第26講 正弦定理與余弦定理（原卷版）

第26講正弦定理和余弦定理基礎(chǔ)知識(shí)1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式asinA==

=(其中R是

△ABC的外接圓的半徑)a2=,

b2=,

c2=

定理的變形(1)a=2RsinA,b=,c=;(2)a∶b∶c=;(3)sinA=a2R,sinB=b2R,sin(4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinAcosA=,

cosB=,

cosC=

2.在△ABC中,已知a,b和A時(shí),解的情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)

3.三角形面積公式(1)S=12ah(h表示邊a上的高(2)S=12bcsinA=12acsinB=12ab(3)S=12r(a+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)常用結(jié)論1.三角形內(nèi)角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;變形:A+B2=π2.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系:(1)sin(A+B)=sinC;(2)cos(A+B)=-cosC;(3)sinA+B2=cosC2;(4)cosA+3.角平分線定理:BDCD=AB4.三角形中的射影定理:在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.5.在所有圓內(nèi)接三角形中,正三角形的面積最大.圖4-26-1分類探究探究點(diǎn)一利用正弦、余弦定理解基本量問題例1在①CD=AD,②sin∠BAC=32114,③AC=877已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形,,AB=1,BD=7,AD=2,求BC的長.

[總結(jié)反思]正弦、余弦定理的作用是在已知三角形部分基本量的情況下求解其余基本量,基本思想是方程思想.正弦、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化,解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系,也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.正弦、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn),經(jīng)常用到三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式等.變式題(1)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,則cosB= (A.19 B.C.12 D.(2)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊依次為a,b,c,若2a=b+1,c=7,C=π3,則△ABC的面積為 (A.332 BC.33 D.23(3)已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且acosC+3asinC=b+c,則A=;若b=2,a=x,△ABC有兩解,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

探究點(diǎn)二利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀例2(1)在△ABC中,若AB2-BC2=AB·AC,則△ABC是 (A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形(2)在△ABC中,若bsinB=csinC,且sin2A=sin2B+sin2C,則△ABC的形狀為 ()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.不確定[總結(jié)反思]判斷三角形形狀的技巧總結(jié):角:利用余弦定理,對(duì)角的余弦值與0進(jìn)行大小比較;邊:比較兩邊的平方和與第三邊的平方的關(guān)系(技巧:最大邊法).變式題(1)(多選題)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則下列說法中正確的有 ()A.若acosA=bcosB=ccosB.若acosA=bcosB,則△ABC一定是等腰三角形C.若bcosC+ccosB=b,則△ABC一定是等腰三角形D.若a2+b2<c2,則△ABC一定是鈍角三角形(2)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若asinA=bsinB,則△ABC一定為 ()A.等腰三角形 B.鈍角三角形C.銳角三角形 D.等腰直角三角形探究點(diǎn)三正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用 微點(diǎn)1最值、范圍問題例3已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且C=π3(1)若c2=4a2-ab,求sinB(2)求sinAsinB的最大值.[總結(jié)反思]求有關(guān)三角形的最值(范圍)問題時(shí),可以將待求量用一個(gè)角的三角函數(shù)表示,也可以將待求量用某條邊表示,然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式等求解.微點(diǎn)2多三角形背景解三角形例4如圖4-26-2,在△ABC中,點(diǎn)P在邊BC上,C=π3,AP=2,AC·PC=4(1)求∠APB;(2)若△ABC的面積為532,求sin∠PAB圖4-26-2[總結(jié)反思]多三角形背景解三角形問題的求解思路:(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形,然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解;(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系,交叉使用公共條件,求出結(jié)果.解題時(shí),有時(shí)要用到平面幾何中的一些知識(shí)點(diǎn),如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的性質(zhì),要把這些知識(shí)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合,才能順利解決問題.?應(yīng)用演練1.【微點(diǎn)1】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若A=60°,b>1,c=a+12,當(dāng)△ABC的周長最小時(shí),b的值為 (A.22 B.2C.1+22 D.1+2.【微點(diǎn)2】△ABC中,AD為∠BAC的平分線,若S△ABD=2S△ACD=87,且sinA(tanB+tanC)=tanBtanC,則△ABC的周長為.

3.【微點(diǎn)2】如圖4-26-3,在三棱錐P–ABC的平面展開圖中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos∠FCB=.

圖4-26-34.【微點(diǎn)1】△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周長的最大值.同步作業(yè)1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知A=π6,B=π4,a=3,則b= (A.6 B.33 C.32 D.62.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a+b=2c,3c=5b,則角A的大小為 ()A.π6 B.C.2π3 D.3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=80,b=100,A=45°,則符合條件的三角形有 ()A.一個(gè) B.兩個(gè)C.一個(gè)或兩個(gè) D.0個(gè)4.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若sin(A+B)=cosC,a2+b2-c2=4,則△ABC的面積為 ()A.1 B.2 C.4 D.65.在銳角三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,sinAcosA=2bcb2+A.π4 B.C.5π12 D.6.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若A=45°,a=2,b=2,則B=,S△ABC=.

7.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,sinA=2sinB,c=3b,則sinB=.

8.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.滿足條件C=π3,c=2b-a,則△ABC一定是 (A.等腰直角三角形B.直角三角形但不是等腰三角形C.等邊三角形D.不能確定9.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,a2+bc=b2+c2,asinB=2csinA,則B= ()A.π6 B.C.π3 D.10.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且3acosC=4csinA,已知△ABC的面積等于10,b=4,則a的值為 ()A.233 B.C.263 D.11.若鈍角三角形ABC的面積是12,AB=1,BC=2,則AC= (A.22 B.C.2 D.512.(多選題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b=23,B=π3,若添加下列條件來解三角形,則其中三角形只有一解的是 (A.c=3 B.c=7C.c=4 D.c=913.(多選題)在△ABC中,D在線段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-55,則 (A.sin∠CDB=3B.△ABC的面積為8C.△ABC的周長為8+45D.△ABC為鈍角三角形14.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c=2,a=4sinAsinC,且a>c,則△ABC面積的最大值為.

15.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知c=2,b=1,cosC=14,則△ABC的中線AD的長為16.從①a=7,②b=2,③cosB=1314這三個(gè)條件中任選兩個(gè),分別補(bǔ)充在下面問題的橫線上,回答有關(guān)問題.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若,,且滿足(2b-c)cosA=