圖形的相似與位似（講義）（解析版）-中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（全國(guó)通用）

第第頁(yè)考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)比例線段的概念與性質(zhì)了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段；通過(guò)建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割.在中考中，該模塊內(nèi)容常出現(xiàn)在選擇題、填空題，較為簡(jiǎn)單.本節(jié)內(nèi)容是下一節(jié)相似三角形的基礎(chǔ)，需要學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)加以重視.相似圖形的概念與性質(zhì)通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似.了解相似多邊形和相似比.位似圖形了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小.考點(diǎn)一比例線段的概念與性質(zhì)線段的比的定義：兩條線段的比是兩條線段的長(zhǎng)度之比．比例線段的定義：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度的比)與另兩條線段的比相等，如ab=cd（即【補(bǔ)充】當(dāng)比的內(nèi)項(xiàng)相等時(shí)，即ab=b【解題思路】1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫(xiě)成ab=cd（即：第一條比例的性質(zhì)：1）基本性質(zhì)：ab=2）變形：ab=3）合、分比性質(zhì)：a【補(bǔ)充】實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號(hào)左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：a4）等比性質(zhì)：如果ab=c【補(bǔ)充】根據(jù)等比的性質(zhì)可推出，如果ab=c5）黃金分割：點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果ACAB【注意】1）AC=5?12AB≈0.648AB2）一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).【擴(kuò)展】作一條線段的黃金分割點(diǎn)：如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：①經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=12②連接AD，在DA上截取DE=DB.③在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).6）平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.①已知l3∥l4∥l5,可得ABBC①把平行線分線段成比例的定理運(yùn)用到三角形中，會(huì)出現(xiàn)下面的兩種情況：

推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．1.1.求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無(wú)關(guān)系．2.通常四條線段a、b、c、d的單位應(yīng)該一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a和b統(tǒng)一為一個(gè)單位，c和d統(tǒng)一為另外一個(gè)單位也可以.題型01成比例線段【例1】（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列長(zhǎng)度的各組線段中，能構(gòu)成比例線段的是（

）A．2，5，6，8 B．3，6，9，2 C．1，2，3，4 D．3，6，7，9【答案】B【分析】分別計(jì)算各組數(shù)中最大與最小數(shù)的積和另外兩數(shù)的積，然后根據(jù)比例線段的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：A.∵2×8≠5×6，∴2，5，6，8不能構(gòu)成比例線段，不符合題意；B.∵2×9=3×6，∴3，6，9，2能構(gòu)成比例線段，符合題意；C.∵1×4≠3×2，∴1，2，3，4不能構(gòu)成比例線段，不符合題意；D.∵3×9≠6×7，∴3，6，7，9不能構(gòu)成比例線段，不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無(wú)關(guān)系．【變式1-1】（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）已知線段a、b、c、d是成比例線段，如果a=1，b=2，c=3，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．1【答案】B【分析】利用成比例線段的定義得到a:b=c:d，然后根據(jù)比例的性質(zhì)求d的值．【詳解】解：根據(jù)題意得：a:b=c:d，即1:2=3:d，解得d=6．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d（即ad=bc），我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段．【變式1-2】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知線段a=3厘米，c=12厘米，如果線段b是線段a和c的比例中項(xiàng)，那么b=厘米．【答案】6【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到a:b=b:c，然后利用比例性質(zhì)計(jì)算即可，解題的關(guān)鍵是理解四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，a:b=c:d，我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段，當(dāng)a:b=b:c時(shí)，線段b是線段a和c的比例中項(xiàng)．【詳解】∵線段b是線段a和c的比例中項(xiàng)，∴a:b=b:c，即b2∴b=6cm故答案為：6．題型02圖上距離與實(shí)際距離【例2】（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在比例尺是1:8000的地圖上，延陵西路的長(zhǎng)度約為25cm，該路段的實(shí)際長(zhǎng)度約為（

）A．3200m B．3000m C．2400m【答案】D【分析】首先設(shè)它的實(shí)際長(zhǎng)度是xcm然后根據(jù)比例尺的定義，即可得方程1:8000=25:x【詳解】解：設(shè)它的實(shí)際長(zhǎng)度為xcm根據(jù)題意得：1:8000=25:x解得：x=200000，∵200000∴該路段實(shí)際長(zhǎng)度約為2000故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)比例尺的定義列方程，注意統(tǒng)一單位．【變式2-1】（2023·上海嘉定·校考一模）甲、乙兩地的實(shí)際距離為250km，如果畫(huà)在比例尺為1:5000000的地圖上，那么甲、乙兩地的圖上距離是cm【答案】5【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離÷實(shí)際距離進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得甲、乙兩地的圖上距離是250×1000×100×1故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例尺，熟知比例尺的定義是解題的關(guān)鍵．題型03利用比例的性質(zhì)判斷式子變形是否正確【例3】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┮阎?x=3y（x≠0，y≠0），則下列比例式成立的是（

）A．x3=y2 B．x2=【答案】A【分析】根據(jù)若ab=cd(b≠0，【詳解】解：A.可化為2x=3y，故此項(xiàng)符合題意；B.可化為xy=6，故此項(xiàng)不符合題意；C.可化為3x=2y，故此項(xiàng)不符合題意；D.可化為3x=2y，故此項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了比例是性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·上海寶山·一模）已知線段a、b，如果a:b=2:3，那么下列各式中一定正確的是（）A．2a=3b B．a(chǎn)+b=5 C．a(chǎn)+ba=5【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、由a:b=2:3，得3a=2b，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、當(dāng)a=4，b=6時(shí)，a:b=2:3，但是a+b=10，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、由a:b=2:3，得a+baD、當(dāng)a=4，b=6時(shí)，a:b=2:3，但是a+3b+2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)及式子的變形，用到的知識(shí)點(diǎn)：在比例里，兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)的積，比較簡(jiǎn)單．題型04利用比例的性質(zhì)求未知數(shù)的值【例4】（2023·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）若5?x:x=2:3，則x=．【答案】3【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到方程35?x【詳解】解：∵5?x:x=2:3∴35?x15?3x=2x，解得x=3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查比例性質(zhì)，熟練掌握內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）若ab=34，且a+b=7，則【答案】3【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到3b=4a，結(jié)合a+b=7求得a的值即可．【詳解】解：由a：b=3：4知3b=4a，所以b=4所以由a+b=7得到：a+4解得：a=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】考查了比例的性質(zhì)，內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．若ab=c題型05利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值【例5】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）用“▲”，“●”，“◆”分別表示三種物體的重量，若▲●=●?A．2:3:4 B．2:4:3 C．3:4:5 D．3:5:4【答案】B【分析】可設(shè)▲●=●?◆▲=◆●+▲=k，利用等比性質(zhì)可得k的值，設(shè)▲為x，●為y【詳解】解：設(shè)▲●=●?◆▲=◆●+▲∴k=x+y?z+z∴x=1∴y=2x,z=3∴▲，●，◆這三種物體的重量比為2:4:3．故選：B．【點(diǎn)睛】考查比例性質(zhì)的應(yīng)用；利用等比性質(zhì)得到所給比值的確定值是解決本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）已知x:y=3:2，那么x?y:x=【答案】1:3【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，表示出y是解題的關(guān)鍵．先用x表示出y，再代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵x:y=3:2，∴y=2∴x?y:故答案為：1:3．【變式5-2】（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┤鬮a=dc【答案】12【分析】根據(jù)等比性質(zhì)、合比性質(zhì)轉(zhuǎn)換即可．【詳解】解：∵ba∴2b2a∴2b?d2a?c故答案為12【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，比例的性質(zhì)，正確理解等比性質(zhì)、合比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·江西撫州·校聯(lián)考一模）解方程：(1)xx?3(2)已知a:b:c=2:3:4，且2a+3b?2c=15，求a?2b+3c的值．【答案】(1)x1(2)24【分析】（1）先移項(xiàng)，再利用因式分解法解一元二次方程，此題得解；（2）由a:b:c=2:3:4，可設(shè)a=2k，則b=3k，c=4k，根據(jù)2a+3b?2c=15可得出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可得出k值，進(jìn)而可得出a、b、c的值，將其代入【詳解】（1）解：移項(xiàng)得，xx?3即x?3x?2即x?3=0或x?2=0，解得：x1（2）解：∵a:b:c=2:3:4，∴設(shè)a=2k，則b=3k，∵2a+3b?2c=15，∴4k+9k?8k=15，解得：k=3，∴a=6，∴a?2b+3c=6?18+36=24．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程、解一元一次方程以及比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握因式分解法解一元二次方程的解法；（2）根據(jù)比例關(guān)系結(jié)合2a+3b?2c=15列出關(guān)于k的一元一次方程．【變式5-4】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知2ab+c+d=2b【答案】-509【分析】當(dāng)a+b+c+d≠0時(shí)，依據(jù)等比性質(zhì)可得2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)【詳解】∵2ab+c+d∴當(dāng)a+b+c+d≠0時(shí)，由等比性質(zhì)可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)k=2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=2當(dāng)a+b+c+d=0時(shí)，b+c+d=﹣a，∴k=2ab+c+d=當(dāng)k=23時(shí)，k2?3k?4=當(dāng)k=?2時(shí)，k2【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)．題型06理解黃金分割的概念【例6】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP，那么下列等式能成立的是（

）A．ABAP=APC．APBP=5【答案】A【分析】本題考查黃金分割點(diǎn)，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義得出線段比例關(guān)系，選出正確選項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割點(diǎn)的性質(zhì)．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP，∴APAB故選：A．【變式6-1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）神奇的自然界中處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)．如圖是古希臘時(shí)期的帕提農(nóng)神廟（Part?enon

Temple），我們把圖中的虛線表示為矩形ABCD，并發(fā)現(xiàn)AD:DC≈0.618，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（

）

A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對(duì)稱 D．黃金分割【答案】D【分析】根據(jù)黃金分割比可得答案．【詳解】解：∵AD:DC≈0.618，∴體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割；故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割比的含義，熟記黃金分割比為5?1【變式6-2】（2023·四川成都·校考三模）已知點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC>BC．若AC=6?cm，則AB的長(zhǎng)為cm【答案】35+3【分析】利用黃金比例列出方程解答即可．【詳解】解：∵點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，∴AC∴6∴AB=35故答案為：35【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割點(diǎn)的應(yīng)用，正確應(yīng)用黃金比是解答本題的關(guān)鍵．題型07黃金分割的實(shí)際應(yīng)用【例7】（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如果矩形ABCD滿足ABBC=5?12，那么矩形ABCD叫做“黃金矩形”，如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，對(duì)角線AC，BD相交于O且A．AC=BD B．SC．AC=8?25 D．矩形ABCD的周長(zhǎng)【答案】C【分析】計(jì)算得出AB=5【詳解】解：∵ABBC=5∴AB=5∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；∴S△AOB∴AC=5∴矩形ABCD的周長(zhǎng)C=25故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，即BCAC=ACAB，若S1表示以CA為一邊的正方形的面積，S2表示長(zhǎng)為AB，寬為CB的矩形的面積，則A．S1>S2 B．S1【答案】C【分析】根據(jù)BCAC=ACAB得出AC2=AB?BC【詳解】解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，即BCAC∴AC∵S1=AC∴S1故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割，解題的關(guān)鍵是根據(jù)BCAC=AC【變式7-2】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比（即ACBC=BCAB），可以增加視覺(jué)美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度AB為2m的雕像，則該雕像的下部高度【答案】5【分析】雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比（即ACBC=BCAB），【詳解】解：∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比等于下部與全部的高度比，∴設(shè)AC=x，則BC=2?x，∴x2?x解分式方程得，x=3+5>2（舍去）或檢驗(yàn)，當(dāng)x=3?5∴x=3?5，即AC=3?∴BC=2?3?∴該雕像的下部設(shè)計(jì)高度為5?1故答案為：5?1【點(diǎn)睛】本題主要考查比例，解比例方程，理解題意，掌握比例的性質(zhì)，解比例方程是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考二模）【課本再現(xiàn)】黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值、我們知道：如圖1，如果BCAC=ACAB，那么稱點(diǎn)

(1)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，請(qǐng)直接寫(xiě)出CB與AC的比值是___________；(2)【尺規(guī)作黃金分割點(diǎn)】如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，在BA上截取BD=BC，在AC上截取AE=AD，求AE(3)【問(wèn)題解決】如圖3，用邊長(zhǎng)為4的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形ABDE得折痕MN，連接EN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)H，得折痕CE，試說(shuō)明：C是AB的黃金分割點(diǎn)．【答案】(1)5(2)5(3)見(jiàn)解析【分析】（1）由BCAC=ACAB得到CB?AB=AC（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，由勾股定理得，AB=5，由BD=BC=1得到AD=AB?BD=5?1，則（3）設(shè)EC與MN相交于點(diǎn)P，作PQ⊥EN于點(diǎn)Q，由MN∥AB，MN=AB，且M為AE的中點(diǎn)得到MPAC=EMAE=12，EM=12AE=2，可得到PQ=MP=12AC，設(shè)PQ=MP=12AC=x，則【詳解】（1）解：∵BCAC∴CB?AB=AC∵AB=AC+CB，∴CB?AC+CB整理得，CB兩邊同除以AC2得，解得CBAC=5∴CB與AC的比值是5?1故答案為：5（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2由勾股定理得，AB=A∵BD=BC=1，∴AD=AB?BD=5∴AE=AD=5∴AEAC即AEAC的值為5（3）設(shè)EC與MN相交于點(diǎn)P，作PQ⊥EN于點(diǎn)Q，

∵M(jìn)N∥AB，MN=AB，且M為AE的中點(diǎn)，∴MPAC=EM∵EC平分∠AEN，∴PQ=MP=1設(shè)PQ=MP=1則PN=MN?PM=4?x，∵EN=E∴sin∠ENM=∴x4?x解得x=5經(jīng)檢驗(yàn)x=5∴AC=2x=25∴ACABBCAC∴BCAC∴C是AB的黃金分割點(diǎn)．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理、銳角三角函數(shù)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、解方程等知識(shí)，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式7-4】（2023·湖北孝感·?？寄M預(yù)測(cè)）閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)(AP>BP)，若滿足BPAP=APAB，則稱點(diǎn)P是

(1)應(yīng)用：如圖1，若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)(AC>BC)，若AB=1，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)運(yùn)用：如圖2，已知等腰三角形ABC為“黃金三角形”，AB=AC，∠A=36°，BD為∠ABC的平分線．求證：點(diǎn)D是AC的黃金分割點(diǎn)．(3)如圖3中，AB=AC，∠A=36°，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中點(diǎn)E，連接EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于M．BC=1，請(qǐng)你直接寫(xiě)出CM的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】(1)5(2)證明見(jiàn)解析(3)CM=【分析】（1）設(shè)AC=a，則BC=1?a，根據(jù)黃金分割的含義可得：BCAC=AC（2）證明△CBD∽△CAB，推出CDBC=BC（3）如圖，連接AM，同理可得：∠ABC=∠ACB=72°，∠1=∠2=36°=∠BAC，可得AF=BF=BC=1，證明ME⊥AB，MB=MA，∠CAM=72°?36°=36°=∠BAC，可得C是BM的黃金分割點(diǎn)，且BC<CM，可得BCCM=CM【詳解】（1）解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)(AC>BC)，AB=1，設(shè)AC=a，則BC=1?a，∴BCAC=AC∴a2∴a2解得：a=5∴AC=5（2）證明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=1∴∠BDC=36°+36°=72°，∴AD=BD，BC=BD，即AD=BD=BC，又∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，∴△CBD∽△CAB，∴CDBC∴CDAD∴D點(diǎn)是AC的黃金分割點(diǎn)．（3）如圖，連接AM，同理可得：∠ABC=∠ACB=72°，∠1=∠2=36°=∠BAC，∴AF=BF=BC=1，∵E為AB的中點(diǎn)，AF=BF，∴ME⊥AB，∴MB=MA，

∴∠ABM=∠BAM=72°，∠AMB=36°，∴∠CAM=72°?36°=36°=∠BAC，同理可得C是BM的黃金分割點(diǎn)，且BC<CM，∴BCCM=CM∴1x整理得：x2解得：x=5∴CM=5【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，黃金分割點(diǎn)的含義，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法,熟記黃金分割的含義是解本題的關(guān)鍵.【變式7-5】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖①，點(diǎn)C把線段AB分成兩部分，如果BCAC=ACAB，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．AC與

(1)如圖②，∠MON=60°，點(diǎn)A在OM邊上，OA=2．請(qǐng)?jiān)贠N邊上用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)B，使得OB與OA的比為黃金比；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

(2)如圖③，在△ABC中，AB=AC，若ABBC=5

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)108°【分析】（1）先作線段OA的垂直線平分線，交線段OA于點(diǎn)C，再過(guò)點(diǎn)A作OA的垂線AD，以點(diǎn)A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線AD于點(diǎn)E，連接OE，然后以點(diǎn)E為圓心，AE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段OE于點(diǎn)F，最后以點(diǎn)O為圓心，OF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線ON于點(diǎn)B，如圖，點(diǎn)B即為所求．（2）在BC邊上截取BD=AB，連接AD，根據(jù)ABBC=5?12，可得BDBC=5?12，ACBC=5?12，CDBC=【詳解】（1）解：先作線段OA的垂直線平分線，交線段OA于點(diǎn)C，再過(guò)點(diǎn)A作OA的垂線AD，以點(diǎn)A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線AD于點(diǎn)E，連接OE，然后以點(diǎn)E為圓心，AE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段OE于點(diǎn)F，最后以點(diǎn)O為圓心，OF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線ON于點(diǎn)B，如圖，點(diǎn)B即為所求．

理由：根據(jù)作法得：AD⊥OA,EF=AE=AC=12OA=1∴OE=O∴OF=OE?EF=5∴OB=5∴OBOA∴OB與OA的比為黃金比；（2）解：在BC邊上截取BD=AB，連接AD，

∵ABBC=5∴BDBC=5∴CDBC∴CDBC∴ACBC∵∠C=∠C，∴△ACD∽∴∠CAD=∠B=∠C，設(shè)∠CAD=∠B=x，∴∠ADB=∠C+∠CAD=2x，∵AB=BD，∴∠BAD=∠ADB=2x，∴∠BAC=3x，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴x+x+3x=180°，解得：x=36°，∴∠BAC=3x=108°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割，相似三角形的判定和性質(zhì)，復(fù)雜作圖，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型08由平行線分線段成比例判斷式子正誤【例8】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊的中點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，BF=2FC，連接AF交DE于點(diǎn)N

A．ANAF=12 B．DNDE=【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，可推出AN=NF,根據(jù)中位線定理分析求解．【詳解】解：∵D、E分別為AB、∴DE∥∴AD∴ANAF=12∴NEFC∵BF=2FC，∴DN=2NE.∴DNDE所以，A,B,D正確，C錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，中位線定理；由平行線的位置關(guān)系得到線段間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥

A．BDAD=DFFC B．DEFB=【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質(zhì)逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【詳解】解：A、∵DE∥BC，∴四邊形DFCE是平行四邊形，∴DF=EC，∵DE∥∴BD∵AE與FC的關(guān)系不確定，∴BDADB、∵DE∥BC，∴四邊形DFCE是平行四邊形，∴DE=FC，∵DF∥∴AD∵DE∥∴AD∴DEFBC、∵DF∥∴BFFC∵DE∥∴BDAD∴BFFC∴BFFCD、∵DE∴AD∵由ADFC=AB∵AE與FC的關(guān)系不確定，∴ADFC故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定性質(zhì)，熟練掌握平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？既＃┤鐖D，△ABC中，E為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)E作EF∥BC交AC于F，G為EF的中點(diǎn)，作FH∥AB交BC于H，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．BHBC=AGAD B．EGCD=【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理、中點(diǎn)定義及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例逐項(xiàng)判斷即可得到答案．【詳解】解：A、∵EF∥BC，∴由平行線分線段成比例定理可得AEAB∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∵∠BAC=∠BAC，∴△∴EFBC=AE∵EF∥BC，F(xiàn)H∥AB，∴由平行四邊形的判定定理得到四邊形EFHB為平行四邊形，即EF=BH，∴BHBCB、∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∵∠BAC=∠BAC，∴△∴GFDC∵G為EF的中點(diǎn)，∴EG=GF，∴EGCDC、∵FH∥AB，∴由平行線分線段成比例定理可得CHBH∵EF∥BC，F(xiàn)H∥AB，∴由平行四邊形的判定定理得到四邊形EFHB為平行四邊形，即EF=BH，∴CFAFD、∵EF∥BC，∴由平行線分線段成比例定理可得FEBC∵FH∥AB，∴由平行線分線段成比例定理可得FHAB只有當(dāng)F為AC中點(diǎn)時(shí)，即AF=FC時(shí)，EF由于題中并未給出相關(guān)條件，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查線段成比例，涉及平行線分線段成比例定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、中點(diǎn)的定義等知識(shí)，熟記相關(guān)幾何性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD的延長(zhǎng)線，CB的延長(zhǎng)線上，連接EF分別交AB，CD于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．CHDH=FHEH B．BGCD=【答案】D【分析】由CF∥DE，根據(jù)平行線分線段成比例定理得CHDH=FHEH，可判斷A不符合題意；由BF∥AE得BGAB=FGEF，所以BGCD=FGEF，可判斷B不符合題意；由BG∥CH得BCBF=GH【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∵CF∥DE，∴CH故A不符合題意；∵BF∥AE，∴BG∴BG故B不符合題意；∵BG∥CH，∴BC∴AD故C不符合題意；∵DH∥AG，∴△EDH∽△EAG，∴DH∴DH故D符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)平行線分線段成比例定理或相似三角形的性質(zhì)正確地列出比例式是解題的關(guān)鍵．題型09平行線分線段成比例（A型）【例9】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB、AC相交于D、E，若AD=4，DB=2，則ECAE的值為（

A．12 B．23 C．34【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得到答案．【詳解】證明：∵DE∥∴BD∵AD=4，DB=2，∴CE故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，

A．AEEC=23 B．DEBC=【答案】B【分析】利用平行線分線段成比例以及相似三角形的判定和性質(zhì)，即可判斷.【詳解】解：∵DE∥BC，∴AEEC∴CEAC∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC∴S△ADE故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握定理是解題的關(guān)鍵.【變式9-2】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、AC、BC上，DE∥BC，AB=15，AEEC(1)求AD的長(zhǎng)；(2)如果BF=4，CF=6，求四邊形BDEF的周長(zhǎng)．【答案】(1)6(2)26【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．(1)利用平行線分線段成比例定理，列式計(jì)算即可．(2)先證明EF∥AB，再利用平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，列式計(jì)算即可．【詳解】（1）∵DE∥BC，∴AEEC∵AB=15，AEEC∴AD15?AD解得AD=6．（2）∵BF=4，CF=6，∴BFFC∵AEEC∴BFFC∴EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB∵AB=15．解得EF=9．∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∴DE=BF=4,EF=BD=9，∴四邊形BDEF的周長(zhǎng)為24+9題型10平行線分線段成比例（X型）【例10】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考三模）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F．若AB=4.5，BC=3，EF=2，則DE的長(zhǎng)度是（

A．154 B．3 C．5 D．【答案】B【分析】由AD∥BE∥CF，根據(jù)平行線分線段成比例，即可得出ABBC【詳解】解：∵AD∥BE∥CF，∴∵AB=4.5，BC=3，EF=2，∴∴DE=3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)概念題型，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，得出對(duì)應(yīng)線段的比．【變式10-1】（2023·北京海淀·人大附中?？既＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）

A．∠AEF=∠DEC B．FA:CD=AE:BCC．FA:AB=FE:EC D．AB=DC【答案】B【分析】根據(jù)已知及平行線分線段成比例定理進(jìn)行分析，可得CD∥BF，依據(jù)平行線成比例的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：A、根據(jù)對(duì)頂角相等，此結(jié)論正確；B、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理，得FA:FB=AE:BC，所以此結(jié)論錯(cuò)誤；C、根據(jù)平行線分線段成比例定理得，此項(xiàng)正確；D、根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，所以此項(xiàng)正確．故選：B．【點(diǎn)睛】此題綜合運(yùn)用了平行四邊形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理．【變式10-2】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，已知AB∥CD∥EF，BC:CE=3:4，AF=21，那么

A．9 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例求解即可．【詳解】解：∵AB∥∴BCCE∵BC:CE=3:4，AF=21，∴34解得DF=12，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理中的對(duì)應(yīng)線段是解答的關(guān)鍵．題型11平行線分線段成比例與三角形中位線綜合【例11】（2023·湖南湘潭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，OE∥AB交AD于點(diǎn)E．若OA=2，△AOE周長(zhǎng)為10，則平行四邊形ABCDA．16 B．32 C．36 D．40【答案】B【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AD=BC，OB=OD，證OE是△ABD的中位線，則AB=2OE，AD=2AE，求出AE+OE=8，則AB+AD=2AE+2OE=16，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，OD=OB，∵OE∥∴DEAE∴AE=DE，∴OE是△ABD的中位線，∴AB=2OE，AD=2AE，∵△AOE的周長(zhǎng)等于10，∴OA+AE+OE=10，∴AE+OE=10?OA=10?4=8，∴AB+AD=2AE+2OE=16，∴?ABCD的周長(zhǎng)=2×AB+AD故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例、三角形中位線定理等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理，求出AB+AD=16是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，BE的延長(zhǎng)線交AC邊于點(diǎn)F，若AE：ED＝1：3，

【答案】12【分析】過(guò)點(diǎn)D作DG∥BF于點(diǎn)G,由平行線分線段成比例定理得AEED=AFFG，求得【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BF于點(diǎn)G；則AEED而AEED=1∴FG=6；∵D為BC邊的中點(diǎn)，∴GF=GC=1∴CF=2FG=12，故答案為：12．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正確構(gòu)造平行線是解決此題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）請(qǐng)閱讀下列材料，非完成相應(yīng)的任務(wù)．利用輔助平行線求線段的比三角形的中位線定理是三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．平行線分線段成比例定理是兩條平行線被兩條直線所截，截得的線段對(duì)應(yīng)成比例．有些幾何題，若題中出現(xiàn)了平行線，我們可以直接利用這兩個(gè)定理求出兩線段的比值，而有些幾何題，題中沒(méi)有平行線這樣的條件，那么我們可以通過(guò)作輔助平行線，然后再利用這兩個(gè)定理加以解決．舉例：如圖1，AD是△ABC的中線，AE:AD=1:5，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F．求AFCF下面是該題的部分解題過(guò)程：解：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DH∥BF交AC于點(diǎn)H．∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC．∵DH∥BF，∴FHCH∴CH=FH．∵EF∥DH，…

任務(wù)：(1)請(qǐng)補(bǔ)充材料中剩余部分的解答過(guò)程．(2)上述解題過(guò)程主要用的數(shù)學(xué)思想是______．（單選）A．方程思想

B．轉(zhuǎn)化思想

C．分類思想

D．整體思想(3)請(qǐng)你換一種思路求AFCF【答案】(1)見(jiàn)解析(2)B(3)見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)過(guò)點(diǎn)D作DH∥BF交AC于點(diǎn)H．根據(jù)△ABC的中線的定義即可得到BD=DC，根據(jù)平行線分線段成比例即可得到FHCH=BDCD與AEAD（2）由上述解題過(guò)程即可得到求AFCF的值轉(zhuǎn)化為了求AFFH與（3）通過(guò)過(guò)點(diǎn)D作DM∥AC交BE于點(diǎn)M，根據(jù)△ABC的中線的定義即可得到BD=DC，進(jìn)一步得到BDBC=12，根據(jù)平行線分線段成比例即可得到DMCM=BD【詳解】（1）∴AEAD∵AE:AD=1:5，∴AF:AH=1:5，∴AF:FH=1:4，∵FH=CH，∴AF（2）上述解題過(guò)程主要用的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想故選B（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM∥AC交BF于點(diǎn)M．∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC=1∴BD∵DM∥AC，∴DMCF∵AF∥DM，∴AEDE∵AEAD∴AEED∴AFDM∴AF

【點(diǎn)睛】本題考查利用輔助平行線求線段的比，作出輔助線，利用平行線分線段成比例進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．題型12平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線【例12】（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）【回歸課本】我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過(guò)一個(gè)基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．

【初步體驗(yàn)】（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，E在AC上，DE∥BC．若AD=1,AE=2，DB=1.5，則EC=，AEAC=（2）已知，如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC．求證：△ADE∽△ABC．證明：過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線交BC于點(diǎn)F………………請(qǐng)依據(jù)相似三角形的定義（如果兩個(gè)三角形各角分別相等，且各邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似）和上面的基本事實(shí)，補(bǔ)充上面的證明過(guò)程；【深入探究】（3）如圖2，如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于D、F、E點(diǎn)，那么AEEC（4）如圖3，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，AE:EF:FD=4:3:1．則AG:GH:AB=．

【答案】（1）3，25（2）見(jiàn)解析（3）是定值，值為1（4）【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例，列出比例式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及平行線分線段成比例，推出△ADE和△ABC的各角對(duì)應(yīng)相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例，即可得證；（3）過(guò)點(diǎn)B作BG∥EF，交AC于點(diǎn)G，得到BDAD=EG（4）過(guò)點(diǎn)D作DP∥AB，交CG于點(diǎn)P，交CH于點(diǎn)Q，根據(jù)平行線分線段成比例，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，進(jìn)行推導(dǎo)求解即可．【詳解】解：（1）∵DE∥BC，∴AECE=AD∴CE=3，∴AEAC故答案為：3，25（2）證明：過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線交BC于點(diǎn)F

則：BFBC∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,AD又EF∥BD，∴四邊形DBFE為平行四邊形，∴DE=BF，∴BFBC∴ADAB又∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC；（3）過(guò)點(diǎn)B作BG∥EF，交AC于點(diǎn)G，

∴BDAD∴AEEC即：AEEC（4）過(guò)點(diǎn)D作DP∥AB，交CG于點(diǎn)P，交CH于點(diǎn)Q，

∵AE:EF:FD=4:3:1，∴AE=ED，AF∵DP∥AB，D為BC的中點(diǎn)，∴CPPG∴CP=PG，∴BG=2DP，同理：BH=2DQ，∵DP∥AB，∴△DEP∽△AEG,△DFQ∽△AFH，∴DPAG∴DP=AG，AH=7DQ，∴BG=2AG,AH=7∴AG=1∴GH=AH?AG=4∴AG:GH:AB=1故答案為：3:4:9．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例，添加輔助線，構(gòu)造平行和相似三角形．【變式12-1】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=14，AC=63，點(diǎn)D在AB上，AD:DB=3:4，連接CD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，連接BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)為【答案】9【分析】根據(jù)已知條件得出∠ACD=30°，進(jìn)而求得DE,EC的長(zhǎng)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BF交AC于點(diǎn)G，根據(jù)平行線分線段成比例，求得AG的長(zhǎng)，勾股定理求得DG【詳解】解：∵AB=14，AD:DB=3:4，∴AD=6,BD=8，∵∠BAC=90°，AC=63在Rt△DCA中，DC=∴tan∠ACD=∴∠ACD=30°，∴AE=AC×sin∠ACE=1∴∠DAE=30°，∴DE=12AD=3如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BF交AC于點(diǎn)G∵DG∥EF∴GA設(shè)GF=4k，則AG=3k∵DG∥EF，∴CF∴CF=3GF=12k∵AG=AG+GF+FC=3k+4k+12k=19k=6∴k=∴AG=3k=在Rt△ADG中，∴EF=3故答案為：997【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式12-2】（2023·廣東深圳·深圳市桂園中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情景：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖①，在?ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接EF，BF，試猜想EF與

(1)獨(dú)立思考：請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；(2)實(shí)踐探究：希望小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將?ABCD沿著B(niǎo)F（F為CD的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，連接DC'并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，請(qǐng)判斷AG(3)問(wèn)題解決：智慧小組突發(fā)奇想，將?ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'，使A'B⊥CD于點(diǎn)H，連接A'M，交CD于點(diǎn)N，該小組提出一個(gè)問(wèn)題：若此?ABCD的面積為20，邊長(zhǎng)AB【答案】(1)EF=(2)AG=BG；證明見(jiàn)解析(3)75?27【分析】（1）如圖①中，作FH∥AD交BE于H．證明FH垂直平分線段（2）證明四邊形BFDG是平行四邊形，可得結(jié)論；（3）如圖③中，過(guò)點(diǎn)D作DJ⊥AB于J，過(guò)點(diǎn)M作MT⊥AB于T．根據(jù)S四邊形【詳解】（1）結(jié)論：EF=BF．理由：如圖①中，作FH∥AD交BE于

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∵FH∥∴DE∥∵F為CD的中點(diǎn)，∴DF=∴EHHB∴EH=HB，∵BE⊥AD，∴FH⊥EB，∴EF=BF．（2）結(jié)論：AG=BG．理由：如圖②中，連接CC

∵△BFC'是由∴BF⊥CC∵DF=FC，∴DF=FC=FC∴∠CC∴CC∴DG∥∵DF∥∴四邊形DFBG是平行四邊形，∴DF=BG，∵AB=CD，∴BG=1∴AG=GB．（3）如圖③中，過(guò)點(diǎn)D作DJ⊥AB于J，過(guò)點(diǎn)M作MT⊥AB于T．

∵S平行四邊形∴DJ=20∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=833∴AJ=A∵A'∴∠DJB=∠JBH=∠DHB=90°，∴四邊形DJBH是矩形，∴BH=DJ=4，∴A'∵tanA=設(shè)AT=x，則MT=3∵∠ABM=∠MBA∴MI=TB=3∴x+3∴x=5∴MT=BT=15?5∵tanA=∴NH=3∴S△ABM∴S四邊形【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，翻折變換，平行線分線段成比例定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．【變式12-3】（2023·山東青島·?？家荒＃┒x：三角形一邊中線的中點(diǎn)和該邊的兩個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為中原三角形．如圖①，AD是△ABC的中線，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，則△FBC是中原三角形．

(1)求中原三角形與原三角形的面積之比（直接寫(xiě)出答案）．(2)如圖②，AD是△ABC的中線，E是邊AC上的點(diǎn)，AC=3AE，BE與AD相交于點(diǎn)F，連接CF．求證：△FBC是中原三角形．(3)如圖③，在（2）的條件下，延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)M，連接ME，求△FEM與△ABC的面積之比．【答案】(1)中原三角形與原三角形的面積之比為1(2)見(jiàn)解析(3)△FEM與△ABC的面積之比為1【分析】（1）由F是AD的中點(diǎn)，可得S△DFC=12S（2）作CE的中點(diǎn)G，連接DG，由AD是△ABC的中線，可得DG是△BCE的中位線，CE=2EG，即得BE∥DG，即EF∥DG，根據(jù)AC=3AE，CE=2AE，可得AE=EG，即得（3）過(guò)D作DH∥CM交AB于H，由DH∥CM，D是BC中點(diǎn)，F(xiàn)是AD中點(diǎn)，可得AM=MH=BH，即知AEAC=13=AMAB，可得△AME∽△ABC，有∠AME=∠ABC，ME【詳解】（1）解：∵F是AD的中點(diǎn)，∴S△DFC∴S△DFC∴S△FBC∴中原三角形與原三角形的面積之比為1：（2）證明：作CE的中點(diǎn)G，連接DG，如圖：

∵AD是△ABC的中線，∴D是BC中點(diǎn)，∵G是CE中點(diǎn)，∴DG是△BCE的中位線，CE=2EG，∴BE∥DG，即∵AC=3AE，∴CE=2AE，∴AE=EG，又∵EF∥∴AF=DF，即F是AD中點(diǎn)，∴△FBC是中原三角形；（3）解：過(guò)D作DH∥CM交AB于

∵DH∥CM，D是∴BH=MH，∵DH∥MF，F(xiàn)是∴AM=MH，∴AM=MH=BH，∴AMAB∵AC=3AE，∴AEAC又∵∠MAE=∠BAC，∴△AME∽∴∠AME=∠ABC，MEBC∴ME∥∴△MEF∽∴S△FEM∴S△FBC由（1）知：S△FBC∴9S∴S△FEM∴△FEM與△ABC的面積之比為1：【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線分線段成比例以及相似三角形的判定和性質(zhì)，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．題型13平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線【例13】（2023·浙江衢州·校考一模）已知，如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=∠ADB，CE⊥AD于E，AE=5，AC?AB=4，則AC和AB分別為．

【答案】7和3．【分析】過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線，垂足為H，延長(zhǎng)交AC與G，連接DG，則AD為BG的垂直平分線，由此得到HG∥CE，AG=AB=AD，HG=BH，HB∥【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線，垂足為H，延長(zhǎng)交AC與G，連接DG，

則AD為BG的垂直平分線，∴HG∥CE，AG=AB=AD，HG=BH，∴AG:AC=AH:AE=HG:EC=BH:CE=HD:DE，∴AG:AC=AH:AE=HD:DE=AH+HD而AD=AG，則AC=AE+DE，AC=4+AB，AE=5DE=AE?AD=AE?AB=5?AB，∴4+AB=5+5?AB，∴AB=3，∴AC=3+4=7，故答案為：7和3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵作輔助線，通過(guò)輔助線構(gòu)造三角形相似，最后利用實(shí)習(xí)生減性的性質(zhì)解決問(wèn)題．【變式13-1】（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）如圖，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)Rt△ABC的頂點(diǎn)A和斜邊AB的中點(diǎn)D，點(diǎn)B、C在x軸上，△OBD的面積為6，則

【答案】8【分析】如圖作DF⊥BC，由平行線分線段成比例與三角形的中位線的性質(zhì)可知DF=12AC，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為a,b，則A點(diǎn)坐標(biāo)為c,2b，根據(jù)點(diǎn)A，D在反比例函數(shù)y=kx上，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可列出ab=k=2bc【詳解】解：如圖作DF⊥BC于點(diǎn)F，而∠ACB=90°，∴DF∥∴BDAD∵斜邊AB的中點(diǎn)D，∴BF=CF=1∴DF為△ABC的中位線，∴DF=1

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為a,b，則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2b，則可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為c,2b，∵點(diǎn)A，D在反比例函數(shù)y=k∴ab=k=2bc，解得：a=2c，∴BF=FC=2c?c=c，∴OB=3c，故S△OBD=1∴k=2bc=8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，平行線分線段成比例，三角形的中位線的性質(zhì)，能夠熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．【變式13-2】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，直線AB交y軸于點(diǎn)C，若ACBC=12，△AOB

【答案】4【分析】根據(jù)三角形的面積公式可得S△AOD=12S△AOB【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，

∵OC∥AD，ACBC∴ODOB∴S△AOD=12S△AOB而k>0，∴k=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，平行線段成比例，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，求出△AOD的面積．考點(diǎn)二相似圖形的概念與性質(zhì)相似多邊形的c相似多邊形的性質(zhì)：1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.2)相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方.題型01理解相似圖形的概念【例1】（2022·福建龍巖·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，由圖形M改變?yōu)閳D形N，這種圖形改變屬于（

）

A．平移 B．軸對(duì)稱 C．旋轉(zhuǎn) D．相似【答案】D【分析】根據(jù)相似圖形的定義知，圖形M改變?yōu)閳D形N，屬于圖形的形狀相同，大小不相同，屬于相似變換，據(jù)此作答即可．【詳解】圖形M改變?yōu)閳D形N，屬于圖形的形狀相同，大小不相同，所以屬于相似變換．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似變換，理解圖形的形狀相同，大小不相同，屬于相似變換，是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列圖形不是相似圖形的是（）A．同一張底片沖洗出來(lái)的兩張大小不同的照片 B．某人的側(cè)身照片和正面照片C．用放大鏡將一個(gè)細(xì)小物體圖案放大過(guò)程中原有圖案和放大圖案 D．大小不同的兩張中國(guó)地圖【答案】B【分析】利用相似圖形定義分別分析得出符合題意的圖形即可．【詳解】解：A、同一張底片沖洗出來(lái)的兩張大小不同的照片，是相似圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、某人的側(cè)身照片和正面像，不是相似圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C、用放大鏡將一個(gè)細(xì)小物體圖案放大過(guò)程中原有圖案和放大圖案，是相似圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、大小不同的兩張中國(guó)地圖，是相似圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了相似圖形的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）《西游記》的事故家喻戶曉，特別是書(shū)中的孫悟空嫉惡如仇斬妖除魔大快人心．在一次降妖過(guò)程中，孫悟空念動(dòng)咒語(yǔ)將一片樹(shù)葉放大后射向妖魔．若這個(gè)過(guò)程可以看成是平面直角坐標(biāo)系中的一次無(wú)旋轉(zhuǎn)的變化，設(shè)變化前樹(shù)葉尖部某點(diǎn)的坐標(biāo)為a,b，在咒語(yǔ)中變化后得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為20a+20,20b?10，則變化后樹(shù)葉的面積變?yōu)樵瓉?lái)的(

)A．20倍 B．200倍 C．400倍 D．4000倍【答案】C【分析】根據(jù)題意無(wú)旋轉(zhuǎn)的放大變化為相似方法和平移，所以考查面積變化只需要考慮相似放大，根據(jù)坐標(biāo)的變化得到邊長(zhǎng)的放大倍率，坐標(biāo)的加減變化為移動(dòng)，不影響大小變化．再利用相似圖形的面積比為相似比的平方，可計(jì)算出放大倍率．【詳解】題意樹(shù)葉放大后射向妖魔可得樹(shù)葉做了放大和平移變化，平移不影響面積大小．由坐標(biāo)變化可知邊長(zhǎng)放大倍率為20倍，相似圖形的面積比為相似比的平方，所以面積放大了202故選C.【點(diǎn)睛】本題是材料分析類型，考查了圖形的幾何變化，閱讀材料后利用信息解題．圖形的幾何變化有“平移、對(duì)稱、放縮“三種，其中相似放縮中注意面積比是等于邊長(zhǎng)比的平方，計(jì)算時(shí)須小心．【變式1-3】（2022·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考一模）形狀相同的圖形是相似圖形．下列哪組圖形不一定是相似圖形（

）A．關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形 B．兩個(gè)正三角形C．兩個(gè)等腰三角形 D．兩個(gè)半徑不等的圓【答案】C【分析】根據(jù)相似圖形的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等，∴它們是相似圖形，不符合題意；B、兩個(gè)正三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，∴它們是相似圖形，不符合題意；C、兩個(gè)等腰三角形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，∴它們不一定是相似圖形，符合題意；D、兩個(gè)半徑不等的圓是相似圖形，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似圖形的判斷，掌握形狀相同的圖形稱為相似圖形是解題的關(guān)鍵．題型02相似多邊形【例2】（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形的頂點(diǎn)在方格紙的格點(diǎn)上，下列方格紙中的四邊形與已知四邊形相似的是（

）A． B． C．D．【答案】D【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，如果兩個(gè)四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)成比例，且四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)四邊形相似，據(jù)此求解即可．【詳解】解：設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則已知四邊形的四條邊分別為1，2，2，5．選項(xiàng)A中的四邊形的四條邊分別為2，2，2，10，兩個(gè)四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)不成比例，不符合題意；選項(xiàng)B中的四邊形的四條邊分別為2，5，13，4，兩個(gè)四邊形的四條邊不是對(duì)應(yīng)成比例，故選項(xiàng)B中的四邊形與已知四邊形不相似，不符合題意；選項(xiàng)C中的四邊形的四條邊分別為2，5，13，4，兩個(gè)四邊形的四條邊不是對(duì)應(yīng)成比例，故選項(xiàng)C中的四邊形與已知四邊形不相似，不符合題意；選項(xiàng)D中的四邊形的四條邊分別為2，22，4，2將已知四邊形表示為四邊形ABCD，將選項(xiàng)D中的四邊形表示為EFGH．如圖，連接AC、EG，則AC=5，EG=2在△ABC與△EFG中，∵ABEF∴△ABC∽△EFG，∴∠BAC=∠FEG，∠B=∠F，∠ACB=∠EGF．在△ADC與△EHG中，∵ADEH∴△ADC∽△EHG，∴∠DAC=∠HEG，∠D=∠H，∠ACD=∠EGH，∴∠BAD=∠FEH，∠B=∠F，∠DCB=∠HGF，∠D=∠H，又∵ABEF∴四邊形ABCD∽四邊形EFGH．故選：D．【變式2-1】（2020·河北衡水·統(tǒng)考一模）在研究相似問(wèn)題時(shí)，甲、乙兩同學(xué)的觀點(diǎn)如下：甲：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1，則新菱形與原菱形相似．乙：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖2方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，每條對(duì)角線向其延長(zhǎng)線兩個(gè)方向各延伸1，則新菱形與原菱形相似；對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）．A．兩人都對(duì) B．兩人都不對(duì) C．甲對(duì)，乙不對(duì) D．甲不對(duì)，乙對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：甲：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，各邊與原菱形邊平行，因此各角與原菱形角對(duì)應(yīng)相等，平移后四條邊依然相等，即新菱形與原菱形相似；乙：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖2方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，各邊與原菱形邊不平行，因此各角與原菱形角不相等，即新菱形與原菱形不相似．所以甲對(duì)，乙不對(duì)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的判定．此題難度不大，熟練應(yīng)用相似多邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2021·江蘇南京·統(tǒng)考二模）學(xué)完“探索三角形相似的條件”之后，小明所在的學(xué)習(xí)小組嘗試探索四邊形相似的條件，以下是他們的思考，請(qǐng)你和他們一起完成探究過(guò)程．【定義】四邊成比例，且四角分別相等的兩個(gè)四邊形叫做相似四邊形．【初步思考】（1）小明根據(jù)探索三角形相似的條件所獲得的經(jīng)驗(yàn)，考慮可以從定義出發(fā)逐步弱化條件探究四邊形相似的條件．他考慮到“四角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”可以舉出反例“矩形”，“四邊成比例的兩個(gè)四邊形相似”可以舉出反例______．所以四邊形相似的條件必須再添加條件，于是，可以從“四邊成比例，且一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形相似”，“三邊成比例，且兩角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”，“兩邊成比例，且三角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”來(lái)探究．【深入探究】（2）學(xué)習(xí)小組一致認(rèn)為，“四邊成比例，且一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形相似”是真命題，請(qǐng)結(jié)合圖形完成證明．已知：四邊形ABCD和四邊形A'B'C'求證：四邊形ABCD∽四邊形A'（3）對(duì)于“三邊成比例，且兩角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”，學(xué)習(xí)小組得到如下的四個(gè)命題：①“三邊成比例，兩鄰角分別相等且只有一角為其中兩邊的夾角的兩個(gè)四邊形相似”；②“三邊成比例，兩鄰角分別相等且都不是其中兩邊的夾角的兩個(gè)四邊形相似”；③“三邊成比例及其兩夾角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”；④“三邊成比例，兩對(duì)角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”．其中真命題是______．（填寫(xiě)所有真命題的序號(hào)）（4）請(qǐng)你完成“兩邊成比例，且三角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”的探究過(guò)程．【答案】（1）菱形和正方形；（2）見(jiàn)解析；（3）③；（4）見(jiàn)解析．【分析】（1）利用正方形的四邊相等，菱形的四邊也相等，四邊成比例，但不相似可以舉出反例；（2）先判斷出ΔABD∽△A'B'D，得出∠ABD=∠A'B'D'，∠ADB=∠A'D（3）根據(jù)相似多邊形的判定方法，一一判斷即可；（4）分兩種情況考慮，兩邊是對(duì)邊，兩邊是鄰邊，根據(jù)相似多邊形的判定方法即可完成證明．【詳解】（1）解：∵正方形的四邊相等，菱形的四邊也相等，四邊成比例，但不相似，∴“四邊成比例的兩個(gè)四邊形相似”可以舉出反例菱形和正方形，故答案為：菱形和正方形；（2）證明：連接BD、B'∵ABA'B∴△ABD∽△A∴∠1=∠5，∠2=∠6，BDB∵ABA∴BDB∴△BCD∽△B∴∠3=∠7，∠4=∠8，∠C=∠C∴∠1+∠3=∠5+∠7，∠2+∠4=∠6+∠8，即∠ADC=∠A'D綜上，四邊形ABCD∽四邊形A'（3）解：①如圖，四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，以A'為圓心、A'D'為半徑作圓交C'D②如圖，四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，以C'為圓心、C'D'為半徑作圓交過(guò)點(diǎn)D'且和AB平行的直線相交于點(diǎn)D″，過(guò)D″作D″A″但四邊形A″B'③已知：如圖，四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'中，ABA'B'=BCB'C'=求證：四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'．證明：連接BD，B'D'．∵∠BCD=∠B'C'D'，且BCB'C'∴ΔBCD∽△B'C'D'，∴∠CDB=∠C'D'B'，∠C'B'D'=∠CBD，BDB'D'∵ABA'B'∴BDB'D'∵∠ABC=∠A'B'C'，∴∠ABD=∠A'B'D'，∴ΔABD∽△A'B'D'，∴ADA'D'=ABA'B'，∴ABA'B'=BCB'C'=CDC'D'=AD∴四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'相似；④如圖，四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，以C'為圓心，C'A'為半徑作圓交A'B'于點(diǎn)A″，在C'A故答案為：③，（4）解：因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)角和為360°，所以四邊形只要三個(gè)角分別相等，第四個(gè)角就也相等，所以只需考慮成比例的兩邊是鄰邊還是對(duì)邊．若成比例的兩邊是對(duì)邊，則有反例“矩形”．若成比例的兩邊是鄰邊，則相似，理由如下：已知：四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'中，AB求證：四邊形ABCD∽四邊形A'證明：∵∠A=∠A'，∠B=∠B∴∠D=360°?∠A?∠B?∠C=360°?∠A連接BD、B'∵ABA'B∴△ABD∽△A∴∠1=∠5，BDB∴∠3=∠ADC?∠1=∠A又∵∠C=∠C∴△BCD∽△B∴BCB綜上，四邊形ABCD∽四邊形A'【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，考查了相似多邊形的判定方法，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．【變式2-3】（2020·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（1）觀察下列式子：23<2+13+1，23發(fā)現(xiàn)：對(duì)于真分?jǐn)?shù)23（2）類比猜想：由（1）猜想分式ba和b+ca+c（其中，a>b>0，（3）解決問(wèn)題：某公司建居民住宅時(shí)，要求窗戶與臥室地面面積的比值達(dá)到15%左右，顯示這個(gè)比值越大采光條件越好，如果同時(shí)減少相等的窗戶面積和地面面積，那么采光條件___________；A．變差了

B．變好了

C．沒(méi)有改變（4）聯(lián)想拓展：如圖所示，一個(gè)長(zhǎng)為acm寬為bcm的矩形（a>b），四周都增加1cm，所得大矩形與原來(lái)的矩形相似嗎？____________（直接填“是”或“否”）【答案】（1）變大；（2）ba【分析】（1）根據(jù)已知的不等式觀察規(guī)律即可；（2）利用作差法比較ba與b+c（3）設(shè)xy=15%，同時(shí)減少相等的窗戶面積和地面面積為m，作差法比較（4）根據(jù)（1）、（2）、（3）得到的結(jié)論分析解答即可；【詳解】解：（1）∵23<2+13+1，23∴對(duì)于真分?jǐn)?shù)23故填：變大；（2）由（1）得：ba＜b+cba∵a>b>0，∴b-∴ba∴ba（3）根據(jù)（2）的結(jié)論可知，如果同時(shí)減少相等的窗戶面積和地面面積，那么采光條件變差了，理由如下：設(shè)xy=15則x?my?m-xy=∴x?my?m＜x∴采光條件變差，故選A；（4）由（2）知：ab故填：否．【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)、相似圖形的判定，讀懂材料，掌握基本運(yùn)算法則是關(guān)鍵．題型03相似多邊形的性質(zhì)【例3】（2023·河北張家口·?？寄M預(yù)測(cè)）把一根鐵絲首尾相接圍成一個(gè)長(zhǎng)為3cm，寬為2cm的矩形ABCD，要將它按如圖所示的方式向外擴(kuò)張得到矩形A'B'C'D

A．3.5cm B．5cm C．7cm【答案】D【分析】由圖形知，擴(kuò)張后的長(zhǎng)方形寬為4cm，設(shè)長(zhǎng)為xcm，根據(jù)相似長(zhǎng)方形的性質(zhì)列式計(jì)算求得【詳解】解：原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為3cm和2cm，由圖形知，擴(kuò)張后的長(zhǎng)方形寬為4cm∵矩形A'B'∴23∴x=6，經(jīng)檢驗(yàn)，x=6是分式方程的解，∴擴(kuò)張后的長(zhǎng)方形長(zhǎng)為6cm原長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為2×2+3=10cm20?10=10，∴這根鐵絲需增加10cm故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）若兩個(gè)相似多邊形的相似比為3:1，則它們周長(zhǎng)的比為（

）A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．9:1【答案】B【分析】根據(jù)相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，從而得解．【詳解】解：∵兩個(gè)相似多邊形的相似比為3:1，∴它們周長(zhǎng)的比為3:1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟知相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比是解本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·河北衡水·校考二模）將邊長(zhǎng)為2的正六邊形按照如圖所示的方式向外擴(kuò)張，得到新的六邊形，它們的對(duì)應(yīng)邊的距離均為3．（1）新的六邊形與原六邊形；（填“相似”或“不相似”）（2）擴(kuò)張后六邊形的周長(zhǎng)比原來(lái)增加了．【答案】相似12【分析】（1）根據(jù)相似多邊形的判定方法和正六邊形的性質(zhì)求解即可；（2）作CB⊥AE交AE于點(diǎn)B，根據(jù)三角函數(shù)求出AB=1，然后求出原正六邊形和新正六邊形的周長(zhǎng)，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：（1）∵正六邊形的內(nèi)角都等于120°，∴原正六邊形和新正六邊形的內(nèi)角都對(duì)應(yīng)相等，∵正六邊形的邊長(zhǎng)都相等，∴原正六邊形和新正六邊形的邊長(zhǎng)都對(duì)應(yīng)成比例，∴新的六邊形與原六邊形相似；（2）如圖所示，作CB⊥AE交AE于點(diǎn)B，作DF⊥AE交AE于點(diǎn)F，由正六邊形的性質(zhì)可得，∠CAB=60°，BC=3∴AB=BC?tan由題意可得，BF=CD=2，EF=AB=1，∴AE=AB+BF+EF=4，∴新六邊形的周長(zhǎng)為4×6=24，∵原六邊形的邊長(zhǎng)2×6=12，∴24?12=12，∴擴(kuò)張后六邊形的周長(zhǎng)比原來(lái)增加了12．【點(diǎn)睛】此題考查了相似多邊形的判定，正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．【變式3-3】（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）小穎在一本書(shū)上看到一個(gè)風(fēng)箏模型，形狀如圖所示，其中對(duì)角線AC⊥BD，并且兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為10cm和12cm．現(xiàn)在小穎照著模型按照1：3的比例放大制作一個(gè)大風(fēng)箏，制作風(fēng)箏需要彩色紙覆蓋，而彩色紙是從一張剛好覆蓋整個(gè)風(fēng)箏的矩形彩色紙（如圖中虛線所示）裁剪下來(lái)的，那么從四個(gè)角裁剪下來(lái)廢棄不用的彩色紙的面積是cm2【答案】540【分析】先求出風(fēng)箏模型ABCD的面積，假設(shè)大風(fēng)箏的四個(gè)頂點(diǎn)為A'，B'，C'，D'，可得四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，可得到它們的面積比為1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，再由從四個(gè)角裁剪下來(lái)廢棄不用的彩色紙的面積=矩形的面積-大風(fēng)箏的面積，即可求解．【詳解】解：∵AC⊥BD，∴風(fēng)箏模型ABCD的面積為=1假設(shè)大風(fēng)箏的四個(gè)頂點(diǎn)為A'，B'，C'，D'，且分別為點(diǎn)A、B、C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∵按照1：3的比例放大制作一個(gè)大風(fēng)箏，∴四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，∴它們的對(duì)應(yīng)邊之比為1：3，∴它們的面積比為1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，∴大風(fēng)箏的面積為60×9=540cm2，矩形彩色紙的面積為36×30=1080cm2，∴從四個(gè)角裁剪下來(lái)廢棄不用的彩色紙的面積=矩形的面積-大風(fēng)箏的面積=1080-540=540cm2．故答案為：540【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似多邊形的應(yīng)用，熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三位似圖形位似圖形的定義:如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)線段相互平行,那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)是位似中心.常見(jiàn)的位似圖形：畫(huà)位似圖形的方法：兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的同側(cè).（即畫(huà)位似圖形時(shí)，注意關(guān)于某點(diǎn)的位似圖形有兩個(gè).）判斷位似圖形的方法：首先看這兩個(gè)圖形是否相似，再看對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是否經(jīng)過(guò)位似中心.位似圖形的性質(zhì)：1)位似圖形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線所在直線相交與一點(diǎn)；2）位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或者共線.3)位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.4)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k.畫(huà)位似圖形的步驟：1）確定位似中心,找原圖形的關(guān)鍵點(diǎn).2）確定位似比.3）以位似中心為端點(diǎn)向各關(guān)鍵點(diǎn)作射線.4）順次連結(jié)各截取點(diǎn)，即可得到要求的新圖形.1.1.位似圖形一定是相似圖形，具有相似圖形的所有性質(zhì)，但相似圖形不一定是位似圖形.2.兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)，它可能位于圖形的內(nèi)部、外部、邊上或頂點(diǎn)上.題型01位似圖形的識(shí)別【例1】（2022·河北唐山·?？家荒＃┤鐖D所示是利用圖形變換設(shè)計(jì)的一個(gè)美術(shù)字圖案，這樣設(shè)計(jì)的美術(shù)字更富有立體感，則該圖案在設(shè)計(jì)的過(guò)程中用到的圖形變換是（）A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對(duì)稱 D．位似【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的定義，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：根據(jù)位似的定義可知：該圖案在設(shè)計(jì)的過(guò)程中用到的圖形變換是位似．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了生活中位似的現(xiàn)象，解決本題的關(guān)鍵是熟記位似圖形的定義．【變式1-1】（2020·重慶渝中·統(tǒng)考二模）下列圖形中不是位似圖形的為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．【詳解】解：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)的兩個(gè)相似多邊形叫位似圖形．根據(jù)位似圖形的概念，A三個(gè)圖形中的兩個(gè)圖形是位似圖形；故A不符合題意，B中的兩個(gè)圖形不符合位似圖形的概念，對(duì)應(yīng)邊不平行，故不是位似圖形．故B符合題意，根據(jù)位似圖形的概念，C三個(gè)圖形中的兩個(gè)圖形是位似圖形；故C不符合題意，根據(jù)位似圖形的概念，D三個(gè)圖形中的兩個(gè)圖形是位似圖形；故D不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的定義．注意：①兩個(gè)圖形必須是相似形；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；③對(duì)應(yīng)邊平行．題型02判斷位似中心【例2】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC與△A'B'

A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)Q D．點(diǎn)P【答案】D【分析】根據(jù)位似中心是位似點(diǎn)連線的交點(diǎn)判斷即可．【詳解】如圖，根據(jù)位似中心是位似點(diǎn)連線的交點(diǎn)，可知點(diǎn)P為位似中心，

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的位似，清楚位似中心是位似點(diǎn)連線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2020·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O(0,0)，A(0,2)，B(4,0)，C(0,?2)，以某點(diǎn)為位似中心，作出ΔDEF與ΔABC位似，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D(0,1)，則位似中心的坐標(biāo)為（

）

A．(0,0) B．(1,0) C．(2,0) D．(4,0)【答案】A【分析】直接利用位似圖形的特點(diǎn)即可找到位似中心．【詳解】∵直線AD、CF、BE交于O點(diǎn)∴位似中心為O點(diǎn)即(0,0)故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查位似圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知位似圖形的特點(diǎn)．【變式2-2】（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，陰影所示的兩個(gè)正方形是位似圖形，若位似中心在兩個(gè)正方形之間，則位似中心的坐標(biāo)為．

【答案】2【分析】連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，它們?cè)趦蓚€(gè)正方形之間相交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)為位似中心，然后寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P為位似中心，P2

故答案為：2，【點(diǎn)睛】本題考查位似變換：位似的兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或共線），掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型03根據(jù)位似的概念判斷正誤【例3】（2021·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC外任取一點(diǎn)O，連接AO、BO、CO，并分別取它們的中點(diǎn)D、E、F，順次連接DE、EF、DF得到△DEF，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．△DEF與△ABC是位似圖形 B．△DEF與△ABC是相似圖形C．△DEF與△ABC的周長(zhǎng)比是1:2 D．△DEF與△ABC的面積比是1:2【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)