2023年高考數(shù)學(xué)試卷及答案

絕密★啟用前試卷類型：A

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫

在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答

案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在

試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定

區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案：不

準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

個選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x∣x2-x-620},則∩MV=

A.{-2,-1,0,1}B.{0,l,2}C.{-2}D.{2}

1-?

2.己知Z=-------,貝∣JZ-7z=

2+2i

A.TB.iC.0D.1

3.己知向量。=(1,1),?=(1,-1).若(α+勸)+,則

A.Λ+∕z=1B.Λ+//=—1C.λμ—1D.λμ=—1

4.設(shè)函數(shù)/(χ)=2"'-α)住區(qū)間(OJ)單調(diào)遞減’則a的取值范圍是

A.(-∞,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)

22

2,2

5.設(shè)橢圓G：Λ÷J=l(α>1)，C2÷-+>=1的離心率分別為約，若S=灰1，則a

a4

?-—b?√2C.√3D.、石

3

6.過(0,-2)與圓/+丫2-4x_]=o相切的兩條直線的夾角為。，則Sina=

A.IB.9C.邛

4

D.

4

數(shù)學(xué)試題第1頁(共4頁)

q

7.記S為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，設(shè)甲：｛〃｝為等差數(shù)列；乙："為等差數(shù)列，則

nnn｛｝

n

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.已知sin(α-夕)=1,COSaSin/三二則COS(2α+2∕)=

36

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得。分。

9.有一組樣本數(shù)據(jù)M,Λ?,，及，其中M是最小值，%是最大值，則

A.%2，%3，%工5的平均數(shù)等于工1，％2，，工6的平均數(shù)

B.修，與，為，%的中位數(shù)等于孫修，，4的中位數(shù)

C.占，入3，4看的標(biāo)準(zhǔn)差不小于ε，工2，，工6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.%2,與，處再的極差不大于“力2?，%6的極差

10.噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級4=20xlg上,

P0

其中常數(shù)小(小>0)是聽覺下限閾值，P是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：

聲源與聲源的距離/m聲壓級∕dB

燃油汽車1060-90

混合動力汽車1050-60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車，混合動力汽車，電動汽車10m處測得實(shí)際聲壓分別為0,pi，

P3，則

A.pBp2B.p2>IOp3C.pi=IOO/?()D.PlwIOOP2

11.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),貝U

A./(0)=0B./(1)=0

C.F(X)是偶函數(shù)D?X=O為/(x)的極小值點(diǎn)

數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

12.下列物體中，能被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）

內(nèi)的有

A.直徑為0.99m的球體

B,所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高位0.0Im的圓柱體

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.

13.某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3

門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作

答）.

14..在正四棱臺ABeQ-4∕CQ∣抻，AB=A1S1=1ψAAx=Jl,則棱棱臺的體為為

2由

15.已知函數(shù)/（x）=CoS<yχ-l（o>0）在區(qū)間［0,2柯，有且僅有3個零點(diǎn)，則。的取值范圍是

X2V2

16.已知雙曲線C:13>°，〃>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸”尸,.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8

在y軸上，F(xiàn)AVFB,FA=-：FB,則C的離心率為____________.

112彳2

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）

已知在aABC中，A+B=3C,2sin（A-Q=sinβ.

（1）求SinA；

（2）設(shè)4B=5,求AB邊上的高.

18.(12分)

如圖，在正四棱柱ABC。-A向Ca中，AB=2,AAI=4.

點(diǎn)A?,B2,C2,&分別在棱AAI，BB∣,CCl,DD1I.,AA2=

BB2=DD1=2,CC2=3.

(1)證明：B2C2//A2D2;

(2)點(diǎn)P在棱8片上，當(dāng)二面角P-A2G-4為150。時，求當(dāng)尸.

數(shù)學(xué)試題第3頁（共4頁）

19.（12分）

已知函數(shù)/(X)=ɑ(e?+α)-X.

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

3

(2)證明：當(dāng)?！?時，求證：/(x)>21nt7+'.

2

20.(12分)

設(shè)等差數(shù)列伍,,｝的公差為"，且d>l.令“="+〃，記S,,,7；分別為數(shù)列列,,｝,｛"｝的

a?

前〃項(xiàng)和.

(1)若3/=3?+%，-+-=21,求｛q｝的通項(xiàng)公式;

(2)若｛"｝為等差數(shù)列，且S99-99,求d.

21.(12分)

甲乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為

對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為

0.8,由抽簽決定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲，乙的概率各為05

(1)求第2次投籃的人是乙的概率；

(2)求第i次投籃的人是甲的概率；

(3)已知：若隨機(jī)變量X；啾從兩點(diǎn)分，，且P(X,=l)=l-P(X,=0)=q,由i=l,2,,nφ

則E(￡x；)=￡q,.記前〃次(即從第1次到第〃次投籃)中甲投籃的次數(shù)為匕求E(Y).

Z=I;=1

22.(12分)

1

在直角坐標(biāo)系XO)，中，點(diǎn)P到X軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)的距離，記動點(diǎn)P的軌跡

為W?

(1)求W的方程；

(2)已知矩形ABCO有三個頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長大于3、，？

數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)

2023新高考1卷解析

-'SME:楣硼圖8,H酶，獻(xiàn)喻外,操4fl?

第1題已知集合M={-2,-l,0,1,2},N={xI×2-X-6》0},則M∩N=

A{-2,-l,O,l}B.{0,1,2)C.{-2}D.{2}

答案

C

1-i_

12題已知Z=,則Z-Z=

2+2i

A.—iB.iC.0D.1

答案

A

已知向量a=(1,1),b=(1,—1).若(a+入b)_L(a+μb),則

A.λ+μ=1B.入+μ=—1C.λμ=1D.λμ=—1

答案

D

不?「設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,υ單回殛就則a的取值范圍是

A.(―∞,—2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)

答案

D

22

×2×2

z的離心率分別為、若

!設(shè)橢圓Ci：p?+y=l(a>1),C2：—+y=eι?e2

e2=，3ei,則a=

2√3

B.√2C.vz3D.√6

答案

A

第6題過點(diǎn)（0,—2）與圓χ2+y2-4x—1=0相切的兩條直線的夾角為α,則Sina=

MC邁D-

-444

答案

B

第7題記Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和,設(shè)甲：｛an｝為等差數(shù)列：乙:{f}為等差數(shù)列，則

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.用是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案

C

;已知sin(α—β)=cosαsinβ,則COS(2a+2β)=

36

BjD.-Z

a?9C.——

9^9

答案

B

二、、舞邂即：群雌WH麴，晦對題?絡(luò)，提20分

右9題有一組樣本數(shù)據(jù)×1,×2,■■■,×6,其中Xl是最小值，×6是最大值，則

A.×2,×3,×4,X5的平均數(shù)等于Xl,X2,…，×6的平均數(shù)

B-X2,×3>×4,×5的中位數(shù)等于Xl,×2,"■,×6的中位數(shù)

C.×2,×3>×4,×5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于×1,X2,…，×6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.×2,×3,×41×5的極差不大于×1,×2,,×6的極差

答案

BCD

rc,P

不10題噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱,定義聲壓級Lp=20×Ig-

PO

,其中常數(shù)Po(P0>0)是聽覺下限閾值，P是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：

聲源與聲源的距離/m聲壓級∕dB

燃油汽車_______1060~90

混合動力汽車_______1050?60

電M汽車_______1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實(shí)際聲壓分別為pi,P2,P3,則

A.Pi≥P2B.P2>10p3C.P3=1OOpoD.Pi≤100p2

答案

ACD

第11題已知函數(shù)f(×)的定義域?yàn)镽,f(χy)=y2f(χ)+×2f(y),則

A.f(0)=0B,f(l)=0

C.f(×)是偶函數(shù)D.X=0為f(×)的極小值點(diǎn)

答案

ABC

12題下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位:m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）

內(nèi)的有

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.0Im，高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體

答案

ABD

三、、婚擷：2≡fe∕H≡，有顫6饗供20分

√'13題某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學(xué)生需從這8門課中選修2門或

3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

答案

64

在正四棱臺ABCD-AiB1CiDi中，AB=2,AiBi=LAAi=√2,則該棱臺的體積

為

答案

V6

Z6

第15題已知函數(shù)f（×）=cosωx-1（ω>0）在區(qū)間［0,2π］有且僅有3個零點(diǎn)，則ω的取值范圍

是

答案

2≤ω<3

X2y2

第16題已知雙曲線C：前一廬=I3>Qb〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.點(diǎn)A在C上,

點(diǎn)B在y軸上，F(xiàn)iA1FiB,F2A=-yF?B,則C的離心率為

答案—

3√5

~5~

四、、畸雄嫩6小魄，熊70分

第17題已知在aABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=SinB.

(1).求SinA.

(2).設(shè)AB=5,求AB邊上的高.

答案

(1),誣

10

(2).6

解析

(1).由題意得

A+B=3C≠>A+B+C=4C=π≠>C=TL

4

所以

π33√1P

(

2sinA-=SJN(^Π-A)≠*sinA=n

4,\4/10

2

(2).因?yàn)閟inB=sιn(A+C)=所以由正弦定理可知

√5

bC

≠>b=2√10

SmB—sinC

所以由面積法可知

；???

S=bcsinA=-?■c■h≠>h=bsinA=6

第18題如圖，在正四棱柱ABCD-AIBICIDI中，

GBt

AB=2,AAi=4.點(diǎn)A1、B2,C2,D2分別在棱AAi,

BB],CCi,DD]上，AA2=1,BB?=DD2=2,

CC2=3

(1)證明：B2C2//A2D2.

⑵點(diǎn)P在棱BBi上，當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°

DA

時,求B2P.

答案

(1).建系易證

(2).B2P=1

解析

以C為原點(diǎn)，CD為X軸，CB為y軸，CCl為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以

B：(0,2,2),c:(0,0,3).A:(2,2,1),D:(2,0,2)

2—?22—?2

(1).因?yàn)锽2C2=(0,-2,1),A2D2=(0,-2,1)

所以B2C2=A2D2,所以B2C2//A2D2.

(2).設(shè)P:(0,2力，其中2≤t<4

—?—?—?—?

所以PA2=(2,0,1-t),PC2=(0,-2,3-t),D2C2=(-2,0,1),D2A2=(0,2,-1).

—?

所以面PA2C2法向量TnL(t-1,3-t,2),面D2A2C2法向量0=(1，1,2)

因?yàn)槎娼荘-AlCl-D2為150。，所以

“6、/3

o

Λ/2t2—8t÷14=∣cos150∣=

所以B?P=1

不19題已知函數(shù)f(×)=a(e×+a)-×.

(1).討論f(×)的單調(diào)性.

(2).證明：當(dāng)a>O時，f(x)>2Ina+J.

2

答案

見解析

解析

(1).對f(×)求導(dǎo)得f(×)=a?ex-1,故

①a≤O時，f'(x)≤-1<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減

②a>O時，令f,(x)=O得Xo=-Ina,故

(-∞,-Ina)-Ina(-Ina,∞)

f'(x)—0+

f(x)極小值

(2).fmi∏=f(-Ina)=+1+Ina

令g(a)=a2-Ina-求導(dǎo)得g'(a)=2a-_

,2a

^?∕2""

令導(dǎo)數(shù)為O解得a=_,所以

所以g=g

min

22

3

故g(a)>0,所以f(x)>2Ina+-

2

第20宓設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,且d〉L令bn="+n,記Tn分別為數(shù)列｛ank

Sn

｛b∏｝的前n項(xiàng)和.

(1).若3a2=3a)+a3,S3+T3=21,求｛a∏｝的通項(xiàng)公式.

(2).若｛b∏｝為等差數(shù)列，且S99-T99=99,求d.

答案

(1).a∏=3n

51

(2).d=?θ-

解析

(1).由題意得3a2=3a)+a?,2az=aι+a?,解得

a2=2aι,as=3aι

又因?yàn)椋鸻n｝為等差數(shù)列,所以an=aι?n,所以bn=---------

aι

因?yàn)镾3+T3=21,所以

91

6aι+一=21≠>aι=311aι=_(舍)

aι2

所以a∏=3n

(2).設(shè)an=da?n+Pa,bn=db?n+Pb,其中da>1

記Cn=an-bn=(da-db)∏+Pa—Pb,故｛c∩｝也為等差數(shù)列，所以

(ci+C99),99qqqq

S99—T99=Cl+C2++C99=------------------=99?co=99

2

所以C50=1

2

因?yàn)閎n=,所以代入可得

3n

n2+n22

-

db∏+pb=~TT-n+n=da?db?n+(da?pb+db?pa)n+pa?Pb

所以可得方程組

da?db=1

da?Pb+db?Pa=1

Pa?Pb=O

50(da-db)+Pa-Pb=1

解得d=da=ZL

50

行21題甲乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對方投

籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8,由抽簽確定第1

次投籃的人選，第一次投籃的人是甲,乙的概率各為0.5.

(1).求第2次投籃的人是乙的概率.

(2).求第i次投籃的人是甲的概率.

(3)設(shè)隨機(jī)事件Y為甲投球次數(shù)，Y=Oj,…，Q求E(Y).

答案

3

(1).ι

(2).+1

?6α、5'r

3

n51n-l

(3).E(Y)=-+

318

解析

12143

(D?P=5.§+

255

(2).記ai為第i次投籃的人是甲的概率，所以

321

?a+_(1—a)=

ai=i1

5^51^1-?ai-i+?-

所以

12

i-11

-y)ai=6

3i-1+

ai^T5?G)3

(3).

E(Y)=ai+a∑++a∩

J[(2)0+U++(2廣n

+

653

1

63

n5n—1

第22。在直角坐標(biāo)系×Oy中，點(diǎn)P到X軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)(θ,?)的距離，記動點(diǎn)P的

軌跡為W.

(1).求W的方程.

(2).已知矩形ABCD有三