高等代數(shù)第8章入矩陣1課件

14三月2024高等代數(shù)第8章入矩陣1§1

-矩陣一.概念設(shè)P是一個數(shù)域,

是一個文字,作多項式環(huán)P[

].如果一個矩陣其元素是

的多項式,即P[

]的元素,就稱為

-矩陣.常用A(

),B(

)表示.數(shù)字矩陣:特殊情形.運算:與數(shù)字矩陣相同.

-矩陣的行列式(1)

-矩陣的行列式與數(shù)字矩陣的行列式有相同的性質(zhì).(2)

-矩陣的行列式是關(guān)于文字

的一個多項式。(3)可定義

-矩陣行列式的子式、非零子式、

-矩陣的秩等概念。零矩陣的秩規(guī)定為0.例設(shè)

因為A(

)的4個3階子式全等于零,而有一個2階子式不為零,所以A(

)的秩為2.三.

-矩陣的逆矩陣

定義設(shè)A(

)是一個n×n的

-矩陣,如果有一個n×n的

-矩陣B(

)使

A(

)B(

)=B(

)A(

)=E則稱A(

)是可逆的,稱B(

)為A(

)的逆矩陣.注(1)這里E是n階單位矩陣;(2)這樣的矩陣B(

)是唯一的,記作A-1(

).伴隨矩陣A*(

):同數(shù)字矩陣.定理一個n×n的

-矩陣A(

)可逆的充分必要條件為行列式|A(

)|是一個非零的數(shù).證先證充分性,設(shè)d=|A(

)|是一個非零常數(shù).

A*(

)是A(

)的伴隨矩陣,也是一個

-矩陣,而

A(

)A*(

)=A*(

)A(

)=|A(

)|E因此，A(

)可逆.反之,若A(

)可逆,則有一個n×n的

-矩陣B(

)使

A(

)B(

)=B(

)A(

)=E兩邊取行列式,

|A(

)||B(

)|=|E|=1因為|A(

)|與|B(

)|都是

的多項式,所以都只能是零次多項式,即非零常數(shù).推論

如果A(

)可逆,則

A-1(

)=A*(

)其中d=|A(

)|是數(shù)域中P一個非零常數(shù).例2設(shè)

因為|A(

)|=0,所以A(

)不可逆。因為|B(

)|=

2(

+1),不是非零常數(shù),所以B(

)不可逆.例4因為|C(

)|=-3,所以C(

)可逆,§2

-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形一.初等變換與初等矩陣

-矩陣的初等變換:指下面的三種變換(1)矩陣的兩行(列)互換位置;(2)矩陣的某一行(列)乘以非零的常數(shù)c;(3)矩陣的某一行(列)加另一行(列)的

(

)倍,

(

)是一個多項式.初等矩陣都是可逆的,并且有

P(i,j)-1=P(i,j),

P(i(c))-1=P(i(c-1)),P(i,j(

))-1=P(i,j(-

)).

-矩陣的初等矩陣:由單位矩陣經(jīng)一次

-矩陣的初等變換得到的

-矩陣稱為初等

-矩陣.

P(i,j);P(i(c));P(i,j(

))對一個s

n的-矩陣A(

)作一次初等行變換就相當(dāng)于在A(

)的左邊乘上相應(yīng)的s

s初等-矩陣;對A(

)作一次初等列變換就相當(dāng)于在A(

)的右邊乘上相應(yīng)的n

n的初等-矩陣.定義

-矩陣A(

)稱為與B(

)等價,如果可以經(jīng)過一系列初等變換將A(

)化為B(

).-矩陣之間的等價滿足如下三條;

(1)自反性:每個-矩陣與自己等價.

(2)對稱性:若A(

)與B(

)等價,則B(

)與

A(

)等價.(由于初等變換具有可逆性).

(3)傳遞性:若A(

)與B(

)等價,B(

)與C(

)等價,則A(

)與C(

)等價.命題

矩陣A(

)與B(

)等價的充分必要條件為有一系列初等-矩陣P1,P2,…,Ps,Q1,Q2,…,Qt,使

A(

)=P1P2…PsB(

)Q1Q2…Qt

. 引理設(shè)

-矩陣A(

)的左上角元素a11(

)

≠0,并且A(

)中至少有一個元素不能被它除盡,那么一定可以找到一個與A(

)等價的矩陣B(

),它的左上角元素也不為零,但是次數(shù)比a11(

)的次數(shù)低.證根據(jù)A(

)中不能被a11(

)除盡的元素所在的位置,分三種情形來討論(1)若在A(

)的第一列中有一個元素ai1(

)不能被a11(

)除盡,則有ai1(

)

=q(

)a11(

)+r(

)，其中余式r(

)

0,且次數(shù)比a11(

)的次數(shù)低.對A(

)作初等行變換,把A(

)的第i行減去第一行的q(

)倍,得:

再將此矩陣的第1行與第i行互換,得:B(

)的左上角元素r(

)符合引理的要求，故B(

)即為所求的矩陣.(2)在A(

)的第一行中有一個元素a1i(

)不能被a11(

)除盡,這種情況的證明與(1)類似,但是對A(

)進行的是初等列變換.(3)A(

)的第一行與第一列中的元素都可以被a11(

)除盡,但A(

)中有另一個元素aij(

)(i>1,j>1)不能被a11(

)除盡.設(shè)

ai1(

)=a11(

)

(

).對A(

)作下述初等行變換:

矩陣A1(

)的第1行中aij(

)+(1-

(

))a1i(

)不能被左上角元素a11(

)除盡,這就化為已經(jīng)證明了的情況(2).定理

任意一個非零的s

n的

-矩陣A(

)都等價于下列形式的矩陣其中r

1,di(

)(i=1,2,…,r)是首項系數(shù)為1的多項式,且

di(

)

di+1(

)(i=1,2,…,r-1)。證經(jīng)行列調(diào)動,可使A(

)的左上角元素a11(

)

0.若a11(

)不能除盡A(

)的全部元素,由引理,可找到與A(

)等價的B1(

),其左上角元素b1(

)

0,且次數(shù)比a11(

)低.若b1(

)還不能除盡B1(

)的全部元素,由引理,又可找到與B1(

)等價的B2(

),

其左上角元素b2(

)

0,且次數(shù)比b1(

)低.如此下去,將得到一系列彼此等價的

-矩陣A(

),B1(

),B2(

),…它們左上角元素皆不為零,而且次數(shù)越來越低。但次數(shù)是非負(fù)整數(shù).因此在有限步后,我們將終止于一個

-矩陣Bs(

),其左上角元素bs(

)

0,且可除盡Bs(

)的全部元素bij(

),即

bij(

)=bs(

)qij(

),對Bs(

)作初等變換:

右下角的

-矩陣A1(

)中的全部元素都是Bs(

)中元素的組合,都可以被bs(

)除盡.若A1(

)

0,則對于A1(

)可以重復(fù)上述過程,進而把矩陣化成

其中d1(

)與d2(

)都是首項系數(shù)為1的多項式(d1(

)與bs(

)只差一個常數(shù)倍數(shù)),而且d1(

)

d2(

).d2(

)能除盡A2(

)的全部元素.

如此繼續(xù),A(

)便可化成所要求的形式.

例用初等變換化-矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形解§3不變因子一.行列式因子定義設(shè)-矩陣A(

)的秩為r,對于正整數(shù)k,1

k

r,A(

)中必有非零的k階子式.A(

)中全部k階子式的首項系數(shù)為1的最大公因式Dk(

)稱為A(

)的k級行列式因子.由定義可知,對于秩為r的

-矩陣,行列式因子一共有r個.行列式因子的意義就在于,它在初等變換下是不變的.定理等價的-矩陣具有相同的秩與相同的各階行列式因子。證只需要證明,-矩陣經(jīng)過一次初等變換,其秩與行列式因子是不變的.設(shè)-矩陣A(

)經(jīng)一次初等行變換變成B(

),f(

)與g(

)分別是A(

)與B(

)的k階子式的一個最大公因式.現(xiàn)證f=g.下面分三種情況討論：

A(

)經(jīng)初等變換(1)變成B(

),這時,B(

)的每個k階子式或者等于A(

)的某個k階子式,或者與A(

)的某一個k階子式反號,因此f(

)是B(

)的k階子式的公因式,從而f(

)|g(

).

(2)A(

)經(jīng)初等變換(2)變成B(

),這時,B(

)的每個k階子式或者等于A(

)的某一個k階子式,或者與A(

)的某一個k階子式的c倍.因此f(

)是B(

)的k階子式的公因式,從而

f(

)|g(

).(3)A(

)經(jīng)初等變換(3)變成B(

),這時,

B(

)中那些包含i行與j行的k階子式和那些不包含i行的k階子式都等于A(

)中對應(yīng)的k階子式;B(

)中那些包含i行但不包含j行的k階子式,按i行分成兩部分,因而等于A(

)的一個k階子式與另一個k階子式的

(

)倍的和,也就是A(

)的兩個k階子式的組合.因此f(

)是B(

)的k階子式的公因式,從而f(

)|g(

).對于列變換,可以完全一樣地討論.總之,如果A(

)經(jīng)過一次初等變換變成B(

),那么f(

)|g(

).但由初等變換的可逆性,B(

)也可以經(jīng)過一次初等變換變成A(

).由上面的討論,同樣有g(shù)(

)|f(

),于是f(

)=g(

).當(dāng)A(

)的全部k階子式為零時,B(

)的全部k級子式也就都等于零;反之亦然.因此,A(

)與B(

)既有相同的各階行列式因子,又有相同的秩.現(xiàn)在來計算標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的行列式因子.設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形為其中r

1,di(

)(i=1,2,…,r)是首項系數(shù)為1的多項式,且di(

)

di+1(

)(i=1,2,…,r-1)

一般的非零k階子式為:k階子式首一最大公因式為:d1(

)d2(

)…dk(

).

二.標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性定理

-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的．證設(shè)A(

)的標(biāo)準(zhǔn)形為

因A(

)與其等價,故有相同的秩與相同的行列式因子,因此A(

)的秩就是標(biāo)準(zhǔn)形的主對角線上非零元素的個數(shù)r;A(

)的k階行列式因子就是

Dk(

)=d1(

)d2(

)…dk(

)(k＝1,2,…,r)這說明A(

)的標(biāo)準(zhǔn)形(1)的主對角線上的非零元素是被A(

)的行列式因子所唯一決定的,所以A(

)的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。三.不變因子定義標(biāo)準(zhǔn)形的主對角線上非零元素

d1(

)?d2(

),…,dr(

)稱為

-矩陣A(

)的不變因子.定理兩個s

n的

-矩陣等價的充分必要條件是它們有相同的行列式因子,或者說,有相同的不變因子.證前面已經(jīng)看出,

-矩陣的行列式因子與不變因子是相互確定的.因此,只要證明其中之一即可.必要性已由前面定理證明.充分性顯然.事實上若

-矩陣A(

)與B(

)有相同的不變因子,則A(

)與B(

)和同一個標(biāo)準(zhǔn)形等價,因而A(

)與B(

)等價.注

由上可見,在

-矩陣的行列式因子之間,有

Dk(

)∣Dk+1(

)(k=1,2,…,r-1).

在計算

-矩陣的行列式因子時,常常是先計算最高階的行列式因子.這樣就大致有了低階行列式因子的范圍了.作為例子,來看可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形.設(shè)A(

)為一個n×n可逆矩陣,由定理可知|A(

)|=d,其中d是一個非零常數(shù).亦即，

Dn(

)=1.于是可知,Dk(

)=1(k=1,2,…,n),從而

dk(

)=1(k=1,2,…,n).因此,可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是單位矩陣E.反之,與單位矩陣等價的矩陣一定是可逆的,（因為它的行列式是一個非零的數(shù)）這就是說,矩陣可逆的充分必要條件是它與單位矩陣等價.又矩陣A(

)與B(

)等價的充分必要條件是有一系列初等矩陣P1,P2,…,Ps,Q1,Q2,…,Qt,使A(

)=P1P2…PsB(

)

Q1Q2…Qt.特別地,當(dāng)B(

)=E時,就得到如下結(jié)果

定理

-矩陣A(

)可逆的充分必要條件是:A(

)的標(biāo)準(zhǔn)形為單位矩陣E.定理

-矩陣A(

)可逆的充分必要條件是:A(

)能表成一些初等矩陣的乘積. 定理兩個s

n的

-矩陣A(

)與B(

)等價的充分必要條件是:存在可逆的s階

-矩陣P(

)與可逆的n階

-矩陣Q(

),使得

B(

)=P(

)A(

)Q(

). §4矩陣相似的條件本節(jié)的主要結(jié)果是證明兩個n×n數(shù)字矩陣A和B相似的充分必要條件是它們的特征矩陣

E-A和

E-B等價.引理如果有n×n數(shù)字矩陣P0，Q0使

E-A=P0(

E-B)Q0

則A與B相似.證因P0(

E-B)Q0=

P0Q0-P0BQ0,它又與

E-A相等,進行比較后應(yīng)有P0Q0=E,P0BQ0=A.由此Q0=P0-1,而A=P0BP0-1.故A與B相似.引理對于任何不為零的n

n數(shù)字矩陣A和

-矩陣U(

)與V(

),一定存在－矩陣Q(

)與R(

)以及數(shù)字矩陣U0與V0使U(

)

=(

E-A)Q(

)+U0

,<1>V(

)=R(

)(

E-A)+V0.<2>證把U(

)改寫成U(

)=D0

m+D1

m-1+…+Dm-1

+Dm.

U(

)=D0

m+D1

m-1+…+Dm-1

+Dm.這里D0,D1,…,Dm都是n

n數(shù)字矩陣,而且D0

0.如m=0,則令Q(

)=0及U0=D0,它們顯然滿足要求.設(shè)m

0,令

Q(

)=Q0

m-1+Q1

m-2+…+Qm-2+Qm-1

.

這里Qj都是待定的數(shù)字矩陣.于是

(

E-A)Q(

)=Q0

m+(Q1-AQ0)

m-1+…+(Qk-AQk-1)

m-k+…+(Qm-1-AQm-2)

-AQm-1.

要想使<1>式成立,只需取

Q0=D0,Q1=D1+AQ0

,Q2=D2+AQ1

,…………Qk=D2+AQk-1

…………Qm-1=Dm-1+AQm-2,U0=Dm+AQm-1

.

即可.同樣可求得R(

)和V0.引理證畢.定理設(shè)A,B是數(shù)域P上兩個n

n矩陣.則A與B相似當(dāng)且僅當(dāng)

E-A和

E-B等價.證由推論知,

E-A與

E-B等價就是有可逆的

-矩陣U(

)和V(

),使

E-A=U(

)(

E-B)V(

)<1>

必要性.設(shè)A與B相似,即有可逆矩陣T,使A=T-1BT.于是

E-A=

E-T-1BT=T-1(

E-B)T,從而

E-A與

E-B等價.

充分性.設(shè)A與B等價,即有可逆的

-矩陣U(

),V(

)使<1>成立.由引理,存在

-矩陣Q(

),R(

)以及數(shù)字矩陣U和V使

U(

)=(E-A)Q(

)+U0,<2>

V(

)=R(

)(E-A)+V0<3>成立.把<1>改寫成

U(

)-1(E-A)=(E-B)V(

),式中的V(

)用<3>代入,再移項,得

[U(

)-1-(E-B)R(

)](E-A)=(E-B)V0右端次數(shù)等于1或V0=0,

因此U(

)-1-(E-B)R(

)是一個數(shù)字矩陣

(或零矩陣),記作T,即

T=U(

)-1-(E-B)R(

),T(E-A)=(E-B)V0<4>下證T可逆.由上面前一式,

E=U(

)T+U(

)(E-B)R(

)=U(

)T+(E-A)V(

)-1R(

)=[(E-A)Q(

)+U0]T+(E-A)V(

)-1R(

)=U0T+(E-A)[Q(

)T+V(

)-1R(

)].

E=U0T+(E-A)[Q(

)T+V(

)-1R(

)].右端第二項必為零,否則其次數(shù)至少是1,而E和UT都是數(shù)字矩陣,這不可能.因此E=U0T，這就是說,T是可逆的.由<4>式得

E-A=T-1(E-B)V0由引理,A與B相似.

例證明n階方陣A與其轉(zhuǎn)置A’相似。證明只需證明E-A

與E-A’等價。只需證明E-A

與E-A’具相同的行列式因子。注意到E-A

與E-A’的各階子式間的關(guān)系，結(jié)論顯然成立。注方陣A的特征矩陣的不變因子以后就簡稱為A的不變因子.

推論

n階方陣A與B相似的充分必要條件是它們有相同的不變因子.注

n

n矩陣的特征矩陣的秩一定是n.因此,n

n矩陣的不變因子總有n個,并且,它們的乘積就等于這個矩陣的特征多項式.注

不變因子是矩陣的相似不變量,因此可以把一個線性變換的任一矩陣的不變因子(它們與該矩陣的選取無關(guān))定義為此線性變換的不變因子.§5初等因子一.初等因子的概念定義把方陣A(或線性變換A)的每個次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的一次因式方冪的乘積,所有這些一次因式方冪(相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算)稱為矩陣A(或線性變換A)的初等因子.例設(shè)12階矩陣的不變因子是1,1,…1,(

-1)2,(

-1)2(

+1),(

-1)2(

+1)(

2+1)2.

按定義,它的初等因子有7個,即

(

-1)2,(

-1)2,(

-1)2,(

+1),(

+1),(

-i)2,(

+i)2.

其中(

-1)2出現(xiàn)三次,

+1出現(xiàn)二次.二.不變因子與初等因子的關(guān)系命題

n階矩陣A的不變因子與初等因子是互相確定的.證

設(shè)d1(

)?d2(

),…,dn(

)為矩陣A的不變因子,將di(

)分解成互不相同的一次因式方冪的積:

則所有(

-

i)的非零方冪就是A的全部初等因子.

注意到不變因子有一個整除一個的性質(zhì),因此在d1(

)?d2(

),…,dn(

)的分解式中,屬于同一個一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的性質(zhì),即

k1j

k2j…knj,(j=1,2,…,r)這說明,同一個一次因式的方冪作成的初等因子中,方次最高的必在dn(

)的分解式中,方次次高的必出現(xiàn)在dn-1(

)的分解式中,…,如此繼續(xù)下去可知

可知同一個一次因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的.反之,設(shè)n階方陣的初等因子為已知.將全部初等因子按降冪排列,且當(dāng)這些初等因子的個數(shù)不足n時,后面補上適當(dāng)個數(shù)的1,湊成n個.設(shè)所得的排列為設(shè)所得的排列為令則A的不變因子就是d1(

)?d2(

),…,dn(

).命題兩個同階方陣有相同的初等因子當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的不變因子.定理兩個同階方陣相似當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的初等因子.例1

設(shè)A是10階矩陣,初等因子組為:

-1,

-1,(

-1)2,(

+1)2,(

+1)3?

-2,則分類按降冪排列為:

(

-1)2,

-1,

-1;

(

+1)3,(

+1)2;

-2.于是

d10(

)=(

-1)2(

+1)3(

-2),

d9(

)=(

-1)(

+1)2,

d8(

)=

-1,A的不變因子組為:1,…,1,

-1,(

-1)(

+1)2,(

-1)2(

+1)3(

-2).三.初等因子的求法命題若多項式f1(

),f2(

)都與g1(

),g2(

)互素,則(f1(

)g1(

),f2(

)g2(

))=(f1(

),f2(

))(g1(

)g2(

))證令

(f1(

)g1(

),f2(

)g2(

))=d(x)(f1(

),f2(

))=d1(

),(g1(

)g2(

))=d2(

).顯然

d1(

)d(

),d2(

)d(

),因為(f1(

),g1(

))=1,所以(d1(

),d2(

))=1,從而

d1(

)d2(

)d(

).另一方面,因為

d(

)f1(

)g1(

),所以可令

d(

)=f(

)g(

),其中

f(

)f1(

),g(

)g1(

),因為(f1(

),g2(

))=1,所以(f(

),g2(

))=1,由

f(

)f2(

)g2(

),得

f(

)f2(

),所以

f(

)d1(

).同理

g(

)d2(

),從而

d(

)d1(

)d2(

),故

d(

)=d1(

)d2(

).引理

設(shè)

若多項式f1(

),f2(

)都與g1(

),g2(

)互素,則A(

)與B(

)等價.證顯然,A(

)與B(

)有相同的2階行列式因子而A(

)與B(

)的1階行列式因子分別為

d1(

)=(f1(

)g1(

),f2(

)g2(

))

d2(

)=(f2(

)g1(

),f1(

)g2(

))

由上命題可知,d1(

)=d2(

),因而A(

)與B(

)有相同的1階行列式因子,故A(

)與B(

)等價.定理按初等變換化A的特征矩陣E-A為對角形,將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因式方冪的乘積,則所有這些一次因式的方冪(相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算)就是A的全部初等因子.證設(shè)E-A已用初等變換化成對角形

其中每個hi(

)的最高項系數(shù)都是1.將hi(

)分解成互不相同的一次因式方冪的乘積:(i=1,2,,n)我們現(xiàn)在要證明的是,對于每個相同的一次因式的方冪在D(

)的主對角線上按遞升冪次排列后,得到新的對角矩陣D’(

)與D(

)等價.此時D’(

)就是E-A的標(biāo)準(zhǔn)型,而且所有不為1的就是A的全部初等因子。為方便起見，先對(

-

1)的方冪進行討論.令

于是

而且每個都與gj(

)互素,若有相鄰的一對指數(shù)ki1>ki+1,1,則在D(

)中將相應(yīng)的兩項對調(diào),其余因式保持不動.根據(jù)引理,

與

等價,從而D(

)與對角矩陣

等價.如此重復(fù),即得結(jié)論.推論

設(shè)A(

)是一個準(zhǔn)對角矩陣則A1(

),A2(

),…,As(

)的全部初等因子合起來就是A(

)的全部初等因子.證只需將A1(

),A2(

),…,As(

)分別化為對角形即可.例求實系數(shù)矩陣A(

)的全部初等因子及等價標(biāo)準(zhǔn)形因為

初等因子:

-1/2,

+i,

+i,

-i,

-i,

2,

+√3i，

-√3i

標(biāo)準(zhǔn)形§6Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)一.Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子Jordan塊的初等因子是(

-

0)n.Jordan形矩陣的全部初等因子是

其中是Ji的初等因子.定理每一個n階的復(fù)數(shù)矩陣A都與一個Jordan形矩陣相似,這個Jordan形矩陣除去其中Jordan塊的排列次序外是被矩陣A唯一決定的,它稱為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。（這里的Jordan塊是由A的初等因子決定的）例

設(shè)12階矩陣A的不變因子是

1,1,…1,(

-1)2,(

-1)2(

+1),