《三角的高、中線與角平分線》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《11.1.2三角的高、中線與角平分線》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)知識與技能1.了解三角形的角平分線、高、中線并能在具體情境中作出它們；2.經(jīng)歷折紙,畫圖等實(shí)踐過程認(rèn)識三角形的高、中線與角平分線.3.會用工具準(zhǔn)確畫出三角形的高、中線與角平分線,通過畫圖了解三角形的三條高(及所在直線)交于一點(diǎn),三角形的三條中線,三條角平分線等都交于一點(diǎn).過程與方法經(jīng)歷畫、折等實(shí)踐操作活動過程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，推理能力及創(chuàng)新精神。學(xué)會用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題能力，發(fā)展應(yīng)用和自主探究意識，并培養(yǎng)學(xué)生的動手實(shí)踐能力。情感態(tài)度價(jià)值觀通過對問題的解決，使學(xué)生有成就感，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。教學(xué)重點(diǎn)了解三角形的高、中線與角平分線的概念,會用工具準(zhǔn)確畫出三角形的高、中線與角平分線.教學(xué)難點(diǎn)探究三角形的三條高線、角平分線、三條中線交于一點(diǎn)的過程及鈍角三角形高的畫法.教學(xué)準(zhǔn)備教師：圓規(guī)、三角形紙片、三角。教學(xué)過程（師生活動）設(shè)計(jì)理念提出問題1．什么叫角平分線?如何畫一個(gè)角的平分線?2．已知A、B分別是直線l上和直線l外一點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、點(diǎn)B畫直線l的垂線?！·lA3．三角形按角分類可分為哪幾種?回憶舊知識，通過操作拓展知識，體驗(yàn)高的性質(zhì)。探究新知1.三角形的高的概念從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高表示方法：1.AD是△ABC的BC上的高線.2.AD⊥BC于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.問題：三角形的高與垂線有何區(qū)別和聯(lián)系?2.三角形的中線的概念如圖，教師給出一個(gè)準(zhǔn)備好的三角形紙片，把B,C重合對折，折痕與BC交于點(diǎn)D.問題：（1）D點(diǎn)有什么特殊性？（2）連接線段AD，AD把△ABC分成的兩個(gè)三角形的面積有何關(guān)系？(3)請歸納線段AD的特點(diǎn)．并用語言描述中線定義．三角形中,連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中的線段叫做三角形的中線表示方法：1.AE是△ABC的BC上的中線.2.BE=EC=BC.問題：你認(rèn)為一個(gè)三角形有幾條中線？并分別作出來，你有什么發(fā)現(xiàn)？結(jié)論：三條定義：三角形的三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.3.三角形的角平分線的概念如圖，教師再給出一個(gè)三角形紙片，對折，使AC與AB所在直線重合，折痕與BC交于D.問題：（1）通過這個(gè)操作你認(rèn)為AD有什么位置特點(diǎn)？(2)請給出三角形角平分線的定義．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對邊相交,這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形角的平分線表示方法：1.AM是△ABC的∠BAC的平分線.2.∠1=∠2=∠BAC.思考：三角形的高、中線和角平分線是代表線段還是代表射線或直線?三角形的高、中線和角平分線都代表線段,這些線段的一個(gè)端點(diǎn)是三角形的一個(gè)頂點(diǎn),另一個(gè)端點(diǎn)在這個(gè)頂點(diǎn)的對邊上.通過畫、折等實(shí)踐操作活動理解三角形的角平分線概念，并培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力，自主探索、合作交流，發(fā)現(xiàn)三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)的規(guī)律讓學(xué)生能感知并有一種意識去動手實(shí)踐，主動探究鞏固新知問題：1、在練習(xí)本上畫出三角形,并在這個(gè)三角形中畫出它的三條高.(如果他們所畫的是銳角三角形,接著提出在直角三角形的三條高在哪里?鈍角三角形的三條高在那里?)觀察這三條高所在的直線的位置有何關(guān)系?三角形的三條高交于一點(diǎn),銳角三角形三條高交點(diǎn)在直角三角形內(nèi),直角三角形三條高線交點(diǎn)在直角三角形頂點(diǎn),而鈍角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的外部.2、在練習(xí)本上畫一個(gè)三角形,并在這三角形中畫出它的三條角平分線,觀察這三條角平分線的位置有何關(guān)系?無論是銳角三角形還是直角三角形或鈍角三角形,它們的三條角平分線都在三角形內(nèi),并且交于一點(diǎn).3、你認(rèn)為“三線”定義中，高與線段垂線、三角形角平分線與角的平分線、中線與線段中點(diǎn)有何異同？課堂練習(xí)AD是△ABC的角平分線，那么∠BAD==AE是△ABC的中線，那么BE==BC如圖3，在△ABC中∠BAC=60度，∠B=45度，AD是∠BAC的角平分線，求∠ADB的度數(shù)。4.如圖5，D、E分別是△ABC的邊AC、BC的中點(diǎn)，下列說法正確嗎？DE是△BDC的中線。BD是△ABC的中線AD=CD、BE=EC∠C的對邊是DE小結(jié)與作業(yè)課堂小結(jié)1、請小組同學(xué)回憶一下本課主要內(nèi)容，由師生共同用較準(zhǔn)確語言描述．2、三線定義．本課作業(yè)必做題：選做題《第2課時(shí)三角形的高、中線與角平分線》教學(xué)設(shè)計(jì)eq\a\vs4\al(教學(xué)目標(biāo))會用工具準(zhǔn)確畫出三角形的高、中線與角平分線，通過畫圖了解三角形的三條高(及所在的直線)交于一點(diǎn)，三角形的三條中線，三條角平分線等都交于一點(diǎn)．eq\a\vs4\al(教學(xué)重點(diǎn))了解三角形的高、中線與角平分線的概念，會畫出三角形的高、中線與角平分線．eq\a\vs4\al(教學(xué)難點(diǎn))三角形角平分線與角的平分線的區(qū)別，三角形的高與垂線的區(qū)別．eq\a\vs4\al(教學(xué)設(shè)計(jì))一、創(chuàng)設(shè)情景，明確目標(biāo)你還記得“過一點(diǎn)畫已知直線的垂線”嗎？讓學(xué)生動手操作，畫一畫．在此基礎(chǔ)上再提問：過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，你能畫出它的對邊的垂線嗎？從而引入課題．二、自主學(xué)習(xí)，指向目標(biāo)1．自學(xué)教材第4至5頁．2．學(xué)習(xí)至此：請完成《學(xué)生用書》相應(yīng)部分．三、合作探究，達(dá)成目標(biāo)eq\a\vs4\al(探究點(diǎn)一)三角形的高活動一：畫出下面三角形的高AD.展示點(diǎn)評：三角形的高是什么線？三個(gè)圖形中的高有什么區(qū)別？同一個(gè)三角形有幾條高？他們在位置上有什么關(guān)系？請分別畫出各個(gè)三角形的高．小組討論：三角形的高的交點(diǎn)位置有何特征？反思小結(jié)：銳角三角形的高在三角形內(nèi)部，直角三角形有兩條高在邊上，鈍角三角形有兩條高在三角形外部．任意三角形都有三條高，并且三條高所在的直線相交于一點(diǎn)．針對訓(xùn)練：見《學(xué)生用書》相應(yīng)部分eq\a\vs4\al(探究點(diǎn)二)三角形的中線活動二：有一塊三角形的草地，要把它平均分給四個(gè)牧民，且每個(gè)牧民所分得的草地都是三角形，請你探究出幾種不同的分法．展示點(diǎn)評：如何將一個(gè)三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形？三角形的中線是什么線？一個(gè)三角形有幾條中線？在位置上有什么關(guān)系？小組討論：三角形的中線所分成的兩個(gè)三角形的面積有什么關(guān)系？反思小結(jié)：三角形的中線可以把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形．三角形的三條中線相交與一點(diǎn)，這一點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，這個(gè)點(diǎn)是三角形的重心．針對訓(xùn)練：見《學(xué)生用書》相應(yīng)部分eq\a\vs4\al(探究點(diǎn)三)三角形的角平分線活動三：動手畫出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三角的角平分線．展示點(diǎn)評：學(xué)生分組合作畫圖，師生共同點(diǎn)評．小組討論：三角形的角平分線是什么線？與角平分線有什么區(qū)別？一個(gè)三角形有幾條角平分線？它們在位置上有什么關(guān)系？反思小結(jié)：任何三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部交于一點(diǎn)，我們把這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心．三角形的角平分線是一條線段，而角平分線是一條射線．針對訓(xùn)練：見《學(xué)生用書》相應(yīng)部分四、總結(jié)梳理，內(nèi)化目標(biāo)1．本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識是三角形的中線、角平分線、高的概念．2．本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法是三角形中線、角平分線、高的畫法．五、達(dá)標(biāo)檢測，反思目標(biāo)1．下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC的高(D)2．如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是(B)A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形3．如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD中點(diǎn)，延長BG交AC于E，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，CF⊥AD于H，判斷下列說法哪些是正確的，哪些是錯誤的．①AD是△ABE的角平分線(×)②BE是△ABD邊AD上的中線(×)③BE是△ABC邊AC上的中線(×)④CH是△ACD邊AD上的高(√)4．如圖，點(diǎn)D、E、F分別是BC、AD、BE的中點(diǎn)，且S△ABF＝2，求S△ABC.解：∵D、E、F分別是BC、AD、BE的中點(diǎn)．∴AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，AF是△ABE的中線，又∵S△ABF＝2，∴S△ABE＝2S△ABF＝4，S△ABD＝2S△ABE＝8，∴S△ABC＝2S△ABD＝16.(第4題圖)eq\a\vs4\al(●布置作業(yè)，鞏固目標(biāo)教學(xué)難點(diǎn))1．上交作業(yè)課本P83、4、8.2．課后作業(yè)見《學(xué)生用書》．《11.1.2三角形的高、中線與角平分線》教案[教學(xué)目標(biāo)]1、經(jīng)歷畫圖的過程，認(rèn)識三角形的高、中線與角平分線；2、會畫三角形的高、中線與角平分線；3、了解三角形的三條高所在的直線,三條中線,三條角平分線分別交于一點(diǎn).[重點(diǎn)難點(diǎn)〕三角形的高、中線與角平分線是重點(diǎn)；三角形的角平分線與角的平分線的區(qū)別，畫鈍角三角形的高是難點(diǎn).[教學(xué)過程]一、導(dǎo)入新課我們已經(jīng)知道什么是三角形，也學(xué)過三角形的高。三角形的主要線段除高外，還有中線和角平分線值得我們研究。二、三角形的高請你在圖中畫出△ABC的一條高并說說你畫法。從△ABC的頂點(diǎn)A向它所對的邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高，表示為AD⊥BC于點(diǎn)D。注意：高與垂線不同，高是線段，垂線是直線。請你再畫出這個(gè)三角形AB、AC邊上的高，看看有什么發(fā)現(xiàn)？三角形的三條高相交于一點(diǎn)。如果△ABC是直角三角形、鈍角三角形，上頁的結(jié)論還成立嗎？現(xiàn)在我們來畫鈍角三角形三邊上的高，如圖。顯然，上頁的結(jié)論成立。請你畫一個(gè)直角三角形，再畫出它三邊上的高。上頁的結(jié)論還成立。三、三角形的中線如圖，我們把連結(jié)△ABC的頂點(diǎn)A和它的對邊BC的中點(diǎn)D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線，表示為BD=DC或BD=DC＝1/2BC或2BD=2DC=BC.請你在圖中畫出△ABC的另兩條邊上的中線，看看有什么發(fā)現(xiàn)？三角的三條中線相交于一點(diǎn)。如果三角形是直角三角形、鈍角三角形，上頁的結(jié)論還成立嗎？請畫圖回答。上頁的結(jié)論還成立。四、三角形的角平分線如圖，畫∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于點(diǎn)D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線,表示為∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。思考：三角形的角平分線與角的平分線是一樣的嗎？三角形的角平分線是線段，而角的平分線是射線，是不一樣的。請你在圖中再畫出另兩個(gè)角的平分線，看看有什么發(fā)現(xiàn)？三角形三個(gè)角的平分線相交于一點(diǎn)。如果三角形是直角三角形、鈍角三角形，上頁的結(jié)論還成立嗎？請畫圖回答。上頁的結(jié)論還成立。想一想：三角形的三條高、三條中線、三條角平分線的交點(diǎn)有什么不同？三角形的三條中線的交點(diǎn)、三條角平分線的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，而銳三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，直角三角形三條高的交戰(zhàn)在角直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的外部。五、課堂練習(xí)課本練習(xí)。六、課堂小結(jié)1、三角形的高、中線、角平分線的概念和畫法。2、三角形的三條高、三條中線、三條角平分線及交點(diǎn)的位置規(guī)律。《11.1.2三角形的高、中線與角平分線》導(dǎo)學(xué)案課題三角形的高、中線與角平分線課型新授課時(shí)間學(xué)生學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：（-）知識與技能1、三角形的高、中線與角平分線的定義2、三角形的高、中線與角平分線的畫法（二）過程與方法通過觀察、操作、交流等活動發(fā)展空間觀念和推理能力。（三）情感態(tài)度價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和識圖能力學(xué)習(xí)重點(diǎn)：三角形的高、中線與角平分線的定義.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：對直角三角形和鈍角三角形的三條高的認(rèn)識和理解.學(xué)習(xí)過程：一、預(yù)習(xí)●導(dǎo)學(xué)如圖所示:ABC中,有一條線條,一端在頂點(diǎn)A處.另一端從點(diǎn)B沿著BC邊移動到點(diǎn)C,觀察移動過程中形成的無數(shù)條線(AD.AE.AF.AG……)中,有沒有特殊位置的線條?你認(rèn)為有那些特殊位置?①在這些線條中,有一條線條垂直于邊BC②有一條線條的端點(diǎn)是BC的中點(diǎn)③還有一條線條平分2.過一點(diǎn)如何做已知線段的垂線?在下面試著畫一畫A.ACDBCDB二、學(xué)習(xí)●研討知識點(diǎn)1：三角形的高(1)定義的線條叫做三角形的高線,簡稱三角形的高.三角形的高有三條,特別地.三角形的高不一定在三角形內(nèi)部.三角形的三條高交于一點(diǎn).叫三角形的垂心（2）請畫出下列三角形的高（1）（2）（1）（2）（3）歸納：銳角三角形有條高，它們相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)在三角形，.鈍角三角形有高，它們相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)在三角形。直角三角形有，它們相交于一點(diǎn)交點(diǎn)在。A注意:三角形的高是線段A(幾何語言)∵AD是ΔABC上的高∴AD⊥BC(∠ADB＝∠ADC＝90)DBC逆向：∵AD⊥BC垂足是DDBC∴AD是ΔABC的邊BC上的高知識點(diǎn)2：三角形的中線圖2AB圖2ABCD幾何語言（圖2）逆向：畫出下列三角形的中線（（1）（2）（3）（4）在一個(gè)三角形中，有幾條中線？她們的位置又如何呢？（重心）圖圖3ABCD12知識點(diǎn)3：三角形的角平分線（內(nèi)心）定義：幾何語言（圖3）：3)逆向：（3）畫出下列三角形的角平分線（（1）（2）（3）(4)三角形的平分線與角的平分線有何區(qū)別？三、盤點(diǎn)收獲：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三角形的高，中線、角平分線的有關(guān)概念，還探索了……。1、2、3、四、達(dá)標(biāo)檢測三角形的三條高在（）A.三角形的內(nèi)部B.三角形的外部C.三角形的邊上D.三角形的內(nèi)部，外部或邊上下列說法正確的是（）①平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線；②三角形的中線，角平分線都是線段，而高是直線；③每個(gè)三角形都有三條中線，高和角平分線；④三角形的中線是經(jīng)過頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的直線。A.③④B.③C.②③D.①④ABCABCDEA.2B.3C.4D.64.如圖1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直線AC翻折180°,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′的位置,則線段AC具有性質(zhì)()A.是邊BB′上的中線B.是邊BB′上的高C.是∠BAB′的角平分線D.以上三種性質(zhì)合一(1)(2)(3)5.如圖2所示,D,E分別是△ABC的邊AC,BC的中點(diǎn),則下列說法不正確的是()A.DE是△BCD的中線B.BD是△ABC的中線C.AD=DC,BD=ECD.∠C的對邊是DE6.如圖3所示,在△ABC中,已知點(diǎn)D,E,F分別為邊BC,AD,CE的中點(diǎn),且S△ABC=4cm2,則S陰影等于()A.2cm2B.1cm2C.cm2D.cm27.在△ABC,∠A=90°,角平分線AE、中線AD、高AH的大小關(guān)系為()A.AH<AE<ADB.AH<AD<AEC.AH≤AD≤AED.AH≤AE≤AD8.在△ABC中,D是BC上的點(diǎn),且BD:DC=2:1,S△ACD=12,那么S△ABC等于()A.30B.36C.72D.249.如圖所示,在△ABC中,∠C-∠B=90°,AE是∠BAC的平分線,求∠AEC的度數(shù).10.如圖5所示的是由若干盆花組成的形如三角形的圖案,每條邊(包括兩個(gè)頂點(diǎn))有n(n>1)盆花,每個(gè)圖案花盆的總數(shù)為s.按此規(guī)律推斷s與n有什么關(guān)系,并求出當(dāng)n=13時(shí),s的值.《11.1.2三角的高、中線與角平分線》導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、了解三角形的高、中線、角平分線等有關(guān)概念.2、掌握任意三角形的高、中線、角平分線的畫法，通過觀察認(rèn)識到三角形的三條高、三條中線、三條角平分線分別交于一點(diǎn).學(xué)習(xí)重點(diǎn)：三角形的高、中線、角平分線概念的簡單運(yùn)用及它們的幾何語言表達(dá)。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：鈍角三角形的高的畫法一、學(xué)前準(zhǔn)備1．什么叫角平分線?如何畫一個(gè)角的平分線?2．已知A、B分別是直線l上和直線l外一點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、點(diǎn)B畫直線l的垂線?！·lA3．三角形按角分類可分為哪幾種?二、探究新知1.三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線,叫做三角形的高如圖，AD是△ABC的高，則AD⊥_____.2、三角形的中線三角形中,連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和叫做三角形的中線如圖，AD是△ABC的中線，則BD＝______=.畫圖探究：畫三角形所有的中線，你有什么發(fā)現(xiàn)？三角形的三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.3、三角形的角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對邊相交,的線段叫做三角形角的平分線如圖，AD是△ABC的角平分線，則∠BAD＝∠_______∠..三、鞏固練習(xí)分別在下列銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中畫出所有的中線。2、分別在下列銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中畫出所有的角平分線。3、分別在下列銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中畫出所有的高四、小結(jié)：本節(jié)課的收獲：你還有什么疑惑？五、當(dāng)堂清1.三角形的三條中線、三條角平分線、三條高都是（）A．直線B．射線C．線段D．射線或線段2.如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定3.能把三角形的面積分成兩個(gè)相等的三角形的線段是（）A．中線B．高C．角平分線D．以上三種情況都正確CFCFDEBA⑴BE＝______＝_____；⑵⑶⑷=.(注：表示△ABE的面積)參考答案：1.C2.B3.A4.(1)CE,BC(2)∠CAD,∠BAC(3)∠AFC(4)《11.1.2三角形的高、中線與角平分線》導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解三角形的高、中線與角平分線的概念，了解三角形的穩(wěn)定性.2.會用工具準(zhǔn)確畫出三角形的高、中線與角平分線.重點(diǎn)：三角形的高、中線與角平分線的特征.難點(diǎn)：三角形的高、中線與角平分線的應(yīng)用.一、知識鏈接1.如圖按要求作圖：PAABOB（1）在左圖中，過點(diǎn)P作線段AB的垂線PD；作出線段AB的中點(diǎn)E.則有____=_____.（2）在右圖中，作出∠AOB的平分線，則有∠_____=∠_____=_____∠AOB.二、新知預(yù)習(xí)1.三角形的高：ABCAABCABCABC（2）自主歸納：①從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.②一個(gè)三角形有______條高，請?jiān)趫D①中作出△ABC的另外兩條高.③三角形的高是一條_______.2.（1）如圖②，連接△ABC的頂點(diǎn)A和它的邊BC的中點(diǎn)D，類比三角形高線的定義，則所得的線段AD應(yīng)叫做△ABC的邊BC上的_____線.并畫出△ABC其他的兩條中線.（2）自主歸納：①在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對邊的中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線.②一個(gè)三角形有_____條中線，每條中線都是一條______.3.三角形的角平分線：如圖③，你能用同樣的方法畫出任意一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線嗎?(2)自主歸納三角形角平分線定義：____________________________________________.三角形的角平分線與角的平分線的區(qū)別是：__________________________.③一個(gè)三角形有_______條角平分線.4.幾何語言表示三角形的高、中線、角平分線幾何推理圖例三角形的高∵AD是△ABC的高，∴①____⊥_____，②∠ADB=∠______=______°三角形的中線∵CF是△ABC的中線，∴①AF=_____=______AC.②AC=____AF=____CF.CB三角形的角平分線∵BE為△ABC的角平分線，∴①∠1=∠_____=____∠ABC.②∠ABC=____∠1=___∠2.三、自學(xué)自測1.按要求畫出下列三角形的中線、高線、角平分線.ADGHBCEFI畫中線AD,BE,CF畫高DG,EH,FM畫角平分線GM,HN,IP四、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：三角形的高做一做：請?jiān)谙聢D中畫出△ABC的高線.【歸納總結(jié)】三角形的高或其延長線相交于一點(diǎn)，銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角三角形的頂點(diǎn)上，鈍角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的外部.典例精析例1：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝4，若點(diǎn)P在邊AC上移動，求BP的最小值.方法總結(jié):面積法的應(yīng)用：若涉及兩條高求長度，一般需結(jié)合面積（但不求出面積），利用三角形面積的兩種不同表示方法列等式求解.探究點(diǎn)2：三角形的中線問題1：任意作一個(gè)三角形，畫出它的三條中線，觀察，有什么結(jié)論？問題2：如圖，AD為△ABC的中線，猜想△ABD與△ACD的面積關(guān)系，并證明.【歸納總結(jié)】1.三角形的三條中線相交于一點(diǎn).三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.2.三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.典例精析例2：如圖，在△ABC中，E是BC上的一點(diǎn)，EC＝2BE，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，設(shè)△ABC，△ADF和△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.方法總結(jié)：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；高相等時(shí)，面積的比等于底邊的比；底相等時(shí)，面積的比等于高的比．探究點(diǎn)3：三角形的角平分線例3：如圖，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°，求∠ECD的度數(shù).二、課堂小結(jié)三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段．三角形的有關(guān)線段三角形的有關(guān)線段三角形的中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段．三角形的中線把三角形分為面積相等的兩個(gè)三角形.三角形的角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，連接這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)的線段．1．下列說法正確的是（）A．三角形三條高都在三角形內(nèi)B．三角形三條中線相交于一點(diǎn)C．三角形的三條角平分線可能在三角形內(nèi)，也可能在三角形外D．三角形的角平分線是射線2．在△ABC中，AD為中線，BE為角平分線，則在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②③3.如圖，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，圖中線段中可以作為△ABC的高的有（）A．2條B．3條C．4條D．5條4.畫△ABC中AB邊上的高，下列畫法中正確的是（） ABCD5.（1）∵BE是△ABC的角平分線，∴____=_____=_____.（2）∵CF是△ABC的角平分線，∴∠ACB=2______=2______.第5題圖第6題圖6.如圖，AD是△ABC的中線，CE是△ACD的中線，S△AEC=3cm2，則S△ABC=____.7.在△ABC中,CD是中線,已知BC-AC=5cm,△DBC的周長為25cm,求△ADC的周長.《11.1.2三角形的高、中線與角平分線》導(dǎo)學(xué)案一.自學(xué)方法1、自學(xué)課文：畫出各三角形的高（用三角尺和直尺作垂線）2、自學(xué)課文：畫出各三角形的中線（用刻度尺）3、自學(xué)課文：作出各三角形的角的平分線4、手工活動：用紙片做三個(gè)三角形，用折線的方法作出三角形的高，三角形的中線，三角形角的平分線。（每種線用一個(gè)三角形）比較一下，有什么收獲：三角形的三條高、中線、角平分線，它們都是線段，且相交于一點(diǎn)。注意：角的平分線是一條射線，三角形的角平分線是線段。二．如圖，在ΔABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，完成推理：∵AD是△ABC的角平分線（）∴∠=∠=1/2∠()∵AE是△ABC的中線（）∵AF是△ABC的高()∴BE=（）∴∠=∠=900BC=2=2（）()二.用學(xué)1、如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形下列說法正確的是（）①平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線；②三角形的中線，角平分線都是線段，而高是直線；③每個(gè)三角形都有三條中線，高和角平分線；④三角形的中線是經(jīng)過頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的直線。A.③④B.③C.②③D.①④3、已知AB=5，AC=3，AD是中線，則三角形ABD與三角形ADC的周長相差多少？三.測學(xué)1.三角形的三條高在（）A.三角形的內(nèi)部B.三角形的外部C.三角形的邊上D.三角形的內(nèi)部，外部或邊上2、如左圖，BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，∠A=400，則∠O=3、如右圖，AD是△ABC的中線，則S△ABDS△ACD《11.1.2三角的高、中線與角平分線》同步練習(xí)一、選擇題：1.如圖1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直線AC翻折180°,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′的位置,則線段AC具有性質(zhì)()A.是邊BB′上的中線B.是邊BB′上的高C.是∠BAB′的角平分線D.以上三種性質(zhì)合一(1)(2)(3)2.如圖2所示,D,E分別是△ABC的邊AC,BC的中點(diǎn),則下列說法不正確的是()A.DE是△BCD的中線B.BD是△ABC的中線C.AD=DC,BD=ECD.∠C的對邊是DE3.如圖3所示,在△ABC中,已知點(diǎn)D,E,F分別為邊BC,AD,CE的中點(diǎn),且S△ABC=4cm2,則S陰影等于()A.2cm2B.1cm2C.cm2D.cm24.在△ABC,∠A=90°,角平分線AE、中線AD、高AH的大小關(guān)系為()A.AH<AE<ADB.AH<AD<AEC.AH≤AD≤AED.AH≤AE≤AD5.在△ABC中,D是BC上的點(diǎn),且BD:DC=2:1,S△ACD=12,那么S△ABC等于()A.30B.36C.72D.24二、填空題:1.直角三角形兩銳角的平分線所夾的鈍角為_______度.2.等腰三角形的高線、角平分線、中線的總條數(shù)為________.3.在△ABC中,∠B=80°,∠C=40°,AD,AE分別是△ABC的高線和角平分線,則∠DAE的度數(shù)為_________.4.三角形的三條中線交于一點(diǎn),這一點(diǎn)在_______,三角形的三條角平分線交于一點(diǎn),這一點(diǎn)在__________,三角形的三條高線所在直線交于一點(diǎn),這一點(diǎn)在_____.三、解答題1.如圖所示,在△ABC中,∠C-∠B=90°,AE是∠BAC的平分線,求∠AEC的度數(shù).2.在△ABC中,AB=AC,AD是中線,△ABC的周長為34cm,△ABD的周長為30cm,求AD的長.參考答案:一、1.D2.D3.B4.D5.B二、1.1352.3條或7條3.20°4.三角形內(nèi)部三角形內(nèi)部三角形內(nèi)部、邊上或外部三、1.∠AEC=45°2.AD=13cm《11.1.2三角形的高、中線與角平分線》同步練習(xí)一.選擇題:1.△ABC中，AB=AC=4，BC=a,則a的取值范圍是()A.a＞0B.0＜a＜4C.4＜a＜8D.0＜a＜82.△ABC中，CA=CB，D為BA中點(diǎn)，P為直線CD上的任一點(diǎn)，那么PA與PB的大小關(guān)系是()A.PA＞PBB.PA＜PBC.PA=PBD.不能確定3.△ABC中，AB=7，AC=5，則中線AD之長的范圍是()A.5＜AD＜7B.1＜AD＜6C.2＜AD＜12D.2＜AD＜54.△ABC中，AB=13，BC=10，BC邊上中線AP=12，則AB，AC關(guān)系為()A.AB＞ACB.AB=ACC.AB＜ACD.無法確定5.三條線段a,b,c長度均為整數(shù)且a=3,b=5.則以a,b,c為邊的三角形共有()A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)6.一個(gè)三角形中，下列說法正確的是()A.至少有一個(gè)內(nèi)角不小于90°B.至少一個(gè)內(nèi)角不大于30°C.至少一個(gè)內(nèi)角不小于60°D.至少一個(gè)內(nèi)角不大于45°7.△ABC中，∠A=40°,高BD和CE交于O，則∠COD為()A.40°或140°B.50°或130°C.40°D.50°8.已知，如圖1，△ABC中，∠B＝∠DAC，則∠BAC和∠ADC的關(guān)系是()A.∠BAC＜∠ADCB.∠BAC＝∠ADCC.∠BAC＞∠ADCD.不能確定9.在△ABC中，已知∠A＋∠C＝2∠B，∠C－∠A＝80°，則∠C的度數(shù)是()A.60°B.80°C.100°D.120°10.如圖2，∠B＝∠C，則∠ADC與∠AEB的關(guān)系是()A.∠ADC＞∠AEB B.∠ADC＝∠AEBC.∠ADC＜∠AEB D.不能確定二、填空題:1.△ABC中，∠A-∠B=10°,2∠C-3∠B=25°,則∠A=.2.等腰三角形周長為21cm,一中線將周長分成的兩部分差為3cm,則這個(gè)三角形三邊長為________.3.點(diǎn)A、B關(guān)于直線l對稱，點(diǎn)C、D也關(guān)于l對稱，AC、BD交于O，則O點(diǎn)在上.4.△ABC周長為36，AB=AC,AD⊥BC于D，△ABD周長為30cm,則AD=.5.等腰三角形一腰上的高與另一腰夾角為45°,則頂角為.6.三角形三邊的長為15、20、25，則三條高的比為.7.若三角形三邊長為3、2a-1、8，則a的取值范圍是.8.如果等腰三角形兩外角比為1∶4則頂角為.9.等腰三角形兩邊比為1∶2,周長為50，則腰長為.10.等腰三角形底邊長為20，腰上的高為16.則腰長為.三、解答題:1.△ABC中AB=AC，D在AC上，且AD=BD=BC.求△ABC的三內(nèi)角度數(shù).2.如圖，AC=BD，AD⊥AC，BD⊥BC，求證AD=BC.3.CD為Rt△ABC斜邊的中線V，DE⊥AC于E，BC=1，AC=.求△CED的周長.4.如圖，AD為△ABC的中線，∠ADB的平分線交AB于E，∠ADC的平分線交AC于E,求證BE+CF＞EF.5.△ABC中，AD⊥BC交邊BC于D.(1)若∠A=90°求證：AD+BC＞AB+AC(2)若∠A＞90°,(1)中的結(jié)論仍然成立嗎？若不成立，請舉反例，若成立，請給出證明6.如圖，將一張長方形紙片沿EF折疊后,點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)D′、C′的位置,ED′的延長線與BC交于點(diǎn)G，若∠EFG＝50°，求∠1、∠2的度數(shù).答案一、選擇：DCBBBCABCB二、填空：(1).55°(2).(8,8,5)或(6,6,9)(3).l(4).12(5).45°或135°(6).20∶15∶12(7).3＜a＜6(8).140°(9).20(10).三.解答：1.設(shè)∠A=xAD=DB=BCAB=AC∴∠ABD=x∠BDC=2x∠ABC=∠C=2x∠DBC=x∴5x=180°x=36°∴∠A=36°∠C=72°∠ABC=72°2.連DC，∠DAC=∠DBC=90°AC=BDDC=DC∴Rt△DAC≌△CBD(HL)∴AD=BC.3.∵∠ACB=90°BC=1AC=∴AB=2∠A=∠ACD=30°CD=1DE=CE=周長為4.延長ED至G，使ED=DG，連GC，GFDE平分∠BDA，DF平分∠ADC∴∠EDF=90°,ED=DG∴EF=FG，△BED≌△CGD∴BE=GC；GC+CF＞GF.∴BE+CF＞EF.5.(1)∵∠A=90°∴AB2+AC2=BC2AB·AC=AD·BC.(AB+AC)2=AB2+AC2+2AB·AC=BC2+2AD·BC＜BC2+2AD·BC+AD2=(BC+AD)2∴AD+BC＞AB+AC.(2)若∠A＞90°,上述結(jié)論仍成立.證∵∠A＞90°,作AE⊥AB交BC于E，則AD為Rt△BAE斜邊上的高由(1)∴AD+BE＞AB+AE①在△AEC中AE+EC＞AC②；①+②AD+BE+EC+AE＞AB+AC+AE∴AD+BC＞AB+AC6、80°，100°《11.1.2三角形的高、中線與角平分線》同步練習(xí)基礎(chǔ)知識一、選擇題1.三角形的角平分線、中線、高線都是（）A.線段B.射線C.直線D.以上都有可能【答案】A2.至少有兩條高在三角形內(nèi)部的三角形是（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.都有可能【答案】A3.(2012山東省德州市)不一定在三角形內(nèi)部的線段是（）（A）三角形的角平分線（B）三角形的中線（C）三角形的高（D）三角形的中位線【答案】C4.在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，且BD:CD=2:1,S△ACD=12,那么S△ABC等于（）A.30B.36C.72D.24【答案】B5.小華在電話中問小明：“已知一個(gè)三角形三邊長分別是4，9，12，如何求這個(gè)三角形的面積？”小明提示說：“可通過作最長邊上的高來求解．”小華根據(jù)小明的提示作出的圖形正確的是（）A.B.C.D.【答案】A6．可以把一個(gè)三角形分