沖刺2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷（新高考新題型專用）（新七省專用）01（解析版）

沖刺2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷（新七省專用）真題重組卷01（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1.（2023新課標(biāo)全國Ⅰ卷）已知集合，，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【詳解】方法一：因?yàn)?，而，所以．故選：C．方法二：因?yàn)?，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．2.（2023新課標(biāo)全國Ⅱ卷）在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】因?yàn)?，則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.3．（2022?新高考Ⅰ）在中，點(diǎn)在邊上，．記，，則A． B． C． D．【答案】【解析】如圖，，，即．故選：．4.（2023全國乙卷數(shù)學(xué)(理)）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】C【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有種，根據(jù)分步乘法公式則共有種，故選：C.5.（2022?甲卷）函數(shù)在區(qū)間，的圖像大致為A． B． C． D．【答案】【解析】，可知，函數(shù)是奇函數(shù)，排除；當(dāng)時(shí)，（1），排除．故選：．6.（全國甲卷數(shù)學(xué)（理））“”是“”的（

）A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，例如但，即推不出；當(dāng)時(shí)，，即能推出.綜上可知，是成立的必要不充分條件，故選B7.（全國甲卷數(shù)學(xué)（文）（理））已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D8.（2023全國乙卷數(shù)學(xué)（文））函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，則，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（2023新課標(biāo)全國Ⅰ卷）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D．的極差不大于的極差【答案】BD【解析】對于選項(xiàng)A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因?yàn)闆]有確定的大小關(guān)系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：不妨設(shè)，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)槭亲钚≈?，是最大值，則的波動(dòng)性不大于的波動(dòng)性，即的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，例如：，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，顯然，即；故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故D正確；故選：BD.10．（2023新課標(biāo)全國Ⅱ卷）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為【答案】AC【解析】依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

11．（2023新課標(biāo)全國Ⅱ卷）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【解析】A選項(xiàng)：直線過點(diǎn)，所以拋物線的焦點(diǎn)，所以，則A選項(xiàng)正確，且拋物線的方程為.B選項(xiàng)：設(shè)，由消去并化簡得，解得，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：設(shè)的中點(diǎn)為，到直線的距離分別為，因?yàn)椋吹街本€的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共14分。12．（2023?甲卷）若為偶函數(shù)，則．【答案】2．【解析】根據(jù)題意，設(shè)，其定義域?yàn)椋魹榕己瘮?shù)，則，變形可得，必有．13.（2023新課標(biāo)全國Ⅱ卷）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．【答案】【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.方法二：棱臺的體積為.

14．（2023新高考天津卷）過原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于點(diǎn)，若，則的值為_________．【答案】【詳解】易知圓和曲線關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．當(dāng)時(shí)，同理可得．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）（新題型）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求；(2)證明：.【解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?將代入，解得，即，由切線方程，則切線斜率.故，解得.（2）證明：由（1）知，從而等價(jià)于.設(shè)函數(shù)，則.所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為.設(shè)函數(shù)，從而在上的最大值為.故，即.16．（15分）（2022?新高考Ⅱ）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間，的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘模畯脑摰貐^(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，，求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001．【解析】（1）由頻率分布直方圖得該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為：歲．（2）該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的頻率為：，估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的概率為0.89．（3）設(shè)從該地區(qū)中任選一人，此人的年齡位于區(qū)間，為事件，此人患這種疾病為事件，則．17．（15分）（2023?新高考Ⅱ）如圖，三棱錐中，，，，為中點(diǎn)．（1）證明；（2）點(diǎn)滿足，求二面角的正弦值．【解析】證明：（1）連接，，，為中點(diǎn)．，又，，與均為等邊三角形，，，，平面，平面，．（2）設(shè)，，，，，，又，，平面，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，0，，，，，，，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，，則，令，解得，，令，解得，，故，1，，，1，，設(shè)二面角的平面角為，則，故，所以二面角的正弦值為．18．（17分）（2022?新高考Ⅰ）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．（1）求的斜率；（2）若，求的面積．【解析】（1）將點(diǎn)代入雙曲線方程得，化簡得，，故雙曲線方程為，由題顯然直線的斜率存在，設(shè)，設(shè)，，，則聯(lián)立雙曲線得：，故，，，化簡得：，故，即，而直線不過點(diǎn)，故；（2）設(shè)直線的傾斜角為，由，，得由，，得，即，聯(lián)立，及得，同理，故，而，由，得，故．19．（17分）（2016·江蘇·高考真題）記.對數(shù)列和的子集，若，定義；若，定義.例如：時(shí)，.現(xiàn)設(shè)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對任意正整數(shù)，若，求證：