2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練40　洛必達(dá)法則

微專題40洛必達(dá)法則

5知識(shí)拓展

洛必達(dá)法則

⑴盟

若函數(shù)7U)和g(x)滿足下列條件：

①IiEI於)=0及1叫g(shù)(χ)=0;

②在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，y(x)與g(x)可導(dǎo)且g，(X)W0；

f()_∣?f∣fCx)

③ι?四標(biāo)Xh=4那么y［1?K(X)=四?標(biāo)L=A

OO

⑵口型

若函數(shù)/U)和g(χ)滿足下列條件：

①1ipι∕(x)=8及1i?1g(x)=∞；

②在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，√U)與g(x)可導(dǎo)且g，(X)W0;

③「J"im?/T(%h)=4那Rrr么/ΓU?/E(%)=?I-?fF(X=)A

注意：高中階段能使用洛必達(dá)法則的題目一般都能使用分類討論，但分類討論難

度較大，所以可采用分參求最值的方式，一般大題中對使用洛必達(dá)法則的賦分可

能因標(biāo)準(zhǔn)不同而不同.

題型聚焦分類突破研題型求突破

I核心歸納

近些年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)經(jīng)?？疾槔貌坏仁胶愠闪⑶髤?shù)范圍，此類問題主要采

用分類討論求最值和參變分離求最值，由于含參討論比較困難，因此學(xué)生更多選

擇參變分離來處理.但有時(shí)分離后的函數(shù)的最值會(huì)在無意義點(diǎn)處或者趨近于無窮

大，此時(shí)利用洛必達(dá)法則可達(dá)到事半功倍的效果.

例I已知函數(shù)/U)=巖"十%如果當(dāng)χ>o且XWl時(shí)，yu)>罟+§,求A的取值

范圍.

解法一(參變量分離、洛必達(dá)法則)

InYk

當(dāng)Λ>0且X≠l時(shí)，f(x)>-----r+~,

χ-lX

ttrtInX,1?nxtk

x+1XX—1X

l,xlnX,?xlnx2x?nx,.

?gp^+l--=7≡7+l,

L2xlnx-,

t己乃(z尢)=[f+，χ>o且XW1,

2(x2+l)lnx+2(1-Λ2)2(√+l)(,?-χ2}

則r11g3=--------------ΓΓ=7P-----------=F=THInHR7)

1一%2

記/?(%)=In7+T,

?—4χ(1—)2

則"(X)=L(1+f)2=χ(l+02>0,

從而〃(犬)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

且∕ι(l)=0,

因此當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h(x)<O,當(dāng)x∈(l,+8)時(shí)，ft(x)>0,

故當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g'(x)<O,當(dāng)x∈(l,+∞)0t,g'(x)>O,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

Iim/、_Iimpxinx?

由洛必達(dá)法則有ZfIg(X)—工—fJ

_HT112Λ-lnΛI(xiàn)i∏i21nA÷2

T十χ-l?！浴?1+LI-2X一°，

即當(dāng)Xfl時(shí)，g(x)f0,

即當(dāng)x>0且XWl時(shí)，g(x)>O.

因?yàn)閆<g(x)恒成立，所以ZWO.

綜上所述，Z的取值范圍為(-8,0].

法二(分類討論、反證法)

由於尸節(jié)+下

侍F/U)—“仁nX+IQj

1Γ,(k—1)(Λ2-1)

12∣21nx+-----------------------

1-JTL?

(k—1)(Λ2-1)

令h(x)=2lnx-i

x(Λ>0),

Qk—1)(/+I)+2x

則h,(x)=

①當(dāng)?≤O時(shí),

k(?2+1)—(X—1)2

由h'(x)=X2一知,

當(dāng)XWl時(shí)，∕z,(x)<O.

因?yàn)棣?1)=O,

所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),?(x)>0,

可得］」??力(X)>0;

當(dāng)x∈(l,+8)時(shí)，?(χ)<0,

可得］J,F)(X)>0,

‘InX+?

從而當(dāng)且時(shí)，式）一

x>Ox≠lX.x—1七

InXlk

即/

U)>?χ-1X

②當(dāng)O<A<1時(shí)，由于g(?=(Z—1)Q2+D+2Λ=(A-l)f+2x+左-1的圖象開口向

下，

且/=4—4(Z-l)2>0,

對稱軸X=T?7>1,g(l)=2fc>0,

1K

所以當(dāng)χ∈(l,告)時(shí)，

(*-1)(Λ2+1)+2Λ>0,

故I(X)>0,而Zz(I)=O,

故當(dāng)χe［i’±)時(shí)，O(X)>0，

可得ILv2?%(x)<0,與題設(shè)矛盾.

③當(dāng)IcE時(shí)，h'(x)>O,而A(I)=O,

故當(dāng)x∈(l,+8)時(shí),h(x)>0,

可得]1χ2?∕?(X)<0,與題設(shè)矛盾.

綜上可得，攵的取值范圍為(-8,0].

P-Eγ—1e-2

例2設(shè)函數(shù)TU)=H?(常數(shù)α∈R),在X=O處取得極小值，g(x)=v-+^Γ^(e

XIciIn?N

為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求人無)在(1,y∏))處的切線方程；

(2)求證:對VXW(L÷o°),yU)>g(x).

._eλ(X+〃)-e”(X+。一］)

⑴解/(X)=(")2

(X+α)2

由題意/(0)=g=0,

e"xe"ce

.?.α=ι,/(X)=(χ+D2,TO)=］，/(i)=W'

.?√U)在(1,,1))處的切線方程為

y-f=?χ-i).即尸*+1).

⑵證明令∕z(x)=*7—永x+l),%>1,

xeve(Λ2+1)ev

“3=(x+1)2一不h"(χ)=(χ+ι)3>0,

所以勿(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，h'(x)>h'(l)=O,

所以〃(九)在(1,+8)上單調(diào)遞增，Λ(χ)>Λ(l)=O,

故胃T*x+D?

e尤—1e—2

再令"X)=WaX￡(1,+8),

InX+1一1

eX

，⑴=廠(InX)2

e(In%)2—4(lnx+；-1)

4(Inx)2,

令〃z(x)=e(lnx)2-4(InX+:一1),x∈(l,+∞),

I(Il)2e%lnχ-4x÷4

則rtl加(X)=2elnx4∣J-W=--------?----------

令〃(X)=2exlnχ-4x+4,x∈(l,÷∞),

貝(]∕ι,(Λ)=2e(lnx+1)—4=2elnx+2e-4>0,

則〃(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，"(χ)>"(l)=O,

Λm,(x)>0,則Zn(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，機(jī)(X)>m(1)=0.

Λf(x)>O,則f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

?L(1)不存在，由洛必達(dá)法則，得

IirnXIim(Ll)Iiml=

LlInX一工-1(InX)，一/_1[一，

X

Λz(l)-*?O,β.?z(x)>r(1),Λr(x)>O,

py—1p—?

.?q(x+l)>~^y+2?

綜上，對Vx∈(l,+∞),fix)>g(x).

X

訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)?X)=1—eX,當(dāng)x20時(shí)，yU)W.r+],求α的取值范圍.

解(1)若X=O,α∈R;

1Y

⑵若尤>0,當(dāng)QVo時(shí)，若%>一>則丁7<0,

ciax+1

Y

Aχ)≤—工T不成立.

Jax+?

X

當(dāng)時(shí)，由yu)W廣,

/日IXeA-e"+l

傳二一

QWX—(e—1rτ)^,

XeX—e'+1

設(shè)g(χ)=77?F(Q°)，

e2”一χ2e"-2e"+1

則g'(x)=

x2Cex-1)2

令/?(x)=e2x—x2ex—2ex+1,

則h?x)=2elx-2xe-χ1ex-2e=ex(2e-2χ-χ1-2).

再令m(x)=2ex-2χ-X2—2,

則mf(x)=2eA—2—2x=2(eλ—χ-1),

易得當(dāng)x>0時(shí)，Wa)>0,即"2(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

.?.m(x)>"?(O)=O,

.?.A,(x)>O,即〃(X)在(O,+8)上單調(diào)遞增,

ΛA(x)>A(O)=O,

/.g,(x)>O,即g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

連續(xù)兩次使用洛必達(dá)法則，得

limzrx=Iim__=Iirn=1

Ifogl'ZfOXe*+e'—1Z^*0jce*+2e*2'

故g(x)>T(x>O)?

1Y

故當(dāng)<外工20時(shí)，1—erW=γ恒成立，

2ax-r1

綜上，α的取值范圍是0,?.

訓(xùn)練2若不等式SinX>x—0x3對于XW(0,羅恒成立，求α的取值范圍.

解當(dāng)χ∈(θ,§時(shí)，原不等式等價(jià)于0>匚瀉，

J%-sinx

記∕ω=F-，

-3sinχ-χcosχ-2x

則/㈤=------^4------------，

iEg(%)=3sinχ-χcosx—2x,

貝IJg'(x)=2cosx+xsinχ-2,

?.?g"(x)=_2sinx+sinx+xcosX=XCOSx-sinx9

g(x)=-xsinx<0,

且g"(χ)Vg"(0)=0,

所以g%x)在(0,9上單調(diào)遞減，且g<x)<g<O)=O.

(兀、P(X)

因此g(x)在(0,于上單調(diào)遞減，且gα)Vg,(O)=0,故/(尤)=\—VO,

因此外)=匚詈在(0,上單調(diào)遞減，

由洛必達(dá)法則有:

χ-smXIjI-COSX]?sinxl?n?eos?1

物∕ω=Iimmnι

x-*0V=Zfo3X2-二-*06x66,

即當(dāng)XfO時(shí)，KX)七,即有y(χ)<∣,

故當(dāng)時(shí)，不等式Sin尤，無一以3對于Xe(0,&恒成立.

高分訓(xùn)練對接高考重落實(shí)迎高考

一、基本技能練

1.已知函數(shù).*X)=e*—l—x—公2,當(dāng)Xeo時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)α的取值

范圍.

解當(dāng)X=O時(shí)，yu)=o,對任意實(shí)數(shù)。都有人幻》0；

e'—1—X

當(dāng)x>0時(shí)，由/U)No得，α≤—p—,

e'-1—X

設(shè)g(x)=_M-(x>0),

JCeX-2e*+x+2

則r11g。)=-----p--------，

令Λ(x)=xev-2ev+x+2(x>0),

則h?x)=xex-ex+1,

記(P(X)=h'(x),則8%X)=XeX>0,

???勿(%)在(0,+8)上為增函數(shù),且當(dāng)X-O時(shí)，"(X)-O,ΛAr(x)>O,

.?.∕z(x)在(0,+8)上為增函數(shù),且當(dāng)九fO時(shí)，∕z(x)-O,Λh(x)>O9

.?.g'(x)>O,g(x)在(0,+8)上為增函數(shù).

e"—X*—1p?—1p?1

m

由洛必達(dá)法則知Ii-----2----=Ii-m萬一=IinTy=5，

χ~*oXrχ*oILX1->OL2

故g(x)>；,故tz≤∣.

綜上，實(shí)數(shù)α的取值范圍是(一8,?.

2.已知函數(shù).*X)=MeJC—1)一加.當(dāng)XNO時(shí)，/(x)N0,求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

解當(dāng)x≥0時(shí)，∕x)≥0,即x(et-l)-α√^0.

①當(dāng)X=O時(shí)，α∈R;

已”—1

②當(dāng)x>0時(shí)，尢(ev-1)—ox22。等價(jià)于e'—1》以，也即αW—：-

記g(x)=tl,x∈(0,+∞),

√v

.(χ-1)ev÷1

則rlg'(χ)=p?

記〃(元)=。-l)e"+l,x∈(0,÷o°),

則廳(X)=JCCΛ>O,

因此∕z(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

且∕z(x)>A(O)=O,

h(X)

所以g'(χ)=—J->0，

er—1

從而g(x)=1—在(0,+8)上單調(diào)遞增.

?

由洛必達(dá)法則有

HmO()=Iim^-----=liniγ=\,

工-08Λ/HfoXj→01

即當(dāng)XfO時(shí),g(x)→1,

所以g(x)>l,即有&Wl.

綜上所述，實(shí)數(shù)α的取值范圍是(-8,1].

3.已知函數(shù)/(x)=(x+l)ln(x+l).若對任意x>0都有"r)>αr成立，求實(shí)數(shù)α的

取值范圍.

解法一令9(x)=y(x)-αx=(X+1)In(X+l)-tu(x>0),

則?7,(x)=ln(x÷1)÷1—a,

VΛ->0,

Λln(x+l)>0.

⑴當(dāng)1—“20,即αWl時(shí)，”(x)〉0,

，夕(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又w(0)=0,

.?.S(x)>0恒成立,故。這1滿足題意.

(2)當(dāng)1—α<0,即a>?時(shí)，

令9'(X)=0,得尤=e。l-1,

Λ%∈(0,尸—1)時(shí)，"(x)<0;

x∈(et,^l-l,+8)時(shí)，“(九)>0,

.?.g(x)在(0,1一1一1)上單調(diào)遞減，

在(e"T—1,+8)上單調(diào)遞增，

.?.8(x)min=s(e"i—l)<s(0)=0與s(x)>0恒成立矛盾，故α>l不滿足題意.

綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍是(一8,1].

法二x∈(0,十8)時(shí)，(X+1)In(X+l)>αx恒成立，

(%÷1)In(x÷1)

即α<恒成立.

X

人(X+1)In(X+1)

令g(x)=---------------------------(A->0),

%-ln(X+1)

???g'(χ)=

令k(x)=χ-ln(x÷1)(x>0),

.?."(x)=ι-干=^ψ7>0'

.?.Z(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

.,.A(x)>?(O)=O,

當(dāng)x>0時(shí),X—In(X+1)>0怛成立,

.?.g'(x)>0,故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，由洛必達(dá)法則知

IimL(x+l)

l?(χ)==Hm[ln(x+l)+l]=l,Λg(x)>l,/.α≤l,

X

故實(shí)數(shù)α的取值范圍是(-8,i].

二、創(chuàng)新拓展練

4.已知函數(shù)兀X)=X2Inχ-α(%2一l),α∈R.若當(dāng)時(shí)，/(x)20恒成立，求實(shí)數(shù)

a的取值范圍.

解法一由"x)=flnX—1)20,

當(dāng)x=l時(shí)，不等式成立,

W-LjX2InX

?%>1時(shí)，6Z≤-一^,

V—