2023屆高考數(shù)學(xué)模擬試題（新高考卷）：數(shù)列 含解析

一.基本原理

1.數(shù)列求通項(xiàng)

類(lèi)型1.等差數(shù)列：相鄰兩項(xiàng)遞推形式：a,-an.i=d,(d為常數(shù)，"≥2且〃WN+)或者

+

相鄰三項(xiàng)遞推形式：a?_,+。,㈤=2an(n>2且"∈7V).這種遞推形式下，直接用等差數(shù)列

的通項(xiàng)公式：即可解決！

類(lèi)型2.等比數(shù)列：相鄰兩項(xiàng)遞推：ɑ"=qɑ,?①≠0,且ɑ“H0,〃22且〃eN+)或2=q.

的

或者相鄰三項(xiàng)遞推：0,,+∣4ι=∈N+且〃>2).

+

注2：在等比數(shù)列應(yīng)用中，有一類(lèi)比較特殊的遞推類(lèi)型，即an+ιn=am-an,?∕m,n&N,我

們可以對(duì)其賦值得到一個(gè)等比數(shù)列.

類(lèi)型3.q,-4τ=∕(")累加型

類(lèi)型4.區(qū)=/(〃)(〃∈N.且.〃>2)累乘型.

類(lèi)型5.an=eq-+4型(待定系數(shù)法)

一般形式：α,,=cα,ι+d(c,d為常數(shù)，c≠O,cαl,d≠O),可以構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列，只要

在每一項(xiàng)同加上一個(gè)常數(shù)即可，且常數(shù)X=-,a+x=c(α,,∣+x),令b”=a“+x,則

c-1n-

切為等比數(shù)列，求出力，再還原到a“，a“=(q+'L)-c"T—

c-1c-1

類(lèi)型6.an+i=qan+〃?/"型

類(lèi)型7.a,,+∣=p%+∕5)(PH1)型.

方法L數(shù)學(xué)歸納法.

方法2.%=p%+八〃)n等r=A竽，令"=/，則爺,用累

加法即可解決！

類(lèi)型8.4,安=Sn(p?q≠O)型

Pan+q

類(lèi)型9.已知S“與4關(guān)系，求知.

解題步驟:

第1步：當(dāng)〃=1代入S”求出％；

第2步：當(dāng)〃N2,由5“寫(xiě)出S,I；

第3步：α,,=S,,-S,ι("≥2);

第4步：將〃=1代入%中進(jìn)行驗(yàn)證，如果通過(guò)通項(xiàng)求出的《跟實(shí)際的4相等，則勺為整

a.(n—1)

個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，若不相等，則數(shù)列寫(xiě)成分段形式，.

[an(〃>2)

類(lèi)型9：已知前”項(xiàng)積求凡.

類(lèi)型10.特征方程法(強(qiáng)基層次)：an+2=aan+l+弧型.

求解方程：尤-a/l—人=0,根據(jù)方程根的情況，可分為：

(1)若特征方程有兩個(gè)相等的根，則氏=(A〃+㈤君

(2)若特征方程有兩個(gè)不等的根，則α,,=A<+

2.數(shù)列求和

類(lèi)型L倒序相加法

類(lèi)型2.公式法求和：用等差(等比)數(shù)列求和公式.

類(lèi)型3.裂項(xiàng)相消求和

1.分母是等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)乘積，貝I：——L)，貝11：

aada

n-n+ln4+1

111llI

n-----+------++--------=—z(-----------x).

aadaa

?l?223α,""+l?n+?

2.有理化后求和：a--j=?~1/-Jn-Vn-I.

√π+√zz?I

2"1

3.指對(duì)式裂相求和:一般地,

(2,,+l)?(2,,+'+l)^2π+l

(α-l)π,'_11

指數(shù)型:(a"+b)(an+'+b}=an+b~an+'+b

對(duì)數(shù)型：logα-=log?an+1-log〃an

%

類(lèi)型4：錯(cuò)位相減法

型如｛(kn+b)q"｝(q≠1)的數(shù)列求和，其基本解題步驟如下：

Stepl：由題可得：an?bn=

Step2:故看=她+....+anbn①，qTn=ayb2+....+a也川②

Step3:由①一②得：Q-q)T"=ah-a力用+g年：q)

q-ι

Step4:化簡(jiǎn)：T11=.

類(lèi)型5.分組求和

適用對(duì)象：主要適用于通項(xiàng)是由兩部分不同的形式構(gòu)成的數(shù)列，其次還適用于一些幾項(xiàng)放

在一起可以化簡(jiǎn)的數(shù)列.

例如：｛/+〃｝型，可分別單獨(dú)求出｛““｝,｛〃｝的前〃項(xiàng)和再求和.

類(lèi)型6.并項(xiàng)求和

在處理一些非等差，等比數(shù)列時(shí)，我們可以通過(guò)項(xiàng)的關(guān)系(相鄰兩項(xiàng)等)，將其看成一個(gè)小

組來(lái)計(jì)算，例如(-l)"(Rt+"型，分奇偶后相鄰兩項(xiàng)之差就是一個(gè)公差，即常數(shù)列求和.

3.數(shù)列放縮

類(lèi)型1.利用單調(diào)性放縮

類(lèi)型2.先求和再放縮

類(lèi)型3.先放縮通項(xiàng)再求和

這一類(lèi)是數(shù)列放縮問(wèn)題的?？碱?lèi)型，相較于類(lèi)型2而言，這一部分對(duì)放縮對(duì)象的處理需要

一定的技巧，因而對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)具有挑戰(zhàn)性，是數(shù)列放縮中的難點(diǎn).此節(jié)中，我將分為如

下幾個(gè)點(diǎn)展開(kāi)：第一，將通項(xiàng)放縮為可裂項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，然后裂項(xiàng)求和；第二，將通項(xiàng)放縮為

等比結(jié)構(gòu)(等差比結(jié)構(gòu))然后錯(cuò)位相減求和，總之，處理的基本原則就是將不可求和放縮

成可求和再求和放縮.當(dāng)然，下面的這些常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式與放縮公式需要注意.

1.常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式：

例如：一i1—<41<—1—或者/2//<；1</2j等

+n(n-l)n√n+l+√π√∕?√n+√∕?-1

2.一個(gè)重要的指數(shù)恒等式:

〃次方差公式屋一",=(a—b)(α"∣+a"-2z7+4”-3z72++ah^+h^y

這樣的話(huà)，可得：an-hn>(a-h)a"-',就放縮出一個(gè)等比數(shù)列.

/17ITl÷C

3.糖水不等式：設(shè)〃>機(jī)>0,?！?,則竺<絲上.

nn+c

類(lèi)型4.基于遞推結(jié)構(gòu)的放縮

LaN=-?=型：取倒數(shù)加配方法.

ι+A

2.二次遞推型：al,+i=pa；+qan+r.

pa+r

an+i=pa；+qan+r=>an+l-qan=pa：+r=>-------=",然后裂項(xiàng)即可完成

aaa

。,用n,,n+l

放縮，以2015浙江卷為例.

4.數(shù)列中的計(jì)數(shù)問(wèn)題的基本形式如下：

記數(shù)列僅“｝落在區(qū)間(O,g(6］的個(gè)數(shù)為4,討論數(shù)列｛4｝的性質(zhì).

這種問(wèn)題的關(guān)鍵就是利用數(shù)列自變量〃的計(jì)數(shù)功能，通過(guò)不等式0<α,≤g(A)=”,由于

〃為正整數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)自變量〃的計(jì)數(shù)，當(dāng)然，這里面需要一絲絲取整背景，需要讀者

注意.

進(jìn)一步：目前的題目的計(jì)算背景主要分布在去解下面三個(gè)不等式：

①.qn,<kn+b<qm+'

②.t,n<qn<tm+'

(3).tk+b<qn<t(k+i)+b

5.歐拉函數(shù)及應(yīng)用

L定義：歐拉函數(shù)*(〃?)是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，夕(機(jī))的值等于1,2,中與

m互素的數(shù)的個(gè)數(shù).

2.計(jì)算公式：

(1)若。為素?cái)?shù)，則e(p)=p-1

(2)若P為素?cái)?shù)，且〃=//-8(〃)=//〃」=(P-I)PI,形成了一個(gè)等比數(shù)列.

P

證明：即證8(p")=p"-p"T.由。(α)的定義知e(p")等于從P"減去1，???,Pa中與p"不

互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)；亦即等于從P"減去1,???,P"中與P不互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù).由于P是質(zhì)數(shù)，

故e(p")等于從P"減去1，…，，"中被P整除的數(shù)的個(gè)數(shù).由于1，…，P"中被P整除的數(shù)

的個(gè)數(shù)是—=Pa'',故。(P")=P"一p"T.

(3)已知正整數(shù)〃的素因數(shù)分解式〃=Pfa2p(，其中素?cái)?shù)

Pi<P，<<P,,%≥1.證明：夕(〃)=〃(1-----)(1------)(1------)?

PyPiPs

二.試題匯編

>7-4-1

-------,5=2Z+1∕∈N)

例1.(2023屆武漢9月調(diào)研)記數(shù)列｛q,｝的前〃項(xiàng)和為S,,,已知5.=2

M∈

[-2,(=2?ΛN*)

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列|」一]的前〃項(xiàng)和C,.

IaM,+J

解析：(1)當(dāng)〃為奇數(shù)且〃≥3時(shí)，all=Sl,-Sn.,=-^--^-=-n,且q=S∣=-l,也滿(mǎn)

n｛-1)+1

足該式；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，_尸5十<2J=〃.綜上,”“=(」)"？〃.

11ICl)

(2)由(1)知：-----=.1.2,,+∣~~7~~TT=--7~~X=--------------.

a,,an+l(-1)?”("+l)∕j(n+l)?nn+?)

例2.(福建省部分地市2023屆高三第一次質(zhì)量檢測(cè))已知正項(xiàng)數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S“,

,

且4S“=(αn-l)(?+3)(n∈N),

(I)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式:

(2)將數(shù)列｛q｝和數(shù)列｛2"｝中所有的項(xiàng)，按照從小到大的順序排列得到一個(gè)新數(shù)列他｝,

求他｝的前50項(xiàng)和.

解析：(1)依題意見(jiàn)>0,當(dāng)〃=1時(shí)，仞=4S∣=(q-1)3+3),解得％=3,

4S,,=(απ-l)(απ+3)(neN?),當(dāng)〃≥2時(shí),有45,一=(%-1)(%+3),作差得：

4%=端一。3+2%-2%_1，所以(4,+%一1)(見(jiàn)一。,7-2)=0,因?yàn)?+α,τ>。，

所以4,-4T=25≥2),所以數(shù)列｛為｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，所以a“=2〃+l.

(2)由(1)得，?=101,又26<101<27,同時(shí)a44=89>26,所以%=q4

ll6

所以a+打^---Fbso=(^al+a24----Fα44)+(2+2^H----∏2j

所以也｝的前項(xiàng)和為

=—(αl+a*)+?。7)=2024+126=2150?502150.

22—1

例3(福建省泉州市2023屆高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)一)已知數(shù)列｛%｝各項(xiàng)均為正數(shù)，且

4=2,<J,,+∣^—2a,,+l=a^+2an.

(I)求｛q｝的通項(xiàng)公式

(2)設(shè)a=(—1)"。“，求々+4+々++%).

2i

解析：(1)因?yàn)?=2,a,,+∣-2?+l=an+2al,

所以，吸∣-?=(%-q)(%+4)=2(a同+%),因?yàn)閿?shù)列｛4｝各項(xiàng)均為正數(shù)，即

?+,+?>0,所以，an+l-a,,=2,即數(shù)列｛/｝為等差數(shù)列，公差為4=2,首項(xiàng)為4=2.

所以a”=2+("-1)x2=2"

(2)解：由(1)知4=2”，其公差為4=2,所以，?=(-l),'a,,=(-l),'?2∕?

所以，bl+b2+bi++b20=(-a∣+π2)+(-a3+a4)++(-al9+?0)=10√=20

例4(廣東省深圳市2023屆高三第一次調(diào)研)記5“，為數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和，已知

S,,=?^+n2+l,"∈N*.

(I)求q+生，并證明｛q,+%+j是等差數(shù)歹U;

(2)求S..

解析：(1)已知5,,=/+/+1,"GN*

當(dāng)"=1時(shí)，?,=?+2,q=4；當(dāng)n=2時(shí)，4+/=/+5,a2=2,所以4+%=6.

因?yàn)镾,=∕+∕+ι①，所以S向=駕+5+ιy+ι②.

②一①得，/=學(xué)吟+(〃+1)2-〃2,整理得”,+%=4"+2,WeN",

所以(％+4+2)-3+%)=[4(〃+1)+2]-(4〃+2)=4(常數(shù))，〃eN*,

所以｛《,+4向｝是首項(xiàng)為6,公差為4的等差數(shù)列.

(2)解：由(1)知，?,∣+?=4(/2—l)+2=4n-2,n≥2,

M

5(6+4〃-2).+“；

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，S.=.+./+/)+…+(%+%)

2

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),

71-1

(K)+4〃一2)=∕+.+2?

S“=4+(a2+%)+(4+%)++(《1+4)=4+'一

2

/+〃,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)

綜上所述,ξ=

jH2+/2+2,當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)'

例5(廣州市2023屆高三一模)已知等差數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S11,且

56=4S3,?,,=20,,+l(neN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)勿=2"τa?,求數(shù)列出｝的前八項(xiàng)和卻

解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,依題意，56≈453,α2π=2a,,+l(neN*),則%=2α∣+l

“(6〃1+15d=4(34+3d)J.

所以《，r\'解得a∣=Ld=2,所以％=2〃—1.

4+d=2“+1

(2)2=2"T4=(2"-1)?2"T,所以7>lx2°+3x2∣++(2〃-l)x2"∣,

27；,=lx2'+3x22++(2〃—1)x2",兩式相減得一刀,=1+2?+2,++2π-(2n-l)×2,,

=l+l?l≤l-(2n-l)×2^(3-2n)?2"-3,所以7；=(2〃—3)?2"+3.

例6(湖北省武漢市2023屆高三下學(xué)期二月調(diào)研)記數(shù)列｛4,J的前”項(xiàng)和為S,,對(duì)任意正

整數(shù)”，有2S“=〃a“，且4=3.

(I)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式：

(2)對(duì)所有正整數(shù)％若W<2"'<4+∣,則在4和a2兩項(xiàng)中插入2根，由此得到一個(gè)

新數(shù)列｛2｝,求數(shù)”｝的前40項(xiàng)和.

解析：(1)由2S“=”,則2S"+ι=("+l)q+∣,兩式相減得：2an+l=(n-bl)aft+l-naflf

整理得：(〃一1)〃“+]="4〃，即幾22時(shí)，?-?-?j-,

一,凡馬&/7-1n-22rc∕八

所以「≥2時(shí)，an=--------??1./=----------?-?3=3(Λ-1),

a

%4L22n-2n-31

又〃=1時(shí)，2〃]=q,得％=。，也滿(mǎn)足上式.

故α,,=3(n-l).

由所以又所以也｝前項(xiàng)中有項(xiàng)來(lái)自｛叫.

(2)α40=117.26<%O<27,∕=99>26,4034

l

故4+仇++%=(4+4++034)+(2+2~++2，)

34(q+%)2(26-l)

=一肛4+-?------=1683+126=1809-

22-1

例7.(江蘇省南通市2023屆高三下學(xué)期第一次調(diào)研測(cè)試)已知數(shù)列｛%｝是公差不為0的等

差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，且滿(mǎn)足,.

在①力邑,，成等比數(shù)列，②為=2%+2,③&=Sit+67-2這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充

在下面問(wèn)題中，并完成解答.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式:

,1111

(2)求-a-a-÷----+----++-----

?2〃2〃3〃3〃4區(qū)4田

注：如果選擇多個(gè)方案分別解答，按第一個(gè)方案計(jì)分.

4(4%+6d)=(2q+d)~

解析：（1）若選①②，設(shè)｛4｝公差為（則

al+3d=2(6+d)+2

解得：q=2,d=4,.?an=2+4(π-l)=4π-2；

a(4q+6d)=(2α∣+d)~

選①③，設(shè)｛%｝公差為",λ，解得：a?=2,d=4,

8tz1+28"=4fz∣+6d+7q+2Id—2

.?an=2+4(〃-1)=4〃—2；

q+3d=2(q+d)+2

選②③，設(shè)｛4｝公差為d,，解得：q=2,d=4,

8q+28d=4tzl+6(r∕+7tz1+2k∕-2

an=2+4(〃-1)=4〃—2；

1—1J1”1______

ananu(4/1-2)(4/1÷2)4(2/?-l)(2n+l)Wl2〃-12n+l)

aa

aia2cι2a3n,l+?813352n-↑2/?+1)

=Ul__11二>

乳2〃+1廠4（2〃+1），

例8（山東省濟(jì)南市23屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）定義:在數(shù)列｛4｝中,若存在正整數(shù)限

使得V”eN*,都有a,,+k=a,,,則稱(chēng)數(shù)列｛an｝為“k型數(shù)列已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足4+∣=~.

atι+?

（1）證明:數(shù)列｛%｝為“3型數(shù)列”;

(2)若4=1,數(shù)列他｝的通項(xiàng)公式為〃=2〃-1,求數(shù)列｛α也｝的前15項(xiàng)和九.

1-11

解析：(解:由題知所以有,且

1)"”+1=--------4,+2=-771-α,,+3=-TT1-,

?+l+?+l+?÷2

I

-=一\=___L=T--i-=(Z

?----------1+a..-1a..---------π,

nπ+,nw+,

1+?+11+4

所以數(shù)列｛4｝為"3型數(shù)列"；

(2)由(I)知Ia“+3=4,4=L所以4=%=%=…="∣3=1,

11I?

a2=a5=ai="?=Λ∣4=-------=--∕?=?=?=???=β15=-----77=-2,

q+12〃2+1

abah+

所以，5=ιι+22???+???+α,5*l5

=(A1∕JI+α4?++a^)+(a2b2+a5b5++014bl4)+(0ζ?+a6b6++i∕l5hl5)

=1×(?∣÷?4-----b?13)÷(?2+?5÷???+?14)+(-2)×(?3+?6+???+?l5)

(3+27)X5?(5+29)X5

2L2

285

^τ

例9（山東省濟(jì)南市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛q｝,其前

〃項(xiàng)和記為S〃，且滿(mǎn)足對(duì)?∕z∈N+,都有25〃=。；+%.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

Tlll17

(2)設(shè)I=U+u+u+…+一？，證明：Ttt<-.

%。2。344

解析：(1)由己知：對(duì)于D"N+,25〃=4+4,=α]∣+qι5≥2),

則2%=%+片一%τ-α3—?=（%+%τ）（%-《I），且數(shù)列｛?！埃黜?xiàng)均為正數(shù)

an-an-?=1，2S∣=d+q,因?yàn)閝>0,得6=1,「?數(shù)列｛?！ǎ鞘醉?xiàng)為1,公差為1的等

差數(shù)列，故/=〃.

11111

(2)V∕2∈N,n>2,—=—<7----7\~=1---7\—一，

+a：n(H-1)Z?(H-1)n

TlllIlll1

故7L=-÷-÷-+???÷-=7÷ττ÷72-÷???÷-

axa2a3an123n

11111Illlll11717

<—H——4-------h--------F???÷---------=—I1---------1--------1-???H—,4-------------=-------<——

1222×33x4(n-l)n142334〃4〃4'

7

所以

例10(溫州市2023屆高三一模)已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，4=1,且％,生，氏-1成等

比數(shù)列.給定k∈N*,記集合｛〃決≤ɑ,,≤2*,〃€N*｝的元素個(gè)數(shù)為“.

(1)求伉,打的值；

(2)求最小自然數(shù)月的值，使得々+4+…>2022.

解析：（1）設(shè)數(shù)列｛七｝的公差為d,由％,?2,%—1成等比數(shù)列，得4（%T）=W,

lx(l+4d-l)=(l+d>,解得”=1,所以4=〃，

Z=I時(shí)，集合｛"∣1≤"≤2,”eN'｝中元素個(gè)數(shù)為4=2,

Z=2時(shí)，集合5∣2≤"≤4,"∈N｝中元素個(gè)數(shù)為H=3；

，(

(2)由(1)知4=2*-k+l,b+b++b,≈-2(—?-7n+1)+n=2(2"-l)--+-,

l2l1—2222

MO-VJM2-〃

〃=10時(shí)，2(2,'-1)--+-=2001<2022,〃=11時(shí)，2(2"-l)-j'=4039>2022,

2222

記7；=4+仇++2，顯然數(shù)列億,｝是遞增數(shù)列，所以所求”的最小值是11.

例11(長(zhǎng)沙市2023屆高三上學(xué)期新高考適應(yīng)性考試)已知數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，數(shù)列也,｝

為等比數(shù)列，滿(mǎn)足4=2q=2,d=2也，a3+b3=∏.

(1)求數(shù)列｛4｝,｛2｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛4也｝的前n項(xiàng)和Sn.

解析：(1)設(shè)｛q｝的公差為d,也｝的公比為q(〃HO),4=1,4=2,

2j

聯(lián)立［"I",整理可得［］∕+l=ll,解得［%,所以4=〃,bll=T.

I/+“="B=2"W=I

(2)解：由(1)知α,A,="?2",則*=1x2+2x22+3x2*++(π-l)×2n^'+n×2n,①

2S,,=l×22+2×23+3×24++(n-l)×2"+n×2"+',(2)

①-②，得-S“=2+2?+23++2"-〃x2向=2x≥^-"χ2"+∣=(1-加x2"∣-2.

1-2

所以Sz,=("-l)?2"*'+2.

例12.(2023?福建福州?統(tǒng)考二模)歐拉函數(shù)夕(〃)(〃《N)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)〃,

且與〃互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：Φ(l)=l,(4)=2.

3

(1)求力(3?),9>(3)；

(2)令鳳=/(3"),求數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

解析：(1)不超過(guò)9,且與其互質(zhì)的數(shù)即為［1,9］中排除掉3,6,9剩下的正整數(shù)，

則9(32)=32-3=6；不超過(guò)27,且與其互質(zhì)的數(shù)即為［1,27］中排除掉3,6,9,12,15,18,

21,24,27剩下的正整數(shù)，

則433)=33—9=18.

（2）[3A-2,3A]HeN"）表示任意相鄰的三個(gè)正整數(shù)，其中與3"互質(zhì)的為女-2與女-1兩

個(gè)，故分別取Z=l,2,,3?τ可得口,31中與3"互質(zhì)的正整數(shù)個(gè)數(shù)為2χ3"τ,

所以g（3"）=2×3n-',?=；*（3"）=3"T,所以等L=M.設(shè)數(shù)列1號(hào)B的前〃項(xiàng)和為。.

T一八12n-?ITcI2n-?

η-=0+J+3r++yzr,■-k0+Tk+丁'

I」1

兩式相減得：U=W+擊一等=33/1—1

~yr

3

1?n-??2n+l山丁二3(12N+1)二32〃+1

2^2×3n^l^~=2~2×3"'λ,'-2L2-2×3πJ-4-4×3π-'

例13.（2023?廣東汕頭?統(tǒng)考一模）已知Z,為正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)的乘積，且4=3,

（I）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式:

（2）設(shè)么=表!，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S“，求設(shè)的]（卜]表示不超過(guò)X的最大整數(shù)）.

解析：（1）由題意知T”為正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)的乘積，T；=a-',故C=〃：：：,

*τ?2n+2

所以#=心1=請(qǐng)去，即所以lga3=lg."',即川gq,τ=("+l)lgα,,,所以

?±l=幽，當(dāng)〃=2時(shí)，7ζ2=(44,)2=),.?.)=*,解得“，=9,所以蟲(chóng)=幽=愴3,

H+1n21

結(jié)合瞥L=蛇，可知數(shù)列[四是常數(shù)列，所以她=畢=]g3,所以

n+1nInJn1

lg?=nlg3=lg3π,所以%=3”.

a-13〃一12

⑵由⑴可得八M=Kd

222111

則SA=(I--：-)÷(1Z—)÷-?-+(l--------)=n-2(-:—+?—+???+------),

"3,+Γ32+l3n+l3,+l32÷13Π+1

,?I1111?3。一3")1“1、?

由于-；-----1—?-----HH--------<—J-H——÷H=--------:=—(1-----)<一

31+l32÷13,,+l3,323"123"2

1—

3

故S,,=〃一2（占+?++±）>〃一1,且S”<〃,故2022<S2023<2023,[52023]=2022.

例14.（2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模）已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，4=1,4+1是生與%的等差

中項(xiàng)，S,為｛《,｝的前"項(xiàng)和.

（1）求｛q｝的通項(xiàng)公式及S,,;

(2)集合A為正整數(shù)集的某一子集，對(duì)于正整數(shù)k,若存在正整數(shù)〃?，使得log?4=與，

則丘A,否則&任A?記數(shù)列出｝滿(mǎn)足a=,求也｝的前20項(xiàng)和G1.

解析：(1)設(shè)｛4,,｝的公比為%q=l,%+l是4與%的等差中項(xiàng)，

：.2(l+q2^=q+q3,.-.(￠-2)(^2+1)=0,:.q=2,:.a=2n^',：.S=??2-=2"-l.

nn1—2

km

(2)由題意知,log2?=Sm,^ak=2-',Sm=2-?,.?.k-?^T-?,即2=2皿,

故A=樹(shù)％=2'",∕neN*｝.又Iog2”“=〃-1,