人教版八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題 專題18.11正方形的性質(zhì)與判定大題提升專練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）（原卷版+解析）

專題18.11正方形的性質(zhì)與判定大題提升專練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、解答題1．(2023秋·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ACMF、BCNE是兩個正方形．求證：AN＝BM．

2．(2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在對角線AC上，點(diǎn)F在邊CD上（點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF=45°．求證：四邊形ABCD是正方形．3．(2023秋·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊的延長線上，點(diǎn)F在CD邊的延長線上，且CE=DF，連接AE和BF相交于點(diǎn)M．求證：AE=BF．4．(2023·八年級統(tǒng)考課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上的任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE，交AG于點(diǎn)F．那么AF與BF+EF相等嗎？請說明理由．5．(2023秋·八年級課時練習(xí)）已知：如圖，在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點(diǎn)，EF⊥AC，交AD，AB于點(diǎn)F，H．求證：CF=CH．6．(2023秋·八年級課時練習(xí)）已知：如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的一點(diǎn)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F(xiàn)分別為垂足，連結(jié)AG，EF，求證：AG=EF．7．(2023秋·八年級課時練習(xí)）已知：如圖，在正方形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為OB上一點(diǎn)，DF⊥EC于點(diǎn)F，交CO于點(diǎn)P．求證：8．(2023秋·福建廈門·八年級廈門外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD中邊AB、BC上的點(diǎn)，且AB＝12，AE＝6，將正方形分別沿DE、DF向內(nèi)折疊，此時DA與DC重合為DG，求CF的長度．9．(2023春·江蘇·八年級期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點(diǎn)，且DE＝BF，連接AE．(1)求證：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面積．10．(2023秋·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是對角線BD上的一個動點(diǎn)，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別是E、F，連接EF，猜想EF與AP的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．11．(2023秋·黑龍江大慶·八年級?？计谥校┤鐖D，在邊長為6的大正方形中有兩個小正方形（小正方形的頂點(diǎn)都在大正方形的邊或?qū)蔷€上），若兩個小正方形的面積分別是S1和S212．(2023秋·黑龍江大慶·八年級校考期中）在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，AE=3，點(diǎn)Q是對角線AC上的動點(diǎn)．求：△BEQ周長的最小值．13．(2023秋·廣西百色·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長線上，且PE=PB．(1)求證：△BCP≌△DCP；(2)求證：∠DPE=∠ABC；(3)把正方形ABCD改為菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他條件不變，如圖．連接DE，試探究線段BP與線段14．(2023秋·山東煙臺·八年級校考期中）如圖，已知點(diǎn)E是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CB的延長線上一點(diǎn)，連接AF，且EA⊥AF．(1)求證：DE＝BF；(2)若AH平分∠FAE交線段BC上一點(diǎn)H，連接EH，請判斷線段DE、BH、HE三者存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．15．(2023秋·江西上饒·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC和CD上，且△AEF為等邊三角形．(1)求證：CE=CF；(2)若AE=4，求AC的長．16．(2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段OD上一點(diǎn)，連接EC，過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，交OC于點(diǎn)G．(1)求證：BG=CE；(2)若OB=2，BF是∠DBC的角平分線，求OE17．(2023秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的周長是40．點(diǎn)P是正方形ABCD對角線AC上一動點(diǎn)，過P點(diǎn)分別作AB、BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)求證：四邊形PEBF是矩形．(2)請你猜想EF與DP的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．(3)在P點(diǎn)運(yùn)動過程中，EF的長也隨之變化，求EF的最小值．18．(2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊AB上的定點(diǎn)．(1)如圖1中僅用圓規(guī)分別在AD、BC上作點(diǎn)E、F，使EP⊥PF，且EP=PF，保留作圖痕跡，不寫作法；(2)根據(jù)你的作圖步驟，利用圖2證明：EP⊥PF，且EP=PF．19．(2023秋·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD中，E是對角線BD上一點(diǎn)，連接AE，CE，延長AE交CD邊于點(diǎn)F．(1)求證：∠AEB=∠CEB．(2)若∠AEC=2α，∠AFD=β，求證：α+β=135°．20．(2023秋·四川資陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD中，P是AB上一點(diǎn)，連結(jié)DP，E是DP上一點(diǎn)，連結(jié)AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE，交DP的延長線于點(diǎn)F，AE=AF.(1)求證：△ADE≌△ABF；(2)若AD=3，DE=1，求DF的長.21．(2023秋·北京順義·八年級階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，Q為對角線BD上一點(diǎn)DQ>BQ，連接AQ、(1)求證：AQ=CQ；(2)過點(diǎn)Q作QR⊥BD交BC于點(diǎn)R，延長CB至點(diǎn)H使BH=CR，連接AH．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示AH與CQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．22．(2023春·河南鶴壁·八年級?？计谥校┤鐖D1，有一個正方形ABCD，將邊CB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到線段CE，連接BE，點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AG⊥BE交直線BE于點(diǎn)G．(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在正方形內(nèi)部時，易得：①CF與BE的位置關(guān)系是；②線段AG與FB的數(shù)量關(guān)系是；③CF，AG，GF的數(shù)量關(guān)系是．(2)若點(diǎn)E落在正方形外部（點(diǎn)B，C，E不在同一直線上）時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請證明；若不成立，請直接寫出新的結(jié)論．23．(2023春·全國·八年級專題練習(xí)）（1）如圖①，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)且∠EAF=45°．猜測線段EF、BE、FD三者存在哪種數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論．（不用證明）結(jié)論：（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是24．(2023秋·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)P是對角線BD上（不與點(diǎn)B，D重合）的任意一點(diǎn)，且PE⊥DC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F．(1)求證：①AP=CP；②AP(2)若∠APF=105°，求線段PB的長．25．(2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）【感知】如圖①，點(diǎn)F是正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AD延長線上一點(diǎn)，且CE⊥CF．易證△CBF≌△CDE，進(jìn)而證得【應(yīng)用】（1）如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上，且∠FCG=45°．求證：BF+DG=FG．【拓展】（2）如圖③，在四邊形ABCD中，BC=DC，∠A=∠BCD=90°，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AD上，且∠MCN=45°．若BD=7，MN=4.2，則四邊形MBDN的周長為______．26．(2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級校考階段練習(xí)）【方法回顧】如圖1，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作一條直l交邊BC于點(diǎn)P，BE⊥AP于點(diǎn)E，DF⊥AP于點(diǎn)F，猜想BE，DF，【問題解決】如圖2，菱形ABCD的邊長為32，過點(diǎn)A作一條直線l交邊BC于點(diǎn)P，且∠DAP=90°，點(diǎn)F是AP上一點(diǎn)，且∠BAD+∠AFD=180°，過點(diǎn)B作BE⊥AB，與直線l交于點(diǎn)E，若EF=1，求BE【思維拓展】如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AD所在直線上的上方，AP=2，連接PB，PD，若△PAD的面積與△PAB的面積之差為m(m>0)，則PB2?P27．(2023秋·四川·八年級校聯(lián)考期中）已知，如圖1，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．(1)在圖1中，連接EF，為了證明結(jié)論“EF=BE+DF”，小亮將ΔADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°(2)如圖2，當(dāng)∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？28．(2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合，點(diǎn)F是BA的延長線上一點(diǎn)，且AF=CE．(1)求證：△DCE≌△DAF；(2)如圖，連接EF，交AD于點(diǎn)K，過點(diǎn)D作DH⊥EF，垂足為H，延長DH交BF于點(diǎn)G，連接HB，HC，求證：HD=HB；(3)在（2）的條件下，試判斷∠ADF與∠EHC的大小關(guān)系并說明理由．29．(2023春·江蘇南京·八年級南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90°，點(diǎn)E是平面內(nèi)一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF．(1)如圖1，若點(diǎn)E在AB上運(yùn)動，連接CF，當(dāng)AB=4，AE=1時，BF=__，EF=__；(2)如圖2，若EF恰好經(jīng)過點(diǎn)C，連接AE，求證：AE+30．(2023秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AO上（不與A、O重合）的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥PB且交邊CD于點(diǎn)(1)求證：PB=(2)若正方形ABCD的邊長為6．①過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，如圖2，則在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，②連接BE交AC于點(diǎn)G，在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，當(dāng)CE=2，求PG專題18.11正方形的性質(zhì)與判定大題提升專練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、解答題1．(2023秋·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ACMF、BCNE是兩個正方形．求證：AN＝BM．

【答案】見解析【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可證得△ACN?△MCB，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ACMF和四邊形CBEN都是正方形，∴AC＝CM，NC＝BC，∠ACM＝∠BCN＝90°，∠MCN＝∠NCM∠ACN＝∠BCM，∴△ACN≌△MCB（SAS）∴AN＝BM【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理．2．(2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在對角線AC上，點(diǎn)F在邊CD上（點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF=45°．求證：四邊形ABCD是正方形．【答案】證明見解析．【分析】可作EM⊥BC于點(diǎn)M，由∠ABE+∠CEF=45°可得∠BEM+∠CEF=45°，進(jìn)一步可得∠BAC=∠ACB=45°，從而可得AB=BC，再根據(jù)四邊形ABCD是矩形即可得到結(jié)論．【詳解】證明：如圖，作EM⊥BC于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM//∴∠ABE=∠BEM，∠BAC=∠CEM，∠ABC=90°∵∠ABE+∠CEF=45°，∴∠BEM+∠CEF=45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM=45°=∠BAC，∴∠BAC=∠ACB=45°，∴AB=BC∴矩形ABCD是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(2023秋·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊的延長線上，點(diǎn)F在CD邊的延長線上，且CE=DF，連接AE和BF相交于點(diǎn)M．求證：AE=BF．【答案】證明見解析．【分析】利用正方形的性質(zhì)證明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再證明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，又∵CE=DF，∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，在△BCF和△ABE中，BE=CF∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE=BF．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．(2023·八年級統(tǒng)考課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上的任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE，交AG于點(diǎn)F．那么AF與BF+EF相等嗎？請說明理由．【答案】AF=BF+EF．理由見解析.【分析】證明△ABF≌△DAE得到BF=AE，，從而得到AF=BF+EF．【詳解】解：AF=BF+EF．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°．∵DE⊥AG，∴∠DEG=∠AED=90°．∴∠ADE+∠DAE=90°．又∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF．∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEG=∠AED．在△ABF與△DAE中，{∠AFB=∠AED∴△ABF≌△DAE（AAS）．∴BF=AE．∵AF=AE+EF，∴AF=BF+EF．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．5．(2023秋·八年級課時練習(xí)）已知：如圖，在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點(diǎn)，EF⊥AC，交AD，AB于點(diǎn)F，H．求證：CF=CH．【答案】見解析【分析】由正方形的性質(zhì)和已知條件易證AC是FH的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可證明CF=CH．【詳解】證明：∵正方形ABCD中，E是對角線AC上一點(diǎn)，∴∠FAE=∠HAE=45°，∵EF⊥AC，∴∠FEA=∠HEA=90°，∴∠AFE=∠FAE=45°，∴AE=FE，同理可證：AE=HE，∴EF=EH，∴AC是FH的垂直平分線，∴CF=CH．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)，證明AC是FH的垂直平分線是本題的關(guān)鍵．6．(2023秋·八年級課時練習(xí)）已知：如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的一點(diǎn)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F(xiàn)分別為垂足，連結(jié)AG，EF，求證：AG=EF．【答案】見解析【分析】由已知可得，BD平分∠ADC，AD=CD，如果連結(jié)CG，那么很容易發(fā)現(xiàn)△AGD≌△CGD，得AG=CG．由此我們只需證明四邊形FCEG是矩形，就能完成證明．【詳解】證明：如圖，連結(jié)CG．在△AGD和△CGD中，∠ADG=∠CDG（正方形的對角線平分一組對角），DG=DG,AD=CD（正方形的四條邊相等），∴△AGD≌△CGDSAS∴AG=CG．∵GE⊥CD,GF⊥BC，∴∠GFC=∠GEC=90°．又∵∠BCD=90°（正方形的四個角都是直角），∴四邊形FCEG是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形），∴EF=CG（矩形的兩條對角線相等），∴AG=EF．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定和性質(zhì)．熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．7．(2023秋·八年級課時練習(xí)）已知：如圖，在正方形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為OB上一點(diǎn)，DF⊥EC于點(diǎn)F，交CO于點(diǎn)P．求證：【答案】見解析【分析】由ASA可證△DOP≌△COE，可得OE=OP．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴DO=CO，∴∠BOC=∠DFE=90°，∴∠DEF+∠EDF=∠DEF+∠ECO=90°，∴∠EDF=∠ECO，且CO=DO，∠COE=∠DOP=90°，∴△DOP≌△COE(ASA∴OE=OP．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△DOP≌△COE是本題的關(guān)鍵．8．(2023秋·福建廈門·八年級廈門外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD中邊AB、BC上的點(diǎn)，且AB＝12，AE＝6，將正方形分別沿DE、DF向內(nèi)折疊，此時DA與DC重合為DG，求CF的長度．【答案】4【分析】設(shè)CF＝x，則FG＝x，F(xiàn)B＝12﹣x，EF＝6+x，在Rt△BEF中，利用勾股定理BE2+BF2=EF【詳解】解：設(shè)CF＝x，則FG＝x，F(xiàn)B＝12﹣x，∵AB＝12，AE＝6，∴BE＝6，EG＝6，∴EF＝6+x，在Rt△BEF中，BE62解得：x＝4，即CF的長為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的折疊，勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟練掌握圖形的折疊的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．(2023春·江蘇·八年級期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點(diǎn)，且DE＝BF，連接AE．(1)求證：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面積．【答案】(1)見解析(2)80【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD＝AB，∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°，可利用SAS證得△ADE≌△ABF；（2）根據(jù)勾股定理可得AE＝410，再由全等三角形的性質(zhì)可得AE＝AF，∠EAF＝90°，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°∵F是CB的延長線上的點(diǎn)，∴∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°在△ADE和△ABF中，AD=AB∴△ADE≌△ABF（SAS）．（2）解：∵BC＝12，∴AD＝12在Rt△ADE中，DE＝4，AD＝12，∴AE＝AD2+D由（1）知△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．∴∠EAF＝90°∴S【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．(2023秋·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是對角線BD上的一個動點(diǎn)，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別是E、F，連接EF，猜想EF與AP的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．【答案】EF=AP，見解析【分析】連接PC，由PE⊥BC，PF⊥CD，四邊形ABCD是正方形，可得四邊形PECF是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得EF=PC，然后證得△PAD≌△PCD，即可得PA=PC，則可證得EF=AP．【詳解】解：EF=AP．理由：∵PE⊥BC，PF⊥CD，四邊形ABCD是正方形，∴∠PEC=∠PFC=∠BCD=90°，∴四邊形PECF是矩形，連接PC，∴PC=EF，∵P是正方形ABCD對角線上一點(diǎn)，∴AD=CD，∠PDA=∠PDC，在△PAD和△PCD中，AD=CD∠PDA=∠PDC∴△PAD≌△PCD（SAS），∴PA=PC，∴EF=AP．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．11．(2023秋·黑龍江大慶·八年級校考期中）如圖，在邊長為6的大正方形中有兩個小正方形（小正方形的頂點(diǎn)都在大正方形的邊或?qū)蔷€上），若兩個小正方形的面積分別是S1和S2【答案】S1【分析】根據(jù)正方形的對角線平分一組對角線可知圖中三角形都是等腰直角三角形，根據(jù)正方形的對角線等于邊長的2倍求出AC，然后求出兩個小正方形的邊長，再根據(jù)正方形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：由正方形的性質(zhì)，∠DCF=∠BCF=∠DAF=∠BAF=45°，∴四個角所在的三角形都是等腰直角三角形，∴EF=AE=EB=1∵正方形的邊長為6，∴AC=2∴兩個小正方形的邊長分別為HF=13AC=∴S1+S2=【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰直角三角形的性質(zhì)．12．(2023秋·黑龍江大慶·八年級?？计谥校┰谶呴L為4的正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，AE=3，點(diǎn)Q是對角線AC上的動點(diǎn)．求：△BEQ周長的最小值．【答案】△BEQ周長的最小值為6【分析】連接BD，DE，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對稱，故DE的長即為BQ+QE的最小值，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：連接BD，DE，∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對稱，AB=AD=4，∴DE的長即為BQ+QE的最小值，又AE=3∴BE=4-3=1，∵DE=BQ+QE=AD∴△BEQ周長的最小值=DE+BE=5+1=6．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用和軸對稱-最短路線問題，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的性質(zhì)．13．(2023秋·廣西百色·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長線上，且PE=PB．(1)求證：△BCP≌△DCP；(2)求證：∠DPE=∠ABC；(3)把正方形ABCD改為菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他條件不變，如圖．連接DE，試探究線段BP與線段【答案】(1)見解析(2)見解析(3)DE=PB，見解析【分析】對于（1），根據(jù)“SAS”證明即可；對于（2），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠3=∠4，由等邊對等角，得∠4=∠E．即可得出∠3=∠E對于（3），先證明PD=PB=PE，再證明∠DPE=∠ABC=60°，可知△DPE是等邊三角形，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠1=∠2=45°．∵PC=PC，∴△BCP≌△DCP（（2）∵△BCP≌∴∠3=∵PB=PE，∴∠4=∠E．∴∠3=∠E．記PE，CD交于點(diǎn)O，在△POD和△COE中，∠5=∠6，∴∠3+∠DPO=∠E+∠OCE．∴∠DPO=∠OCE．即∠DPE=∠DCE=∠ABC．（3）DE=PB．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠ACB=∠ACD．∵PC=PC，∴△BCP≌△DCP（∴∠CBP=∠CDP，BP=DP．∵PB=PE，∴∠CBP=∠CEP．∴∠CDP=∠CEP．∵∠DPO=180°?∠CDP?∠DOP，∠OCE=180°?∠COE?∠CEO，∴∠DPO=∠OCE．即∠DPE=∠DCE=∠ABC=60°．∵PD=PB=PE，∴△DPE是等邊三角形，∴DE=PE=PB．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定等，合理利用已證的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．14．(2023秋·山東煙臺·八年級?？计谥校┤鐖D，已知點(diǎn)E是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CB的延長線上一點(diǎn)，連接AF，且EA⊥AF．(1)求證：DE＝BF；(2)若AH平分∠FAE交線段BC上一點(diǎn)H，連接EH，請判斷線段DE、BH、HE三者存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【答案】(1)證明見解析(2)DE+BH＝HE；證明見解析【分析】（1）由同角的余角相等知，∠FAB＝∠DAE，由正方形的性質(zhì)知，AB＝AD，∠ABF＝∠ADE＝90°，則ASA證得△AFB≌△ADE，由全等三角形的性質(zhì)可得DE＝BF；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝AE，根據(jù)角平分線的定義得到∠FAH＝∠EAH，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABF=∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∵EA⊥AF，∴∠EAF＝90°，∴∠FAB+∠BAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠FAB＝∠DAE，在△BAF和△DAE中，∠FAB＝∴△BAF≌△DAE（SAS），∴DE＝BF；（2）解：DE+BH＝HE，理由如下：如圖所示：由（1）知△BAF≌△DAE，∴BF=DE，∴AF＝AE，∵AH平分∠FAE，∴∠FAH＝∠EAH，在△FAH與△EAH中，AF=AE∠∴△FAH≌△EAH（SAS），∴FH＝EH，∴DE+BH＝HE．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．15．(2023秋·江西上饒·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC和CD上，且△AEF為等邊三角形．(1)求證：CE=CF；(2)若AE=4，求AC的長．【答案】(1)見解析(2)AC=2+23．【分析】（1）通過條件可以得出△ABE≌△ADF，從而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AC垂直平分EF，且△CEF是等腰直角三角形，求得EG=2，AG=23，得到EG=CG=2，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等邊三角形，∴AE=EF=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=ADAE=AFRt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∴CE=CF；（2）解：AC交EF于點(diǎn)G，如圖，∵AE=AF，CE=CF，∴AC垂直平分EF，且△CEF是等腰直角三角形，∵∠EAC=30°，AE=4，∴EG=2，AG=42?2∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ECG=45°．∴△CEG是等腰直角三角形，∴EG=CG=2，∴AC=CG+AG=2+23．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答本題時運(yùn)用勾股定理的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．16．(2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段OD上一點(diǎn)，連接EC，過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，交OC于點(diǎn)G．(1)求證：BG=CE；(2)若OB=2，BF是∠DBC的角平分線，求OE【答案】(1)見解析(2)OE=2?【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得∠EOC=∠GOB=90°，OC=OB，易證△EOC≌△GOB（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）根據(jù)BF⊥CE，可得∠EFB=∠CFB=90°，根據(jù)BF是∠DBC的角平分線，可知∠EBF=∠CBF，可證△EBF≌△CBF（SAS），可得BE=BC，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可知BC=2，即可求出OE．（1）證明：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OC=OB，∴∠EOC=∠GOB=90°，∴∠OEC+∠OCE=90°，∵BF⊥CE，∴∠OEC+∠OBG=90°，∴∠OBG=∠OCE，在△EOC和△GOB中，∠EOC=∠GOBOC=OB∴△EOC≌△GOB（ASA），∴BG=CE；（2）解：∵BF⊥CE，∴∠EFB=∠CFB=90°，∵BF是∠DBC的角平分線，∴∠EBF=∠CBF，∵BF=BF，∴△EBF≌△CBF（SAS），∴BE=BC，在正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=90°，∵OB=2，根據(jù)勾股定理，得BC=2，∴OE+2=2，∴OE=2-2．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，涉及全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．(2023秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的周長是40．點(diǎn)P是正方形ABCD對角線AC上一動點(diǎn)，過P點(diǎn)分別作AB、BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)求證：四邊形PEBF是矩形．(2)請你猜想EF與DP的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．(3)在P點(diǎn)運(yùn)動過程中，EF的長也隨之變化，求EF的最小值．【答案】(1)見解析(2)PD=EF，證明見解析(3)5【分析】（1）根據(jù)由三個角為直角的四邊形為矩形，即可求證；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得PB=EF，再證明△ADP≌△ABP，即可求證；（3）根據(jù)PD=EF可得EF的最小值，即DP的最小值，再由垂線段最短，可得當(dāng)DP⊥AC時，DP取得最小值，求出AC，即可求解．（1）證明：∵PE⊥AB，PF⊥BC∴∠PEB=∠PFB=90°又∵ABCD是正方形∴∠ABC=90°∴四邊形四邊形PEBF是矩形（2）解：PD=EF，證明如下：連接PB，∵四邊形PEBF為矩形，∴PB=EF，又∵四邊形ABCD是正方形，P為AC上任意一點(diǎn)，∴AD=AB，∠CAD=∠BAC=45°，∵AP=AP，∴△ADP≌△ABP，∴PB=PD，∴PD=EF；（3）解：由（2）得DP=EF，則EF的最小值，即DP的最小值，當(dāng)DP⊥AC時，DP取得最小值，∵正方形ABCD的周長為40，∴AD=CD=10∵AD=CD，∠ADC=90°，AC=102+102=102，∵DP⊥AC【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．(2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊AB上的定點(diǎn)．(1)如圖1中僅用圓規(guī)分別在AD、BC上作點(diǎn)E、F，使EP⊥PF，且EP=PF，保留作圖痕跡，不寫作法；(2)根據(jù)你的作圖步驟，利用圖2證明：EP⊥PF，且EP=PF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用圓規(guī)在AD上截取AE＝BP，在BC上截取BF＝AP；（2）利用正方形的性質(zhì)得到∠A＝∠B＝90°，再證明△APE≌△BFP得到PE＝PF，∠AEP＝∠BPF，再證明∠EPF＝90°，從而得到PE⊥PF．【詳解】（1）解：如圖1，點(diǎn)E、F為所作；（2）證明：如圖2，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A＝∠B＝90°，在△APE和△BFP中，AE=BP∠A=∠B∴△APE≌△BFP（SAS），∴PE＝PF，∠AEP＝∠BPF，∵∠AEP+∠APE＝90°，∴∠APE+∠BPF＝90°，∴∠EPF＝180°－（∠APE+∠BPF）＝90°，∴PE⊥PF，即EP⊥PF，且EP＝PF【點(diǎn)睛】本題考查了作圖，此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．19．(2023秋·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD中，E是對角線BD上一點(diǎn)，連接AE，CE，延長AE交CD邊于點(diǎn)F．(1)求證：∠AEB=∠CEB．(2)若∠AEC=2α，∠AFD=β，求證：α+β=135°．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得出邊角相等的關(guān)系，證明三角形全等就可證∠AEB=∠CEB；（2）利用全等三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和變形就可求出β與α之間的數(shù)量關(guān)系．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABE=∠CBE=∠ADB=45°，在△ABE和△CBE中，AB=CB∠ABE=∠CBEBE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴（2）證明：由（1）知，∠AEB=∠CEB，又∵∠AEC=2α，∴∠CEB=12×2α=α=∠AEB，∴∠DEF=∠AEB=α，∴∠AFD=180°?∠DEF?∠EDF=180°?45°?α=β【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握以上知識點(diǎn)結(jié)合圖形靈活運(yùn)用是做出本題的關(guān)鍵．20．(2023秋·四川資陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD中，P是AB上一點(diǎn)，連結(jié)DP，E是DP上一點(diǎn)，連結(jié)AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE，交DP的延長線于點(diǎn)F，AE=AF.(1)求證：△ADE≌△ABF；(2)若AD=3，DE=1，求DF的長.【答案】(1)見解析(2)DF的長為17【分析】（1）求得∠DAE=∠BAF，利用SAS即可證明△ADE≌△ABF；（2）過點(diǎn)A作AG⊥DF于點(diǎn)G，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AG=FG=GE=12EF，設(shè)AG=FG=GE=a，利用勾股定理列方程，解方程即可求解（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，AF⊥AE，∴∠EAF=∠DAB=90°，AD=AB，∴∠EAF-∠EAP=∠DAB-∠EAP，∴∠DAE=∠BAF，在△DAE和△BAF中，AD=AB∠DAE=∠BAF∴△ADE≌△ABF(SAS)；（2）解：過點(diǎn)A作AG⊥DF于點(diǎn)G，∵AE=AF，∠EAF=90°，∴AG=FG=GE=12EF設(shè)AG=FG=GE=a，則DG=a+1，在Rt△GDA中，DA2=AG2+DG2，∴32=a2+(a+1)2，解得：a=?1±17∴EF=2a=17?1∴DF=EF+DE=17【點(diǎn)睛】本題主要考查對正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．21．(2023秋·北京順義·八年級階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，Q為對角線BD上一點(diǎn)DQ>BQ，連接AQ、(1)求證：AQ=CQ；(2)過點(diǎn)Q作QR⊥BD交BC于點(diǎn)R，延長CB至點(diǎn)H使BH=CR，連接AH．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示AH與CQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)①補(bǔ)全圖形見解析；②AH=2【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ABQ≌△CBQ，即可得證；（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可求解；②連接HQ，證明△QBH≌△QRC，進(jìn)而證明△ADH是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC,∠ABQ=∠CBQ=45°，又BQ=BQ，∴△ABQ≌△CBQSAS∴AQ=CQ；（2）①補(bǔ)全圖形，如圖，②AH=2CQ，理由如下，如圖，連接∵QR⊥BD,∠QBR=45°，∴∠QRB=45°，∴∠QBR=∠QRB，∴BQ=RQ，∠QRC=∠QBH=135°，又∵CR=HB，∴△QBH≌△QRC，∴QH=QC，∠HQB=∠RQC，由（1）可知△ABQ≌△CBQ，∴∠AQB=∠BQC，∴∠AQH+∠HQB=∠BQR+∠RQC，∴∠AQH=∠BQR=90°，∵AQ=QC，∴AQ=HQ，∴△ADH是等腰直角三角形，∴AH=2∴AH=2【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．22．(2023春·河南鶴壁·八年級校考期中）如圖1，有一個正方形ABCD，將邊CB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到線段CE，連接BE，點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AG⊥BE交直線BE于點(diǎn)G．(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在正方形內(nèi)部時，易得：①CF與BE的位置關(guān)系是；②線段AG與FB的數(shù)量關(guān)系是；③CF，AG，GF的數(shù)量關(guān)系是．(2)若點(diǎn)E落在正方形外部（點(diǎn)B，C，E不在同一直線上）時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請證明；若不成立，請直接寫出新的結(jié)論．【答案】(1)①CF⊥BE；②AG=FB；③GF=CF?AG；(2)CF⊥BE，AG=FB，成立；點(diǎn)E落在正方形的邊CD上方時，GF=AG?CF；點(diǎn)E落在正方形的邊BC右側(cè)時，GF=AG+CF．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得到CF⊥BE；利用AAS可證明△ABG≌△BCF，利用全等三角形的性質(zhì)可得到AG=FB以及GF=CF?AG；（2）分點(diǎn)E落在正方形的邊CD上方和點(diǎn)E落在正方形的邊BC右側(cè)時，兩種情況討論，證明△ABG≌△BCF，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知CB=CE，∵點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，即EF=BF，∴由等腰三角形的性質(zhì)得CF⊥BE；②∵四邊形ABCD是正方形，AG⊥BE，∴∠ABC=∠AGB=∠CFB=90°，AB=BC，∴∠ABG+∠CBF=∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ABG=∠BCF，∴△ABG≌△BCFAAS∴AG=FB；③∵△ABG≌△BCF，∴BG=CF，AG=FB，∴GF=BG?BF=CF?AG；故答案為：①CF⊥BE；②AG=FB；③GF=CF?AG；（2）解：當(dāng)點(diǎn)E落在正方形的邊CD上方時，如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知CB=CE，∵點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，即EF=BF，∴由等腰三角形的性質(zhì)得CF⊥BE；∵四邊形ABCD是正方形，AG⊥BE，∴∠ABC=∠AGB=∠CFB=90°，AB=BC，∴∠ABG+∠CBF=∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ABG=∠BCF，∴△ABG≌△BCFAAS∴BG=CF，AG=FB，∴GF=BF?BG=AG?CF；當(dāng)點(diǎn)E落在正方形的邊BC右側(cè)時，如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知CB=CE，∵點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，即EF=BF，∴由等腰三角形的性質(zhì)得CF⊥BE；∵四邊形ABCD是正方形，AG⊥BE，∴∠ABC=∠AGB=∠CFB=90°，AB=BC，∴∠ABG+∠CBF=∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ABG=∠BCF，∴△ABG≌△BCFAAS∴BG=CF，AG=FB，∴GF=BF+BG=AG+CF．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．23．(2023春·全國·八年級專題練習(xí)）（1）如圖①，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)且∠EAF=45°．猜測線段EF、BE、FD三者存在哪種數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論．（不用證明）結(jié)論：（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是【答案】（1）EF=BE+FD；（2）成立，見解析【分析】（1）延長CB到G，使BG=FD，根據(jù)已知條件容易證明△ABG?△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF=12∠BAD，所以得到∠DAF+∠BAE=∠EAF（2）在CD上截取DG=BE，利用BE=DG，AB=AD，∠B=∠ADG=90【詳解】解：（1）延長CB到G，使BG=FD，∵∠ABG=∠D=90°,AB=AD,∴△ABG?△ADF，∴∠BAG=∠DAF,AG=AF,∵∠EAF=∴.∠DAF+∠BAE=∠EAF,∴∠EAF=∠GAE,∴△AEF?△AEG，∴EF=EG=EB+BG=EB+DF.故答案為：EF=BE+FD；（2）結(jié)論成立，應(yīng)為EF=BE+FD，在CD上截取DG=BE，（如圖②）∵BE=DG,AB=AD,∠B=∠ADG=90°,∴△ABE?△ADG∴∠BAE=∠DAG,AG=AE,∵∠EAF=∴∠∠EAF=∠FAG,，又AF=AF,AE=AG,∴△AEF?△AGF∴.EF=FG=DF+DG=EB+DF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24．(2023秋·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)P是對角線BD上（不與點(diǎn)B，D重合）的任意一點(diǎn)，且PE⊥DC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F．(1)求證：①AP=CP；②AP(2)若∠APF=105°，求線段PB的長．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)2【分析】（1）①根據(jù)題意證明△ADP≌②根據(jù)題意以及①中的結(jié)論證明四邊形PFCE是矩形，根據(jù)勾股定理以及等量代換可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)A作AM⊥BD，垂足為M，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)得出∠PAM=30°，從而得出AP=2PM，然后根據(jù)勾股定理分別求出AM=BM=22，【詳解】（1）證明：①∵四邊形ABCD是正方形∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，又∵DP=DP，∴△ADP≌∴AP=CP；②由①可知AP=CP，∵PE⊥DC，PF⊥BC，∴四邊形PFCE是矩形，∴PF=EC，由勾股定理得CP∴AP（2）解：過點(diǎn)A作AM⊥BD，垂足為M，則∠AMB=90°，∵∠ABM=∠PBF=∠BPF=45°，∠APF=105°，∴AM=BM，∠APM=∠APF?∠BPF=105°?45°=60°，∴∠PAM=30°，∴AP=2PM，∵正方形ABCD的邊長為1，即AB=1，在Rt△AMB中，由勾股定理得A即2BM解得AM=BM=2在Rt△AMP中，由勾股定理得A即2PM解得PM=6∴PB=BM+PM=【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．25．(2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）【感知】如圖①，點(diǎn)F是正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AD延長線上一點(diǎn)，且CE⊥CF．易證△CBF≌△CDE，進(jìn)而證得【應(yīng)用】（1）如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上，且∠FCG=45°．求證：BF+DG=FG．【拓展】（2）如圖③，在四邊形ABCD中，BC=DC，∠A=∠BCD=90°，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AD上，且∠MCN=45°．若BD=7，MN=4.2，則四邊形MBDN的周長為______．【答案】（1）見解析；（2）15.4．【分析】（1）如圖②中，過點(diǎn)C作CH⊥CF交AD延長線于點(diǎn)H．先證明△CBF≌△CDH，再證明△CFG≌（2）如圖③中，過點(diǎn)C作CP⊥CN交AB延長線于點(diǎn)P．先證明△CPB≌△CND，再證明△MNC≌【詳解】（1）證明：如圖②中，C作CH⊥CF交AD延長線于點(diǎn)H．∵四邊形ABCD為正方形，∴BC=CD，∴∠B=∠ADH=90°，∵CH⊥CF，∴∠FCD+∠DCH=90°．∴∠BCF=∠DCH．在△CFB和△CHD中，∠B=∠CDHBC=CD∴△CBF≌△CDHASA．∴CF=CH，∵∠FCG=45°，CH⊥CF，∴∠GCF=∠GCH=45°．在△CFG和△CHG中，CF=CH∠FCG=∠HCG∴△CFG≌∴FG=HG．∵HG=GD+DH=GD+BF，∴BF+DG=FG．（2）如圖③中，過點(diǎn)C作CP⊥CN交AB延長線于點(diǎn)P．∵BC=DC，∠A=∠BCD=90°，∴∠A+∠BCD=180°∴∠ABC+∠ADC=180°,∵∠ABC+∠PBC=180°∴∠ADC=∠PBC，∵CP⊥CN，∴∠PCB+∠BCN=90°．∵∠BCN+∠NCD=90°,∴∠PCB=∠NCD．在△CPB和△CND中，∠NDC=∠PBCBC=DC∴△CPB≌∴NC=CP，∵∠MCN=45°，CP⊥CN，∴∠NCM=∠PCM=45°．在△MNC和△MPC中，MC=MC∠MCN=∠MCP∴△MNC≌∴MN=MP．∵M(jìn)P=MB+BP=MB+ND，∴ND+MB=MN．∴四邊形MBDN的周長為MN+ND+BM故答案為：15.4．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會由感知部分得到啟發(fā)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．26．(2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級?？茧A段練習(xí)）【方法回顧】如圖1，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作一條直l交邊BC于點(diǎn)P，BE⊥AP于點(diǎn)E，DF⊥AP于點(diǎn)F，猜想BE，DF，【問題解決】如圖2，菱形ABCD的邊長為32，過點(diǎn)A作一條直線l交邊BC于點(diǎn)P，且∠DAP=90°，點(diǎn)F是AP上一點(diǎn)，且∠BAD+∠AFD=180°，過點(diǎn)B作BE⊥AB，與直線l交于點(diǎn)E，若EF=1，求BE【思維拓展】如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AD所在直線上的上方，AP=2，連接PB，PD，若△PAD的面積與△PAB的面積之差為m(m>0)，則PB2?P【答案】EF=DF?BE；58；【分析】方法回顧：通過證明△ABE≌△DAF(AAS問題解決：通過證明△DAF≌△ABE(ASA)得出DF=AE=AF+EF,AF=BE；然后根據(jù)勾股定理解出思維拓展：過點(diǎn)P作PN⊥BA交BA的延長線于N，PM⊥DA交DA的延長線于M，構(gòu)造出直角△PMD、△PNB以及矩形PMAN；根據(jù)勾股定理表示出PB2與【詳解】方法回顧：解：EF=DF?BE∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD∴∠BAE+∠DAF=90°∵BE⊥AP，DF⊥AP∴∠DFA=∠AEB=90°，∠BAE+∠ABE=90°∴∠ABE=∠DAF在△ABE和△DAF中∠DFA=∠AEB=90°∴△ABE≌△DAF(∴BE=AF∴EF=AE?AF=DF?BE問題解決：解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD∵BE⊥AB∴∠ABE=∠DAF=90°∵∠BAD+∠AFD=180°，即：∠BAP+∠FAD+∠AFD=180°∠ADF+∠FAD+∠AFD=180°∴∠BAP=∠ADF∴△DAF≌△ABE(∴DF=AE=AF+EF=AF+1，AF=BE∵∠DAF=90°∴AF∴A解得：AF=∴BE=AF=思維拓展：解：如圖，過點(diǎn)P作PN⊥BA交BA的延長線于N，PM⊥DA交DA的延長線于M，設(shè)PN=x，PM=y；則：∠PMA=∠MAN=∠PNA=90°，∴四邊形PMAN是矩形，∴PN=AM=x，PM=AN=y∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AD，設(shè)AB=AD=a；∵S∴1∴ay?ax=2m∴P故答案為：4m【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)；熟練運(yùn)用這些特殊平行四邊形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵．27．(2023秋·四川·八年級校聯(lián)考期中）已知，如圖1，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．(1)在圖1中，連接EF，為了證明結(jié)論“EF=BE+DF”，小亮將ΔADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°(2)如圖2，當(dāng)∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【答案】(1)見解析(2)EF=DF?BE．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明ΔAGE?（2）把ΔABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使AB與CD重合，點(diǎn)E與點(diǎn)G對應(yīng)到AD，證明ΔAEF?Δ【詳解】（1）證明：如圖1，由旋轉(zhuǎn)可得GB=DF,AF=AG,∠BAG=∠DAF∵四邊形ABCD為正方形∴∠BAD=∠ADF=∠ABC=90°∴∠ABC+∠ABG=180°∴G、B、C三點(diǎn)在一條直線上∵∠EAF=45°∴∠BAE+∠DAF=45°∴∠BAG+∠BAE=45°=∠EAF在ΔAGE和ΔAG=AF∠GAE=∠EAF∴ΔAGE?∴GE=EF∵GE=GB+BE=BE+DF∴EF=BE+DF（2）結(jié)論：EF=DF?BE．理由：如圖2，把ΔABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使AB與AD重合，點(diǎn)E與點(diǎn)G對應(yīng)，同（1）可證得Δ∴EF=GF,且DG=BE∴EF=DF?DG=DF?BE【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性