新版高中數(shù)學(xué)人教A版必修5習(xí)題第一章解三角形1.2.3

第3課時(shí)角度問題課時(shí)過關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1從地面上觀察一建在山頂上的建筑物,測得其視角為α,同時(shí)測得建筑物頂部仰角為β,則山頂?shù)难鼋菫?).A.α+β B.αβ C.βα D.α答案:C2在銳角三角形ABC中,角A,B所對(duì)的邊長分別為a,b.若2asinB=3A.解析:∵2asinB=∴由正弦定理得2sinAsinB=3sin∵sinB≠0,∴sinA=∵△ABC是銳角三角形,∴A=答案:D3已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40°,燈塔B在觀察站C的南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的().A.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東10° D.南偏西10°解析:如圖,由題意,知AC=BC,∠ACB=80°,∴∠CBA=50°,α+∠CBA=60°.∴α=10°,即A在B的北偏西10°.答案:B4如圖,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°,與O相距10海里的C處,現(xiàn)甲船以30海里/時(shí)的速度沿直線CB去營救位于中心O正東方向20海里的B處的乙船,甲船需要小時(shí)到達(dá)B處.

解析:在△BOC中,OC=10,OB=20,∠BOC=120°,∴BC=∴甲船用時(shí)t=107答案:75如圖所示,在斜度一定的山坡上的一點(diǎn)A處測得山頂上一座建筑物頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°,向山頂前進(jìn)100m后,又從點(diǎn)B測得其斜度為45°,假設(shè)建筑物高50m,設(shè)山坡對(duì)于地平面的斜度為θ,則cosθ=.

解析:在△ABC中,AB=100,∠CAB=15°,∠ACB=45°15°=30°.由正弦定理,得故BC=200sin15°.在△DBC中,CD=50,∠CBD=45°,∠CDB=90°+θ.由正弦定理,得故cosθ=答案:36一船向正北方向勻速行駛,看見正西方兩座相距10海里的燈塔恰好與該船在同一直線上,繼續(xù)航行半小時(shí)后,看見其中一座燈塔在南偏西60°方向上,另一座燈塔在南偏西75°方向上,則該船的速度是海里/時(shí).

答案:107如圖,漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處,且與島嶼A相距12海里,漁船乙以10海里/時(shí)的速度從島嶼A沿正北方向航行,若漁船甲同時(shí)從B處沿北偏東α的方向追趕漁船乙,剛好用2小時(shí)追上.(1)求漁船甲的速度;(2)求sinα的值.解(1)在△ABC中,∠BAC=180°60°=120°,AB=12,AC=10×2=20,∠BCA=α.由余弦定理,得BC2=AB2+AC22AB·AC·cos∠BAC=122+2022×12×20×cos120°=784.解得BC=28.所以漁船甲的速度為BC2=14((2)在△ABC中,因?yàn)锳B=12,∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α,由正弦定理,得即sinα=8某海輪以30海里/時(shí)的速度航行,在A點(diǎn)測得海面上油井P在南偏東60°,向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn),測得油井P在南偏東30°,海輪改為北偏東60°的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點(diǎn),求P,C間的距離.解如圖,在△ABP中,AB=30×∠APB=30°,∠BAP=120°,由得∴BP=20在△BPC中,BC=30×由已知,∠PBC=90°,∴PC=BP答:P,C間的距離為207能力提升1在△ABC中,已知b2=ac,且a2c2=acbc,則bA.C.1 D.2解析:∵b2=ac,且a2c2=acbc,∴b2+c2a2=bc.∴cosA=∵b2=ac,∴∴bsinBc=ab·sinB答案:B2有一攔水壩的橫斷面是等腰梯形,它的上底長為6m,下底長為10m,高為23A.C.解析:如圖所示,橫斷面是等腰梯形ABCD,AB=10m,CD=6m,高DE=23m則AE=AB-∴tan∠DAE=∴∠DAE=60°.答案:B3有一兩岸平行的河流,水速為1m/s,小船的速度為2A.與水速成45° B.與水速成135°C.垂直于對(duì)岸 D.不能確定解析:如圖所示,AB是水速,AD為船速,AC是船的實(shí)際速度,且AC⊥AB.在Rt△ABC中,cos∠ABC=∴∠ABC=45°,∴∠DAB=90°+45°=135°.答案:B4平面內(nèi)三個(gè)力F1,F2,F3作用于同一個(gè)點(diǎn),且處于平衡狀態(tài),已知F1,F2的大小分別為1N,6+22N,F1與F2的夾角為45°,則F3與F1解析:如圖,設(shè)三力作用于點(diǎn)O,F1與F2的合力為F,由共點(diǎn)力平衡,得|F|=|F3|,令OA=F1,OB=F2,OC∵∠AOB=45°,∴∠CAO=135°.在△OCA中,由余弦定理,得OC2=OA2+AC22OA·AC·cos135°=4+2∴OC=3+1,即|又由正弦定理,得sin∠AOC=∴∠AOC=30°.∴∠AOD=150°.∴F3與F1的夾角為150°.答案:150°★5一人看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向,此人向北偏西70°方向行走3km后,則見A在其北偏東56°方向,B在其北偏東74°方向,則AB≈.(精確到0.1km)

解析:設(shè)此人的初始位置是點(diǎn)O,如圖所示.在△BCO中,∠BOC=70°30°=40°,∠BCO=(180°70°)74°=36°,∴∠CBO=180°40°36°=104°.由正弦定理,得∴BO=在△AOC中,∠AOC=70°,∠CAO=56°,∴∠ACO=54°.由正弦定理,得∴AO=在△AOB中,由余弦定理,知AB=AO2+BO2-答案:1.6km6如圖,當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救.甲船立即前往救援,同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里的C處的乙船,試問乙船應(yīng)朝北偏東約多少度的方向沿直線前往B處救援?(角度精確到1°)解由已知,得∠CAB=90°+30°=120°,則∠ACB<90°.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=202+1022×20×10cos120°=700,∴BC=107在△ABC中,根據(jù)正弦定理,有∴sin∠ACB=又∠ACB<90°,∴∠ACB≈41°.故乙船應(yīng)朝北偏東大約41°+30°=71°方向沿直線前往B處救援.★7如圖,A,B是海面上位于東西方向相距5(3+3解由題意得,∠DBA=90°60°=30°,∠DAB=90°45°=45°,故∠ADB=180°(45°+30°)=105°.