《三角的高、中線與角平分線》教案、導學案、同步練習

《11.1.2三角的高、中線與角平分線》教學設計教學目標知識與技能1.了解三角形的角平分線、高、中線并能在具體情境中作出它們；2.經(jīng)歷折紙,畫圖等實踐過程認識三角形的高、中線與角平分線.3.會用工具準確畫出三角形的高、中線與角平分線,通過畫圖了解三角形的三條高(及所在直線)交于一點,三角形的三條中線,三條角平分線等都交于一點.過程與方法經(jīng)歷畫、折等實踐操作活動過程，發(fā)展學生的空間觀念，推理能力及創(chuàng)新精神。學會用數(shù)學知識解決實際問題能力，發(fā)展應用和自主探究意識，并培養(yǎng)學生的動手實踐能力。情感態(tài)度價值觀通過對問題的解決，使學生有成就感，培養(yǎng)學生的合作精神，樹立學好數(shù)學的信心。教學重點了解三角形的高、中線與角平分線的概念,會用工具準確畫出三角形的高、中線與角平分線.教學難點探究三角形的三條高線、角平分線、三條中線交于一點的過程及鈍角三角形高的畫法.教學準備教師：圓規(guī)、三角形紙片、三角。教學過程（師生活動）設計理念提出問題1．什么叫角平分線?如何畫一個角的平分線?2．已知A、B分別是直線l上和直線l外一點，分別過點A、點B畫直線l的垂線?！·lA3．三角形按角分類可分為哪幾種?回憶舊知識，通過操作拓展知識，體驗高的性質。探究新知1.三角形的高的概念從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線,頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高表示方法：1.AD是△ABC的BC上的高線.2.AD⊥BC于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.問題：三角形的高與垂線有何區(qū)別和聯(lián)系?2.三角形的中線的概念如圖，教師給出一個準備好的三角形紙片，把B,C重合對折，折痕與BC交于點D.問題：（1）D點有什么特殊性？（2）連接線段AD，AD把△ABC分成的兩個三角形的面積有何關系？(3)請歸納線段AD的特點．并用語言描述中線定義．三角形中,連結一個頂點和它對邊中的線段叫做三角形的中線表示方法：1.AE是△ABC的BC上的中線.2.BE=EC=BC.問題：你認為一個三角形有幾條中線？并分別作出來，你有什么發(fā)現(xiàn)？結論：三條定義：三角形的三條中線的交點叫做三角形的重心.3.三角形的角平分線的概念如圖，教師再給出一個三角形紙片，對折，使AC與AB所在直線重合，折痕與BC交于D.問題：（1）通過這個操作你認為AD有什么位置特點？(2)請給出三角形角平分線的定義．三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交,這個角頂點與交點之間的線段叫做三角形角的平分線表示方法：1.AM是△ABC的∠BAC的平分線.2.∠1=∠2=∠BAC.思考：三角形的高、中線和角平分線是代表線段還是代表射線或直線?三角形的高、中線和角平分線都代表線段,這些線段的一個端點是三角形的一個頂點,另一個端點在這個頂點的對邊上.通過畫、折等實踐操作活動理解三角形的角平分線概念，并培養(yǎng)學生動手操作能力，自主探索、合作交流，發(fā)現(xiàn)三角形的三條角平分線交于一點的規(guī)律讓學生能感知并有一種意識去動手實踐，主動探究鞏固新知問題：1、在練習本上畫出三角形,并在這個三角形中畫出它的三條高.(如果他們所畫的是銳角三角形,接著提出在直角三角形的三條高在哪里?鈍角三角形的三條高在那里?)觀察這三條高所在的直線的位置有何關系?三角形的三條高交于一點,銳角三角形三條高交點在直角三角形內(nèi),直角三角形三條高線交點在直角三角形頂點,而鈍角三角形的三條高的交點在三角形的外部.2、在練習本上畫一個三角形,并在這三角形中畫出它的三條角平分線,觀察這三條角平分線的位置有何關系?無論是銳角三角形還是直角三角形或鈍角三角形,它們的三條角平分線都在三角形內(nèi),并且交于一點.3、你認為“三線”定義中，高與線段垂線、三角形角平分線與角的平分線、中線與線段中點有何異同？課堂練習AD是△ABC的角平分線，那么∠BAD==AE是△ABC的中線，那么BE==BC如圖3，在△ABC中∠BAC=60度，∠B=45度，AD是∠BAC的角平分線，求∠ADB的度數(shù)。4.如圖5，D、E分別是△ABC的邊AC、BC的中點，下列說法正確嗎？DE是△BDC的中線。BD是△ABC的中線AD=CD、BE=EC∠C的對邊是DE小結與作業(yè)課堂小結1、請小組同學回憶一下本課主要內(nèi)容，由師生共同用較準確語言描述．2、三線定義．本課作業(yè)必做題：選做題《第2課時三角形的高、中線與角平分線》教學設計eq\a\vs4\al(教學目標)會用工具準確畫出三角形的高、中線與角平分線，通過畫圖了解三角形的三條高(及所在的直線)交于一點，三角形的三條中線，三條角平分線等都交于一點．eq\a\vs4\al(教學重點)了解三角形的高、中線與角平分線的概念，會畫出三角形的高、中線與角平分線．eq\a\vs4\al(教學難點)三角形角平分線與角的平分線的區(qū)別，三角形的高與垂線的區(qū)別．eq\a\vs4\al(教學設計)一、創(chuàng)設情景，明確目標你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎？讓學生動手操作，畫一畫．在此基礎上再提問：過三角形的一個頂點，你能畫出它的對邊的垂線嗎？從而引入課題．二、自主學習，指向目標1．自學教材第4至5頁．2．學習至此：請完成《學生用書》相應部分．三、合作探究，達成目標eq\a\vs4\al(探究點一)三角形的高活動一：畫出下面三角形的高AD.展示點評：三角形的高是什么線？三個圖形中的高有什么區(qū)別？同一個三角形有幾條高？他們在位置上有什么關系？請分別畫出各個三角形的高．小組討論：三角形的高的交點位置有何特征？反思小結：銳角三角形的高在三角形內(nèi)部，直角三角形有兩條高在邊上，鈍角三角形有兩條高在三角形外部．任意三角形都有三條高，并且三條高所在的直線相交于一點．針對訓練：見《學生用書》相應部分eq\a\vs4\al(探究點二)三角形的中線活動二：有一塊三角形的草地，要把它平均分給四個牧民，且每個牧民所分得的草地都是三角形，請你探究出幾種不同的分法．展示點評：如何將一個三角形分成兩個面積相等的三角形？三角形的中線是什么線？一個三角形有幾條中線？在位置上有什么關系？小組討論：三角形的中線所分成的兩個三角形的面積有什么關系？反思小結：三角形的中線可以把三角形分成面積相等的兩個三角形．三角形的三條中線相交與一點，這一點在三角形的內(nèi)部，這個點是三角形的重心．針對訓練：見《學生用書》相應部分eq\a\vs4\al(探究點三)三角形的角平分線活動三：動手畫出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三角的角平分線．展示點評：學生分組合作畫圖，師生共同點評．小組討論：三角形的角平分線是什么線？與角平分線有什么區(qū)別？一個三角形有幾條角平分線？它們在位置上有什么關系？反思小結：任何三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部交于一點，我們把這個交點叫做三角形的內(nèi)心．三角形的角平分線是一條線段，而角平分線是一條射線．針對訓練：見《學生用書》相應部分四、總結梳理，內(nèi)化目標1．本節(jié)學習的數(shù)學知識是三角形的中線、角平分線、高的概念．2．本節(jié)學習的數(shù)學方法是三角形中線、角平分線、高的畫法．五、達標檢測，反思目標1．下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC的高(D)2．如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是(B)A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形3．如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD中點，延長BG交AC于E，F(xiàn)為AB上一點，CF⊥AD于H，判斷下列說法哪些是正確的，哪些是錯誤的．①AD是△ABE的角平分線(×)②BE是△ABD邊AD上的中線(×)③BE是△ABC邊AC上的中線(×)④CH是△ACD邊AD上的高(√)4．如圖，點D、E、F分別是BC、AD、BE的中點，且S△ABF＝2，求S△ABC.解：∵D、E、F分別是BC、AD、BE的中點．∴AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，AF是△ABE的中線，又∵S△ABF＝2，∴S△ABE＝2S△ABF＝4，S△ABD＝2S△ABE＝8，∴S△ABC＝2S△ABD＝16.(第4題圖)eq\a\vs4\al(●布置作業(yè)，鞏固目標教學難點)1．上交作業(yè)課本P83、4、8.2．課后作業(yè)見《學生用書》．《11.1.2三角形的高、中線與角平分線》教案[教學目標]1、經(jīng)歷畫圖的過程，認識三角形的高、中線與角平分線；2、會畫三角形的高、中線與角平分線；3、了解三角形的三條高所在的直線,三條中線,三條角平分線分別交于一點.[重點難點〕三角形的高、中線與角平分線是重點；三角形的角平分線與角的平分線的區(qū)別，畫鈍角三角形的高是難點.[教學過程]一、導入新課我們已經(jīng)知道什么是三角形，也學過三角形的高。三角形的主要線段除高外，還有中線和角平分線值得我們研究。二、三角形的高請你在圖中畫出△ABC的一條高并說說你畫法。從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高，表示為AD⊥BC于點D。注意：高與垂線不同，高是線段，垂線是直線。請你再畫出這個三角形AB、AC邊上的高，看看有什么發(fā)現(xiàn)？三角形的三條高相交于一點。如果△ABC是直角三角形、鈍角三角形，上頁的結論還成立嗎？現(xiàn)在我們來畫鈍角三角形三邊上的高，如圖。顯然，上頁的結論成立。請你畫一個直角三角形，再畫出它三邊上的高。上頁的結論還成立。三、三角形的中線如圖，我們把連結△ABC的頂點A和它的對邊BC的中點D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線，表示為BD=DC或BD=DC＝1/2BC或2BD=2DC=BC.請你在圖中畫出△ABC的另兩條邊上的中線，看看有什么發(fā)現(xiàn)？三角的三條中線相交于一點。如果三角形是直角三角形、鈍角三角形，上頁的結論還成立嗎？請畫圖回答。上頁的結論還成立。四、三角形的角平分線如圖，畫∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于點D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線,表示為∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。思考：三角形的角平分線與角的平分線是一樣的嗎？三角形的角平分線是線段，而角的平分線是射線，是不一樣的。請你在圖中再畫出另兩個角的平分線，看看有什么發(fā)現(xiàn)？三角形三個角的平分線相交于一點。如果三角形是直角三角形、鈍角三角形，上頁的結論還成立嗎？請畫圖回答。上頁的結論還成立。想一想：三角形的三條高、三條中線、三條角平分線的交點有什么不同？三角形的三條中線的交點、三條角平分線的交點在三角形的內(nèi)部，而銳三角形的三條高的交點在三角形的內(nèi)部，直角三角形三條高的交戰(zhàn)在角直角頂點，鈍角三角形的三條高的交點在三角形的外部。五、課堂練習課本練習。六、課堂小結1、三角形的高、中線、角平分線的概念和畫法。2、三角形的三條高、三條中線、三條角平分線及交點的位置規(guī)律?！?1.1.2三角形的高、中線與角平分線》導學案課題三角形的高、中線與角平分線課型新授課時間學生學案學習目標：（-）知識與技能1、三角形的高、中線與角平分線的定義2、三角形的高、中線與角平分線的畫法（二）過程與方法通過觀察、操作、交流等活動發(fā)展空間觀念和推理能力。（三）情感態(tài)度價值觀培養(yǎng)學生的動手能力和識圖能力學習重點：三角形的高、中線與角平分線的定義.學習難點：對直角三角形和鈍角三角形的三條高的認識和理解.學習過程：一、預習●導學如圖所示:ABC中,有一條線條,一端在頂點A處.另一端從點B沿著BC邊移動到點C,觀察移動過程中形成的無數(shù)條線(AD.AE.AF.AG……)中,有沒有特殊位置的線條?你認為有那些特殊位置?①在這些線條中,有一條線條垂直于邊BC②有一條線條的端點是BC的中點③還有一條線條平分2.過一點如何做已知線段的垂線?在下面試著畫一畫A.ACDBCDB二、學習●研討知識點1：三角形的高(1)定義的線條叫做三角形的高線,簡稱三角形的高.三角形的高有三條,特別地.三角形的高不一定在三角形內(nèi)部.三角形的三條高交于一點.叫三角形的垂心（2）請畫出下列三角形的高（1）（2）（1）（2）（3）歸納：銳角三角形有條高，它們相交于一點，交點在三角形，.鈍角三角形有高，它們相交于一點，交點在三角形。直角三角形有，它們相交于一點交點在。A注意:三角形的高是線段A(幾何語言)∵AD是ΔABC上的高∴AD⊥BC(∠ADB＝∠ADC＝90)DBC逆向：∵AD⊥BC垂足是DDBC∴AD是ΔABC的邊BC上的高知識點2：三角形的中線圖2AB圖2ABCD幾何語言（圖2）逆向：畫出下列三角形的中線（（1）（2）（3）（4）在一個三角形中，有幾條中線？她們的位置又如何呢？（重心）圖圖3ABCD12知識點3：三角形的角平分線（內(nèi)心）定義：幾何語言（圖3）：3)逆向：（3）畫出下列三角形的角平分線（（1）（2）（3）(4)三角形的平分線與角的平分線有何區(qū)別？三、盤點收獲：本節(jié)課我們學習了三角形的高，中線、角平分線的有關概念，還探索了……。1、2、3、四、達標檢測三角形的三條高在（）A.三角形的內(nèi)部B.三角形的外部C.三角形的邊上D.三角形的內(nèi)部，外部或邊上下列說法正確的是（）①平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線；②三角形的中線，角平分線都是線段，而高是直線；③每個三角形都有三條中線，高和角平分線；④三角形的中線是經(jīng)過頂點和對邊中點的直線。A.③④B.③C.②③D.①④ABCABCDEA.2B.3C.4D.64.如圖1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直線AC翻折180°,使點B落在點B′的位置,則線段AC具有性質()A.是邊BB′上的中線B.是邊BB′上的高C.是∠BAB′的角平分線D.以上三種性質合一(1)(2)(3)5.如圖2所示,D,E分別是△ABC的邊AC,BC的中點,則下列說法不正確的是()A.DE是△BCD的中線B.BD是△ABC的中線C.AD=DC,BD=ECD.∠C的對邊是DE6.如圖3所示,在△ABC中,已知點D,E,F分別為邊BC,AD,CE的中點,且S△ABC=4cm2,則S陰影等于()A.2cm2B.1cm2C.cm2D.cm27.在△ABC,∠A=90°,角平分線AE、中線AD、高AH的大小關系為()A.AH<AE<ADB.AH<AD<AEC.AH≤AD≤AED.AH≤AE≤AD8.在△ABC中,D是BC上的點,且BD:DC=2:1,S△ACD=12,那么S△ABC等于()A.30B.36C.72D.249.如圖所示,在△ABC中,∠C-∠B=90°,AE是∠BAC的平分線,求∠AEC的度數(shù).10.如圖5所示的是由若干盆花組成的形如三角形的圖案,每條邊(包括兩個頂點)有n(n>1)盆花,每個圖案花盆的總數(shù)為s.按此規(guī)律推斷s與n有什么關系,并求出當n=13時,s的值.《11.1.2三角的高、中線與角平分線》導學案學習目標：1、了解三角形的高、中線、角平分線等有關概念.2、掌握任意三角形的高、中線、角平分線的畫法，通過觀察認識到三角形的三條高、三條中線、三條角平分線分別交于一點.學習重點：三角形的高、中線、角平分線概念的簡單運用及它們的幾何語言表達。學習難點：鈍角三角形的高的畫法一、學前準備1．什么叫角平分線?如何畫一個角的平分線?2．已知A、B分別是直線l上和直線l外一點，分別過點A、點B畫直線l的垂線。·B·lA3．三角形按角分類可分為哪幾種?二、探究新知1.三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線,叫做三角形的高如圖，AD是△ABC的高，則AD⊥_____.2、三角形的中線三角形中,連結一個頂點和叫做三角形的中線如圖，AD是△ABC的中線，則BD＝______=.畫圖探究：畫三角形所有的中線，你有什么發(fā)現(xiàn)？三角形的三條中線的交點叫做三角形的重心.3、三角形的角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交,的線段叫做三角形角的平分線如圖，AD是△ABC的角平分線，則∠BAD＝∠_______∠..三、鞏固練習分別在下列銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中畫出所有的中線。2、分別在下列銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中畫出所有的角平分線。3、分別在下列銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中畫出所有的高四、小結：本節(jié)課的收獲：你還有什么疑惑？五、當堂清1.三角形的三條中線、三條角平分線、三條高都是（）A．直線B．射線C．線段D．射線或線段2.如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定3.能把三角形的面積分成兩個相等的三角形的線段是（）A．中線B．高C．角平分線D．以上三種情況都正確CFCFDEBA⑴BE＝______＝_____；⑵⑶⑷=.(注：表示△ABE的面積)參考答案：1.C2.B3.A4.(1)CE,BC(2)∠CAD,∠BAC(3)∠AFC(4)《11.1.2三角形的高、中線與角平分線》導學案學習目標：1.理解三角形的高、中線與角平分線的概念，了解三角形的穩(wěn)定性.2.會用工具準確畫出三角形的高、中線與角平分線.重點：三角形的高、中線與角平分線的特征.難點：三角形的高、中線與角平分線的應用.一、知識鏈接1.如圖按要求作圖：PAABOB（1）在左圖中，過點P作線段AB的垂線PD；作出線段AB的中點E.則有____=_____.（2）在右圖中，作出∠AOB的平分線，則有∠_____=∠_____=_____∠AOB.二、新知預習1.三角形的高：ABCAABCABCABC（2）自主歸納：①從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點與垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.②一個三角形有______條高，請在圖①中作出△ABC的另外兩條高.③三角形的高是一條_______.2.（1）如圖②，連接△ABC的頂點A和它的邊BC的中點D，類比三角形高線的定義，則所得的線段AD應叫做△ABC的邊BC上的_____線.并畫出△ABC其他的兩條中線.（2）自主歸納：①在三角形中，連接一個頂點與它對邊的中點的線段，叫做這個三角形的中線.②一個三角形有_____條中線，每條中線都是一條______.3.三角形的角平分線：如圖③，你能用同樣的方法畫出任意一個三角形的一個內(nèi)角的平分線嗎?(2)自主歸納三角形角平分線定義：____________________________________________.三角形的角平分線與角的平分線的區(qū)別是：__________________________.③一個三角形有_______條角平分線.4.幾何語言表示三角形的高、中線、角平分線幾何推理圖例三角形的高∵AD是△ABC的高，∴①____⊥_____，②∠ADB=∠______=______°三角形的中線∵CF是△ABC的中線，∴①AF=_____=______AC.②AC=____AF=____CF.CB三角形的角平分線∵BE為△ABC的角平分線，∴①∠1=∠_____=____∠ABC.②∠ABC=____∠1=___∠2.三、自學自測1.按要求畫出下列三角形的中線、高線、角平分線.ADGHBCEFI畫中線AD,BE,CF畫高DG,EH,FM畫角平分線GM,HN,IP四、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________要點探究探究點1：三角形的高做一做：請在下圖中畫出△ABC的高線.【歸納總結】三角形的高或其延長線相交于一點，銳角三角形的三條高的交點在三角形的內(nèi)部，直角三角形的三條高的交點在直角三角形的頂點上，鈍角三角形的三條高的交點在三角形的外部.典例精析例1：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，求BP的最小值.方法總結:面積法的應用：若涉及兩條高求長度，一般需結合面積（但不求出面積），利用三角形面積的兩種不同表示方法列等式求解.探究點2：三角形的中線問題1：任意作一個三角形，畫出它的三條中線，觀察，有什么結論？問題2：如圖，AD為△ABC的中線，猜想△ABD與△ACD的面積關系，并證明.【歸納總結】1.三角形的三條中線相交于一點.三角形三條中線的交點叫做三角形的重心.2.三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.典例精析例2：如圖，在△ABC中，E是BC上的一點，EC＝2BE，點D是AC的中點，設△ABC，△ADF和△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.方法總結：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；高相等時，面積的比等于底邊的比；底相等時，面積的比等于高的比．探究點3：三角形的角平分線例3：如圖，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°，求∠ECD的度數(shù).二、課堂小結三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，頂點和垂足間的線段．三角形的有關線段三角形的有關線段三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形的中線把三角形分為面積相等的兩個三角形.三角形的角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，連接這個角的頂點與交點的線段．1．下列說法正確的是（）A．三角形三條高都在三角形內(nèi)B．三角形三條中線相交于一點C．三角形的三條角平分線可能在三角形內(nèi)，也可能在三角形外D．三角形的角平分線是射線2．在△ABC中，AD為中線，BE為角平分線，則在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②③3.如圖，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，圖中線段中可以作為△ABC的高的有（）A．2條B．3條C．4條D．5條4.畫△ABC中AB邊上的高，下列畫法中正確的是（） ABCD5.（1）∵BE是△ABC的角平分線，∴____=_____=_____.（2）∵CF是△ABC的角平分線，∴∠ACB=2______=2______.第5題圖第6題圖6.如圖，AD是△ABC的中線，CE是△ACD的中線，S△AEC=3cm2，則S△ABC=____.7.在△ABC中,CD是中線,已知BC-AC=5cm,△DBC的周長為25cm,求△ADC的周長.《11.1.2三角形的高、中線與角平分線》導學案一.自學方法1、自學課文：畫出各三角形的高（用三角尺和直尺作垂線）2、自學課文：畫出各三角形的中線（用刻度尺）3、自學課文：作出各三角形的角的平分線4、手工活動：用紙片做三個三角形，用折線的方法作出三角形的高，三角形的中線，三角形角的平分線。（每種線用一個三角形）比較一下，有什么收獲：三角形的三條高、中線、角平分線，它們都是線段，且相交于一點。注意：角的平分線是一條射線，三角形的角平分線是線段。二．如圖，在ΔABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，完成推理：∵AD是△ABC的角平分線（）∴∠=∠=1/2∠()∵AE是△ABC的中線（）∵AF是△ABC的高()∴BE=（）∴∠=∠=900BC=2=2（）()二.用學1、如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形下列說法正確的是（）①平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線；②三角形的中線，角平分線都是線段，而高是直線；③每個三角形都有三條中線，高和角平分線；④三角形的中線是經(jīng)過頂點和對邊中點的直線。A.③④B.③C.②③D.①④3、已知AB=5，AC=3，AD是中線，則三角形ABD與三角形ADC的周長相差多少？三.測學1.三角形的三條高在（）A.三角形的內(nèi)部B.三角形的外部C.三角形的邊上D.三角形的內(nèi)部，外部或邊上2、如左圖，BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，∠A=400，則∠O=3、如右圖，AD是△ABC的中線，則S△ABDS△ACD《11.1.2三角的高、中線與角平分線》同步練習一、選擇題：1.如圖1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直線AC翻折180°,使點B落在點B′的位置,則線段AC具有性質()A.是邊BB′上的中線B.是邊BB′上的高C.是∠BAB′的角平分線D.以上三種性質合一(1)(2)(3)2.如圖2所示,D,E分別是△ABC的邊AC,BC的中點,則下列說法不正確的是()A.DE是△BCD的中線B.BD是△ABC的中線C.AD=DC,BD=ECD.∠C的對邊是DE3.如圖3所示,在△ABC中,已知點D,E,F分別為邊BC,AD,CE的中點,且S△ABC=4cm2,則S陰影等于()A.2cm2B.1cm2C.cm2D.cm24.在△ABC,∠A=90°,角平分線AE、中線AD、高AH的大小關系為()A.AH<AE<ADB.AH<AD<AEC.AH≤AD≤AED.AH≤AE≤AD5.在△ABC中,D是BC上的點,且BD:DC=2:1,S△ACD=12,那么S△ABC等于()A.30B.36C.72D.24二、填空題:1.直角三角形兩銳角的平分線所夾的鈍角為_______度.2.等腰三角形的高線、角平分線、中線的總條數(shù)為________.3.在△ABC中,∠B=80°,∠C=40°,AD,AE分別是△ABC的高線和角平分線,則∠DAE的度數(shù)為_________.4.三角形的三條中線交于一點,這一點在_______,三角形的三條角平分線交于一點,這一點在__________,三角形的三條高線所在直線交于一點,這一點在_____.三、解答題1.如圖所示,在△ABC中,∠C-∠B=90°,AE是∠BAC的平分線,求∠AEC的度數(shù).2.在△ABC中,AB=AC,AD是中線,△ABC的周長為34cm,△ABD的周長為30cm,求AD的長.參考答案:一、1.D2.D3.B4.D5.B二、1.1352.3條或7條3.20°4.三角形內(nèi)部三角形內(nèi)部三角形內(nèi)部、邊上或外部三、1.∠AEC=45°2.AD=13cm《11.1.2三角形的高、中線與角平分線》同步練習一.選擇題:1.△ABC中，AB=AC=4，BC=a,則a的取值范圍是()A.a＞0B.0＜a＜4C.4＜a＜8D.0＜a＜82.△ABC中，CA=CB，D為BA中點，P為直線CD上的任一點，那么PA與PB的大小關系是()A.PA＞PBB.PA＜PBC.PA=PBD.不能確定3.△ABC中，AB=7，AC=5，則中線AD之長的范圍是()A.5＜AD＜7B.1＜AD＜6C.2＜AD＜12D.2＜AD＜54.△ABC中，AB=13，BC=10，BC邊上中線AP=12，則AB，AC關系為()A.AB＞ACB.AB=ACC.AB＜ACD.無法確定5.三條線段a,b,c長度均為整數(shù)且a=3,b=5.則以a,b,c為邊的三角形共有()A.4個B.5個C.6個D.7個6.一個三角形中，下列說法正確的是()A.至少有一個內(nèi)角不小于90°B.至少一個內(nèi)角不大于30°C.至少一個內(nèi)角不小于60°D.至少一個內(nèi)角不大于45°7.△ABC中，∠A=40°,高BD和CE交于O，則∠COD為()A.40°或140°B.50°或130°C.40°D.50°8.已知，如圖1，△ABC中，∠B＝∠DAC，則∠BAC和∠ADC的關系是()A.∠BAC＜∠ADCB.∠BAC＝∠ADCC.∠BAC＞∠ADCD.不能確定9.在△ABC中，已知∠A＋∠C＝2∠B，∠C－∠A＝80°，則∠C的度數(shù)是()A.60°B.80°C.100°D.120°10.如圖2，∠B＝∠C，則∠ADC與∠AEB的關系是()A.∠ADC＞∠AEB B.∠ADC＝∠AEBC.∠ADC＜∠AEB D.不能確定二、填空題:1.△ABC中，∠A-∠B=10°,2∠C-3∠B=25°,則∠A=.2.等腰三角形周長為21cm,一中線將周長分成的兩部分差為3cm,則這個三角形三邊長為________.3.點A、B關于直線l對稱，點C、D也關于l對稱，AC、BD交于O，則O點在上.4.△ABC周長為36，AB=AC,AD⊥BC于D，△ABD周長為30cm,則AD=.5.等腰三角形一腰上的高與另一腰夾角為45°,則頂角為.6.三角形三邊的長為15、20、25，則三條高的比為.7.若三角形三邊長為3、2a-1、8，則a的取值范圍是.8.如果等腰三角形兩外角比為1∶4則頂角為.9.等腰三角形兩邊比為1∶2,周長為50，則腰長為.10.等腰三角形底邊長為20，腰上的高為16.則腰長為.三、解答題:1.△ABC中AB=AC，D在AC上，且AD=BD=BC.求△ABC的三內(nèi)角度數(shù).2.如圖，AC=BD，AD⊥AC，BD⊥BC，求證AD=BC.3.CD為Rt△ABC斜邊的中線V，DE⊥AC于E，BC=1，AC=.求△CED的周長.4.如圖，AD為△ABC的中線，∠ADB的平分線交AB于E，∠ADC的平分線交AC于E,求證BE+CF＞EF.5.△ABC中，AD⊥BC交邊BC于D.(1)若∠A=90°求證：AD+BC＞AB+AC(2)若∠A＞90°,(1)中的結論仍然成立嗎？若不成立，請舉反例，若成立，請給出證明6.如圖，將一張長方形紙片沿EF折疊后,點D、C分別落在點D′、C′的位置,ED′的延長線與BC交于點G，若∠EFG＝50°，求∠1、∠2的度數(shù).答案一、選擇：DCBBBCABCB二、填空：(1).55°(2).(8,8,5)或(6,6,9)(3).l(4).12(5).45°或135°(6).20∶15∶12(7).3＜a＜6(8).140°(9).20(10).三.解答：1.設∠A=xAD=DB=BCAB=AC∴∠ABD=x∠BDC=2x∠ABC=∠C=2x∠DBC=x∴5x=180°x=36°∴∠A=36°∠C=72°∠ABC=72°2.連DC，∠DAC=∠DBC=90°AC=BDDC=DC∴Rt△DAC≌△CBD(HL)∴AD=BC.3.∵∠ACB=90°BC=1AC=∴AB=2∠A=∠ACD=30°CD=1DE=CE=周長為4.延長ED至G，使ED=DG，連GC，GFDE平分∠BDA，DF平分∠ADC∴∠EDF=90°,ED=DG∴EF=FG，△BED≌△CGD∴BE=GC；GC+CF＞GF.∴BE+CF＞EF.5.(1)∵∠A=90°∴AB2+AC2=BC2AB·AC=AD·BC.(AB+AC)2=AB2+AC2+2AB·AC=BC2+2AD·BC＜BC2+2AD·BC+AD2=(BC+AD)2∴AD+BC＞AB+AC.(2)若∠A＞90°,上述結論仍成立.證∵∠A＞90°,作AE⊥AB交BC于E，則AD為Rt△BAE斜邊上的高由(1)∴AD+BE＞AB+AE①在△AEC中AE+EC＞AC②；①+②AD+BE+EC+AE＞AB+AC+AE∴AD+BC＞AB+AC6、80°，100°《11.1.2三角形的高、中線與角平分線》同步練習基礎知識一、選擇題1.三角形的角平分線、中線、高線都是（）A.線段B.射線C.直線D.以上都有可能【答案】A2.至少有兩條高在三角形內(nèi)部的三角形是（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.都有可能【答案】A3.(2012山東省德州市)不一定在三角形內(nèi)部的線段是（）（A）三角形的角平分線（B）三角形的中線（C）三角形的高（D）三角形的中位線【答案】C4.在△ABC中，D是BC上的點，且BD:CD=2:1,S△ACD=12,那么S△ABC等于（）A.30B.36C.72D.24【答案】B5.小華在電話中問小明：“已知一個三角形三邊長分別是4，9，12，如何求這個三角形的面積？”小明提示說：“可通過作最長邊上的高來求解．”小華根據(jù)小明的提示作出的圖形正確的是（）A.B.C.D.【答案】A6．可以把一個三角形分