人教A版（2019）必修第二冊 第七章 7.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念（教學(xué)課件）

第七章

§7.1復(fù)數(shù)的概念7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)系的擴(kuò)充過程.2.理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本

概念.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點(diǎn)練1知識梳理PARTONE1.復(fù)數(shù)(1)定義：我們把形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做_____

，滿足i2＝

.(2)表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即

，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部.2.復(fù)數(shù)集(1)定義：

所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.(2)表示：通常用大寫字母C表示.知識點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念虛數(shù)單位－1z＝a＋bi(a，b∈R)全體復(fù)數(shù)知識點(diǎn)二復(fù)數(shù)的分類1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)

(b＝0)，

(b≠0)(當(dāng)

時為純虛數(shù)2.復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系實(shí)數(shù)虛數(shù)a＝0知識點(diǎn)三復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則a＋bi＝c＋di?

，a＋bi＝0?

.a＝c且b＝da＝b＝0思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.若a，b為實(shí)數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù).(

)2.復(fù)數(shù)i的實(shí)部不存在，虛部為0.(

)3.z＝bi是純虛數(shù).(

)4.如果兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個復(fù)數(shù)相等.(

)×××√2題型探究PARTTWO例1

下列命題中正確的是A.若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)B.若a，b∈R，且a>b，則a＋i>b＋iC.若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x＝±2D.實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集一、復(fù)數(shù)的概念√解析對于復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0且b≠0時，為純虛數(shù).對于A，若a＝－1，則(a＋1)i不是純虛數(shù)，即A錯誤；兩個虛數(shù)不能比較大小，則B錯誤；對于C，若x＝－2，則x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此時(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是純虛數(shù)，則C錯誤；顯然，D正確.反思感悟復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)中，實(shí)數(shù)a和b分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.特別注意，b為復(fù)數(shù)的虛部而不是虛部的系數(shù)，b連同它的符號叫做復(fù)數(shù)的虛部.跟蹤訓(xùn)練1

(多選)對于復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，下列說法正確的是A.若a＝0，則a＋bi為純虛數(shù)B.若a＋(b－1)i＝3－2i，則a＝3，b＝－1C.若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)D.i的平方等于1√√解析對于A，當(dāng)b＝0時，a＋bi＝0為實(shí)數(shù)，故A錯誤；對于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，則a＝3，b＝－1，故B正確；對于C，若b＝0，則a＋bi＝a為實(shí)數(shù)，故C正確；對于D，i的平方為－1，故D錯誤.二、復(fù)數(shù)的分類例2

當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時，復(fù)數(shù)z＝

＋(m2－2m－15)i是下列數(shù)？(1)虛數(shù)；即m≠5且m≠－3時，z是虛數(shù).(2)純虛數(shù)；即m＝3或m＝－2時，z是純虛數(shù).(3)實(shí)數(shù).延伸探究本例中條件不變，當(dāng)m為何值時，z>0.解因?yàn)閦>0，所以z為實(shí)數(shù)，反思感悟復(fù)數(shù)分類問題的求解方法與步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn)式：解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部.(2)定條件：復(fù)數(shù)的分類問題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)即可.(3)下結(jié)論：設(shè)所給復(fù)數(shù)為z＝a＋bi(a，b∈R)，①z為實(shí)數(shù)?b＝0；②z為虛數(shù)?b≠0；③z為純虛數(shù)?a＝0且b≠0.跟蹤訓(xùn)練2

若復(fù)數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為A.1 B.2C.1或2 D.－1√解析根據(jù)復(fù)數(shù)的分類知，即a＝2.三、復(fù)數(shù)相等的充要條件例3

(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求實(shí)數(shù)x，y的值.解由復(fù)數(shù)相等的充要條件，(2)若關(guān)于x的方程3x2－

－1＝(10－x－2x2)i有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的值.解設(shè)方程的實(shí)根為x＝m，反思感悟

復(fù)數(shù)相等問題的解題技巧(1)必須是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等列方程組求解.(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，為應(yīng)用方程思想提供了條件，同時這也是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想的體現(xiàn).(3)如果兩個復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，可以比較大小，否則是不能比較大小的.跟蹤訓(xùn)練3

復(fù)數(shù)z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，則m＝______.5解析因?yàn)閙∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.解得m＝5.3隨堂演練PARTTHREE12345A.0B.1C.2D.3√故純虛數(shù)的個數(shù)為2.12345√123453.若復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值可以為A.－1 B.2C.1 D.－2√解析因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i為純虛數(shù)，所以m2－m－2≠0，且m2－1＝0，解得m＝1(m＝－1舍).4.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，則實(shí)數(shù)x＝____，y＝_____.123451

1解析∵x2－y2＋2xyi＝2i，123455.已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，則實(shí)數(shù)a＝______.－1解析由題意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識清單：(1)數(shù)系的擴(kuò)充.(2)復(fù)數(shù)的概念.(3)復(fù)數(shù)的分類.(4)復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.方法歸納：方程思想.3.常見誤區(qū)：未化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式.4課時對點(diǎn)練PARTFOUR基礎(chǔ)鞏固1.設(shè)a，b∈R，則“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分又不必要條件√解析因?yàn)閍，b∈R，當(dāng)“a＝0”時，“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”不一定成立，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R.而當(dāng)“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”時，“a＝0”一定成立.所以a，b∈R，“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的必要不充分條件.123456789101112131415162.以－3＋i的虛部為實(shí)部，以3i＋i2的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是A.1－i B.1＋iC.－3＋3i D.3＋3i√12345678910111213141516解析－3＋i的虛部為1,3i＋i2＝－1＋3i的實(shí)部為－1，故所求復(fù)數(shù)為1－i.123456789101112131415163.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)是純虛數(shù)，則A.a＝0或a＝2 B.a＝0C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2√解析因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是純虛數(shù)，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.123456789101112131415164.若a，b∈R，i是虛數(shù)單位，a＋2020i＝2－bi，則a2＋bi等于A.2020＋2i B.2020＋4iC.2＋2020i D.4－2020i√解析因?yàn)閍＋2020i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2020，即a＝2，b＝－2020，所以a2＋bi＝4－2020i.5.(多選)下列命題中錯誤的有A.若x，y∈R，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y(tǒng)＝1B.若復(fù)數(shù)z∈R，則其虛部不存在C.若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，則z1＝z2＝z3D.若實(shí)數(shù)a與ai對應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集一一對應(yīng)√√√解析由復(fù)數(shù)相等的定義知A正確；實(shí)數(shù)的虛部為0，故B錯誤；對于C，只有當(dāng)z1，z2，z3∈R時，才有z1＝z2＝z3，否則不成立，故C錯誤；對于D，a＝0時，ai＝0，故D錯誤.12345678910111213141516123456789101112131415166.若實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＋(x－y)i＝2，則xy的值是_____.1所以x＝y(tǒng)＝1，所以xy＝1.123456789101112131415167.若復(fù)數(shù)z＝sin2α－(1－cos2α)i是純虛數(shù)，則α＝____________.解析由題意知sin2α＝0,1－cos2α≠0，∴2α＝2kπ＋π(k∈Z)，123456789101112131415168.如果(m2－1)＋(m2－2m)i>1，則實(shí)數(shù)m的值為_____.29.當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是下列數(shù)？(1)實(shí)數(shù)；解由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0，得m＝5或m＝－3.當(dāng)m2－2m－15＝0時，復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，∴m＝5或m＝－3.(2)虛數(shù)；解當(dāng)m2－2m－15≠0時，復(fù)數(shù)z為虛數(shù)，∴m≠5且m≠－3.12345678910111213141516(3)純虛數(shù)；∴m＝－2.(4)0.∴m＝－3.1234567891011121314151610.分別求滿足下列條件的實(shí)數(shù)x，y的值.(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；解∵x，y∈R，12345678910111213141516解∵x∈R，∴x＝3.12345678910111213141516綜合運(yùn)用11.已知復(fù)數(shù)z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的實(shí)部大于虛部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(－1,3) B.(－∞，－1)∪(3，＋∞)C.(－3,1) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)√解析由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(3，＋∞).1234567891011121314151612.若復(fù)數(shù)a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是純虛數(shù)，則A.a＝－1 B.a≠－1且a≠2C.a≠－1 D.a≠2√12345678910111213141516解析復(fù)數(shù)a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是純虛數(shù)，則有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.13.已知關(guān)于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有實(shí)數(shù)根n，且z＝m＋ni，則復(fù)數(shù)z等于A.3＋i B.3－iC.－3－i D.－3