高中物理【天體運動的三類典型問題】學(xué)案及練習(xí)題

高中物理【天體運動的三類典型問題】學(xué)案及練習(xí)題

關(guān)鍵能力合作探究。

類型1人造衛(wèi)星的發(fā)射、變軌問題

『探究歸納

I.衛(wèi)星發(fā)射及變軌過程概述

人造衛(wèi)星的發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌方可到達預(yù)定軌道，如圖所示。一

(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道I上。f

(2)在A點(近地點)點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供衛(wèi)星〈^ηryβ

在軌道I上做勻速圓周運動的向心力，衛(wèi)星做離心運動進入橢圓軌道π。

(3)在B點(遠(yuǎn)地點)再次點火加速進入圓形軌道in。

2.三個運行物理量的大小比較

(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道I和HI上運行時的速率分別為0、。3,在軌道H上過A點和B

點速率分別為辦、VBo在4點加速，則在8點加速，則S>θB,又因0|>。3，故

有VA>Vi>V3>Vβ<,

(2)加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道I還是軌道∏上經(jīng)

過A點，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過B點加速度也相同。

(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在I、II、In軌道上運行周期分別為，、T2、Ti,軌道半徑分別為八、

吆半長軸)、，3，由開普勒第三定律捻=及可知A<7?<7‰

典例我國正在進行的探月工程是高新技術(shù)領(lǐng)域的一次重大科技活動，在探月工程

中飛行器成功變軌至關(guān)重要。如圖所示，假設(shè)月球半徑為R,月球表面的重力加速度為go,

飛行器在距月球表面高度為3R的圓形軌道I上運動，到達軌道的A點點火變軌進入橢圓軌

道π,到達軌道的近月點B再次點火進入近月軌道m(xù)繞月球做圓周運動，貝∣J()

—、、、

,f、、

//、X

/,<γ"''√1

：.

?ζλ...--7

?∏/

一…1I

A.飛行器在8點處點火后，速度增加

B.由已知條件不能求出飛行器在軌道II上的運行周期

C.在只有萬有引力作用的情況下，飛行器在軌道II上通過B點的加速度大于在軌道HI

上通過B點的加速度

D.飛行器在軌道HI上繞月球運行一周所需的時間為2兀

［解析］在橢圓軌道近月點變軌成為圓軌道，要實現(xiàn)變軌應(yīng)給飛行器點火減速，減小所

需的向心力，故點火后速度減小，故A錯誤；設(shè)飛行器在近月軌道川繞月球運行一周所需

的時間為73,則帆?0=，〃/?^,解得T3=2π根據(jù)幾何關(guān)系可知，軌道Il的半長軸”

=2.5R,根據(jù)開普勒第三定律K=A以及飛行器在軌道川上的運行周期，可求出飛行器在軌

道Il上的運行周期，故B錯誤，D正確；在只有萬有引力作用的情況下，飛行器在軌道Il

上通過B點的加速度與在軌道Ill上通過B點的加速度相等，故C錯誤。

［答案］D

［名師點評］

判斷衛(wèi)星變軌時速度、加速度變化情況的思路

(1)判斷衛(wèi)星在不同圓軌道的運行速度大小時，可根據(jù)“越遠(yuǎn)越慢”的規(guī)律判斷。

(2)判斷衛(wèi)星在同一橢圓軌道上不同點的速度大小時，可根據(jù)開普勒行星運動第二定律

判斷，即離中心天體越遠(yuǎn)，速度越小。

(3)判斷衛(wèi)星由圓軌道進入橢圓軌道或由橢圓軌道進入圓軌道時的速度大小如何變化

時，可根據(jù)離心運動或近心運動的條件進行分析。

FM

(4)判斷衛(wèi)星的加速度大小時，可根據(jù)4=m判斷。

針對

1.(多選)如圖所示，在發(fā)射地球同步衛(wèi)星的過程中,

衛(wèi)星首先進入橢圓軌道I.然后在。點通過改變衛(wèi)星速度，讓衛(wèi)星進

入地球同步軌道I［,則()

A.該衛(wèi)星的發(fā)射速度必定大于11.2k∏√s

B.衛(wèi)星在同步軌道∏上的運行速度大于7.9kn√s

C.在橢圓軌道上，衛(wèi)星在尸點的速度大于在Q點的速度

D.衛(wèi)星在Q點通過加速實現(xiàn)由軌道I進入軌道∏

解析：11.2km/s是衛(wèi)星脫離地球引力束縛的發(fā)射速度，而同步衛(wèi)星仍然繞地球運動,

故選項A錯誤；7.9km∕s(第一宇宙速度)是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，也是衛(wèi)星做圓周運動最大

的環(huán)繞速度，同步衛(wèi)星運動的線速度一定小于第一宇宙速度，故選項B錯誤；橢圓軌道I

上，P是近地點，故衛(wèi)星在P點的速度大于在。點的速度，衛(wèi)星在軌道I上的。點做向心

運動，只有加速后才能沿軌道Il運動，故選項C、D正確。

答案：CD

2.(多選)如圖所示，發(fā)射同步衛(wèi)星的一般程序是：先讓衛(wèi)星進入一個近地的圓軌道,

然后在尸點變軌，進入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道（該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的尸點，遠(yuǎn)地

點為同步圓軌道上的。點），到達遠(yuǎn)地點Q時再次變軌，進入同步軌道。設(shè)衛(wèi)星在近地圓軌

道上運行的速率為切，在橢圓形轉(zhuǎn)移軌道的近地點P的速率為。2,沿轉(zhuǎn)移軌道剛到達遠(yuǎn)地

點Q時的速率為S，在同步軌道上的速率為列，三個軌道上運動的周期分別為Te則

下列說法正確的是（）

A.在P點變軌時需要加速，在。點變軌時要減速

B.在P點變軌時需要減速，在。點變軌時要加速

C.T?<T2<T1,

D.V2>V?>V4>Vτ,

解析：由離心運動條件知衛(wèi)星在P點做離心運動，變軌時需要加速，在。點變軌時仍

要加速，故選項A、B錯誤；衛(wèi)星在橢圓形轉(zhuǎn)移軌道的近地點P時做離心運動，所受的萬有

MmV22

引力小于所需要的向心力，即c?<嗝，而在圓軌道時萬有引力等于向心力，即

Vf2.

〃仄T，所以。2>。1,由衛(wèi)星在Q點點火加速進入圓軌道可知SVO4,又由人造衛(wèi)星的線速度

月可知Vι>U4,由以上所述可知選項D正確；由于軌道半徑V&VR3,由開普勒

V—

R3

第三定律聲=Nk為常量）得Tι<T2<T3,故選項C正確。

答案：CD

類型2衛(wèi)星的追及與相遇問題

r?探究歸納

兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)同向繞地球做勻速圓周運動，a衛(wèi)星的角速度為3a,b衛(wèi)星

的角速度為電>。

若某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面同一點正上方，相距最近，如圖甲所示。

當(dāng)它們轉(zhuǎn)過的角度之差A(yù)0=τt,即滿足如。一曲。=兀時，兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn)，如

圖乙所示。

當(dāng)它們轉(zhuǎn)過的角度之差A(yù)0=2兀，即滿足gAf—ob?f=2兀時，兩衛(wèi)星第二次相距最近，

經(jīng)過一定的時間，兩衛(wèi)星又會相距最遠(yuǎn)和最近。

兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的條件：ωa?r-ωb?r=(2n+1)π(n=O,1,2???)o

兩衛(wèi)星相距最近的條件：ωa?r-ωb?^=2∕tπ(n=θ,l,2…)。

典例團人造衛(wèi)星甲、乙分別繞地球做勻速圓周運動，衛(wèi)星乙是地球同步衛(wèi)星，衛(wèi)星

甲、乙的軌道平面互相垂直，乙的軌道半徑是甲軌道半徑的泰倍，某時刻兩衛(wèi)星和地心在

同一直線上，且乙在甲的正上方(稱為相遇)，如圖所示。在這以后，甲運動8周的時間內(nèi)，

它們相遇了()

'',r---*?---*?--

、I?

%I/

A.4次B.3次

C.2次D.6次

［解析］根據(jù)周期公式T=2π^得白=5,又因招=mπ("ι=1,2…，16),手7=

“2π("2=l,2,3???),解得f=，7>=當(dāng)T人當(dāng)“2=1時，"ι=5;當(dāng)機=2時，M∣=10;當(dāng)“2

=3時，n∣=l5,所以在這以后，甲運動8周的時間內(nèi)，它們相遇了3次，B正確。

［答案］B

［名師點評］

天體追及、相遇問題的處理思路

(1)根據(jù)窄m=ZW?"2可判斷角速度的大小。

(2)在解決衛(wèi)星與地球上物體的追及、相遇問題時，要根據(jù)地球上物體與同步衛(wèi)星角速

度相同的特點進行分析。

針對Pl啕

3.某行星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道均可視為圓。每過N年，該行星會運行

到日地連線的延長線上，如圖所示。該行星與地球的公轉(zhuǎn)半徑之比為()

N+l3N3

c?(N5D?m

解析：由題意每過N年地球比行星多運動一周，即g—3=1,再結(jié)合開普勒第三定律

類型3雙星問題

r?探究歸納

1.雙星模型

宇宙中往往會有相距較近、質(zhì)量相當(dāng)?shù)膬深w星球，它們離其他星

球都較遠(yuǎn)，因此其他星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計。在這種情

況下，它們將各自圍繞它們連線上的某一固定點。做同周期的勻速?

圓周運動。這種結(jié)構(gòu)叫作雙星模型(如圖所示)。、_/

2.雙星的特點

(1)由于雙星和該固定點?？偙３秩c共線，所以在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度必然相等，

即雙星做勻速圓周運動的角速度必然相等，因此周期也必然相等。

(2)由于每顆星球的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相

等，即“⑷2n=皿蘇又r∣+∕?2=L(L是雙星間的距離)，可得n=TL,r=?L,

m?-rni22m?-r?m2

即固定點離質(zhì)量大的星球較近。

(3)列式時需注意：萬有引力定律表達式中的r表示雙星間的距離，該處按題意應(yīng)該是L,

而向心力表達式中的r表示它們各自做圓周運動的軌道半徑。

典例

勻速圓周運動，而不至于因相互之間的引力作用吸引到一起。設(shè)兩者相距為L質(zhì)量分別為

t∏?和"22。

(1)試證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都等于質(zhì)量的反比；

(2)試寫出它們角速度的表達式。

［解析］雙星之間相互作用的引力滿足萬有引力定律，即F=

o?,雙星依靠它們之間相互作用的引力提供向心力，又因為它們∕Λ?*

以二者連線上的某點為圓心，所以半徑之和為L且保持不變，運動中n,vj)

角速度不變，如圖所示。

(1)分別對m1、加2應(yīng)用牛頓第二定律列方程,

對m?有詈=如蘇"①

對m2有G"；?2=M2①2〃②

由①②得上警

由線速度與角速度的關(guān)系。=5,得意=彳=,。

⑵由①得八=舞，由②得「2=母,

又L=r1+廠2,聯(lián)立以上三式得<?=?∕G("告3。

［答案］⑴見解析(2)片4叫再

［名師點評］

求解雙星問題的思路

(1)兩個星球之間的萬有引力為它們做勻速圓周運動提供向心力。

(2)兩個星球的角速度和周期都相同。

(3)兩個星球做勻速圓周運動時圓心為同一點。

(4)兩個星球的軌道半徑之和等于它們之間的距離。

針對

4.(多選)某雙星系統(tǒng)由兩顆恒星構(gòu)成，質(zhì)量分別

為ml和m2,距中心的距離分別為rl和廠2,且外>r2,則下面的表述

正確的是()

A.它們運轉(zhuǎn)的周期相同

B.它們的線速度大小相同

C.m?f>m?

D.它們的加速度大小相同

解析：雙星系統(tǒng)的角速度和周期是相同的，A正確；雙星系統(tǒng)的角速度相等，根據(jù)。=

小。及r∣>∕"2知，它們的線速度一定不同，B錯誤；設(shè)雙星之間的距離為Z,,對，〃i：G"'：)=

m?r?ar,對mi：Gm^"=m2r2ω2,解得m?r?=m2r2,因為r?>rτ,所以m2>ιn?,C正確；對

m?:dn'^^=m?a?,對m：d"；；"=他S,解得去=器，故加速度大小不同，D錯誤。

答案：AC

5.''雙星系統(tǒng)”由兩顆相距較近的恒星組成,每個恒星的線度遠(yuǎn)小,L……

/

于兩個星體之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體。如圖所示，,?/---?..\

m2q十卞-Qml：

兩顆星球組成的雙星，在相互間的萬有引力作用下，繞連線上的。點\;

做周期相同的勻速圓周運動?，F(xiàn)測得兩顆星球之間的距離為L,其質(zhì)量

分別用加、加2表示，且如：/?2=5:2,則可知()

A.〃?|、做圓周運動的線速度之比為2：5

B.如、皿做圓周運動的角速度之比為5：2

C.雙星間距離一定，雙星的總質(zhì)量越大，其轉(zhuǎn)動周期越大

D.雙星的質(zhì)量一定，雙星之間的距離越大，其轉(zhuǎn)動周期越小

解析：雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度，設(shè)為。，則有縹也

r∣J7792V↑Γ?2

11

=tn?ωr?=m2ωr2f解得R=肅=5，根據(jù)O=G尸知云=}=§，故A正確；雙星具有相同的

角速度，則加]、加2做圓周運動的角速度之比為1：1,故B錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力，

有Gm^2=mr^~r?得G^2Γ2=4π2r∣L2,GwιT2=4π2Γ2A2,聯(lián)立得G(m?+m2)T1=

4π2λ?T=\,雙星間距離一定，雙星的總質(zhì)量越大，其轉(zhuǎn)動周期越小，雙

?∣G(∣nl+m2)

星的質(zhì)量一定，雙星之間的距離越大，其轉(zhuǎn)動周期越大，故C、D錯誤。

答案：A

課堂檢測素養(yǎng)達標(biāo)。

L某宇宙飛船在月球上空以速度。繞月球做圓周運動，如圖所示。為了使飛

船安全地落在月球上的8點，在軌道A點點燃火箭發(fā)動器做短時間的發(fā)動，向外

噴射高溫燃?xì)?，噴氣的方向?)

A.與0的方向相反B.與0的方向一致

C.垂直。的方向向右D.垂直。的方向向左

解析：要使飛船降落，必須使飛船減速，所以噴氣方向應(yīng)該與0方向相同，因此B正

確。

答案：B

2.銀河系的恒星大約四分之一是雙星。如圖所示，某雙星由質(zhì)量不二

等的星體Si和S2構(gòu)成,兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上√,''?

Q^τ----O1

某一定點C做勻速圓周運動，由天文觀察測得其運動周期為T,Sl到Cs∣[?C

點的距離為n,S1和S2的距離為r,且rl>^已知引力常量為G,那么以下說法正確的是（）

A.由于r∣>5,所以星體Sl的向心力小于S2的向心力

B.Sl的質(zhì)量大于S2的質(zhì)量

C.兩星做圓周運動的線速度大小相等

4兀2戶為

D.S2的質(zhì)量為甯1

解析：雙星系統(tǒng)通過相互作用的萬有引力提供向心力，故星體Sl的向心力等于S2的向

2

心力，故A錯誤;SI和S2有相同的角速度和周期，由萬有引力提供向心力得G^yp-=m?ωr↑9

mm22

^?=m2ωr2f解得也=N又門則S］的質(zhì)量小于S2的質(zhì)量，故B錯誤；根據(jù)O=

r~m2為2

①尸可知，兩星軌道半徑不等，則線速度不等，故C錯誤；星體Si做圓周運動的向心力由萬

有引力提供，有色警^=加］筆■門，解得刀2=4：：”,故D正確。

廣/Ul

答案：D

3.假設(shè)火星和木星繞太陽做勻速圓周運動，周期分別是Tt和T2,而且火星離太陽較近,

它們繞太陽運動的軌道基本上在同一平面內(nèi)，若某一時刻火星和木星都在太陽的同一側(cè)，三

者在一條直線上排列，那么再經(jīng)過多長的時間將第二次出現(xiàn)這種現(xiàn)象（）

A號

B.√τπ?

C尸?

解析：根據(jù)萬有引力提供向心力得?=根節(jié)τ,解得7=2兀點而火星離太陽較

近，即軌道半徑小，所以周期小。設(shè)再經(jīng)過f時間將第二次出現(xiàn)這種現(xiàn)象，此時火星比木星

多轉(zhuǎn)一周，所以和一金=2兀，解得尸罟，故D正確。

答案：D

4.2021年10月16日0時23分，搭載神舟十三號載人飛船的長征二號F遙十三運載

火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心按照預(yù)定時間精準(zhǔn)點火發(fā)射，約582秒后，神舟十三號載人飛船

與火箭成功分離，進入預(yù)定軌道，順利將翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員送入太空，飛

行乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功。10月16日6時56分，神舟十三號載人飛船與中國

空間站組合體完成自主快速交會對接。根據(jù)題中信息，下列說法不正確的是（