《11.3 多邊形及其內(nèi)角和》課件（兩套）

11.3多邊形及其內(nèi)角和1.了解多邊形內(nèi)角和與外角和的探究過程;2.掌握多邊形內(nèi)角和與外角和定理;3.掌握鑲嵌的條件;4.感受數(shù)學(xué)知識在實際生活中的應(yīng)用.圖中有你認(rèn)識的多邊形嗎？圖中有你認(rèn)識的多邊形嗎？三角形

長方形

六邊形

四邊形

八邊形

在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.你能仿照三角形的定義給出四邊形、五邊形……的定義嗎？頂點內(nèi)角邊可表示為：五邊形ABCDE或五邊形DCBAEABCDE外角：多邊形相鄰兩邊組成的角內(nèi)角的鄰補角

在平面內(nèi)，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.等邊三角形正方形正五邊形正六邊形對角線對角線對角線———連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段.ABCDE讀出圖中所有的對角線畫出多邊形中從一個頂點出發(fā)的對角線，寫出它的條數(shù).01235從n邊形的一個頂點出發(fā)能畫出多少條對角線？

你能寫出每個圖形中對角線的總條數(shù)嗎？如果不能，請畫出所有對角線.0259

你能告訴我二十邊形的對角線的總條數(shù)嗎？五十邊形呢？一百邊形呢？n邊形呢？太難畫了！邊數(shù)34567…n從一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)上述對角線分成的三角形個數(shù)…總的對角線條數(shù)…0001222353494514n-3n-2n(n-3)2…多邊形邊數(shù)一個頂點出發(fā)的對角線條數(shù)圖形分成三角形的個數(shù)內(nèi)角和的計算規(guī)律三角形四邊形五邊形六邊形七邊形n邊形………………34567n0n-3123412345n-2(n－2)×180°5×180°4×180°3×180°2×180°1×180°BACDGFEn邊形內(nèi)角和=(n－2)×180°把一個五邊形分成幾個三角形，還有其他的分法嗎？ABCDEF180°×4–180°=540°E

ABCDO180°×5–360°=540°

ABCDE4×

180°-180°O=540°【例】已知四邊形ABCD，∠A+∠C=180°，求∠B+∠D.ABCD解:四邊形的內(nèi)角和為:(4-2)×180=360°，所以∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=180°.∠A+∠C=180°，【例題】十二邊形的內(nèi)角和是

.一個多邊形當(dāng)邊數(shù)增加1時，它的內(nèi)角和增加

.一個多邊形的內(nèi)角和是720°，則此多邊形共有

個內(nèi)角.

如果一個多邊形的內(nèi)角和是1440°，那么此多邊形是

邊形.1800°180°六十【跟蹤訓(xùn)練】

如圖，在五邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做五邊形的外角和．五邊形的外角和等于多少？6EBCD12345

A五邊形外角和五邊形的外角和等于360°.-(5-2)×180°=360°.=五個平角-五邊形內(nèi)角和=5×180°在n邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做n邊形的外角和．n邊形外角和=n邊形的外角和等于360°.-(n-2)×180°=360°.

A1EBCD

2

3

4

5F

nn個平角-n邊形內(nèi)角和=n×180°從多邊形的一個頂點A點出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各點之后回到點A.最后再轉(zhuǎn)回出發(fā)時的方向.多邊形的外角和在行程中所轉(zhuǎn)的各個角的和是多少？好平整的地板!這是怎么鋪成的?怎么一點空隙也沒有？好平整的地面!這是怎么鋪成的?怎么一點空隙也沒有？磚與磚不留空隙、不重疊，并且把地面全部鋪滿.

僅用一種正多邊形鋪地面，哪些正多邊形能單獨鋪滿地面？正方形正三角形正六邊形啊!拼不了啦,為什么呢?你能說說道理嗎?123∠1+∠2+∠3=?

用邊長相同的正五邊形能否鋪滿地面？鋪滿地面滿足的條件:能鋪滿地面的正多邊形,圍繞某一點的內(nèi)角和為_______.

360°1.什么樣的正多邊形能夠鋪滿地面?要用正多邊形鋪滿地面,關(guān)鍵是：這種正多邊形內(nèi)角的度數(shù)能整除360°.能單獨鋪滿地面的正多邊形有正三角形、正四邊形、正六邊形.2.用邊長相等的兩種正多邊形鋪地面，哪兩種正多邊形能鋪滿地面？60°×3+90°×2=360°正三角形和正方形正三角形和正六邊形60°×4+120°=360°，60°×2+120°×2=360°.正方形和正八邊形能否鋪滿地面?正三角形和正十二邊形能否鋪滿地面?135°135°90°150°150°60°正八邊形和正方形正十二邊形和正三角形135°+135°+90°=360°，150°+150°+60°=360°.正方形和正六邊形能否鋪滿地面？【解析】正方形和正六邊形不能鋪滿地面.1．（茂名·中考）下列命題是假命題的是（）A．三角形的內(nèi)角和是180°B．多邊形的外角和都等于360°C．五邊形的內(nèi)角和是900°D．三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和C2．（自貢·中考）一個多邊形截取一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是1620°，則原來多邊形的邊數(shù)是（）A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能D3．（肇慶·中考）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形是（）A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．八邊形Ｃ4.在四邊形ABCD中，∠A=120°，∠B:∠C:∠D=3:4:5，求∠B，∠C，∠D的度數(shù).【解析】設(shè)∠B，∠C,∠D的度數(shù)分別是3x°,4x°,5x°，由四邊形的內(nèi)角和等于360°可得：120+3x+4x+5x=360，12x=240，x=20，∴3x=60，4x=80，5x=100.答：∠B,∠C，∠D的度數(shù)分別為60°,80°,100°.5.探究：用幾個形狀、大小相同的任意三角形能鑲嵌成一個平面圖案嗎？四邊形呢？1321324132132132132132132132132∵∠1+∠2+∠3=180°，∴2(∠1+∠2+∠3)=360°.所以，用幾個形狀、大小相同的任意三角形能鑲嵌成平面圖案。132解：因為∠1+∠2+∠3+∠4=360°，14321432143214321432所以用幾個形狀、大小相同的任意四邊形能鑲嵌成平面圖案.3.用幾個大小、形狀相同的任意三角形,任意四邊形都能鑲嵌成平面圖案.2.鑲嵌成平面圖案的條件是:多邊形圍繞某一點的內(nèi)角和為360°.1.n邊形內(nèi)角和為(n－2)×180°；n邊形的外角和等于360°.

通過本課時的學(xué)習(xí)，需要我們掌握：11.3多邊形及其內(nèi)角和由上述這些圖形，你能找到哪些我們熟習(xí)的幾何圖形？三角形

四邊形

六邊形

八邊形……..三角形的定義：

在同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形。四邊形的定義：

在同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的四條線段首尾順次相接所組成的圖形?！暹呅瘟呅纹哌呅味噙呅蔚亩x：

在同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的一些線段首尾順次相接所組成的（封閉）圖形。下定義多邊形按組成它的線段條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……其中三角形是最簡單的多邊形。如果一個多邊形由n條線段組成，那么這個多邊形就叫做n邊形。

注意：n所代表的數(shù)字必須是漢字中的數(shù)字，如三角形，六邊形，十邊形等等，但當(dāng)問題問這個多邊形有多少條邊時，我們可以用阿拉伯?dāng)?shù)字說明這個n邊形有3條邊，4條邊等。根據(jù)圖示，類比三角形的有關(guān)概念，說明什么是多邊形的邊、頂點、內(nèi)角、外角邊頂點內(nèi)角外角對角線組成多邊形的線段叫做多邊形的邊相鄰兩邊的交點叫做多邊形的頂點相鄰兩邊的夾角叫做多邊形的內(nèi)角多邊形的邊與它相鄰的延長組成的角叫做多邊形的外角連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線想一想三角形有對角線嗎？為什么？沒有，因為三角形只有三個頂點，而這三個頂點是兩兩相鄰的，它沒有不相鄰的頂點，所以三角形沒有對角線?；叵肴切蔚谋硎痉椒?，這個多邊形應(yīng)該如何表示？

A2首先給每個頂點標(biāo)上一個大寫字母，然后寫出這個圖形是幾邊形，最后再以一個字母為起點，沿順時針或逆時針方向?qū)⒆帜赴错樞驅(qū)懗?。如四邊形ABCD，五邊形ABCDE，n邊形A1A2A3A4A5A6···An

A3

A4

A1

An

A6

A5如圖所示，觀察兩個圖形，找出相同點和不同點如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形如果整個多邊形不在這條直線的同一側(cè)，那么這個多邊形就是凹多邊形另外，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和是否大于180°，我們也可以區(qū)分這兩種多邊形。而中學(xué)階段我們一般說的多邊形都是凸多邊形。觀察下列圖形，它們的邊、角有什么特點？它們的邊都相等，角也都相等各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。反過來，由定義可以得，正多邊形有什么性質(zhì)呢？練一練1、填空題（1）連接多邊形（）的線段，叫做多邊形的多角形。（2）多邊形的任何（）所在的直線，整個多邊形都在這條直線的（），這樣的多邊形叫做凸多邊形。（3）各個角（），各條邊（）的多邊形，叫做正多邊形。（4）一個n邊形有（）條邊，（）個頂點，（）個內(nèi)角，（）個外角。2、畫出下列多邊形的全部對角線不相鄰的兩個頂點一條邊同一側(cè)都相等都相等nnnn三角形的內(nèi)角和是180°，那么四邊形的內(nèi)角和是多少呢？五邊形呢？你是如何得到這個結(jié)論的？合作學(xué)習(xí)B

ACDE探究5邊形內(nèi)角和=3×180°=540°請你利用分割的方法探索五邊形的內(nèi)角是多少？E

ABCDO方法2180°×5–360°=540°180°×5=900°？五邊形內(nèi)角和540°？？把一個五邊形分成幾個三角形，還有其他的分法嗎？ABCDEF180°

×4–180°=540°方法3選擇同一種方法分別求出任意六邊形、七邊形、八邊形的內(nèi)角和等于多少度？你能寫出任意n邊形的內(nèi)角和嗎？從五邊形的一個頂點出發(fā)，可以引（）條對角線，他們將五邊形分為多少個三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180°×（）。從六邊形的一個頂點出發(fā)，可以引（）條對角線，他們將六邊形分為多少個三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180°×（）。從七邊形的一個頂點出發(fā)，可以引（）條對角線，他們將七邊形分為多少個三角形，七邊形的內(nèi)角和等于180°×（）。我們是怎樣求多邊形內(nèi)角和的？B

ACDGFE就是從多邊形的一個頂點出發(fā)，能引幾條對角線把一個多邊形分成幾個三角形。總結(jié)：n邊形內(nèi)角和公式B

ACDGFEn邊形內(nèi)角和=(n－2)·180°三角形六邊形四邊形八邊形……..五邊形是解決多邊形問題的常用輔助線

對角線多邊形問題三角形問題轉(zhuǎn)化（未知）（已知）合作學(xué)習(xí)請?zhí)剿魅我庖粋€多邊形的內(nèi)角和與外角和的規(guī)律.n邊形……三角形四邊形五邊形六邊形多邊形邊數(shù)分成三角形的個數(shù)圖形內(nèi)角和計算規(guī)律三角形四邊形五邊形六邊形七邊形n邊形………………34567n1n-22345180°360°540°720°900°(n－2)·180°(n－2)·180°5×180°4×180°3×180°2×180°1×180°從上表中得到了什么結(jié)論？結(jié)論：n邊形的內(nèi)角和為：（n－2）×180°(n≥3).n邊形共有對角線條(n≥3)n邊形從一個頂點出發(fā)的對角線有(n－3)條(n≥3)練一練:

（2）已知一個多邊形的內(nèi)角和為720o

，則這個多邊形是______邊形6

（3）在五邊形ABCDE中，若∠A=∠D=90o,且

∠B:∠C:∠E=3:2:4,則∠C的度數(shù)為_______80o（1）求十邊形的內(nèi)角和的度數(shù)。

解：(10－2)×180°=8×180°=1440°答:十邊形的內(nèi)角和是1440°

過多邊形一個頂點的所有對角線將這個多邊形分成3個三角形,求:(1)這個多邊形的邊數(shù).(2)這個多邊形內(nèi)角和的度數(shù).3、填空(求邊數(shù))1、已知一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，則它的邊數(shù)為＿＿。2、已知一個多邊形的每一個內(nèi)角都是156°，則它的邊數(shù)為＿＿。815例：一個六邊形如圖，已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度數(shù)。ABCDEF1234解：如圖所示，連結(jié)AD，∵AB∥DE，CD∥AF（已知）∴∠1＝∠3，∠2＝∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠1+∠2＝∠3+∠4，即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F∴∠FAB＋∠C＋∠E=1／2×720°=360°∵∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F=（6－2）×180°=720°

例1

如圖，在五邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做五邊形的外角和．五邊形的外角和等于多少？1.任意一個外角和他相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？2.五個外角加上他們分別相鄰的五個內(nèi)角和是多少？3.這五個平角和與五邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？

6EBCD1

2

3

4

5

A從多邊形的一個頂點A點出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各點之后回到點A.最后再轉(zhuǎn)回出發(fā)時的方向。在行程中所轉(zhuǎn)的各個角的和，就是多邊形的外角和。由于在這個運動過程中走了一周，也就是說所轉(zhuǎn)的各個角的和等于一個周角。即：多邊形的外角和等于360o多邊形圖形多邊形的外角和三角形四邊形五邊形六邊形n邊形3×180o-1×180o=360o4×180o-2×180o=360o5×180o-3×180o=360o6×180o-4×180o=360on×180o-(n-2)×180o=360o合作學(xué)習(xí)多邊形的外角和從上表中得到了什么結(jié)論？