河南省駐馬店市環(huán)際大聯(lián)考“逐夢計劃”2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期階段考試（三）數(shù)學(xué)

環(huán)際大聯(lián)考“逐夢計劃”2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期階段考試（三）高二數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為A.0 B. C. D.不存在2.已知雙曲線的離心率為，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.3.，，，，五人站成一排，如果，必須相鄰，那么排法種數(shù)共有（）A.24 B.120 C.48 D.604.已知點，，如果直線上，有且只有一個點，使得，那么實數(shù)的值為（）A.20 B. C. D.105.若直線過拋物線的焦點，與拋物線相交于兩點，且，則線段的中點到軸的距離為（）A. B. C. D.6.已知直線與橢圓恒有公共點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.或C.且 D.且7.如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準(zhǔn)線于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，則此拋物線方程為（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x8.在棱長為1的正方體中，、為線段上的兩個三等分點，動點在內(nèi)，且，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，則下列說法正確的是（）A.四面體的體積為B.C.向量在方向上的投影向量為D.∥平面10.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.若，則為橢圓B.若，則為雙曲線C.若為橢圓，則其長軸長一定大于2D.曲線不能表示圓11.已知圓則下列說話正確的是（）A.圓與直線必有兩個交點B.圓上存在4個點到直線距離都等于1C.圓與圓恰有三條公切線，則D.動點在圓上，則12.已知橢圓左、右焦點分別為，，過的直線與交于，兩點，若，則下列說法正確的是（）A. B.的面積等于C.直線的斜率為 D.的離心率等于三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則關(guān)于的方程有實數(shù)解的有序數(shù)對的個數(shù)為________.14.已知直線過點，且，兩點到直線的距離相等，則直線的方程為________.15.如圖，正方體的棱長為1，、分別為與的中點，則點到平面的距離為______.16.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，若點在上，點在上，且是周長為12的正三角形.則拋物線的方程為______.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知△ABC三個頂點分別為A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).（1）求BC邊上的中線所在直線的方程；（2）求BC邊上的高所在直線的方程.18.已知直線與圓相交于，兩點.（1）求；（2）若為圓上的動點，求的取值范圍.19.如圖在邊長是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點．（1）求異面直線EF與所成角的大小．（2）證明：平面．20.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，過點作斜率為的直線與拋物線交于不同的兩點，.（1）求取值范圍；（2）若為直角三角形，且，求的值.21.如圖1，梯形中，，過，分別作，，垂足分別、.若，，，將梯形沿，折起，且平面平面（如圖2）.圖1圖2（1）證明：；（2）若，在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長，若不存在，說明理由.22.已知橢圓的離心率為，且橢圓過點.（1）求的方程；（2）設(shè)過點的動直線與相交于，兩點，若為坐標(biāo)原點，當(dāng)面積最大時，求的方程.環(huán)際大聯(lián)考“逐夢計劃”2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期階段考試（三）高二數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為A.0 B. C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】垂直于y軸的直線傾斜角為.【詳解】表示一條垂直于y軸的直線，故傾斜角為.故選：C【點睛】本題考查直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.2.已知雙曲線的離心率為，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】直接利用離心率公式計算得到答案.【詳解】曲線的離心率為，故，解得.故選：A.3.，，，，五人站成一排，如果，必須相鄰，那么排法種數(shù)共有（）A.24 B.120 C.48 D.60【答案】C【解析】【分析】利用捆綁法以及分步計數(shù)原理求解.【詳解】將，看成一體，，的排列方法有種方法，然后將和當(dāng)成一個整體與其他三個人一共個元素進(jìn)行全排列，即不同的排列方式有，根據(jù)分步計數(shù)原理可知排法種數(shù)為，故選：.4.已知點，，如果直線上，有且只有一個點，使得，那么實數(shù)值為（）A.20 B. C. D.10【答案】D【解析】【分析】依題意由直線和圓的位置關(guān)系，利用點到直線距離即可求得.【詳解】根據(jù)題意可知，以為直徑的圓與直線相切，如下圖所示：所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，又，所以.故選：D5.若直線過拋物線的焦點，與拋物線相交于兩點，且，則線段的中點到軸的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的定義可得，再由中點坐標(biāo)公式即可得解.【詳解】由題意，拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)，所以，即，所以點的橫坐標(biāo)為，所以點到軸的距離為6.故選：A.6.已知直線與橢圓恒有公共點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.或C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】由直線，可得直線恒過定點，轉(zhuǎn)化為只需點在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，直線，可得直線恒過定點，要使得直線與橢圓恒有公共點，只需點在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上，可得，即實數(shù)的取值范圍為且.故選：C.7.如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準(zhǔn)線于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，則此拋物線方程為（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x【答案】B【解析】【分析】分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于E，D，設(shè)|BF|=a，運用拋物線的定義和直角三角形的性質(zhì)，求得p，可得所求拋物線的方程．【詳解】如圖分別過點A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得：|BC|＝2a，由拋物線定義得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因為|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，從而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此拋物線方程為y2＝6x.故選：B8.在棱長為1的正方體中，、為線段上的兩個三等分點，動點在內(nèi)，且，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先通過位置關(guān)系的證明說明在平面內(nèi)，然后根據(jù)已知條件求解出的長度，根據(jù)的長度確定出在平面內(nèi)的軌跡形狀，由此求解出對應(yīng)的軌跡長度.【詳解】如圖，在棱長為1的正方體中，，因為、為線段上的兩個三等分點，所以，易知，平面，平面，所以平面，則，同理可證，又平面，平面，，則平面，設(shè)點到平面的距離為，則三棱錐的體積，則，所以在平面內(nèi)，則，所以，所以平面內(nèi)點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，如圖，在正三角形中，為中心，圓的半徑為，即，，所以在直角三角形中，則，所以三個虛線弧圓心角弧度數(shù)為，則三個實線弧圓心角弧度數(shù)為，所以點的軌跡長度為.故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，則下列說法正確的是（）A.四面體的體積為B.C.向量在方向上的投影向量為D.∥平面【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)體積公式計算即可判斷A；以為原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量法計算即可判斷B，C；根據(jù)線面平行的判定即可判斷D．【詳解】對于A，因為，故A正確；以為原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，，對于B，因為，，則，所以與不垂直，即直線與直線不垂直，故B錯誤；對于C，因為，，則，，，所以在方向上的投影向量為，故C正確；對于D，連接，，，，且交于，連接，則是和的中點，所以在中，，又平面，而平面，所以∥平面，故D正確．故選：ACD．10.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.若，則為橢圓B.若，則為雙曲線C.若為橢圓，則其長軸長一定大于2D.曲線不能表示圓【答案】BC【解析】【分析】A，B項，求出的范圍，即可判斷曲線的形狀；C項，求出為橢圓時的范圍，分類討論即可得出其長軸長的范圍；D項，通過A選項即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，曲線中，A項，當(dāng)時，，但當(dāng)即時，曲線為圓，故A錯誤；B項，當(dāng)時，，為雙曲線，B正確；C項，若為橢圓，由A選項知，，當(dāng)時，，∴長軸為，當(dāng)時，∴長軸為，故C正確；D項，由A知當(dāng)時，曲線為圓，D錯誤.故選：BC.11.已知圓則下列說話正確的是（）A.圓與直線必有兩個交點B.圓上存在4個點到直線的距離都等于1C.圓與圓恰有三條公切線，則D.動點在圓上，則【答案】ABCD【解析】【分析】根據(jù)直線過定點，得到定點在圓內(nèi)，進(jìn)而即可A；圓心到直線的距離為，即可得到有4個點滿足進(jìn)而即可B；根據(jù)條件可知兩圓外切，進(jìn)而即可判斷C；令，可得表示為直線截距的2倍，再根據(jù)直線與圓相切時，直線的截距取得最值，進(jìn)而即可判斷D正確.【詳解】對于A，由，則，即直線過定點，又，則定點在圓內(nèi)，所以圓與直線必有兩個交點，故A正確；對于B，由圓的圓心到直線的距離為，又圓的半徑為3，則到直線的距離為1的兩條直線都與圓相交，所以存在4個點滿足，故B正確；對于C，圓化簡得到，因為兩圓有三條公切線，所以兩圓外切，即，解得，故C正確；對于D，令，則，則表示為直線截距的2倍，又動點在圓上，則當(dāng)直線與圓相切時，直線的截距取得最值，則，解得，所以，故D正確．故選：ABCD．12.已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線與交于，兩點，若，則下列說法正確的是（）A. B.的面積等于C.直線的斜率為 D.的離心率等于【答案】AB【解析】【分析】由題意可設(shè)：設(shè)，由橢圓定義可得，進(jìn)而可得，分析可知點為短軸的頂點，，結(jié)合橢圓性質(zhì)逐項分析判斷.【詳解】因為，設(shè)，則，可得，即，可得，可知點為短軸的頂點，且，即，故A正確；因為，故B正確；因為，且，則，所以直線的斜率為，的離心率等于，故CD錯誤；故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則關(guān)于的方程有實數(shù)解的有序數(shù)對的個數(shù)為________.【答案】12【解析】【分析】分是否為0判斷即可.【詳解】①當(dāng)時，取范圍內(nèi)任一實數(shù)均有實數(shù)解，此時有4對；②當(dāng)時，有解則滿足，即，當(dāng)時，可取的值有、0、2、3，當(dāng)時，可取的值有、0，當(dāng)時，可取的值有、0，共有12對.故答案為：12.14.已知直線過點，且，兩點到直線的距離相等，則直線的方程為________.【答案】或【解析】【分析】設(shè)出直線的斜率，根據(jù)點斜式寫出直線的方程，根據(jù)點到直線的距離公式列方程求解即可.【詳解】當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，由點到直線的距離公式可知，解得或，當(dāng)時直線的方程為，當(dāng)時直線的方程為；當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，兩點到直線的距離不相等，所以此種情況不存在，故答案為；或.15.如圖，正方體的棱長為1，、分別為與的中點，則點到平面的距離為______.【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點到平面距離公式進(jìn)行計算.【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故平面的法向量為，又，則點到平面的距離為.故答案為：16.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，若點在上，點在上，且是周長為12的正三角形.則拋物線的方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義知，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于，則，在中求得，即可求解.【詳解】由是周長為12的等邊三角形，得，又由拋物線的定義可得.設(shè)準(zhǔn)線與軸交于，則，從而，在中，，即.所以拋物線的方程為.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知△ABC的三個頂點分別為A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).（1）求BC邊上的中線所在直線的方程；（2）求BC邊上的高所在直線的方程.【答案】（1）x+y6=0；（2）3x+y10=0.【解析】【分析】（1）由中點坐標(biāo)公式可得BC的中點為M(4，2)，由兩點式可得BC邊上的中線所在直線的方程；（2）因為BC邊上的高所在直線與直線BC垂直，由直線BC的斜率，可得BC邊上的高所在直線的斜率，再由點斜式可得BC邊上的高的直線方程.【詳解】（1）因為B(1，1)，C(7，3)，所以BC的中點為M(4，2).因為A(2，4)在BC邊上的中線上，所以所求直線方程為=，即BC邊上的中線所在直線的方程為x+y6=0.（2）因為B(1，1)，C(7，3)，所以直線BC的斜率為=.因為BC邊上的高所在直線與直線BC垂直，所以BC邊上的高所在直線的斜率為3.因為A(2，4)在BC邊上的高上，所以所求直線方程為y4=3(x2)，即BC邊上高所在直線的方程為3x+y10=0.【點睛】本題考查直線方程的求法，考查中點坐標(biāo)公式、兩直線垂直的關(guān)系的應(yīng)用，及兩點式、點斜式、一般式等直線方程的表示形式，屬于基礎(chǔ)題.18.已知直線與圓相交于，兩點.（1）求；（2）若為圓上動點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直線和圓相交的弦長公式求解即可；（2）將轉(zhuǎn)化為圓上的任意點與連線的斜率求解即可.【小問1詳解】∵圓∴，∴圓心為，半徑，則圓心到直線的距離：，∴.【小問2詳解】表示圓上的任意點與連線的斜率，設(shè)，即，則直線與圓有公共點，∴∴∴的取值范圍為.19.如圖在邊長是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點．（1）求異面直線EF與所成角的大小．（2）證明：平面．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用可得解；（2）利用和，可證得線線垂直，進(jìn)而得線面垂直.【詳解】據(jù)題意，建立如圖坐標(biāo)系．于是：，，，，，∴，，，．（1），∴∴異面直線EF和所成的角為．（2）∴，即，∴即．又∵，平面且∴平面．20.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，過點作斜率為的直線與拋物線交于不同的兩點，.（1）求的取值范圍；（2）若為直角三角形，且，求的值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由題意可得拋物線方程，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，結(jié)合運算求解；（2）由題意可得：，解法一：利用直線方程消元，結(jié)合韋達(dá)定理運算求解；解法二：利用拋物線方程消元，結(jié)合韋達(dá)定理分析求解.【小問1詳解】由題意可知：拋物線的方程為，直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，消去得，要使直線與拋物線交于不同的兩點，，則，即，解得或，所以們?nèi)≈捣秶鸀榛?【小問2詳解】設(shè)，，由（1）可知，是的兩個根，則，，解法一：因為，則，即，可得，解得或，結(jié)合（1）中的取值范圍可知：.解法二：因為，所以，即，因為，所以，因為，所以，即，解得，此時滿足（1）中的取值范圍，所以.【點睛】21.如圖1，梯形中，，過，分別作，，垂足分別為、.若，，，將梯形沿，折起，且平面平面（如圖2）.圖1圖2（1）證明：；（2）若，在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長，若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】利用面面垂直性質(zhì)定理可得平面，