高考數(shù)學(xué)理北師大版一輪復(fù)習(xí)測(cè)評(píng)3-1導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)十三導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是 ()A.QUOTE′=1+QUOTEB.(log2x)′=QUOTEC.(5x)′=5xlog5xD.(x2cosx)′=2xsinx【解析】選B.A.QUOTE′=1QUOTE,故錯(cuò)誤;B.符合對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式,故正確;C.(5x)′=5xln5,故錯(cuò)誤;D.(x2cosx)′=2xcosxx2sinx,故錯(cuò)誤.2.若函數(shù)f(x)=QUOTE,則f′(0)等于 ()A.1 B.0 C.1 D.2【解析】選A.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=QUOTE,則f′(0)=QUOTE=1.3.某煉油廠的一個(gè)分廠將原油精煉為汽油,需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱,如果第x小時(shí)時(shí),原油溫度(單位:℃)為f(x)=QUOTEx3x2+8(0≤x≤5),那么,原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是 ()A.8 B.QUOTE C.1 D.8【解析】選C.因?yàn)閒(x)=QUOTEx3x2+8(0≤x≤5),所以f′(x)=x22x=QUOTE1,又0≤x≤5,故當(dāng)x=1時(shí),f′(x)有最小值1,即原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是1.4.(2020·廣元模擬)已知函數(shù)f(x)=QUOTEx2+cosx,則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像大致是()【解析】選A.因?yàn)閒′(x)=QUOTExsinx,這是一個(gè)奇函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),故排除B,D兩個(gè)選項(xiàng).f′QUOTE=QUOTE×QUOTEQUOTE<0,故排除C.5.(2020·新鄉(xiāng)模擬)若曲線y=QUOTE在點(diǎn)QUOTE處的切線的斜率為QUOTE,則n=()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選D.因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)為y′=QUOTE,所以y′|x=1=QUOTE=QUOTE,所以n=5.6.設(shè)曲線y=QUOTE在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax+y+1=0垂直,則a= ()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】選D.y′=QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因?yàn)榍芯€與直線ax+y+1=0垂直,且直線ax+y+1=0的斜率為a.所以a=2.7.直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)相切時(shí),a= 導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.1 B.1 C.2 D.2【解析】選D.設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),則y0=x0+1,且y0=ln(x0+a),又因?yàn)榍芯€方程y=x+1的斜率為1,即y′QUOTE=QUOTE=1,所以x0+a=1,所以y0=0,x0=1,所以a=2.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2019·南昌模擬)設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且f(lnx)=x+lnx,則f′(1)=________________.

【解析】因?yàn)閒(lnx)=x+lnx,所以f(x)=x+ex,所以f′(x)=1+ex,所以f′(1)=1+e1=1+e.答案:1+e9.已知函數(shù)y=f(x)的圖像在x=2處的切線方程是y=3x+1,則f(2)+f′(2)=________________.

【解析】由題意可知f(2)=3×2+1=7,f′(2)=3,所以f(2)+f′(2)=10.答案:10【變式備選】如圖,y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),直線l是曲線y=f(x)在x=4處的切線,令g(x)=QUOTE,則g′(4)=________________.

【解析】由題圖知,切線過(guò)(0,3),(4,5),所以直線l的斜率為QUOTE=QUOTE,由于曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線的斜率,所以f′(4)=QUOTE,f(4)=5.由g(x)=QUOTE,得g′(x)=QUOTE,故g′(4)=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE10.(2020·贛州模擬)若曲線f(x)=xsinx+1在x=QUOTE處的切線與直線ax+2y+1=0相互垂直,則實(shí)數(shù)a=________________. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】因?yàn)閒′(x)=sinx+xcosx,所以f′QUOTE=sinQUOTE+QUOTEcosQUOTE=1.又直線ax+2y+1=0的斜率為QUOTE,所以1×QUOTE=1,解得a=2.答案:2(15分鐘35分)1.(5分)已知函數(shù)f(x)=x2+2xf′QUOTE,則fQUOTE與fQUOTE的大小關(guān)系是 ()A.fQUOTE>fQUOTE B.fQUOTE=fQUOTEC.fQUOTE<fQUOTE D.不能確定【解析】選A.由函數(shù)的解析式可得:f′(x)=2x+2f′QUOTE,令x=1可得:f′QUOTE=2+2f′QUOTE,則f′QUOTE=2,故函數(shù)的解析式為f(x)=x24x,據(jù)此可知fQUOTE=5,fQUOTE=3,故fQUOTE>fQUOTE.2.(5分)(2020·阜陽(yáng)模擬)設(shè)點(diǎn)P是曲線y=x3QUOTEx+QUOTE上的任意一點(diǎn),則曲線在點(diǎn)P處切線的傾斜角α的取值范圍為 ()A.QUOTE∪QUOTE B.QUOTEC.QUOTE∪QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)閥′=3x2QUOTE≥QUOTE,故切線的斜率k≥QUOTE,所以切線的傾斜角α的取值范圍為QUOTE∪QUOTE.3.(5分)(2020·亳州模擬)曲線y=ln(2x1)上的點(diǎn)到直線2xy+8=0的最短距離是 ()A.2QUOTE B.2 C.2QUOTE D.QUOTE【解析】選A.設(shè)M(x0,ln(2x01))為曲線上的任意一點(diǎn),則曲線在點(diǎn)M處的切線與直線2xy+8=0平行時(shí),點(diǎn)M到直線的距離即為曲線y=ln(2x1)上的點(diǎn)到直線2xy+8=0的最短距離.因?yàn)閥′=QUOTE,所以QUOTE=2,解得x0=1,所以M(1,0).記點(diǎn)M到直線2xy+8=0的距離為d,則d=QUOTE=2QUOTE.4.(10分)已知P(1,1),Q(2,4)是曲線y=x2上的兩點(diǎn). 導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)在曲線y=x2上分別求過(guò)點(diǎn)P,Q的切線方程.(2)求與直線PQ平行的曲線y=x2的切線方程.【解析】(1)因?yàn)閥′=2x,所以過(guò)點(diǎn)P,Q的切線斜率分別為2,4,所以過(guò)點(diǎn)P的切線方程為:y1=2(x+1);即y=2x1;過(guò)點(diǎn)Q的切線方程為:y4=4(x2);即y=4x4.(2)設(shè)切點(diǎn)為QUOTE,kPQ=QUOTE=1,因?yàn)榍芯€和直線PQ平行,且切線的斜率為2x0,所以2x0=1,所以x0=QUOTE,所以切點(diǎn)為QUOTE,所以切線方程為yQUOTE=xQUOTE,即y=xQUOTE.5.(10分)已知函數(shù)f(x)=x3+(1a)x2a(a+2)x+b(a,b∈R). 導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)若函數(shù)f(x)的圖像過(guò)原點(diǎn),且在原點(diǎn)處的切線斜率為3,求a,b的值.(2)若曲線y=f(x)存在兩條垂直于y軸的切線,求a的取值范圍.【解析】f′(x)=3x2+2(1a)xa(a+2).(1)由題