第06講 排列與組合(人教A版2019選擇性必修第三冊(cè))(原卷版)_第1頁(yè)
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第06講排列與組合【人教A版2019】·模塊一排列與排列數(shù)·模塊二組合與組合數(shù)·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一排列與排列數(shù)1.排列(1)排列的定義一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(mn,n,m∈)個(gè)元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

(2)排列概念的理解

①排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容,一是取出元素;二是按照一定的順序排列.

②兩個(gè)排列相同的條件:元素完全相同;元素的排列順序也相同.

③定義中“一定的順序”就是說(shuō)排列與位置有關(guān),在實(shí)際問題中,要由具體問題的性質(zhì)和條件進(jìn)行判斷,這一點(diǎn)要特別注意.

(3)排列的判斷

判斷一個(gè)問題是不是排列問題的關(guān)鍵:判斷是否與順序有關(guān),與順序有關(guān)且是從n個(gè)不同的元素中任取m(mn,n,m∈)個(gè)元素的問題就是排列問題,否則就不是排列問題.而檢驗(yàn)一個(gè)問題是否與順序有關(guān)的依據(jù)就是變換不同元素的位置,看其結(jié)果是否有變化,若有變化就與順序有關(guān),就是排列問題;若沒有變化,就與順序無(wú)關(guān),就不是排列問題.2.排列數(shù)(1)排列數(shù)定義

從n個(gè)不同元素中取出m(mn,n,m∈)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)表示.

(2)排列數(shù)公式

=n(n-1)(n-2)(n-m+1).這里,n,m∈,并且mn.(3)排列數(shù)公式的理解

①排列數(shù)公式推導(dǎo)的思路:第1步,排第1個(gè)位置的元素,有n種排法;第2步,排第2個(gè)位置的元素,有(n-1)種排法;第3步,排第3個(gè)位置的元素,有(n-2)種排法;;第m步,排第m個(gè)位置的元素,有(n-m+1)種排法.因此,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)種不同的排法.

②排列數(shù)公式的特征:第一個(gè)因數(shù)是n,后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)因數(shù)少1,最后一個(gè)因數(shù)是n-m+1,共有m個(gè)因數(shù).【考點(diǎn)1有關(guān)排列數(shù)的計(jì)算與證明】【例1.1】(2023上·高二課時(shí)練習(xí))計(jì)算:(1)4A(2)A4【例1.2】(2023下·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中)計(jì)算:(1)4A(2)A10【變式1.1】(2023·江蘇·高二專題練習(xí))計(jì)算:(1)A66(2)2A(3)若3Ax3=2【變式1.2】(2022·高二課時(shí)練習(xí))(1)解不等式:3A(2)解方程:A2x+1【考點(diǎn)2無(wú)限制條件的排列問題】【例2.1】(2023上·高二課時(shí)練習(xí))A,B,C三名同學(xué)照相留念,成“一”字形排隊(duì),所有排列的方法種數(shù)為(

)A.3種 B.4種C.6種 D.12種【例2.2】(2023上·高二課時(shí)練習(xí))5本不同的課外讀物分給5位同學(xué),每人一本,則不同的分配方法有(

)A.20種 B.60種 C.120種 D.100種【變式2.1】(2023上·高二課時(shí)練習(xí))身高互不相同的6個(gè)人排成2橫3縱列照相,在第一行的每個(gè)人都比他同列身后的人個(gè)子矮,則不同的排法種數(shù)為(

)A.1 B.15 C.90 D.54【變式2.2】(2023下·山西運(yùn)城·高二??茧A段練習(xí))自然對(duì)數(shù)e也稱為歐拉數(shù),它是數(shù)學(xué)上最重要的常數(shù)之一,e的近似值約為2.7182818?,若用歐拉數(shù)的前6位數(shù)字2,7,1,8,2,8設(shè)置一個(gè)6位數(shù)的密碼,則不同的密碼有(

)個(gè)A.180 B.240 C.360 D.720【考點(diǎn)3有限制條件的排列問題】【例3.1】(2023上·黑龍江雞西·高三??计谀?023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間,甲?乙?丙3名運(yùn)動(dòng)員與4名志愿者站成一排拍照留念,若甲與乙相鄰?丙不排在兩端,則不同的排法種數(shù)有(

)A.720 B.960 C.1120 D.1440【例3.2】(2023·河南開封·統(tǒng)考一模)現(xiàn)要從6名學(xué)生中選4名代表班級(jí)參加學(xué)校的4×100m接力賽,已知甲確定參加比賽且跑第1棒或第4棒,乙不能跑第1棒,則合適的選擇方法種數(shù)為(

A.84 B.108 C.132 D.144【變式3.1】(2023·山東·統(tǒng)考一模)4名男生和3名女生排成一排照相,要求男生和男生互不相鄰,女生與女生也互不相鄰,則不同的排法種數(shù)是(

)A.36 B.72 C.81 D.144【變式3.2】(2023下·上海閔行·高二??计谥校楹霌P(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”,某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗(yàn)課程,每周一門,連續(xù)開設(shè)六周,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí),共有15種選法B.課程“禮”不排在第一周,也不排在最后一周,共有480種排法C.課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周,共有144種排法D.課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周,共有240種排法模塊二模塊二組合與組合數(shù)1.組合(1)組合的定義

一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(mn,n,m∈)個(gè)元素作為一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.

(2)組合概念的理解

①組合的概念中有兩個(gè)要點(diǎn):要求n個(gè)元素是不同的;“只取不排”,即取出的m個(gè)元素與順序無(wú)關(guān),無(wú)序性是組合的特征性質(zhì).

②兩個(gè)組合相同:只要兩個(gè)組合中的元素完全相同,無(wú)論元素的順序如何,都是相同的組合.

(3)排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系:都是從n個(gè)不同元素中取出m(mn,n,m∈)個(gè)元素.

區(qū)別:排列是把取出的元素按順序排成一列,它與元素的順序有關(guān)系,而組合只要把元素取出來(lái)就可以,取出的元素與順序無(wú)關(guān).可總結(jié)為:有序排列,無(wú)序組合.2.組合數(shù)與組合數(shù)公式(1)組合數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出m(mn,n,m∈)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)表示.

(2)組合數(shù)公式

①連乘表示:

==.

這里,n,m∈,并且mn.

②階乘表示:=.

規(guī)定:=1.3.組合數(shù)的性質(zhì)(1)性質(zhì)1:=

這個(gè)性質(zhì)反映了組合數(shù)的對(duì)稱性,其實(shí)際意義:從n個(gè)不同元素中取出m(mn,n,m∈)個(gè)元素后,剩下(n-m)個(gè)元素,因而從n個(gè)不同元素中取m個(gè)元素的組合,與剩下的(n-m)個(gè)元素的組合是一一對(duì)應(yīng)的,因此取法是一樣多的.

利用這個(gè)性質(zhì),當(dāng)m>時(shí),我們可以不直接計(jì)算,而是改為計(jì)算,這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

(2)性質(zhì)2:=+

這個(gè)性質(zhì)可以理解為分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,在確定從(n+1)個(gè)不同元素中取出m(mn,n,m∈)個(gè)元素時(shí),對(duì)于某一個(gè)特定元素,只存在取與不取兩種情況,如果取這個(gè)元素,則只需從剩下的n個(gè)元素中再取(m-1)個(gè)元素,有種取法;如果不取這個(gè)元素,則需從剩下的n個(gè)元素中取出m個(gè)元素,有種取法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得:=+.

在應(yīng)用中,要注意這個(gè)性質(zhì)的變形、逆用等.【考點(diǎn)1

有關(guān)組合數(shù)的計(jì)算與證明】【例1.1】(2023上·高二課時(shí)練習(xí))設(shè)n為正整數(shù),求值:(1)C2n-3(2)C13+n【例1.2】(2023上·高二課時(shí)練習(xí))已知m是自然數(shù),n是正整數(shù),且m≤n.求證:(1)Cn(2)Cn+1【變式1.1】(2023上·高二課時(shí)練習(xí))(1)計(jì)算:C(2)求等式Cn-15+【變式1.2】(2023下·高二單元測(cè)試)已知n∈N*,n≥2,(1)求值:kC(2)化簡(jiǎn):Cn【考點(diǎn)2組合計(jì)數(shù)問題】【例2.1】(2023上·甘肅白銀·高二??计谀┠晨萍夹〗M有6名學(xué)生,其中男生4人,女生2人,現(xiàn)從中選出3人去參觀展覽,則至少有一名女生入選的不同選法種數(shù)為(

)A.12 B.16 C.18 D.24【例2.2】(2023·四川自貢·統(tǒng)考一模)2023年成都大運(yùn)會(huì)招募志愿者,現(xiàn)從某高校的6名志愿者中依次選出3名擔(dān)任語(yǔ)言服務(wù),2名擔(dān)任人員引導(dǎo),1名擔(dān)任應(yīng)急救助.每名志愿者只能擔(dān)任一項(xiàng),則甲乙不參與同一項(xiàng)志愿服務(wù)的選法有(

)種.A.28 B.36 C.40 D.44【變式2.1】(2023上·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí))某學(xué)校派出五名教師去三所鄉(xiāng)村學(xué)校支教,其中有一對(duì)教師夫婦參與支教活動(dòng).根據(jù)相關(guān)要求,每位教師只能去一所學(xué)校參與支教,并且每所學(xué)校至少有一名教師參與支教,同時(shí)要求教師夫婦必須去同一所學(xué)校支教,則不同的安排方案有(

)A.18種 B.24種 C.36種 D.48種【變式2.2】(2023上·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí))2023年杭州亞運(yùn)會(huì)已圓滿落幕,志愿者“小青荷”們讓世界看到了新時(shí)代中國(guó)青年的風(fēng)采.早在2021年5月,杭州A公司便響應(yīng)號(hào)召,在全公司范圍內(nèi)組織亞運(yùn)會(huì)志愿者的報(bào)名與培訓(xùn),經(jīng)過選拔,最終有3名黨員和3名團(tuán)員共6人脫穎而出.在彩排環(huán)節(jié),需從這6人中選派2人去游泳館,2人去籃球館,且要求每個(gè)場(chǎng)館均至少有一位黨員,則不同的選派結(jié)果有(

)A.54種 B.45種 C.36種 D.18種【考點(diǎn)3排列、組合的綜合問題】【例3.1】(2023下·湖南長(zhǎng)沙·高二統(tǒng)考期末)從A,B,C等8人中選出5人排成一排.(1)A必須在內(nèi),有多少種排法?(2)A,B,C三人不全在內(nèi),有多少種排法?(3)A,B,C都在內(nèi),且A,B必須相鄰,C與A,B都不相鄰,都多少種排法?(4)A不允許站排頭和排尾,B不允許站在中間(第三位),有多少種排法?【例3.2】(2023下·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中)用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)(1)在組成的五位數(shù)中,所有偶數(shù)有多少個(gè)?(2)在組成的五位數(shù)中,大于31000的數(shù)有多少個(gè)?(3)在組成的五位數(shù)中,數(shù)字2和數(shù)字4不相鄰的數(shù)有多少個(gè)?【變式3.1】(2023下·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中)有5個(gè)男生和3個(gè)女生,從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的科代表,求分別符合下列條件的選法數(shù).(1)有女生但人數(shù)必須少于男生;(2)某女生一定擔(dān)任語(yǔ)文科代表;(3)某男生必須包括在內(nèi),但不擔(dān)任語(yǔ)文科代表;(4)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表,某男生必須擔(dān)任科代表,但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表.【變式3.2】(2023下·湖北宜昌·高二校聯(lián)考期中)第18屆亞足聯(lián)亞洲杯將于2023年舉行,已知此次亞洲杯甲裁判組有6名裁判,分別是A,B,C,D,E,F.(以下問題用數(shù)字作答)(1)若亞洲杯組委會(huì)邀請(qǐng)甲裁判組派裁判去參加一項(xiàng)活動(dòng),必須有人去,去幾人由甲裁判組自行決定,問甲裁判組共有多少種不同的安排方法?(2)若亞洲杯組委會(huì)安排這6名裁判擔(dān)任6場(chǎng)比賽的主裁判,每場(chǎng)比賽只有1名主裁判,每名裁判只擔(dān)任1場(chǎng)比賽的主裁判,根據(jù)回避規(guī)則,其中A不擔(dān)任第一場(chǎng)比賽的主裁判,C不擔(dān)任第三場(chǎng)比賽的主裁判,問共有多少種不同的安排方法?(3)若亞洲杯組委會(huì)將這6名裁判全部安排到3項(xiàng)不同的活動(dòng)中,每項(xiàng)活動(dòng)至少安排1名裁判,每名裁判只參加1項(xiàng)活動(dòng),問共有多少種不同的安排方法?模塊三模塊三課后作業(yè)1.(2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中)5A52A.74 B.98 C.124 D.1482.(2023下·江蘇淮安·高二校考階段練習(xí))已知A3m-A.0 B.2或3 C.1或3 D.33.(2023·四川涼山·統(tǒng)考一模)五名同學(xué)彝族新年期間去邛海濕地公園采風(fēng)觀景,在觀鳥島濕地門口五名同學(xué)排成一排照相留念,若甲與乙相鄰,丙與丁不相鄰,則不同的排法共有(

)A.12種 B.24種 C.48種 D.96種4.(2023下·高二課時(shí)練習(xí))不等式A8A.2,8 B.2,6 C.7,12 D.85.(2023上·江西撫州·高二校考階段練習(xí))在某城市中,A,B兩地有如圖所示的方格型道路網(wǎng),甲隨機(jī)沿道路網(wǎng)選擇一條最短路徑,從A地出發(fā)去往B地,途經(jīng)C地,則不同的路線有(

)A.90種 B.105種 C.260種 D.315種6.(2023上·安徽合肥·高三校考階段練習(xí))2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間,甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員與5名志愿者站成一排拍照留念,若甲與乙相鄰、丙不排在兩端,則不同的排法種數(shù)有(

)A.1120 B.7200 C.8640 D.144007.(2023上·四川成都·高三成都實(shí)外??茧A段練習(xí))寒冬己至,大雪紛飛,峨眉山頂銀裝素裹.成實(shí)外教育集團(tuán)的5位學(xué)生相約一起爬山觀景.其中3位女生,2位男生,在到達(dá)零公里時(shí),為了安全起見,他們排隊(duì)前進(jìn),為了照顧大家安全,2位男生不能相鄰,且女生甲怕猴子,不能排在最后一個(gè),則不同的排法種數(shù)共有(

)A.60 B.36 C.30 D.728.(2023上·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考階段練習(xí))將甲,乙,丙,丁,戊五名志愿者安排到A,B,C,D四個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),要求每個(gè)社區(qū)至少安排一名志愿者,那甲恰好被安排在A社區(qū)的不同安排方法數(shù)為(

)A.24 B.36 C.60 D.969.(2023上·江西·高二統(tǒng)考階段練習(xí))北斗七星是夜空中的七顆亮星,我國(guó)漢代緯書《春秋運(yùn)斗樞》就有記載,它們組成的圖形像我國(guó)古代舀酒的斗,故命名北斗七星.北斗七星不僅是天上的星象,也是古人藉以判斷季節(jié)的依據(jù)之一.如圖,用點(diǎn)A,B,C,D,E,F(xiàn),G表示某一時(shí)期的北斗七星,其中B,D,E,F(xiàn)看作共線,其他任何三點(diǎn)均不共線,過這七個(gè)點(diǎn)中任意兩個(gè)點(diǎn)作直線,所得直線的條數(shù)為(

A.4 B.13 C.15 D.1610.(2023下·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試)將六枚棋子A,B,C,D,E,F(xiàn)放置在2×3的棋盤中,并用紅、黃、藍(lán)三種顏色的油漆對(duì)其進(jìn)行上色(顏色不必全部選用),要求相鄰棋子的顏色不能相同,且棋子A,B的顏色必須相同,則一共有(

)種不同的放置與上色方式A.11232 B.10483 C.10368 D.561611.(2023下·新疆烏魯木齊·高二??计?/p>

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