第13講 函數(shù)與方程（原卷版）

第13講函數(shù)與方程基礎(chǔ)知識1.函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義一般地,如果函數(shù)y=f(x)在實數(shù)α處的函數(shù)值等于,即,則稱α為函數(shù)y=f(x)的零點.

(2)等價關(guān)系方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與有交點?函數(shù)y=f(x)有.

(3)函數(shù)零點的判定(函數(shù)零點存在定理)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是的,并且(即在區(qū)間兩個端點處的函數(shù)值異號),則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)中至少有一個零點,即.

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系Δ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸的交點

無交點零點個數(shù)

常用結(jié)論1.在區(qū)間D上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多有一個零點.2.周期函數(shù)如果存在零點,則必有無窮個零點.分類訓(xùn)練探究點一函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷例1(1)函數(shù)f(x)=lnx-2x的零點所在的區(qū)間是A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,+∞)(2)已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù),設(shè)g(x)=[x],x0是函數(shù)f(x)=lnx+x-4的零點,則g(x0)= ()A.4 B.5 C.2 D.3[總結(jié)反思]判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法:(1)解方程法,當(dāng)對應(yīng)方程易解時,可直接解方程;(2)函數(shù)零點存在定理;(3)數(shù)形結(jié)合法,畫出相應(yīng)函數(shù)圖象,觀察與x軸的交點來判斷,或轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象在所給區(qū)間上的交點的橫坐標(biāo)來判斷.變式題已知函數(shù)f(x)=x2-2x,則在下列區(qū)間中,y=f(x)一定有零點的是 ()A.(-3,-2) B.(-1,0)C.(2,3) D.(4,5)探究點二函數(shù)零點個數(shù)的討論例2(1)已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x)是周期為2的奇函數(shù),y=|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上恰有5個零點,則f(x)在區(qū)間[0,2020]上的零點個數(shù)為 ()A.5050 B.4041C.4040 D.2020(2)已知函數(shù)f(x)=33xA.對任意實數(shù)t,方程f[f(x)]-t=0無根B.存在實數(shù)t,方程f[f(x)]-t=0有2個不同的根C.存在實數(shù)t,方程f[f(x)]-t=0有3個不同的根D.對任意實數(shù)t,方程f[f(x)]-t=0只有1個根[總結(jié)反思]求解函數(shù)零點個數(shù)的基本方法有:(1)直接法,令f(x)=0,方程有多少個解則f(x)有多少個零點;(2)定理法,利用定理時往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等;(3)圖象法,一般是把函數(shù)拆分為兩個簡單函數(shù),依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)得出函數(shù)的零點個數(shù).變式題(1)函數(shù)f(x)=log3|x|-|sinπx|在區(qū)間[-2,0)∪(0,3]上零點的個數(shù)為 ()A.5 B.6C.7 D.8(2)已知函數(shù)f(x)=ex,x<0,4xA.2 B.3C.4 D.5探究點三函數(shù)零點的應(yīng)用角度1根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)值或范圍例3(1)已知函數(shù)f(x)=x2+4x+m,x≤-1,log2(x+1),x>-1,A.(2,+∞) B.(2,3]C.[2,3) D.(1,3)(2)若對任意的m∈[0,1],總存在唯一的x∈[-1,1],使得m+x2ex-a=0成立,則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.[1,e] B.(1+1e,eC.(0,e] D.[1+1e,e[總結(jié)反思]已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路:(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.變式題(1)(多選題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x=-3,且當(dāng)x≥-3時,f(x)=2x-3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(k-1,k)(k∈Z)上有零點,則k的值可能為 ()A.2 B.-2C.-7 D.-8(2)已知函數(shù)f(x)=2-x-1,x≤0,A.(-∞,1) B.(-∞,1]C.(0,1) D.[0,+∞)(3)若函數(shù)f(x)=|x-3|+ex-3+e3-x+m有唯一零點,則實數(shù)m的值為 ()A.0 B.-2 C.2 D.-1角度2函數(shù)零點的范圍問題例4(1)已知x0是函數(shù)f(x)=2x+11-x的一個零點,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),則 ()A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>0(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3,h(x)=2x+x2-10,若正數(shù)a,b,c滿足f(a)=g(b)=h(c)=0,則 ()A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.c<b<a[總結(jié)反思]函數(shù)零點的應(yīng)用主要體現(xiàn)在三類問題中:一是函數(shù)中不含參數(shù),零點又不易直接求出,考查各零點的和或范圍問題;二是函數(shù)中含有參數(shù),根據(jù)零點情況求函數(shù)中參數(shù)的范圍;三是函數(shù)中有參數(shù),但不求參數(shù),仍是考查零點的范圍問題.這三類問題一般是通過數(shù)形結(jié)合或分離參數(shù)求解.變式題(1)設(shè)a是函數(shù)f(x)=2x-log13x的零點,若x0>aA.f(x0)=0 B.f(x0)>0C.f(x0)<0 D.以上都有可能(2)已知函數(shù)f(x)=4ax-cos2x-πa(a∈R)有且僅有3個不同的零點x1,x2,x3,且x1<x2<x3,則(x1+x3)·sin(π4+x2)=同步作業(yè)1.函數(shù)f(x)=3x-8的零點是 ()A.log38 B.log83C.(log38,0) D.(log83,0)2.函數(shù)f(x)=x2-2,A.0 B.1C.2 D.33.已知函數(shù)f(x)=ex+a,x≤0,2x-1,x>0(a∈R),若函數(shù)f(x)在RA.(-∞,-1) B.(-∞,0)C.(-1,0) D.[-1,0)4.已知函數(shù)f(x)=|x2-4x+3|-mx,若m∈(0,12),則f(x)的零點個數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.45.函數(shù)y=ln(x-3)的零點是.

6.函數(shù)f(x)=cosx-x在[0,+∞)內(nèi)的零點個數(shù)為.

7.定義在R上的函數(shù)f(x)=x2-[x]-2的零點個數(shù)為(其中[x]表示不大于實數(shù)x的最大整數(shù)) ()A.0 B.1C.2 D.38.已知函數(shù)f(x)=2x,x≥a,A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,1) D.(1,+∞)9.已知函數(shù)f(x)=ax2+1,xA.當(dāng)a=0,m∈R時,有且只有1個零點B.當(dāng)a>0,m≤-1時,有3個零點C.當(dāng)a<0,m<-1時,有4個零點D.當(dāng)a<0,-1<m<0時,有4個零點10.已知函數(shù)f(x)=|2x-12|,x<1,log2(x+A.1,32 B.log23,52C.1,52 D.[log23,3]11.(多選題)已知f(x)=lnx-2,x>0,2x-1A.f(m)≤0B.f(m)可能大于0C.m∈(-∞,-1]D.m∈(-∞,-1]∪(0,e2]12.函數(shù)f(x)=x2-2x-1-|x-1|的所有零點之和為.

13.已知函數(shù)f(x)=x,x≤1,lo14.函數(shù)f(x)=lg(ex+9x)+ln110x15.已知函數(shù)f(x)=1-|x+1|,x∈A.