第2講 直角三角形八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步講義（北師大版）

第2講直角三角形

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

L掌握直角三角形的性質(zhì)；

2.掌握直角三角形的判定條件；

3.熟練運(yùn)用勾股定理及其逆定理進(jìn)行計(jì)算和證明

趣知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)

1.定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形

2.性質(zhì)

（1）直角三角形的兩銳角互余

（2）勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

（3）直角三角形中，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半

（4）直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

3.判定

（1）有一個(gè)角是90°的三角形是直角三角形；

（2）有一條邊上的中線(xiàn)等于這條邊的一半的三角形是直角三角形；

（3）勾股定理逆定理：若一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形

【知識(shí)拓展1】直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

例1.（2021?云南昭通?八年級(jí)期中）如圖，"是448C的高，BE平自NABC交AD于E,若N占60°,

/糜=70°,求/為C的度數(shù).

例2.（2021?廣西融水?八年級(jí)期中）如圖，在4/8C中，ADlBC千D,AE平■'分4DAC,ABAC=^°,NB

=60°；求NΛ5T的度數(shù).

BDEC

3.（2022?陜西榆林?八年級(jí)期末）如圖，在ABC中，ZSAC=90o,ADLBC于點(diǎn)。，點(diǎn)E是A〃上一點(diǎn),

連接5E.求證：/BED>NC.

例4.（2021?遼寧鐵西?八年級(jí)階段練習(xí)）兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中/砌C=N應(yīng)方=90°,/￡=45°,

∕C=30°,AB與DF交于懸M,BC//EF,求NNM的度數(shù).

A

【即學(xué)即練1]（2021?安徽長(zhǎng)豐?八年級(jí)階段練習(xí)）如圖1,在△/!%中，N6<NC,AD平令NBAaE為

4〃（不與點(diǎn)4〃重合）上的一動(dòng)點(diǎn)，EFLBC于點(diǎn)、F.

(2)求證：ZC-ZB=2∕DEF.

（3）如圖2,在△?!比中，ΛB<ΛC,AD平?分2BAaE為AD上一點(diǎn),夕工助交比1延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)汽，NACB

=nf,ΛB=no,直接寫(xiě)出/尸的度數(shù)（用含加，〃的代數(shù)式表示）.

【即學(xué)即練2】（2021?黑龍江建華?八年級(jí)期末）如圖，AfiC中，BELAC于點(diǎn)D,BE=AC,

ZACF=ZABE,CF=AB,連接/尸.線(xiàn)段∕?'與4?、有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并說(shuō)明理由.

【知識(shí)拓展2】直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半.

例1.（2021?河南?八年級(jí)期末）已知：如圖，`4BC為等邊三角形,切為中線(xiàn)，延長(zhǎng)比i至￡,使CE=CD,

連接弧

（1）證明：:8宏是等腰三角形;

（2）若442,求應(yīng)的長(zhǎng)度.

例2.（2021?江蘇?靖江外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知在等邊△/以中，〃是48的中點(diǎn)，DELAC

于￡,EFLBC于F,Aβ=12.求跖的長(zhǎng).

例3.(2021?山東汶上?八年級(jí)期中)重新定義：

DAPΔI

1.如圖1和圖2中，點(diǎn)/平面內(nèi)一點(diǎn)，如果言=2或制竹，稱(chēng)點(diǎn)尸是線(xiàn)段血的強(qiáng)弱點(diǎn).

2.我們都知道，在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半.那么反過(guò)來(lái)，如果在一個(gè)直角三角

形中，一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角也為30°.

啟發(fā)應(yīng)用：

請(qǐng)利用以上材料完成以下問(wèn)題：

(1)如圖2,在RtAAPB中,N/陽(yáng)=90°,4=30。，判斷點(diǎn)6是否是線(xiàn)段小的強(qiáng)弱點(diǎn)？并說(shuō)明理由：

(2)如圖3,在欣△?!比■中，ZJCS=90°,8是線(xiàn)段4C的強(qiáng)弱點(diǎn)(BA>BO,即是欣△力a1的角平分線(xiàn)，

求證：點(diǎn)〃是線(xiàn)段/C上的強(qiáng)弱點(diǎn).

圖1圖2圖3。

【即學(xué)即練1】(2021?浙江瑞安?八年級(jí)階段練習(xí))如圖，已知4/18C是等邊三角形，如是/C上的高線(xiàn).作

力反！四于點(diǎn)4交朋的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)后取跖的中點(diǎn)也連結(jié)4區(qū)

(1)求證：△?!￡"是等邊三角形;

(2)若力￡=1,求4/6C的面積.

【即學(xué)即練2】(2021?浙江余杭?八年級(jí)階段練習(xí))如圖，在ΔA8C中，AB=AC=IO,NABC=60。，D

是BC邊上的點(diǎn)，且。C=3,過(guò)點(diǎn)。作BC邊的垂線(xiàn)交4C邊于點(diǎn)E,求AE的長(zhǎng).

【知識(shí)拓展3】直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用

例1.如圖，一位同學(xué)做了一個(gè)寫(xiě)明裝置進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)，^ABC是該裝置左視圖，ZACB=90o,∕B=15°,

為了加固斜面，在斜面AB的中點(diǎn)D處連結(jié)一條支撐桿CD,量得CD=6.

(1)求斜坡AB長(zhǎng)和NADC的度數(shù)；

(2)該同學(xué)想用彩紙實(shí)驗(yàn)裝置中的AABC的表面，請(qǐng)你計(jì)算AABC的面積.

【即學(xué)即練1】如圖，AABC中，NACB=90°,NABC=60°,AB的中垂線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于D,交AC于E,已

知DE=2.貝IJAC的長(zhǎng)為.

【知識(shí)拓展31勾股定理及逆定理的應(yīng)用

例1.（2019?仙居縣模擬）如圖，比'中,ABLBC,AB=2CB,以C為圓心，曲為半徑作弧交”1于點(diǎn)〃,

以/為圓心，4。長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交/6于點(diǎn)笈貝∣J∕E的值是（）

【即學(xué)即練1】（2019秋?慈溪市期末）長(zhǎng)度為下列三個(gè)數(shù)據(jù)的三條線(xiàn)段，能組成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.3,5,7C.1,√913D.If?A

33

【即學(xué)即練2】（2019秋?蕭山區(qū)期末）如圖，以數(shù)軸的單位長(zhǎng)度線(xiàn)段為邊作一個(gè)正方形，以1為圓心，正

方形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)4則點(diǎn)4表示的數(shù)是（）

A.1B.-1C.1-√2D.√2

【即學(xué)即練3］（2019?寧波）勾股定理是人類(lèi)最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國(guó)古算書(shū)《周髀算經(jīng)》中早有記

載.如圖1,以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放

置在最大正方形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）

A.直角三角形的面積B.最大正方形的面積

C.較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積D.最大正方形與直角三角形的面積和

【即學(xué)即練4】（2019?紹興模擬）如圖，已知NMW30°,點(diǎn)8在邊4V上，且4!?=4正，點(diǎn)?從點(diǎn)/出

發(fā)沿射線(xiàn)方向運(yùn)動(dòng)，在邊4斗上取點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn)尸右側(cè)），連結(jié)BP,BC.設(shè)PC=m,當(dāng)△皮&成為等

腰三角形的個(gè)數(shù)恰好有3個(gè)時(shí)，見(jiàn)的值為4或2立或4J3＜廬12

(2)如圖1-2,在Rtz?ABr)中，No=90。，NB=45。，NAa)=60。，BC=IO,則49的長(zhǎng)為—

(3)已知：如圖1-3,Z?A8C中，NA=I35。，AC=2√2,AB=S,求BC

D

圖1-1圖1-2圖1-3。

演練2

2T所示,其中AB=2米，ABAC=30°,ZC=90°,因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅

色地毯，則在48段樓梯所鋪地毯的長(zhǎng)度應(yīng)為—

(2)如圖2-2,點(diǎn)。是矩形4及力的對(duì)角線(xiàn)4C的中點(diǎn)，￡是4?上的點(diǎn)，沿龍折疊后，點(diǎn)8恰好與點(diǎn)。重

合，若BC=3,則折痕B的長(zhǎng)為().

?.2√3D.6

如圖，已知在四邊形力質(zhì)中，AB=AD=S,/4=60。，ZADC=I50。，ZABC=90°,求如邊腸Ufa>?

AB

如圖，長(zhǎng)方體的高為5cm,底面長(zhǎng)為4cm,寬為ICrn.

(1)點(diǎn)A到點(diǎn)G之間的距離是多少？

(2)若一只螞蟻從點(diǎn)兒爬到C∣(只能從長(zhǎng)方體表面爬行)，則爬行的最短路程是

多少？

演練5

如囹所不網(wǎng)收方體是某種飲料的紙質(zhì)包裝盒，規(guī)格為5x6x10（單位：cm）,在上蓋中開(kāi)有一孔便于插吸管,

吸管長(zhǎng)為13cm,小孔到圖中邊18距離為ICnb到上蓋中與相鄰的兩邊距離相等，設(shè)插入吸管后露在盒

外面的管長(zhǎng)為hcm,則方的最小值為cm.

吸管

5

如圖1T,分別以直角三角形4、B、。三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用E、邑、邑表示，則不

難證明，=5?+S3.（正三角形面積是邊長(zhǎng)平方的日）

（1）如圖卜2,分別以直角三角形4%三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用S2、邑表示，那么

豆、S-S?之間有什么關(guān)系？（不必證明）

（2）如圖1-3,分別以直角三角形4、B、C三邊為邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別用\、S2、S3表示,

請(qǐng)你確定，、S2、S,之間的關(guān)系并加以證明.

演練7

已知a,b,C是三角形的三邊長(zhǎng)，a=2n2+2n,b=2n+?,c=2π2+2∕ι÷I（〃為大于1的自然數(shù)），試說(shuō)

明A4BC為直角三角形.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

一、單選題

1.（2021-貴州畢節(jié)?八年級(jí)期中）下列各組數(shù)據(jù)不是直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）

A.3,4,5B.6,8,10C.5,12,13D.5,13,18

2.（2021?湖南?永州市劍橋?qū)W校八年級(jí)期中）已知/4N8為直角1兩銳角，NQ54°,則/4=

（）

A.60oB.36oC.56oD.46°

3.（2021?江蘇濱海?八年級(jí)期中）如圖所示，公路4G園互相垂直，點(diǎn)"為公路46的中點(diǎn)，為測(cè)量湖

泊兩側(cè)G"兩點(diǎn)間的距離，若測(cè)得4?的長(zhǎng)為6km,則以。兩點(diǎn)間的距離為（）

二、填空題

4.（2021?廣西隆安?八年級(jí)期中）在RJABC中，銳角/4=50。，則另一個(gè)銳角NB=______.

5.（2022?全國(guó)?八年級(jí)）禪城區(qū)某一中學(xué)現(xiàn)有一塊空地4比》如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種草皮，經(jīng)測(cè)量

/3=90,AB=3m,BC=4/H,CD=13m,AD=12m,若每種植1平方米草皮需要300元，總共需投入一

元

6.（2021?江蘇濱海?八年級(jí)期中）若一個(gè)三角形的三邊之比為5：12：13,且周長(zhǎng)為60cm,則它的面積

為cm2.

7.（2021?黑龍江五常?八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E是Co上的一點(diǎn)，RlAACZJgRlAEBC,則下列結(jié)論:

①AC=3C；②A③NAcB=90。；?AD+DE=BE,其中成立的有個(gè).

三、解答題

8.（2022?全國(guó)?八年級(jí)）如圖所示的一塊地，已知4分4米，GA3米，NADO90°,/1廬13米，除12米,

則這塊地的面積為多少？

9.（2021?陜西臨渭?八年級(jí)期中）如圖，在中，AB=7cm,AC=25cm,BC=24cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/出

發(fā)沿46方向以Icm/5的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B,動(dòng)點(diǎn)0從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以6cm∕s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C,P、。兩

點(diǎn)同時(shí)出發(fā).

（1）求N6的度數(shù)；

（2）連接產(chǎn)。，若運(yùn)動(dòng)2s時(shí)，求只。兩點(diǎn)之間的距離.

BQC

題組B能力提升練

一、單選題

1.（2022?云南廣南?八年級(jí)期末）若以下列各組數(shù)值作為三角形的三邊長(zhǎng)，則不能?chē)芍苯侨切蔚氖?/p>

（）

A.4、6^8B,3、4、5

C.5、12、13D.1、3、√iθ

2.（2021?河北?邯鄲市永年區(qū)第八中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）下列命題的逆命題是假命題的是（）

A.同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行

B.對(duì)于有理數(shù)a,如果3a>0,那么a>0

C.有兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形

D.在任何一個(gè)直角三角形中，都沒(méi)有鈍角

二、填空題

3.（2021?江蘇贛榆?八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)。是等邊△?!園內(nèi)的一點(diǎn)，為=6,PB=8,aC=I0,若點(diǎn)〃

是a48C外的一點(diǎn)，且a〃Ag∕?PAC,則N4加的度數(shù)為

4.（2022?江西九江?八年級(jí)期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中力（-2√J,0）、B（2,0）、C（0,2）.點(diǎn)戶(hù)

在X軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)"與點(diǎn)力、B、C三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

三、解答題

5.（2021?吉林朝陽(yáng)?八年級(jí)期末）如圖，有一張四邊形紙片ABC。，經(jīng)測(cè)得AS=9cm,BC=12cm,

CD=8cm,AD=17cm.

(1)求A、C兩點(diǎn)之間的距離.

（2）求這張紙片的面積.

D

B

6.(2021?江蘇?贛榆匯文雙語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))已知a,b,C滿(mǎn)足血I+病。+(c-√18)2

=0

(1)求a,b,C的值；并求出以a,b,C為三邊的三角形周長(zhǎng);

(2)試問(wèn)以a,b,C為邊能否構(gòu)成直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

題組C培優(yōu)拔尖練

一、解答題

1.(2021?山西平定?八年級(jí)期中)通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：

(1)如圖1,NBAD=90°,AB=AD,過(guò)點(diǎn)8作BCUC于點(diǎn)、C,過(guò)點(diǎn)〃作DELAe于點(diǎn)、E.由N1+N2=N2+

=90°,得/1=N〃.又乙億戶(hù)=N45S=90°,可以推理得到△四正反進(jìn)而得到4?=,BC=AE.?

們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為“4字”模型或“一線(xiàn)三等角”模型；

(2)如圖2,NBAD=∕CAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接8C,DE,且BCLAF于點(diǎn)、F,DE與直線(xiàn)4F