2022-2023學(xué)年湖北省恩施市長(zhǎng)樂(lè)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年湖北省恩施市長(zhǎng)樂(lè)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面積為，則BC＝()A．3

B．5

C．7

D．15參考答案：C2.某商場(chǎng)在國(guó)慶黃金周的促銷活動(dòng)中，對(duì)10月2日9時(shí)至14時(shí)的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖1所示，已知9時(shí)至10時(shí)的銷售額為2.5萬(wàn)元，則11時(shí)至12時(shí)的銷售額為（

）A.6萬(wàn)元

B.8萬(wàn)元

C.10萬(wàn)元

D.12萬(wàn)元參考答案：C略3.四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱與底面所成的角都等于60°，它的所有頂點(diǎn)都在直徑為2的球面上，則該四棱錐的體積為

參考答案：B略4.2007名學(xué)生中選取50名學(xué)生參加湖北省中學(xué)生夏令營(yíng)，若采用下面的方法選取:先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則每人入選的概率（

）A.不全相等

B.均不相等C.都相等，且為

D.都相等，且為參考答案：C略5.△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(-4,0)，B(4,0)，△ABC周長(zhǎng)為18，則C點(diǎn)軌跡為(

)A．(y≠0)

B.(y≠0)C.(y≠0)

D.(y≠0)參考答案：A略6.已知圓O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以O(shè)C為直徑的圓的方程(

)A. B.C. D.參考答案：C【分析】先求出圓心和半徑，即得圓的方程.【詳解】由題得OC中點(diǎn)坐標(biāo)為（3,4），圓的半徑為，所以圓的方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.7.如圖直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為V，點(diǎn)P、Q分別在側(cè)棱AA1和CC1上，AP=C1Q，則四棱錐B﹣APQC的體積為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】組合幾何體的面積、體積問(wèn)題．【分析】把問(wèn)題給理想化，認(rèn)為三棱柱是正三棱柱，設(shè)底面邊長(zhǎng)a和側(cè)棱長(zhǎng)h均為1，P、Q分別為側(cè)棱AA′，CC′上的中點(diǎn)求出底面面積高，即可求出四棱錐B﹣APQC的體積．【解答】解：不妨設(shè)三棱柱是正三棱柱，設(shè)底面邊長(zhǎng)a和側(cè)棱長(zhǎng)h均為1

則V=SABC?h=?1?1??1=

認(rèn)為P、Q分別為側(cè)棱AA′，CC′上的中點(diǎn)

則VB﹣APQC=SAPQC?=

（其中表示的是三角形ABC邊AC上的高）

所以VB﹣APQC=V故選B8.雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線x+2y+1=0垂直，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左右焦點(diǎn)，A為雙曲線上一點(diǎn)，若|F1A|=3|F2A|，則cos∠AF2F1=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由兩直線垂直的條件可得漸近線的斜率為2，即有b=2a，再求c=a，運(yùn)用雙曲線的定義和條件，解得三角形AF2F1的三邊，再由余弦定理，即可得到所求值．【解答】解：由于雙曲線的一條漸近線y=x與直線x+2y+1=0垂直，則一條漸近線的斜率為2，即有b=2a，c=a，|F1A|=3|F2A|，且由雙曲線的定義，可得|F1A|﹣|F2A|=2a，解得，|F1A|=3a，|F2A|=a，又|F1F2|=2c，由余弦定理，可得cos∠AF2F1==．故選：A．9.從2004名學(xué)生中選取50名組成參觀團(tuán)，若采用下面的方法選?。合扔煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣從2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行，則每人入選的概率為（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且為 D．都相等，且為參考答案：C【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法；簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．【分析】本題是一個(gè)系統(tǒng)抽樣，在抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是樣本容量除以總體個(gè)數(shù)，從2004名學(xué)生中選取50名組成參觀團(tuán)，因?yàn)椴荒苷?，要剔除一部分個(gè)體，在剔除過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等．【解答】解：由題意知本題是一個(gè)系統(tǒng)抽樣，在抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是樣本容量除以總體個(gè)數(shù)，從2004名學(xué)生中選取50名組成參觀團(tuán)，因?yàn)椴荒苷?，要剔除一部分個(gè)體，在剔除過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等∴得到每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是故選C．10.設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為

（）A．0 B． C．1 D．2參考答案：D【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】首先畫(huà)出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值．【解答】解：約束條件對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖：由的幾何意義得到：區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)A（1，2）與O的連接直線斜率最大即的最大值為=2；故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a2=9，a1·a2·a3=27，則{an}的前n項(xiàng)和Sn=________.參考答案：解：等比數(shù)列{an}中，由a1·a2·a3=27，得a2=3，又a1＋a2=9，所以a1=6，公比，所以.12.若函數(shù)在和時(shí)取極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

▲

．參考答案：(0,1)由題可得：，令故原函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)為0,1，a，即導(dǎo)函數(shù)有三個(gè)解，由在0,1處要取得極小值所以0和1的左邊導(dǎo)函數(shù)的值要為負(fù)值，右邊要為正值，故a值只能放在0和1的中間，所以a的取值范圍是(0,1).

13.如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊都在函數(shù)的定義域內(nèi)，就有也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱為“和美型函數(shù)”.現(xiàn)有下列函數(shù)：①；

②；③.其中是“和美型函數(shù)”的函數(shù)序號(hào)為

.（寫出所有正確的序號(hào)）參考答案：①③14.在正三棱錐（頂點(diǎn)在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,過(guò)作與分別交于和的截面，則截面的周長(zhǎng)的最小值是________參考答案：

解析：沿著將正三棱錐側(cè)面展開(kāi)，則共線，且15.已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

．參考答案：16.已知函數(shù)無(wú)極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．參考答案：【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)無(wú)極值得到，導(dǎo)函數(shù)恒成立，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)無(wú)極值，所以恒成立，故，即，解得.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)無(wú)極值求參數(shù)問(wèn)題，屬于常考題型.17.若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則Z的共軛復(fù)數(shù)__________．參考答案：【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求出復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得出其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)椋?，因此其共軛?fù)數(shù)為故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)，熟記運(yùn)算法則與共軛復(fù)數(shù)的概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知曲線y=x3+x﹣2在點(diǎn)P0處的切線l1平行直線4x﹣y﹣1=0，且點(diǎn)P0在第三象限，（1）求P0的坐標(biāo)；（2）若直線l⊥l1，且l也過(guò)切點(diǎn)P0，求直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）根據(jù)曲線方程求出導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)橐阎本€4x﹣y﹣1=0的斜率為4，根據(jù)切線與已知直線平行得到斜率相等都為4，所以令導(dǎo)函數(shù)等于4得到關(guān)于x的方程，求出方程的解，即為切點(diǎn)P0的橫坐標(biāo)，代入曲線方程即可求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又因?yàn)榍悬c(diǎn)在第3象限，進(jìn)而寫出滿足題意的切點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由直線l1的斜率為4，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為﹣1，得到直線l的斜率為﹣，又根據(jù)（1）中求得的切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線l的方程即可．【解答】解：（1）由y=x3+x﹣2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．當(dāng)x=1時(shí)，y=0；當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=﹣4．又∵點(diǎn)P0在第三象限，∴切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）；（2）∵直線l⊥l1，l1的斜率為4，∴直線l的斜率為﹣，∵l過(guò)切點(diǎn)P0，點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）∴直線l的方程為y+4=﹣（x+1）即x+4y+17=0．19.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長(zhǎng)為,傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn).

（Ⅰ）求該橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為,問(wèn)拋物線上是否存在一點(diǎn),使得與關(guān)于直線對(duì)稱,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.參考答案：解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程為,……………2分

∴

①

…3分又橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長(zhǎng)為,

∴

得上交點(diǎn)為,∴

②…4分由①代入②得,解得或（舍去）,從而

∴

該橢圓的方程為該橢圓的方程為

…6分（2）∵傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn),∴直線的方程為,即,…7分由（1）知橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為,設(shè)與關(guān)于直線對(duì)稱,………8分則得

……10分

解得,即

又滿足,故點(diǎn)在拋物線上。

…11分所以拋物線上存在一點(diǎn),使得與關(guān)于直線對(duì)稱?！?2分20.（本小題滿分15分）已知函數(shù)

（Ⅰ）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).參考答案：解：（Ⅰ），法1：

………2分有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，等價(jià)于

，解得，即為所求的實(shí)數(shù)的取值范圍.

……5分法2：

……1分

有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，即方程

在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，等價(jià)于

,,解得，即為所求的實(shí)數(shù)的取值范圍.

…………………5分法3：…，即方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，令，則其圖象對(duì)稱軸為直線，圖象恒過(guò)點(diǎn)，問(wèn)題條件等價(jià)于的圖象與軸正半軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于，……（評(píng)分參照法2）（Ⅱ）法1：（1）當(dāng)時(shí)，，由得，，解得，由得，，解得，從而在、上遞減，在上遞增，……………7分，

……………8分，因?yàn)椋?，又，所以，從?…………10分又的圖象連續(xù)不斷，故當(dāng)時(shí)，的圖象與軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

…………………11分法2：……，令，考察函數(shù)，由于，所以在上遞減，，即，……（如沒(méi)有給出嚴(yán)格證明，而用極限思想說(shuō)明的，扣2分）（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.從而在上遞減，在上遞增,.…12分①若，則，此時(shí)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn).………………13分②若，則，的圖象與軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn).…14分綜上可知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn).……………………15分21.如圖，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，DE∥PA．（Ⅰ）求證：BC⊥CE；（Ⅱ）若直線m?平面PAB，試判斷直線m與平面CDE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（Ⅲ）若AB=PA=2DE=2，AD=3，求三棱錐E﹣PCD的體積．參考答案：【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出DE⊥BC．，BC⊥CD，由此能證明BC⊥CE．（Ⅱ）推導(dǎo)出DE∥平面PAB，CD∥平面PAB，從而平面PAB∥平面CDE，從而得到m∥平面CDE．（Ⅲ）三棱錐E﹣PCD的體積等于三棱錐P﹣CDE的體積，由此能求出三棱錐E﹣PCD的體積．【解答】（本小題滿分14分）證明：（Ⅰ）因?yàn)镻A⊥底面ABCD，PA∥DE所以DE⊥底面ABCD．所以DE⊥BC．又因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BC⊥CD．又因?yàn)镃D∩DE=D，所以BC⊥平面CDE．所以BC⊥CE．

…解：（Ⅱ）若直線m?平面PAB，則直線m∥平面CDE．證明如下，因?yàn)镻A∥DE，且PA?平面PAB，DE?平面PAB，所以DE∥平面PAB．在矩形ABCD中，CD∥BA，且BA?平面PAB，CD?平面PAB，所以CD∥平面PAB．又因?yàn)镃D∩DE=D，所以平面PAB∥平面CDE．又因?yàn)橹本€m?平面PAB，所以直線m∥平面CDE．

…（Ⅲ）由題意知，三棱錐E﹣PCD的體積等于三棱錐P﹣CDE的體積．由（Ⅰ）可知，BC⊥平面CDE．又因?yàn)锳D∥BC，所以AD⊥平面CDE．易證PA∥平面CDE，所以點(diǎn)P到平面CDE的距離等于AD的長(zhǎng)．因?yàn)锳B=PA=2DE=2，AD=3，所以．所以三棱錐E﹣PCD的體積．

…22.已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程;（2）O為坐位原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值.參考答案：（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.試題分析：第一問(wèn)求拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題可直接利用焦半徑公式，先寫出直線的方程，再與拋物線的方程聯(lián)立方程組，設(shè)而不求，利用根與系數(shù)關(guān)系得出，然后利用焦半徑公式得出焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，求出弦長(zhǎng)，第二問(wèn)根據(jù)聯(lián)立方程組解出的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，和向量的坐標(biāo)關(guān)系表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由于點(diǎn)C在拋物線上滿足拋物線方程，求出參數(shù)值.試題解析：(1)直線AB的方程是y＝2（x-2），與y2＝8x聯(lián)立，消去y得x2－5x＋4＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝5.由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝9