河北省廊坊市部分高中高三上學期期末考試數(shù)學

20232024學年高三上學期期末考試數(shù)學注意事項：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)為純虛數(shù)，則（）A.1 B.0 C.1 D.22.已知集合，則滿足?的集合的個數(shù)為（）A.8 B.7 C.4 D.33.已知，則（）A. B.C. D.4.現(xiàn)有四個函數(shù)：①；②；③；④的圖象（部分）如圖，則按照從左到如圖像對應的函數(shù)序號正確的一組是（）A.①③②④ B.①④③② C.③①②④ D.③①④②5.設，且，若能被7整除，則（）A.4 B.5 C.6 D.76.如圖所示，正四棱臺中，上底面邊長為3，下底面邊長為6，體積為，點在上且滿足，過點的平面與平面平行，且與正四棱臺各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為（）A. B. C. D.7.意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1，1，2，3，5，8，該數(shù)列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱為“兔子數(shù)列”，其通項公式為，設是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.98.已知過拋物線的焦點的直線與交于兩點，直線與直線分別相交于兩點，為坐標原點，若，則直線的方程為（）A.或 B.C.或 D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設是所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（）A.若，則是邊的中點B.若，則在邊的延長線上C.若，則是的重心D.若，則的面積是面積的10.已知，且，則（）A.的最大值為 B.的最大值為C.的最小值為4 D.的最小值為11.已知圓錐的頂點為，母線長為2，底面圓的一條直徑長為為底面圓周上不同于的一個動點，為線段（不含端點）上一點，則下列說法正確的是（）A.面積的最大值為B.三棱錐體積的最大值為1C.存在點，使得D.當為的中點時，的最小值為12.已知曲線C：，為C上一點，則（）A.取值范圍為 B.的取值范圍為C.不存在點，使得 D.的取值范圍為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某學校高三12個班級某次朗誦比賽的得分情況如表，則第75百分位數(shù)是__________.班級得分99.29.4969.810頻數(shù)12241214.已知直線與圓交于兩點，直線垂直平分弦，則__________.15.在直角坐標系中，某等腰直角三角形的兩個頂點坐標分別為，函數(shù)的圖象經(jīng)過該三角形的三個頂點，則的解析式為___________.16.已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是_______________四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.18.在銳角中，角的對邊分別為，且.（1）求的值；（2）求的取值范圍.19.如圖，在三棱錐中，是的中點，是的中點，點在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若平面，且，求直線與平面所成角的余弦值.20.為學習貫徹中央農(nóng)村工作會議精神“強國必先強農(nóng)，農(nóng)強方能國強”，某市在某村積極開展香菇種植，助力鄉(xiāng)村振興.香菇生產(chǎn)可能受場地?基料?水分?菌種等因素的影響，現(xiàn)已知香菇有菌種甲和菌種乙兩個品種供挑選，菌種甲在溫度時產(chǎn)量為28噸/畝，在溫度30℃時產(chǎn)量為20噸/畝；菌種乙在溫度20℃時產(chǎn)量為22噸/畝，在氣溫時產(chǎn)量為30噸/畝.（1）請補充完整2×2列聯(lián)表，根據(jù)2×2列聯(lián)表和小概率值的獨立性檢驗，判斷菌種甲?乙的產(chǎn)量與溫度是否有關(guān)？合計菌種甲菌種乙合計（2）某村選擇菌種甲種植，已知菌種甲在氣溫為時的發(fā)芽率為，從菌種甲中任選3個，若設為菌種甲發(fā)芽的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.附：參考公式：，其中.臨界值表：0.100.050.012.7063.841663521.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)的極值大于0？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由．22.在平面直角坐標系中，已知雙曲線的浙近線方程為分別是雙曲線的左?右頂點.（1）求標準方程；（2）設是直線上的動點，直線分別與雙曲線交于不同于的點，過點作直線的垂線，垂足為，求當最大時點的縱坐標.20232024學年高三上學期期末考試數(shù)學注意事項：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)為純虛數(shù)，則（）A1 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的除法運算法則以及純虛數(shù)的定義求解.【詳解】因為為純虛數(shù)，所以解得，故選：.2.已知集合，則滿足?的集合的個數(shù)為（）A.8 B.7 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】確定集合的元素，根據(jù)A?，可判斷集合等價于集合的非空子集，由此可得答案.【詳解】由題意得，又A?，所以，所以集合等價于集合的非空子集，所以集合的個數(shù)為，故選：B.3.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先由余弦函數(shù)單調(diào)性得出，然后結(jié)合二倍角公式，商數(shù)關(guān)系即可判斷大小.【詳解】因為，所以，所以.故選：C4.現(xiàn)有四個函數(shù)：①；②；③；④的圖象（部分）如圖，則按照從左到如圖像對應的函數(shù)序號正確的一組是（）A.①③②④ B.①④③② C.③①②④ D.③①④②【答案】A【解析】【分析】判斷已知的四個函數(shù)的奇偶性，結(jié)合它們的函數(shù)值正負情況以及零點情況，即可判斷出答案.【詳解】設，定義域為R，滿足，即為偶函數(shù)，對應的圖象為圖，設，定義域為R，滿足，即為奇函數(shù)，且當時，，對應的圖象為圖；設，定義域為R，滿足，為奇函數(shù)，且零點為，對應的圖象為圖；設，定義域為R，滿足，為奇函數(shù)，且零點為0和，對應的圖象為圖4.故選：A.5.設，且，若能被7整除，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】，由二項式定理將其展開，因為能被7整除，故能被7整除，結(jié)合的范圍，即可得出答案.【詳解】，因為能被7整除，且能被7整除，故能被7整除，又，所以.故選：C.6.如圖所示，正四棱臺中，上底面邊長為3，下底面邊長為6，體積為，點在上且滿足，過點的平面與平面平行，且與正四棱臺各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先過點作于點，結(jié)合已知得，由棱臺體積公式得，由勾股定理得，再求出的長，最終根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可得解.【詳解】如圖所示，過點作于點，因為，所以，則四棱臺的高為，則四棱臺的體積為，解得，所以側(cè)棱長為.如圖所示：過于點，于點，連接，由對稱性可知，所以，而，所以，所以，同理，分別在棱上取點，使得，易得，所以截面多邊形的周長為.故選：D.7.意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1，1，2，3，5，8，該數(shù)列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱為“兔子數(shù)列”，其通項公式為，設是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】利用對數(shù)運算將變形化簡得到，結(jié)合的表達式可得，結(jié)合，即可求出答案.【詳解】因為，所以，即故，故，所以，由斐波那契數(shù)列可知，則，所以的最小值為9，故選：D.8.已知過拋物線的焦點的直線與交于兩點，直線與直線分別相交于兩點，為坐標原點，若，則直線的方程為（）A.或 B.C.或 D.【答案】C【解析】【分析】當?shù)男甭蕿闀r直接分析即可，當?shù)男甭什粸闀r，設出的橫截式方程，聯(lián)立與拋物線得到縱坐標的韋達定理形式，利用直線相交表示出的坐標，由兩點間距離公式可表示出，則的方程中的參數(shù)可求，則的方程可知.【詳解】由題意知，當直線的斜率為0時，直線與拋物線有且只有一個交點，不滿足要求，故可設的方程為，聯(lián)立整理得，所以，，直線的方程為，直線的方程為，因為不與平行，顯然，聯(lián)立方程組，所以，因為，所以，同理可得，由，解得或，故直線的方程為或，即或，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與拋物線綜合應用，涉及到拋物線的焦點弦方程、兩點間距離公式等問題，對學生的計算能力要求較高，難度較大.解答本題的關(guān)鍵在于：正確運用兩點間距離公式（弦長公式）表示出，將問題轉(zhuǎn)化為縱坐標的韋達定理從而完成計算.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設是所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（）A.若，則是邊的中點B.若，則在邊的延長線上C.若，則是的重心D.若，則的面積是面積的【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的線性運算對選項一一判斷即可.【詳解】對于，因為，所以，即，則是邊的中點，故正確；對于，由得，所以，則在邊的延長線上，故錯誤；對于，設的中點為，則，故C正確；對于D，由知，，所以，故D錯誤.故選：AC.10.已知，且，則（）A.的最大值為 B.的最大值為C.的最小值為4 D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式及其的代換求解.【詳解】對于選項，因為，所以，當且僅當時取等號，故正確；對于選項，由可知，因為，，所以，所以，所以，故錯誤；對于選項，，當且僅當,時取等號，故正確；對于選項，,當且僅當,時取等號，故正確；故選：.11.已知圓錐的頂點為，母線長為2，底面圓的一條直徑長為為底面圓周上不同于的一個動點，為線段（不含端點）上一點，則下列說法正確的是（）A.面積的最大值為B.三棱錐體積的最大值為1C.存在點，使得D.當為的中點時，的最小值為【答案】BD【解析】【分析】求出圓錐的軸截面的頂角大小，結(jié)合三角形面積公式，即可判斷A；根據(jù)三棱錐的體積公式可判斷B；假設存在點，使得，結(jié)合線面垂直推出矛盾，判斷C；求出的邊PC上的高，即可求得的最小值，判斷D.【詳解】對于，由題意知圓錐的頂點為，母線長為2，底面圓的直徑長為，記圓錐底面圓心為，則PO為圓錐的高，故，為銳角，所以，所以，設，則，當時，的最大值為2，故A錯誤；對于B，因為點到的距離的最大值為底面圓的半徑，圓錐的高，所以三棱錐體積的最大值為，故B正確；對于C，假設存在點，，使得，因為平面，則平面，平面，所以，即，又，顯然在中，不可能有兩個直角，故假設錯誤，故錯誤；對于，當為的中點時，，由題意可得和全等，在中，，所以，為銳角，進而，記邊上的高為（垂足為），則，所以，當與重合時取等號，故D正確.故選：BD.12.已知曲線C：，為C上一點，則（）A.的取值范圍為 B.的取值范圍為C.不存在點，使得 D.的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】由題可得到曲線的不同方程，作出曲線的圖形，結(jié)合所得方程可判斷A，根據(jù)的幾何意義結(jié)合條件可判斷B，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)橢圓方程及點到直線距離公式結(jié)合條件可判斷D.【詳解】由題設得：曲線，可得曲線圖形，A：由曲線方程及圖形可知，故A錯誤；B：因為，由圖可知當在時，才能最小，，時等號成立，故B正確；C：因為直線與漸近線平行，由圖可知與曲線沒有公共點，即不存在點，使得，故C正確；D：因為表示點到直線距離的倍，又直線與漸近線平行且距離為1，故，由圖可知當在時，到直線距離有最大值，設，則到直線距離為，當時等號成立，即，所以的取值范圍為，故D正確.故選：BCD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：首先討論的符號得到曲線為，再由各曲線的性質(zhì)，結(jié)合圖形逐項分析即得.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某學校高三12個班級某次朗誦比賽的得分情況如表，則第75百分位數(shù)是__________.班級得分99.29.49.69.810頻數(shù)122412【答案】9.7【解析】【分析】將12個班級的得分按照從小到大排序，根據(jù)百分位數(shù)的含義即可求得答案.【詳解】將12個班級的得分按照從小到大排序為：，因為，可得第75百分位數(shù)是，故答案為：9.714.已知直線與圓交于兩點，直線垂直平分弦，則__________.【答案】【解析】【分析】由已知得直線過圓心可求出，再利用直線與直線垂直求出即可.【詳解】圓可化為，其圓心為，由題意知直線過圓心，則，所以，因為直線與直線垂直，所以，則，所以；故答案為：.15.在直角坐標系中，某等腰直角三角形的兩個頂點坐標分別為，函數(shù)的圖象經(jīng)過該三角形的三個頂點，則的解析式為___________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合題意先畫出直角坐標系，點出所有可能組成等腰直角三角形的點，采用排除法最終可確定為點，再由函數(shù)性質(zhì)進一步求解參數(shù)即可【詳解】等腰直角三角形的第三個頂點可能的位置如下圖中的點，其中點與已有的兩個頂點橫坐標重復，舍去；若為點則點與點的中間位置的點的縱坐標必然大于或小于，不可能為，因此點也舍去，只有點滿足題意.此時點為最大值點，所以，又，則，所以點，之間的圖像單調(diào)，將，代入的表達式有由知，因此.故答案為：【點睛】本題考查由三角函數(shù)圖像求解解析式，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題16.已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是_______________【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，從而得到函數(shù)圖像，由，得到或，由圖可知有一個實數(shù)根，則有兩個實數(shù)根，即與有兩個交點，結(jié)合函數(shù)圖像即可得解；【詳解】因為當時，則，當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在取得極小值，，，當時，當時，當時，；當時，則，當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在取得極大值，，當時，，當時，；所以的函數(shù)圖像如下所示：方程，即，即或，因為方程有個不同的實數(shù)根，由圖可知有一個實數(shù)根，所以有兩個實數(shù)根，即與有兩個交點，所以，；故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求出的值，即得公比，即可求得答案；（2）由（1）可得的表達式，利用裂項相消法，即可求得答案.【小問1詳解】因為數(shù)列是遞增等比數(shù)列，所以，所以,解得，所以公比，所以.【小問2詳解】由（1）知，，所以.18.在銳角中，角的對邊分別為，且.（1）求的值；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用向量數(shù)量積和正弦定理化簡，可求的值；（2）由，在銳角三角形中，求出的范圍，得的取值范圍.【小問1詳解】由向量數(shù)量積得，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，由，，解得.【小問2詳解】由（1）知，，中，因為，所以.因為為銳角三角形，所以，所以，所以，，所以，即的取值范圍為.19.如圖，在三棱錐中，是的中點，是的中點，點在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若平面，且，求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）幾何法證明空間直線與平面平行.（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，利用向量法求出直線與平面所成角的正弦值，進而求出余弦值.【小問1詳解】過點作交于點，過點作交于點，則.因為是的中點，是的中點，所以，因為，所以，則，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.【小問2詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標系，設，則，，所以.設平面的法向量為，則即令，得，設直線與平面所成角為，則，所以，故直線與平面所成角的余弦值為.20.為學習貫徹中央農(nóng)村工作會議精神“強國必先強農(nóng)，農(nóng)強方能國強”，某市在某村積極開展香菇種植，助力鄉(xiāng)村振興.香菇的生產(chǎn)可能受場地?基料?水分?菌種等因素的影響，現(xiàn)已知香菇有菌種甲和菌種乙兩個品種供挑選，菌種甲在溫度時產(chǎn)量為28噸/畝，在溫度30℃時產(chǎn)量為20噸/畝；菌種乙在溫度20℃時產(chǎn)量為22噸/畝，在氣溫時產(chǎn)量為30噸/畝.（1）請補充完整2×2列聯(lián)表，根據(jù)2×2列聯(lián)表和小概率值的獨立性檢驗，判斷菌種甲?乙的產(chǎn)量與溫度是否有關(guān)？合計菌種甲菌種乙合計（2）某村選擇菌種甲種植，已知菌種甲在氣溫為時的發(fā)芽率為，從菌種甲中任選3個，若設為菌種甲發(fā)芽的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.附：參考公式：，其中.臨界值表：0.100.050.012.7063.8416.635【答案】（1）表格見解析，有關(guān)（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由題中數(shù)據(jù)先完善列聯(lián)表，然后根據(jù)卡方計算公式進行獨立性檢驗即可.（2）由二項分布的概率計算公式即可得相應的概率，從而得分布列，根據(jù)期望公式計算即可求解.【小問1詳解】合計菌種甲282048菌種乙223052合計5050100零假設：菌種甲?乙的產(chǎn)量與溫度沒有關(guān)系，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們沒有充分的證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即認為菌種甲?乙的產(chǎn)量與溫度有關(guān).【小問2詳解】由題意可知，的可能取值有，由公式可得，，所以的分布列為0123所以.21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)的極值大于0？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由．【答案】（1）答案見解析；（2）存在，0＜a＜2﹒【解析】【分析】(1)由，可求得，然