第三章,復(fù)變函數(shù)的積分

第三章復(fù)變函數(shù)的積分1§3.1柯西定理§3.2柯西公式§3.1柯西定理21復(fù)變函數(shù)的積分2幾個(gè)引理3柯西定理3曲線，

定義

C是區(qū)域D內(nèi)以為起點(diǎn),為終點(diǎn)的一條光滑的設(shè)是定義在區(qū)域D內(nèi)的復(fù)變函數(shù).在C上依次取分點(diǎn)把曲線C分割為n個(gè)小段.D1復(fù)變函數(shù)的積分在每個(gè)小弧段上任取一點(diǎn)做和數(shù)令如果分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無限增多，并且下述極限存在,

則稱該極限為函數(shù)沿曲線C的積分,記作5當(dāng)C是實(shí)軸上的區(qū)間方向從a到b,并且為實(shí)值函數(shù)，那么這個(gè)積分就是定積分.注1:并且定理

設(shè)C是光滑(或可求長(zhǎng))的有向曲線，如果

上連續(xù)，則存在，在C注2:可積函數(shù)類為連續(xù)函數(shù)6設(shè)，則證明

u,v連續(xù)取極限

u,v連續(xù)取極限7積分公式從形式上可以看成8定理

設(shè)光滑曲線C由參數(shù)方程給出：是起點(diǎn),是終點(diǎn)，在C上連續(xù)，則9證明10(

是復(fù)常數(shù));積分的基本性質(zhì)(5)設(shè)曲線C的長(zhǎng)度為L(zhǎng),函數(shù)f(z)在C上滿足則估值不等式

其中C是由光滑曲線C1,C2,…,Cn連接而成。11其中,是與兩點(diǎn)之間弧段的長(zhǎng)度.根據(jù)積分定義，令即得性質(zhì)(5).事實(shí)上,12解積分路徑的參數(shù)方程為例2

計(jì)算積分(n是整數(shù)),其中C是圓周:，方向?yàn)槟鏁r(shí)針.13重要結(jié)論：積分值與圓周的中心、半徑無關(guān).14例

計(jì)算,其中C為從原點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線段.15(1)從原點(diǎn)到1+i的直線段；(3)

拋物線y=x2上從原點(diǎn)到1+i的弧段；(2)從原點(diǎn)沿x軸到1,再?gòu)?到1+i的折線.y=x例

計(jì)算積分其中C為

相同的路徑進(jìn)行時(shí)積分值不同,

而積分值與路徑無關(guān)。是否可以討論積分與積分路徑的關(guān)系?注意

從上兩例看到,積分沿著三條不柯西定理

設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù)。(1)設(shè)C是D內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉合曲線，那么2幾個(gè)引理這里沿C的積分是按反時(shí)針方向取的。(2)設(shè)C是D內(nèi)連接及兩點(diǎn)的任一條簡(jiǎn)單曲線，那么沿C

從

到

的積分值不依賴于曲線C；

此積分也可記作（3.1）18定理的這個(gè)證明的主要部分是柯西在1825年給出的。直接證明是比較困難的，在加上f(z)的導(dǎo)數(shù)在C上連續(xù)這個(gè)條件后，黎曼于1851年運(yùn)用

格林公式給出了簡(jiǎn)明的證明過程。1900年古薩對(duì)定理進(jìn)行了修改，并給出了正

式的證明。19引理2.1設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)。設(shè)C是D內(nèi)一個(gè)多角形的周界，那么證明：先對(duì)C是三角形周界的情形作出證明，然后證明一般情況。(1)

C為一三角形的周界△。設(shè)下面證明M=0。引理2.1

20等分給定三角形的每一邊。兩兩連接這些分點(diǎn)。三角形被分成四個(gè)全等的三角形，于是不妨假設(shè)周界分別記為同樣，將周界分成四個(gè)全等的三角形，其中一個(gè)周界滿足把這種作法無限制地繼續(xù)下去，于是我們得到具有周界的一個(gè)三角形序列，其中，并且22下面估計(jì)用U表示周界

的長(zhǎng)度，于是周界

(n)的長(zhǎng)度是由存在一點(diǎn)屬于序列中所有的三角形。23因?yàn)樵诮馕?，設(shè)其導(dǎo)數(shù)為，所以使得當(dāng)并且時(shí)，即由的取法知，因此，24因此，再由我們有(5)設(shè)曲線C的長(zhǎng)度為L(zhǎng),函數(shù)f(z)在C上滿足則25比較于是由的任意性知。26(2)

C為一多角形的周界P

。用對(duì)角線把以P為周界的多邊形分成幾個(gè)三角形由(1)知，于是27注1：設(shè)P是D中任一條閉合折線，其各段可能彼此相交，注2：用折線逼近曲線的方法可以證明柯西定理。本書中用另一種方法。28注設(shè)F(z)和G(z)都是f(z)在區(qū)域D上的原函數(shù),則(常數(shù)).定義設(shè)f(z)是定義在區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù),若存在D上的解析函數(shù)使得在D內(nèi)成立，則稱是f(z)在區(qū)域D上的原函數(shù).

引理2.2

或不定積分。凸區(qū)域：區(qū)域D稱為凸區(qū)域，如果29那么它就有無窮多個(gè)原函數(shù),一般表達(dá)式為根據(jù)以上討論可知:證明設(shè)F(z)和G(z)都是f(z)在區(qū)域D上的根據(jù)第44頁例3可知,為常數(shù).原函數(shù),于是如果F(z)是f(z)在區(qū)域D上的一個(gè)原函數(shù)，(其中

是任意復(fù)常數(shù)).30引理2.2

設(shè)是凸區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，那么在D內(nèi)有原函數(shù)。證明：取定。任取，那么連接此兩點(diǎn)的線段必含在D內(nèi)。令本引理中的積分都是沿連接積分上下限的線段取的于是是在D內(nèi)確定的函數(shù)。實(shí)際上，是在D內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。任取及,的三角形在D內(nèi)。于是頂點(diǎn)是由引理2.1于是由于在連續(xù)，故使得于是可證明，又由從而存在，因此是在D內(nèi)的原函數(shù)。引理2.3設(shè)是在區(qū)域D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，并且在D內(nèi)有原函數(shù)。如果,并且C是D內(nèi)連接的一條曲線，那么注1：此定理是牛頓-萊布尼茨公式的推廣。注2：上述積分值只與曲線的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)，與路徑無關(guān)。注3：此定理也適用于函數(shù)在D內(nèi)解析的情形。引理2.2

設(shè)是凸區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，那么在D內(nèi)有原函數(shù)。證明：若曲線是光滑曲線。，那么因?yàn)?并且因?yàn)槲⒎e分基本定理對(duì)實(shí)變函數(shù)復(fù)數(shù)值函數(shù)顯然成立，所以若曲線是分段光滑的，那么把積分分成幾段計(jì)算，然后求和，結(jié)果仍然成立。35柯西定理的證明先證1：在C上任取一點(diǎn)，可以作出圓盤因圓盤是凸區(qū)域，由引理2.2，在內(nèi)有原函數(shù)由

C是緊集，可以找到有限個(gè)圓盤覆蓋C，把他們按逆時(shí)針方向依次排列為并且用表示，在各圓盤中原函數(shù)。3636取于是由引理2.3，有再由引理2.3，有因?yàn)闃?gòu)成D中一閉合折線，于是由引理2.1的說明知（3.1）成立。37下證2：分別內(nèi)接的兩條折線，及，使得

設(shè)C1是D內(nèi)連接及兩點(diǎn)的另一條簡(jiǎn)單曲線，

同(1)的證明，可在內(nèi)作出連接及，并與及由引理2.1的說明知，有38柯西定理(1)的等價(jià)定理柯西定理

設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù)。(1)設(shè)C是D內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉合曲線，那么這里沿C的積分是按反時(shí)針方向取的。（3.1）定理3.1′設(shè)C一條簡(jiǎn)單閉合曲線，f(z)在以C為邊界的有界閉區(qū)域上解析，那么這里沿C的積分是按反時(shí)針方向取的。39定理3.2設(shè)f(z)是在單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，那么f(z)在D內(nèi)有原函數(shù)。證明：取定。任取。由定理3.1(2),于是是在D內(nèi)確定的函數(shù)。取，使其與z充分接近，40于是由于在連續(xù)，故使得于是與引理2.2類似可證明從而存在，因此是在D內(nèi)的原函數(shù)。41結(jié)合定理3.2與引理2.3，可見可用原函數(shù)求解析函數(shù)的積分。注:42例1:設(shè)D是不含

的一個(gè)單連通區(qū)域，并且，那么其中m是不等于1的整數(shù)。另外，設(shè)D

在復(fù)平面沿從

出發(fā)的任何射線割開而得的區(qū)域，則有其中，對(duì)數(shù)應(yīng)理解為在D

內(nèi)的一個(gè)解析分支在在及的值。其中積分曲線為簡(jiǎn)單曲線。43柯西定理在多連通區(qū)域上的推廣44定理

(復(fù)合閉路定理)

設(shè)C為多連通域D內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線，是在C內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線，它們互不包含也互不相交，并且以為邊界的區(qū)域全含于D，如果f(z)在D內(nèi)解析，那么這里C及Ck均取正向，Γ為由C及Ck（k=1,2,…,n）所組成的復(fù)合閉路（其方向是：C按逆時(shí)針進(jìn)行，其余按順時(shí)針進(jìn)行）。45定理3.1′設(shè)C一條簡(jiǎn)單閉合曲線，f(z)在以C為邊界的有界閉區(qū)域上解析，那么這里沿C的積分是按反時(shí)針方向取的。定理’

設(shè)有n+1條簡(jiǎn)單閉曲線C0，，它們互不包含也互不相交，設(shè)D是圍成的多連通區(qū)域，D及其邊界構(gòu)成一個(gè)閉區(qū)域。設(shè)f(z)在上解析，那么其中C表示D的全部邊界。46注1：以后寫出沿區(qū)域邊界的積分，除了特別說明，都是關(guān)于區(qū)域的正向取的。注2：以后寫出沿簡(jiǎn)單閉曲線的積分，除了特別說明，都是按反時(shí)針方向取的。47==49復(fù)合閉路定理的證明5050多連通區(qū)域內(nèi)的不定積分多連通區(qū)域內(nèi)，是多值函數(shù)。設(shè)是包含z的一個(gè)單連通區(qū)域，取曲線如下：從沿一固定的簡(jiǎn)單曲線到內(nèi)一點(diǎn)，然后從沿在內(nèi)的任一簡(jiǎn)單曲線到z。沿這種曲線取積分所得的函數(shù)是內(nèi)的單值解析函數(shù)。改變從到的曲線，得到不同的解析函數(shù)，它們是F(x)在內(nèi)的不同解析分支。51例2:在圓環(huán)內(nèi)，解析。在D內(nèi)取定兩點(diǎn)及。作連接此兩點(diǎn)的兩條曲線及。取定在的值為。當(dāng)z沿C1從連續(xù)變動(dòng)到時(shí)，z的幅角從連續(xù)變動(dòng)到。于是當(dāng)z沿C2從連續(xù)變動(dòng)到時(shí)，z的幅角從連續(xù)變動(dòng)到。52從而現(xiàn)求沿的積分。令，則同樣求得這樣，在含的一個(gè)單連通區(qū)域(在D內(nèi))內(nèi)，相應(yīng)于及，多值函數(shù)有兩個(gè)不同的解析分支§3.2柯西公式534柯西公式5莫雷拉定理為邊界的閉圓盤上解析。由于在曲線C

上54但I(xiàn)

的值不一定等于零。4柯西公式設(shè)f(z)在以圓

連續(xù)所以下述積分存在,作以為心，為半徑的圓。55因?yàn)閒(z)在z0連續(xù),故上函數(shù)f(z)的值將隨著r的減小而接近因此,隨著r的減小,應(yīng)該有而接近于定理

為邊界的閉圓盤上解析。則設(shè)f(z)在以圓

定理4.1設(shè)D是以有限條簡(jiǎn)單閉曲線C(如圖C為及組成)為邊界的有界區(qū)域。上解析，那么在D內(nèi)任一點(diǎn)z

,設(shè)在D及C所組成的閉區(qū)域Cauchy公式57證明57作以為心，為半徑的圓。58積分值值與ρ

無關(guān),所以由e的任意性,可知根據(jù)f(z)在z0連續(xù),則

e>0,存在d>0,使得當(dāng)

時(shí)證明設(shè)。顯然，函數(shù)在滿足的點(diǎn)處解析。以z為心作一包含在D

內(nèi)的閉圓盤，設(shè)其半徑為，邊界為圓。在

上，挖去以為邊界的圓盤，余下的點(diǎn)集是一閉區(qū)域。在上，以及解析，于是其中沿C的積分按關(guān)于D的正向取，沿的積分按反時(shí)針方向取。60高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式定理4.2設(shè)D是以有限條簡(jiǎn)單閉曲線C(如圖C為及組成)為邊界的有界區(qū)域。設(shè)在D及C所組成的閉區(qū)域意階導(dǎo)數(shù)，并且在D內(nèi)任一點(diǎn)z

,上解析，那么在D內(nèi)有任+61

可知所以應(yīng)用證明首先考慮n=1的情形.