xiàng)和第4項(xiàng)，故A正確；B：設(shè)，所有項(xiàng)的系數(shù)為，所以，故B錯(cuò)誤；C：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故C正確；D：所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，所以D錯(cuò)誤.故選：AC9．（2024·福建泉州·高二?？计谀╆P(guān)于二項(xiàng)式的展開(kāi)式，下列結(jié)論正確的是（

）A．展開(kāi)式所有項(xiàng)的系數(shù)和為 B．展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和為C．展開(kāi)式中不含項(xiàng) D．常數(shù)項(xiàng)為【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，解得，故展開(kāi)式中不含項(xiàng)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，令，可得，故展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，D對(duì).故選：BCD.三、填空題10．（2024·福建福州·高二福建省福州第八中學(xué)校考期末）的展開(kāi)式中，若二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)僅是第4項(xiàng)，則展開(kāi)式中的系數(shù)為．【答案】【解析】因?yàn)樵诙?xiàng)式的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)僅是第4項(xiàng)，所以展開(kāi)式中第4項(xiàng)是中間項(xiàng)，共有7項(xiàng)，則，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是.故答案為：．11．（2024·上海金山·高二?？计谀┒?xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令，得,則常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：160.12．（2024·江蘇·高二統(tǒng)考期末）的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）【答案】252【解析】因?yàn)?，所以展開(kāi)式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)為，對(duì)應(yīng)的是第6項(xiàng)，第6項(xiàng)的系數(shù)是.故答案為：25213．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期末）在展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為.【答案】【解析】由題意，多項(xiàng)式，根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算，展開(kāi)式中的系數(shù)為，又由.故答案為：.14．（2024·廣東廣州·高二?？计谀┰O(shè)，且，若能被13整除，則.【答案】【解析】依題意，，顯然是13的整數(shù)倍，則要使能被整除，當(dāng)且僅當(dāng)能被整除，而，，則，解得，所以.故答案為：15．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）將精確到0.01的近似值是．【答案】0.96【解析】因?yàn)?，且將精確到0.01，故近似值為0.96故答案為：0.9616．（2024·遼寧本溪·高二?？计谀┰凇皸钶x三角”中，每一個(gè)數(shù)都是它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，它開(kāi)頭幾行如圖所示．那么，在“楊輝三角”中，第行會(huì)出現(xiàn)三個(gè)相鄰的數(shù)，其比為．第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1【答案】62【解析】由題意可知第行第個(gè)數(shù)為，根據(jù)題意，設(shè)所求的行數(shù)為，則存在正整數(shù)，使得連續(xù)三項(xiàng)，，，有且．化簡(jiǎn)得，，聯(lián)立解得，．故第62行會(huì)出現(xiàn)滿足條件的三個(gè)相鄰的數(shù)．故答案為：62.17．（2024·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）設(shè)的小數(shù)部分為，則.【答案】7【解析】因?yàn)?，所以的整?shù)部分為3，則，即，所以，故.故答案為：718．（2024·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）已知展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為，解得.故答案為：19．（202