蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《高分突破 培優(yōu)新方法》 專題02 平行線模型-“鉛筆”模型（含答案）

專題02平行線模型-“鉛筆”模型專題說明專題說明上節(jié)課利用平行線的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)了平行線模型-“豬蹄”模型（M型），相信同學(xué)們都掌握了做題方法和技巧，本次課繼續(xù)學(xué)習(xí)平行線模型-“鉛筆”模型?！灸Ｐ团傥觥磕Ｐ投骸般U筆”模型點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“鉛筆”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P+∠AEP+∠PFC=360°；結(jié)論2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，則AB∥CD.【典例分析】【典例1】(2023秋?驛城區(qū)校級(jí)期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù)．請(qǐng)寫出具體求解過程．問題遷移：（1）如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．【變式1-1】(2023春?常州期中）問題情境：如圖①，直線AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，試猜想∠P＝°；探究：（2）在圖①中探究∠1，∠2，∠P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；拓展：（3）將圖①變?yōu)閳D②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度數(shù)．【變式1-2】(2023春?鹿邑縣月考）如圖，已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠E＝70°，求∠BFD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，寫出∠M和∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式1-3】(2023秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，AB∥CD（1）如圖1，求證：∠A+∠E+∠D＝360°；（2）如圖2，若AF平分∠EAB，DF平分∠EDC．探究∠AFD與∠AED的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論）．（3）如圖3，在（2）的條件下，過A作AH∥ED交DC于點(diǎn)H，AD平分∠EAH，∠DAG：∠FDC＝1：2，AF延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)G．求：∠BAH的度數(shù)．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1.(2023秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）一大門欄桿的平面示意圖如圖所示，BA垂直地面AE于點(diǎn)A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，則∠ABC＝度．2．(2023秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線l1∥l2，若∠1＝35°，則∠2+∠3＝．3．(2023春?大興區(qū)期末）如圖，已知AB∥CD，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接BE，DE．（1）猜想∠BED時(shí)，∠B，∠D的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）作∠ABE，∠CDE的角平分線BF，DF交于點(diǎn)F．①依題意補(bǔ)全圖形；②直接用等式表示∠BFD與∠BED的數(shù)量關(guān)系．4．(2023秋?九江期末）實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射的光線為n．（1）當(dāng)m∥n時(shí)，若∠1＝50°，則∠2＝，∠3＝；（2）當(dāng)m∥n時(shí)，若∠1＝x°（0＜x＜90），則∠3＝；（3）根據(jù)（1）（2）結(jié)果，反過來猜想：當(dāng)兩平面鏡a，b的夾角∠3為多少度時(shí)，m∥n．請(qǐng)說明理由（可以在圖中添加適當(dāng)?shù)慕嵌葮?biāo)記進(jìn)行說明）5．(2023春?普蘭店區(qū)期中）直線AB∥CD，點(diǎn)E在AB和CD之間任一點(diǎn)，射線EF經(jīng)過點(diǎn)B．（1）如圖1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度數(shù)；（2）如圖2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE的度數(shù)（用含α式子表示）．（3）如圖3，若∠ABE的角平分線與∠CDE的角平分線交于點(diǎn)Q，試找出∠E和∠Q的數(shù)量關(guān)系并說明理由．6.(2023春?賓陽縣期中）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，點(diǎn)O在直線AB，CD之間，∠EOF＝100°．（1）如圖1，求∠BEO+∠DFO的值：（2）如圖2，當(dāng)∠BEO的平分線與∠DFO的平分線交于點(diǎn)M時(shí)，求∠EMF的度數(shù)：（3）如圖3，直線MN交∠BEO、∠CFO的角平分線分別于點(diǎn)M，N，求∠EMN﹣∠FNM的值．7．(2023春?南昌期中）如圖，已知AB∥CD，CP∥DN．（1）求證：∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；（2）求證：∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；（3）當(dāng)，，且∠AMD＝150°時(shí)，求∠APC的度數(shù)．【能力提升】8．(2023春?高淳區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于平面內(nèi)的∠M和∠N，若存在一個(gè)常數(shù)k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，則稱∠N為∠M的k系補(bǔ)周角．若∠M＝90°，∠N＝45°，則∠N為∠M的6系補(bǔ)周角．（1）若∠H＝80°，則∠H的4系補(bǔ)周角的度數(shù)為°．（2）在平面內(nèi)AB∥CD，點(diǎn)E是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接BE、DE．①如圖1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系補(bǔ)周角，求∠B的度數(shù)．②如圖2，∠ABE和∠CDE均為鈍角，點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，且滿足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n為常數(shù)且n＞1），點(diǎn)P是∠ABE角平分線BG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)你確定一個(gè)點(diǎn)P的位置，使得∠BPD是∠F的k系補(bǔ)周角，寫出你的解題思路并求出此時(shí)的k值（用含n的式子表示）．9．(2023春?寧陽縣期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E為兩直線之間的一點(diǎn)．（1）如圖1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，則∠AEC＝；（2）如圖2，試說明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如圖3，若∠BAE的平分線與∠DCE的平分線相交于點(diǎn)F，判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖4，若設(shè)∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，請(qǐng)直接用含m、n的代數(shù)式表示∠F的度數(shù)．專題02平行線模型-“鉛筆”模型專題說明專題說明上節(jié)課利用平行線的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)了平行線模型-“豬蹄”模型（M型），相信同學(xué)們都掌握了做題方法和技巧，本次課繼續(xù)學(xué)習(xí)平行線模型-“鉛筆”模型。【模型刨析】模型二：“鉛筆”模型點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“鉛筆”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P+∠AEP+∠PFC=360°；結(jié)論2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，則AB∥CD.【典例分析】【典例1】(2023秋?驛城區(qū)校級(jí)期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù)．請(qǐng)寫出具體求解過程．問題遷移：（1）如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，∴∠APC＝45°+55°＝100°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）當(dāng)點(diǎn)P在A、M兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當(dāng)點(diǎn)P在B、O兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【變式1-1】(2023春?常州期中）問題情境：如圖①，直線AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，試猜想∠P＝80°；探究：（2）在圖①中探究∠1，∠2，∠P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；拓展：（3）將圖①變?yōu)閳D②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖①，過點(diǎn)P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，∵∠1＝130°，∠2＝150°，∴∠EPM＝50°，∠MPF＝30°，∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝50°+30°＝80°，故答案為：80；（2）∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2，理由如下：如圖①，過點(diǎn)P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，∴∠EPM＝180°﹣∠1，∠MPF＝180°﹣∠2，∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝360°﹣∠1﹣∠2；（3）如圖②，過點(diǎn)P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，由（2）知，∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2，∵PM∥AB，∴∠1+∠EPM＝180°，∴∠EPM＝180°﹣∠1，∵∠EPG＝∠EPM+∠MPG＝75°，∴∠MPG＝75°﹣∠EPM＝75°﹣（180°﹣∠1）＝∠1﹣105°，∴∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2＝360°﹣（∠1﹣105°）﹣∠2＝465°﹣（∠1+∠2），∵∠1+∠2＝325°，∴∠PGF＝465°﹣325°＝140°．【變式1-2】(2023春?鹿邑縣月考）如圖，已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠E＝70°，求∠BFD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，寫出∠M和∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)E作EN∥AB，∵EN∥AB，∴∠ABE+∠BEN＝180°，∵AB∥CD，AB∥NE，∴NE∥CD，∴∠CDE+∠NED＝180°，∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝70°，∴∠ABE+∠CDE＝290°，∵∠ABE與∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F，∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝145°，過點(diǎn)F作FG∥AB，∵FG∥AB，∴∠ABF＝∠BFG，∵AB∥CD，F(xiàn)G∥AB，∴FG∥CD，∴∠CDF＝∠GFD，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝145°；（2）結(jié)論：∠E+6∠M＝360°，證明：∵設(shè)∠ABM＝x，∠CDM＝y(tǒng)，則∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+6∠M＝360°．【變式1-3】(2023秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，AB∥CD（1）如圖1，求證：∠A+∠E+∠D＝360°；（2）如圖2，若AF平分∠EAB，DF平分∠EDC．探究∠AFD與∠AED的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論）．（3）如圖3，在（2）的條件下，過A作AH∥ED交DC于點(diǎn)H，AD平分∠EAH，∠DAG：∠FDC＝1：2，AF延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)G．求：∠BAH的度數(shù)．【解答】解：（1）過點(diǎn)E作EM∥AB，如圖，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∵EM∥AB，∴∠A+∠AEM＝180°，∵EM∥CD，∴∠DEM+∠D＝180°，∴（∠A+∠AEM）+（∠DEM+∠D）＝360°，即∠A+∠AED+∠D＝360°（2）過點(diǎn)E作EM∥AB，過點(diǎn)F作FN∥AB，如圖，∵FN∥AB，∴∠NFA＝∠BAF．∵AF平分∠EAB，∴∠EAB＝2∠BAF．∴∠EAB＝2∠NAF．∵FN∥AB，AB∥CD，∴FN∥CD．∴∠NFD＝∠FDC．∵DF平分∠EDC，∴∠EDC＝2∠FDC，∴∠EDC＝2∠NFD．∴∠BAE+∠EDC＝2（∠NFA+∠NFD）＝2∠AFD．由（1）知：∠EAB+∠AED+∠EDC＝360°．∴∠AED＝360°﹣（∠EAB+∠EDC）＝360°﹣2∠AFD，2∠AFD+∠AED＝360°；故答案為：2∠AFD+∠AED＝360°；（3）∵AD平分∠EAH，∴∠EAH＝2∠EAD，∵AF平分∠EAB，∴∠EAB＝2∠EAG，∴∠HAB＝∠EAB﹣∠EAH＝2∠EAG﹣2∠EAD＝2∠DAG，∵∠DAG：∠FDC＝1：2，∴可設(shè)∠DAG＝x°，∠FDC＝2x°，則∠HAB＝2x°，∵DF平分∠EDC，∴∠EDC＝2∠FDC＝2×2x°＝4x°，∵ED∥AH，∴∠EDC+∠AHD＝180°，∴∠AHD＝180°﹣4x°，∵AB∥CD，∴∠HAB＝∠AHD，∴2x＝180﹣4x，∴x＝30，∴∠BAH＝2×30°＝60°．、【夯實(shí)基礎(chǔ)】1.(2023秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）一大門欄桿的平面示意圖如圖所示，BA垂直地面AE于點(diǎn)A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，則∠ABC＝度．答案:135【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BF∥CD，∵CD∥AE，∴CD∥BF∥AE，∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，∵∠BCD＝135°，∠BAE＝90°，∴∠1＝45°，∠2＝90°，∴∠ABC＝∠1+∠2＝135°．故答案為：135．2．(2023秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線l1∥l2，若∠1＝35°，則∠2+∠3＝．答案:215°【解答】解：過點(diǎn)E作EF∥11，∵11∥12，EF∥11，∴EF∥11∥12，∴∠1＝∠AEF＝35°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝35°+180°＝215°．故答案為：215°．3．(2023春?大興區(qū)期末）如圖，已知AB∥CD，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接BE，DE．（1）猜想∠BED時(shí)，∠B，∠D的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）作∠ABE，∠CDE的角平分線BF，DF交于點(diǎn)F．①依題意補(bǔ)全圖形；②直接用等式表示∠BFD與∠BED的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）∠B+∠BED+∠D＝360°．證明：過點(diǎn)E作EG∥AB．∴∠B+∠BEG＝180°．∵AB∥CD，EG∥AB，∴EG∥CD，∴∠DEG+∠D＝180°，∴∠B+∠BEG+∠DEG+∠D＝180°+180°．即∠B+∠BED+∠D＝360°；（2）解：①如圖所示：②由（1）得∠ABC+∠BED+∠CDE＝360°，∵∠ABE，∠CDE的角平分線BF，DF交于點(diǎn)F，∴∠ABC＝2∠FBE，∠CDE＝2∠FDE，∴2∠FBE+∠BED+2∠CDE＝360°，即∠FBE+∠BED+∠CDE＝180°，∵∠BFD+∠FBE+∠BED+∠CDE＝360°，∴．4．(2023秋?九江期末）實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射的光線為n．（1）當(dāng)m∥n時(shí)，若∠1＝50°，則∠2＝，∠3＝；（2）當(dāng)m∥n時(shí)，若∠1＝x°（0＜x＜90），則∠3＝；（3）根據(jù)（1）（2）結(jié)果，反過來猜想：當(dāng)兩平面鏡a，b的夾角∠3為多少度時(shí)，m∥n．請(qǐng)說明理由（可以在圖中添加適當(dāng)?shù)慕嵌葮?biāo)記進(jìn)行說明）【解答】解：（1）∵m∥n，∴∠4+∠2＝180°，∵∠5＝∠1＝50°，∴∠4＝80°，∴∠2＝100°，∴∠6＝∠7＝40°，∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠6＝90°，故答案為：100°；90°；（2）∵m∥n，∴∠4+∠2＝180°，∵∠5＝∠1＝x°，∴∠4＝180°﹣2x°，∴∠2＝2x°，∴∠6＝∠7＝90°﹣x°，∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠6＝180°﹣x°﹣90°+x°＝90°，故答案為：90°；（3）根據(jù)（1）、（2）猜想：當(dāng)兩平面鏡a、b的夾角∠3是90°時(shí)，總有m∥n，證明：∵∠3＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠1+∠7＝90°，∴∠1+∠5+∠6+∠7＝180°，又∵∠1+∠4+∠5+∠2+∠6+∠7＝360°，∴∠4+∠2＝180°，∴m∥n．5．(2023春?普蘭店區(qū)期中）直線AB∥CD，點(diǎn)E在AB和CD之間任一點(diǎn)，射線EF經(jīng)過點(diǎn)B．（1）如圖1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度數(shù)；（2）如圖2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE的度數(shù)（用含α式子表示）．（3）如圖3，若∠ABE的角平分線與∠CDE的角平分線交于點(diǎn)Q，試找出∠E和∠Q的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【解答】解：（1）過點(diǎn)E作EH∥AB，∴∠ABF＝∠BEH＝80°，∵AB∥CD，∠CAB＝130°，∴∠ACD＝180°﹣∠CAB＝50°，EH∥CD，∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠EDG＝50°，∵EH∥CD，∴∠EDG＝∠HED＝50°，∴∠BED＝∠BEH+∠HED＝130°，∴∠DEB的度數(shù)為130°；（2）過點(diǎn)E作EP∥AB，∴∠ABE+∠BEP＝180°，∵AB∥CD，∴∠CDE+∠DEP＝180°，∴∠ABE+∠BEP+∠CDE+∠DEP＝360°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝180°﹣∠CAB＝180°﹣α，∵∠CDE＝2∠ACD，∴∠CDE＝2（180°﹣α）＝360°﹣2α，∵∠BED＝140°，∴∠ABE＝360°﹣∠BED﹣∠CDE＝360°﹣140°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣140°，∴∠ABE的度數(shù)為2α﹣140°；（3）∠BED+2∠BQD＝360°，理由：延長(zhǎng)BQ交直線CD于點(diǎn)K，設(shè)∠ABQ＝x，∠CDQ＝y(tǒng)，∵BQ平分∠ABE，DQ平分∠CDE，∴∠ABE＝2∠ABQ＝2x，∠CDE＝2∠CDQ＝2y，∵AB∥CD，∴∠BKD＝∠ABQ＝x，∴∠BQD＝∠BKD+∠CDQ＝x+y，由（2）得：∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∴∠BED＝360°﹣∠ABE﹣∠CDE＝360°﹣2x﹣2y，∴∠BED+2∠BQD＝360°﹣2x﹣2y+2（x+y）＝360°，∴∠BED+2∠BQD＝360°．6.(2023春?賓陽縣期中）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，點(diǎn)O在直線AB，CD之間，∠EOF＝100°．（1）如圖1，求∠BEO+∠DFO的值：（2）如圖2，當(dāng)∠BEO的平分線與∠DFO的平分線交于點(diǎn)M時(shí)，求∠EMF的度數(shù)：（3）如圖3，直線MN交∠BEO、∠CFO的角平分線分別于點(diǎn)M，N，求∠EMN﹣∠FNM的值．【解答】解：（1）過點(diǎn)O作OG∥AB，如圖：∵AB∥CD，OG∥AB，∴AB∥OG∥CD，∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°，∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°，即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，∵∠EOF＝100°，∴∠BEO+∠DFO＝260°；（2）過點(diǎn)M作MH∥AB，如圖：∵AB∥CD，MH∥AB，∴AB∥MH∥CD，∴∠EMH＝∠BEM，∠FMH＝∠DFM，∴∠EMF＝∠EMH+∠FMH＝∠BEM+∠DFM，由（1）中的結(jié)論可得：∠BEO+∠DFO＝260°，∵EM，F(xiàn)M分別平分∠BEO和∠DFO，∴∠BEM＝∠BEO，∠DFM＝∠DFO，∴∠BEM+∠DFM＝（∠BEO+∠DFO）＝×260°＝130°，∴∠EMF＝130°；（3）過點(diǎn)M作MK∥AB，過點(diǎn)N作NH∥CD，如圖：∵EM平分∠BEO，F(xiàn)N平分∠CFO，設(shè)∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y(tǒng)，∵∠BEO+∠DFO＝260°，∴∠BEO+∠DFO＝2x+180°﹣2y＝260°，∴x﹣y＝40°，∵M(jìn)K∥AB，NH∥CD，AB∥CD，∴AB∥MK∥NH∥CD，∴∠EMK＝∠BEM＝x，∠HNF＝∠CFN＝y(tǒng)，∠KMN＝∠HNM，∴∠EMN﹣∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF）＝x+∠KMN﹣∠HNM﹣y＝x﹣y＝40°，∴∠EMN﹣∠FNM的值為40°．7．(2023春?南昌期中）如圖，已知AB∥CD，CP∥DN．（1）求證：∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；（2）求證：∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；（3）當(dāng)，，且∠AMD＝150°時(shí)，求∠APC的度數(shù)．【解答】（1）證明：過點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠BAP+∠APE＝180°，∠CPE+∠DCP＝180°，∴∠BAP+∠APE+∠CPE+∠DCP＝360°，即∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；（2）證明：過點(diǎn)M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MQ∥CD，∴∠BAM+∠AMQ＝180°，∠CDM＝∠DMQ，∵∠AMD＝∠AMQ+∠DMQ，∴∠AMQ＝∠AMD﹣∠CDM，∴∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；（3）解：延長(zhǎng)AM交CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AP交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠BAE+∠AED＝180°，∵∠AMD＝∠MED+∠MDE＝150°，∴180°﹣∠BAM+∠MDE＝150°，∵∠NDM＝∠NDC，∴∠MDE＝∠NDC，∵∠BAM＝∠BAP，∴∠BAP﹣∠NDC＝30°，∴∠BAP﹣∠NDC＝45°，∵AB∥CD，∴∠BAP+∠AFC＝180°，∵CP∥DN，∴∠PCF＝∠NDC，∴∠APC＝∠AFC+∠PCF＝180°﹣∠BAP+∠NDC＝180°﹣（∠BAP﹣∠NDC）＝180°﹣45°＝135°．【能力提升】8．(2023春?高淳區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于平面內(nèi)的∠M和∠N，若存在一個(gè)常數(shù)k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，則稱∠N為∠M的k系補(bǔ)周角．若∠M＝90°，∠N＝45°，則∠N為∠M的6系補(bǔ)周角．（1）若∠H＝80°，則∠H的4系補(bǔ)周角的度數(shù)為°．（2）在平面內(nèi)AB∥CD，點(diǎn)E是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接BE、DE．①如圖1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系補(bǔ)周角，求∠B的度數(shù)．②如圖2，∠ABE和∠CDE均為鈍角，點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，且滿足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n為常數(shù)且n＞1），點(diǎn)P是∠ABE角平分線BG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)你確定一個(gè)點(diǎn)P的位置，使得∠BPD是∠F的k系補(bǔ)周角，寫出你的解題思路并求出此時(shí)的k值（用含n的式子表示）．【解答】解：（1）設(shè)∠H的4系補(bǔ)周角的度數(shù)為x°，根據(jù)新定義得：80+4x＝360，解得x＝70，∠H的4系補(bǔ)周角的度數(shù)為70°，故答案為：70；（2）①過E作EF∥AB，如圖1，∴∠B＝∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠D＝60°，∴∠DEF＝∠D＝60°，∵∠B+60°＝∠BEF+∠DEF，即∠B+60°＝∠BED，∵∠B是∠BED的3系補(bǔ)周角，∴∠BED＝360°﹣3∠B，∴∠B+60°＝360°﹣3∠B，∴∠B＝75°；②如圖2，當(dāng)BG上的動(dòng)點(diǎn)P為