高中數(shù)學(xué)北師大版必修2第一章7.2棱柱棱錐棱臺(tái)和圓柱圓錐圓臺(tái)的體積作業(yè)

,[學(xué)生用書(shū)單獨(dú)成冊(cè)])[A.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．若一個(gè)圓錐的軸截面(過(guò)圓錐頂點(diǎn)和底面直徑的截面)是等邊三角形，其面積為eq\r(3)，則這個(gè)圓錐的體積為()A．3π B.eq\f(\r(3),3)πC.eq\r(3)π D.eq\f(\r(3),2)π解析：選B.設(shè)圓錐的底面半徑為R，依題意知該圓錐的高即軸截面的高h(yuǎn)＝eq\f(\r(3),2)·2R＝eq\r(3)R，所以eq\f(1,2)·2R·eq\r(3)R＝eq\r(3)，解得R＝1.所以V＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.2．將兩個(gè)棱長(zhǎng)為10cm的正方體銅塊熔化后鑄成底面邊長(zhǎng)為5cm的正四棱柱，則該四棱柱的高為()A．8cm B．80cmC．40cm D.eq\f(16,5)cm解析：選B.設(shè)正四棱柱的高為hcm，依題意得5×5×h＝2×103，解得h＝80(cm)．3.一個(gè)棱錐的三視圖如圖所示，則它的體積為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(1,3)解析：選A.由三視圖可知該幾何體為四棱錐，棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2,2)×1))×1＝eq\f(1,2).4．正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為2和4的矩形，則該正三棱柱的體積是()A.eq\f(8\r(3),9) B.eq\f(4\r(3),9)C.eq\f(2\r(3),9) D.eq\f(4\r(3),9)或eq\f(8\r(3),9)解析：選D.當(dāng)2為正三棱柱的底面周長(zhǎng)時(shí)，正三棱柱底面三角形的邊長(zhǎng)a＝eq\f(2,3)，底面面積S＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),9)，正三棱柱的高h(yuǎn)＝4，所以正三棱柱的體積V＝Sh＝eq\f(4\r(3),9)；當(dāng)4為正三棱柱的底面周長(zhǎng)時(shí)，正三棱柱底面三角形的邊長(zhǎng)a′＝eq\f(4,3)，底面面積S′＝eq\f(\r(3),4)a′2＝eq\f(4\r(3),9)，正三棱柱的高h(yuǎn)′＝2，所以正三棱柱的體積V′＝S′h′＝eq\f(8\r(3),9).所以正三棱柱的體積為eq\f(4\r(3),9)或eq\f(8\r(3),9).5．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是()A．8－eq\f(2π,3) B．8－eq\f(π,3)C．8－2π D.eq\f(2π,3)解析：選A.由幾何體的三視圖可知幾何體為一個(gè)組合體，即一個(gè)正方體中間去掉一個(gè)圓錐體，所以它的體積是V＝23－eq\f(1,3)×π×12×2＝8－eq\f(2π,3).6．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，Q為棱C1C的中點(diǎn)，則三棱錐C1-BD1Q的體積為_(kāi)_______．解析：三棱錐C1-BD1Q也可以寫(xiě)成三棱錐B-C1D1Q.底面積Seq\s\do5(棱錐△C1D1Q)＝eq\f(1,4)，高BC＝1，則Veq\s\do5(棱錐C1-BD1Q)＝V棱錐eq\s\do5(B-C1D1Q)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×1＝eq\f(1,12).答案：eq\f(1,12)7．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，其中主視圖和左視圖都是一個(gè)兩底長(zhǎng)分別為2和4，腰長(zhǎng)為eq\r(2)的等腰梯形，則該幾何體的體積是________．解析：由三視圖可知此幾何體為一圓臺(tái)，上底半徑為2，下底半徑為1，不難求出此圓臺(tái)的高，如圖，h＝eq\r(（\r(2)）2－12)＝1，故體積V＝eq\f(1,3)π(22＋2×1＋12)×1＝eq\f(7π,3).答案：eq\f(7π,3)8．若圓柱的高擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，底面半徑不變，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來(lái)的__________倍；若圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來(lái)的________倍．解析：圓柱的體積公式為V圓柱＝πr2h，底面半徑不變，高擴(kuò)大為原來(lái)的4倍時(shí)，其體積也變?yōu)樵瓉?lái)的4倍；高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的4倍時(shí)，其體積變?yōu)樵瓉?lái)的42＝16倍．答案：4169．四邊形ABCD中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，將四邊形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積．解：因?yàn)镃(2，1)，D(0，3)，所以圓錐的底面半徑r＝2，高h(yuǎn)＝2.所以V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(8,3)π.因?yàn)锽(1，0)，C(2，1)，所以圓臺(tái)的兩個(gè)底面半徑R＝2，R′＝1，高h(yuǎn)′＝1.所以V圓臺(tái)＝eq\f(1,3)πh′(R2＋R′2＋RR′)＝eq\f(1,3)π×1×(22＋12＋2×1)＝eq\f(7,3)π，所以V＝V圓錐＋V圓臺(tái)＝5π.10．一幾何體的三視圖如圖：(1)畫(huà)出它的直觀圖；(2)求該幾何體的體積．解：(1)其直觀圖如下(2)這個(gè)幾何體是一個(gè)三棱錐．由三視圖知：AC＝5cm，作BD⊥AC于D，則BD＝eq\f(12,5)cm，得S底＝5×eq\f(12,5)×eq\f(1,2)＝6(cm2)，高h(yuǎn)＝6cm，得V＝eq\f(1,3)×6×6＝12(cm3)．[B.能力提升]1．若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是()A.eq\f(352,3)cm3 B．144cm3C.eq\f(224,3)cm3 D.eq\f(160,3)cm3解析：選B.該幾何體是一個(gè)組合體，上面是一個(gè)正四棱柱，其底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，且高為2，下面是一個(gè)正四棱臺(tái)，其高為3，下底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，所以V＝4×4×2＋eq\f(1,3)×3×(64＋16＋eq\r(64×16))＝144(cm3)．2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則此幾何體的體積是()A．112cm3 B.eq\f(224,3)cm3C．99cm3 D．224cm3解析：選B.由三視圖可知該幾何體上面是四棱錐，下面是個(gè)正方體，則體積V＝eq\f(1,3)Sh＋a3＝eq\f(1,3)×4×4×2＋43＝eq\f(32,3)＋64＝eq\f(224,3)(cm3)．3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3.解析：由三視圖可知，這是由下面是一個(gè)長(zhǎng)方體，上面是一個(gè)平躺著的四棱柱構(gòu)成的組合體，長(zhǎng)方體的體積為：3×4×2＝24(m3)，四棱柱的體積為eq\f(（1＋2）,2)×1×4＝6(m3)，所以該幾何體的體積為24＋6＝30(m3)．答案：304．一個(gè)圓錐形容器和一個(gè)圓柱形容器，它們的軸截面尺寸如圖所示，兩容器內(nèi)所盛液體的體積正好相等，且液面高度h正好相同，則h＝________．解析：設(shè)圓錐形容器的液面的半徑為R，則液體的體積為eq\f(1,3)πR2h，圓柱形容器內(nèi)的液體體積為π(eq\f(a,2))2h.根據(jù)題意，有eq\f(1,3)πR2h＝π(eq\f(a,2))2h，解得R＝eq\f(\r(3),2)a.再根據(jù)圓錐形容器的軸截面與內(nèi)盛液體軸截面是相似三角形，得eq\f(\f(\r(3),2)a,a)＝eq\f(h,a)，所以h＝eq\f(\r(3),2)a.答案：eq\f(\r(3),2)a5．如圖1，一個(gè)正四棱柱形(底面是正方形，側(cè)棱和底面垂直)的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形(頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心)實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有2升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過(guò)正四棱錐的頂點(diǎn)P.如果將容器倒置，水面也恰好過(guò)點(diǎn)P(圖2)．判斷下列四種說(shuō)法的正誤．(1)正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半；(2)將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過(guò)點(diǎn)P；(3)任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P；(4)若往容器內(nèi)再注入2升水，則容器恰好能裝滿．解：以圖1中，過(guò)P的水面為截面，將棱柱分成2部分，上部分的容積為2升，下部分的容積為2升，整個(gè)容器的容積為4升．點(diǎn)P在容器的中心，故(2)(4)是對(duì)的．正四棱錐形裝飾塊所占的容積為1升，則正四棱錐的高等于正四棱柱高的eq\f(3,5)，故(1)錯(cuò)誤．(3)顯然是錯(cuò)誤的．6．(選做題)如圖，有個(gè)水平放置的圓臺(tái)形容器，上、下底面半徑分別為2分米、4分米，高為5分米，現(xiàn)以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，當(dāng)水面的高度為3分米時(shí)，求所用的時(shí)間．(精確到0.01秒)解：如圖，設(shè)水面的半徑為r分米，則EH＝(r－2)分米，BG＝2分米，在△ABG中，因?yàn)镋H∥BG，所以eq\f(AH,AG)＝eq\f(EH,BG).因?yàn)锳H＝2分米，所以eq\f(2,5)＝e