3年級上冊數(shù)學(xué)奧數(shù)講義 第06講 復(fù)雜周期問題（教師版）

第6講復(fù)雜周期問題

三年級秋季

一、復(fù)雜周期問題(三上)

1、當(dāng)實際問題不是完整周期時，要先把周期之外的問題考慮好，再計算周期相關(guān)的問題.

比如在蝸牛爬井問題中，爬出井口那天不需要再下滑，所以要先去掉最后一天的影響，即有尾周期，要

先"去尾注意最后的周期是否完整.

2、和日期相關(guān)的周期問題

(1)四年一閏，百年不閏，四百年再閏.

(2)閏年：2月有29天，一年366天.平年：2月有28天，一年365天.

(3)一星期是7天，所以是7天一周期.

(4)大小月的判斷：一,、三、五、七、八、十、臘，三十一天永不差.拳頭法.

3、在日期問題中有個非常好用的小技巧叫“度日.如年

頌小判斷

四年一閏，百年不閏，四百年再閏.判斷下面哪些年份是閏年？哪些年份是平年？(1)1949年是：

(2)1900年是；(3)1988年是；(4)4000年是.

冬小總結(jié)

四年一閏，百年不閏，四百年再閏.閏年：一年366天.平年：一年365天，大月小月的判斷口訣：

一、三、五、七、八、十、臘，三十一天永不差；四、六、九、冬，三十整；平年二月二十八，閏年二月

把一加.拳頭法.

金仁課堂例題

蝸牛爬井

1、一只蝸牛在一口15米深的井底，如果它每個白天往上爬3米，但是晚上又往下滑1米.請問：這只蝸

牛在第幾天能爬出這口井？

【答案】

【解析】

蝸牛最后一定是白天向上爬時到達井口的，除掉最后一天，前面整周期內(nèi)需要爬15-3=12米，需要

12÷(3-1)=6個周期，所以共需要6+1=7天能爬出這口井.

2、桌上原本放著6塊巧克力，第1天阿呆吃掉了2塊，第2天媽媽又放了4塊巧克力，第3天阿呆又吃

掉了2塊，第4天媽媽又放了4塊……如此不停的循環(huán)下去.請問：第幾天結(jié)束的時候桌子上有10塊巧

克力？(請寫出所有可能)

【答案】

4天，7天

【解析】

有兩種情況，一種是放上去4塊后，桌上有10塊，另一種是吃掉2塊后，桌上有10塊.

⑴每2天,桌上會增加4-2=2塊，一共需要增加10-6=4塊,所以需要4÷2=2個周期，需要2x2=4天.

(2)阿呆吃掉以前還剩10+2=12塊，每周期增加4-2=2塊，一共需要增加12-6=6塊，需要6+2=3個

周期，所以需要2x3+l=7天.

3、一只蝸牛從深30米的井底向上爬.第一天向上爬了6米；第二天休息，于是向下滑了4米；第三天再

向上爬6米；第四天又向下滑4米……按這樣的規(guī)律進行下去，蝸牛第幾天才能爬到井口？

【答案】

第25天

【解析】

方法一：蝸牛要爬出井，一定是在某一天向上爬時爬出井的.蝸牛在這一天最多爬6米，那么在之前的時

間內(nèi)，蝸牛一共至少爬了24米.這只蝸牛爬一天休息一天，第一天向上爬6米，第二天滑下來4米，所

以這2天實際上只向上爬了2米.把2天看作一個周期，那么要爬24米需要24÷2=12個完整的周期.因

此蝸牛要爬出井一共需要2x12+1=25天.

方法二：我們選取第二天作為周期的起點，以“下滑4米，上爬6米”為一個周期.第一天上爬6米，剩下

24米，那么還需要24÷2=12個周期.每個周期2天，則一共24天，再加上第一天，所以一共25天.

4、(1)卡莉婭養(yǎng)了一只小白兔.一開始小白兔窩里有40根胡蘿卜.第一天卡莉婭在窩里放了4根，第二天

小.白兔吃了6根.第三天卡莉婭在.窩里放了4根，第四天小白兔吃了6根這樣下去，第幾天小白兔

正好吃完胡蘿卜？

(2)卡莉婭養(yǎng)了一只小白兔.一開始小白兔窩里有40根胡蘿卜.第一天小白兔吃了6根，第二天卡莉婭在

窩里放了4根.第三天小白兔吃了6根，第四天卡莉婭在窩里放了4根，……這樣下去，第幾天小白兔正

好吃完胡蘿卜？

【答案】

(1)40(2)31

【解析】

(1)每個周期胡蘿卜減少6-4=2根，所以40÷2=20個周期可以吃完，即20x2=40天正好吃完.

(2)胡蘿卜是在小白兔吃的那天吃完的，所以截止到前一天，還剩6+4=10根，需要(40-10)÷(6-4)=15個

周期，所以共需要15x2+1=31天.

二、和日期有關(guān)的周期問題

5、(1)如果今天是星期六，那么再過60天是星期幾？

(2)如果前天是星期一，那么從今天起再過50天是星期幾？

【答案】

⑴三(2)四

【解析】

(1)每星期7天，60÷7=8……4,所以60天共8個周期再過4天.則再過60天是6+4-7=3,即星期三.

(2)今天是星期三，每星期7天，50÷7=7......1,所以50天共7個周期再過1天.則再過50天是3+1=4,

即星期四.

6、(1)2033年1月4日是星期二，請問：2033年4月20日是星期幾？

(2)2052年1月20日是星期六，請問：2052年4月5日是星期幾？

【答案】

⑴三⑵五

【解析】

+31+28+31÷16

⑴2033年為平年,所以2月有28天.14---->2.4----->3.4---->4.4---->4.20,31+28+31+16=106

天，106÷7=15......1,2+1=3,所以2033年4月20日是星期三.

+31+29+11+5

(2)2025年為閨年，所以2月有29天.L20----^2.20---->3,20---->3.31---->4,5,31+29+11+5=76

天，76÷7=10……6,6+6-7=5,所以2052年4月5日是星期五.

7、2013年元旦是星期二.請問：

(1)2012年元旦是星期幾？

(2)2014年5月20日是星期幾？

【答案】

⑴日⑵二

【解析】

(1)2012年1月1號到20.13年1月1號過的是2012年的二月為閏年.366+7=52......2,2013年元旦是星

期二，往回推2天，2012年元旦應(yīng)該為星期日.

(2)2013年1月1號到2014年1月1號過的是2013年的二月為平

+31+28+30+30+19

年.Ll----?2.1---->3.1---->4.1---->5.1---->5,20(365+31+28+30+30+19)÷7=71……6,

2013年元旦是星期二，所以2014年5月20日是星期日.

8、2013年9月3日是星期二，請問2013年12月9日是星期幾?

【答案】

【解析】

+30+31+30+6

9?3-------A10?3------->11-3------->12.3------->12.9,30+31+30+6=97,97÷7=13......6,2+6-7=1,所

以2013年12月9日是星期一.

9、(1)某月有31天，有4個星期二和4個星期五，那么這個月的20日是星期幾？

(2)某月的星期二比星期一多，那么這個月的25日是星期幾？

【答案】

(1)星期四(2)星期五

【解析】

(1)31÷7=43,可以把這31天分成4周剩最后3天.在這完整的4周(注意，完整的一周不一定從星

期一算到星期日，也有可能從星期四算到下一個星期三)中，星期一至星期日各出現(xiàn)4次.由于這31天中

恰有4個星期二和4個星期五，那么在余下的3天中一定沒有星期二和星期五.而這3天又是連續(xù)的，那

么這3天只能是星期六、星期日和星期一.某月有31天，最后3天分別是星期六、星期日和星期一，即.31

日是星期一.那么開始3天也分別是星期六、星期日和星期一，那么1日是星期六，20日為星期四.

(2)星期一和星期二是連續(xù)的兩天，一般來說,它們都要在一個月中成對出現(xiàn).但本題中星期二比星期一多，

那么一定是月初把成對本應(yīng)出現(xiàn)的星期一和星期二分割開，即這個月的1日是星期二.那么這個月的25

日就是24天后，星期五.

隨堂練習(xí)

1、(1)工廠的倉庫里有80噸貨物，這些貨物都由同一輛卡車負責(zé)運輸.第一天往倉庫里運進了50噸，第

二天運出了60噸，第三天又運進50噸，第四天再運出60噸……如此不停地運下去.第幾天的時候，倉

庫里的貨物恰好被運完？

(2)工廠的倉庫里有80噸貨物，同樣是由一輛卡車負責(zé)貨物的運輸.第一天，從倉庫里運出60噸，第二天

再運進50噸，第三天又運出60噸，第四天再運進50噸……如此不停地運下去.第幾天的時候，倉庫里

的貨物恰好被運完？

【答案】

(1)第16天(2)第5天

【解析】

(1)第一天運進50噸，第二天運出60噸，相當(dāng)于2天一共運出60-50=10噸；以后不停地循環(huán)下去，也就

是以2天為周期，每個周期向外運10噸貨物.由于80÷10=8,因此要把倉庫清空需要運8個周期，即

2x8=16天，可以運完貨物.

(2)方法.一：由題意，得最后一天必為運出60噸貨物，以2天為一個周期，每個周期運出貨物60-50=10

噸.要使倉庫中剩下60噸貨物，需要運(80-60)+10=2個周期，即2x2=4天.運完剩下的貨物還需1

天，所以一共需要4+1=5天.

方法二：以第2天為周期起點，把第2天與第3天看作一個周期.，第4天與第5天看作一個周期，依此類

推.那么在第1天后，倉庫中還剩下80-60=20噸貨物.每個周期有2天，共運出10噸，因此還需要運2

個周期，一共需要l+2*2=5天.

2、菜地里有7根成熟的胡蘿卜，第1天白兔媽媽挖出3根，第2天又有4根胡蘿卜成熟了，第3天白兔

媽媽又挖出3根，第4天又有4根胡蘿卜成熟了……照這樣下去，到第幾天的時候，菜園里剛好有8根成

熟的胡蘿卜？(請寫出所有可能)

【答案】

2天，9天

【解析】

有兩種情況，一種是蘿卜成熟后，園里剛好有8根，另一種是挖出3根后，園里有8根.

⑴每2天，菜園里會增加4-3=1根，一共需要增加8-7=1根，所以需要1÷1=1個周期，需要2x1=2天.

(2)白兔媽媽挖出3根以前還剩8+3=11根,每周期增加4-3=1根,一共需要增加11-7=4根,需要4÷1=4

個周期，所以需要2x4+l=9天.

3、如果今天是星期四，那么再過30天是星期幾？

【答案】

六

【解析】

每星期7天，30÷7=4......2,所以30天共4個周期再過2天.則再過30天是4+2=6,即星期六.

4、2012年3月12日是星期一.請問：2012年兒童節(jié)是星期幾？

【答案】

五

【解析】

+31+30+19+1

312------->4-12------->5-12------->5-31------->61,31+30+19+1=81天，81÷7=11……4,1+4=5,所以

2012年兒童節(jié)是星期五.

國政課后作業(yè)

F5K?商桃子，它每天白天摘3個桃子，但到了晚上就要吃掉5個桃子..如果第一天白天之前小懶猴

家里存著20個桃子，那么到第天晚上它就會吃完所有的桃子.

【答案】

10

【解析】

每天家里存的桃子減少5-3=2個，所以到第20-2=10天晚上吃完.

2、有一個裁縫，每天白天能賣出6件衣服，到了晚上能做出4件衣服.如果第一天白天之前裁縫有30件

衣服的庫存，那么到了第天白天裁縫能賣掉所有衣服.

【答案】

13

【解析】

最后一天賣出6件衣服后賣掉所有衣服，說明截止前一天減少30-6=24件衣服..每天庫存減少6-4=2件,

則24÷2=12個周期后剩6件，所以第12x1+1=13天白天裁縫能賣掉所有衣服.

3、狗熊摘苞米，它每天白天摘10個苞米存到倉庫里，但每天晚上狗熊睡覺的時候，都會被猴子偷走6個

苞米.開始時”狗熊的倉庫里沒有.苞米，到第天白天狗熊倉庫里就會有30個苞米.

【答案】

6

【解析】

最后一天白天有30個苞米，在此之前己經(jīng)有了30-10=20個.摘20個苞米需要20÷(10-6)=5天，所以

第6天白天狗熊倉庫里就會有30個苞米.

4、第一天蝸牛在井的底部，井深100米,蝸牛每天白天向上爬10米，晚上下滑5米，那么蝸牛在第

天爬出井口.

【答案】

19

【解析】

一上一下為一周期，最后爬出井一定是向上爬出，是不完整的周期.向上爬10米后就爬出了，于是前面

完整的周期中向上爬了100-10=90米，每周期向上爬10-5=5米，所以前面爬了90÷5=18天，第19天

爬出井口.

5、如果今天是星期三，那么再過24天是星期.（請寫數(shù)字）

【答案】

6

【解析】

24÷7=3......3.3+3=6,所以再過24天是星期6.

6、2013年10月1日是星期二，那么2013年12月31日是星期.（請寫數(shù)字）

【答案】

2

【解析】

10月1日到12月31日共經(jīng)過31+30+30=91天，91÷7=13,則12月31日是星期二.

7、2013年10月1日是星期二，那么2014年10月1日是星期.（請寫數(shù)字）

【答案】

3

【解析】

2013年10月1日到2014年10月1日過的是2014年的2月.2014年為平年，所以經(jīng)過了365天,

365÷7=52......1,那么2014年10月1日是星期三.

8、2016年12月31日是星期六，那么2015年12月31日是星期.（請寫數(shù)字）

【答案】

4

【解析】

2015年12月31日到2016年12月31日過