人教版九年級數(shù)學(xué)下冊同步練習(xí) 28.1.1 正弦（分層練習(xí)）（原卷版+解析）

28.1.1正弦基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題：1．如圖，在中，，于點(diǎn)D，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．2．在△ABC中，∠C=90°，則下列等式成立的是（）A．sinA= B．sinA= C．sinA= D．sinA=3．已知在中，，，，則（

）A． B． C． D．4．在中，，若的三邊都縮小5倍，則的值（

）A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不變 D．無法確定5．在中，，如果的正弦值是，那么下列各式正確的是（

）A． B． C． D．6．在Rt△ABC中，∠C=90°．若AC=2BC，則sinA的值是（

）A． B． C． D．27．已知，，且，則sinA與的關(guān)系為

(

)A． B． C． D．不確定8．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則BC∶AC等于(

)A．3∶4 B．4∶3 C．3∶5 D．4∶5二、填空題：9．如圖，在中，．（1）斜邊________________；（2）的對邊________________；（3）的鄰邊________________；（4）________________．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝_________________．11．已知（為銳角），滿足方程，則________．12．中，，，，則____．13．如圖，在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，AB＝15，則AC的值是_____．14．如圖，在中，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，連接，若，，則的值為______．三、解答題：15．如圖，在銳角中，探究，，之間的關(guān)系．（提示：分別作AB和BC邊上的高．）16．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，關(guān)于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有兩個相等實(shí)根，且3c＝a+3b（1）試判斷△ABC的形狀；（2）求sinA+sinB的值．17．如圖，在Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高，∠B的平分線BE交AC于E，交AD于F．求證：．18．如圖，△ABC中，CA＝CB，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，過D點(diǎn)作⊙O的切線DE，交AC于點(diǎn)E．(1)證明：DE⊥AC；(2)連接OE，當(dāng)，S△OCE＝6時，求⊙O的半徑．提升篇提升篇1．如圖，點(diǎn)、、都在格點(diǎn)上，則的正弦值是（

）A． B． C． D．2．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，將矩形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，那么的值為()．A． B． C． D．3．如圖，中，，若，則sin________4．如圖，在上述網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，O都在格點(diǎn)上，則∠AOB的正弦值是______．5．如圖，的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格紙的格點(diǎn)上，則___________．6．如圖，AB是的直徑，C、D是圓上兩點(diǎn)，CD=BD，過點(diǎn)D作AC的垂線分別交AC，AB延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：EF是的切線；（2）若AE-3，，求的半徑．28.1.1正弦基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題：1．如圖，在中，，于點(diǎn)D，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直定義可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可判斷A，B，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可判斷C，最后利用同角的余角相等可得，從而在中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出，即可判斷D．【詳解】解：∵，∴，在中，故A、B不符合題意；在中，，故C符合題意；∵，，∴，在中，，∴，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．在△ABC中，∠C=90°，則下列等式成立的是（）A．sinA= B．sinA= C．sinA= D．sinA=【答案】B【詳解】分析：根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而分析得出答案．詳解：如圖所示：sinA=．

故選B．

點(diǎn)睛：本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確記憶邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．已知在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定義解答，正弦定義是在中，，∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦．【詳解】解：∵中，，，，∴,故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)中的正弦，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦的定義．4．在中，，若的三邊都縮小5倍，則的值（

）A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不變 D．無法確定【答案】C【分析】直接利用銳角的正弦的定義求解．【詳解】解：∵∠C＝90°，∴sinA＝∠A的對邊與斜邊的比，∵△ABC的三邊都縮小5倍，∴∠A的對邊與斜邊的比不變，∴sinA的值不變．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C＝90°．銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．5．在中，，如果的正弦值是，那么下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)銳角的正弦三角函數(shù)的定義，即可得到答案.【詳解】∵在中，，的正弦值是，∴sinA==，∴，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，掌握銳角的正弦三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵.6．在Rt△ABC中，∠C=90°．若AC=2BC，則sinA的值是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】設(shè)BC=x，可得AC=2x，Rt△ABC中利用勾股定理算出AB=x，然后利用三角函數(shù)在直角三角形中的定義，可算出sinA的值．【詳解】解：由AC=2BC，設(shè)BC=x，則AC=2x，∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴根據(jù)勾股定理，得AB=.因此，sinA=．故選：C.【點(diǎn)睛】本題已知直角三角形的兩條直角邊的關(guān)系，求角A的正弦之值．著重考查了勾股定理、三角函數(shù)的定義等知識，屬于基礎(chǔ)題．7．已知，，且，則sinA與的關(guān)系為

(

)A． B． C． D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)，可得，再根據(jù)三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則BC∶AC等于(

)A．3∶4 B．4∶3 C．3∶5 D．4∶5【答案】A【詳解】，設(shè)a=3x，則c=5x，∴，∴b=4x，故選A.二、填空題：9．如圖，在中，．（1）斜邊________________；（2）的對邊________________；（3）的鄰邊________________；（4）________________．【答案】

c

b

a

【分析】根據(jù)各邊名稱定義寫出每邊的代號即可．【詳解】（1）直角三角形的斜邊為最長邊c（2）∠B的對邊是∠B正對的邊b（3）∠B的鄰邊是a，（4）∠B的對邊比斜邊即等于b÷c=故答案為①c②b③a④【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形各邊名稱，熟記這些名稱是解題關(guān)鍵．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝_________________．【答案】【分析】運(yùn)用三角函數(shù)定義求解．【詳解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90，BC＝6，AB＝10，∴sinA＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義．正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA＝對邊：斜邊．11．已知（為銳角），滿足方程，則________．【答案】【分析】先用因式分解法解一元二次方程，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的正弦值取值范圍，篩選的值代入即可解題．【詳解】（為銳角），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，涉及正弦等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．12．中，，，，則____．【答案】6.5【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)而得出AB的值．【詳解】解：∵△ABC中，∠C=90°，BC=2.5，=，∴，∴AB=6.5．故答案為6.5．【點(diǎn)睛】銳角三角形正弦（sin）等于對邊比斜邊；=，正確掌握邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．13．如圖，在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，AB＝15，則AC的值是_____．【答案】12【分析】由sinB＝得AC＝ABsinB，據(jù)此可得．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵sinB＝，∴AC＝ABsinB＝15×＝12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知正弦函數(shù)的定義.14．如圖，在中，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，連接，若，，則的值為______．【答案】【分析】由題意可知為直角三角形斜邊上的中線即可求出，再利用銳角三角函數(shù)即可求出的值．【詳解】解：∵，∴為直角三角形，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，∴，，∴，∴在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，熟練掌握直線三角形斜邊上中線的特點(diǎn)以及銳角三角函數(shù)在直角三角形中的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．三、解答題：15．如圖，在銳角中，探究，，之間的關(guān)系．（提示：分別作AB和BC邊上的高．）【答案】．【分析】分別作，垂足分別為，根據(jù)正弦的定義，在4個直角三角形中分別表示出，進(jìn)而將等式變形，即可求得．【詳解】解：如圖，分別作，垂足分別為，在中，，，在中，，，，，在中，，，在中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦的定義，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，關(guān)于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有兩個相等實(shí)根，且3c＝a+3b（1）試判斷△ABC的形狀；（2）求sinA+sinB的值．【答案】（1）△ABC為直角三角形；（2）.【分析】（1）先把方程整理為一般式，再根據(jù)判別式的意義得到△＝，則，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三角形形狀；（2）由于，3c＝a＋3b，消去a得，變形為（4c?5b）（c?b）＝0，則b＝，a＝，根據(jù)正弦的定義得sinA＝，sinB＝，所以sinA＋sinB＝，然后把b＝，a＝代入計算即可．【詳解】解：（1）方程整理為（c﹣a）x2+2bx+a+c＝0，根據(jù)題意得△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，∴a2+b2＝c2，∴△ABC為直角三角形；（2）∵a2+b2＝c2，3c＝a+3b∴（3c﹣3b）2+b2＝c2，∴（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，∴4c＝5b，即b＝c，∴a＝3c﹣3b＝c∵sinA＝，sinB＝，∴sinA+sinB＝．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式△＝：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了勾股定理的逆定理和銳角三角函數(shù)的定義．17．如圖，在Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高，∠B的平分線BE交AC于E，交AD于F．求證：．【答案】見解析.【分析】首先得出利用已知得出△BDF∽△ABE，進(jìn)而得出∠BAD=∠C，則sin∠C=sin∠BAD==，即可得出答案．【詳解】證明：∵∠B的平分線BE交AC于E，∴∠ABE=∠EBC，∵∠BDF=∠BAE，∴△BDF∽△ABE，∴=，∵∠BAD+∠DAC=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠C，∴sin∠C=sin∠BAD==，∴．【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)已知得出sin∠C=sin∠BAD是解題關(guān)鍵．18．如圖，△ABC中，CA＝CB，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，過D點(diǎn)作⊙O的切線DE，交AC于點(diǎn)E．(1)證明：DE⊥AC；(2)連接OE，當(dāng)，S△OCE＝6時，求⊙O的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接OD，根據(jù)DE是⊙O的切線，可得∠ODE＝90°，由AC＝BC，可得∠OBD＝∠A，進(jìn)而可得∠A＝∠ODB，可得ODAC，即可證明結(jié)論；（2）連接CD，證明∠CDE＝∠ABC，由得，設(shè)CE＝3x，CD＝5x，則DE＝4x，根據(jù)S△OCE＝6可求出x的值，可得CD的長，由可得BC的長，即可得⊙O的半徑．（1）證明：如圖1，連接OD，則OD為⊙O的半徑，∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AC＝BC，∴∠OBD＝∠A，∴∠A＝∠ODB，∴ODAC，∴∠DEC＝180°－∠ODE＝90°，∴DE⊥AC；（2）解：連接CD，如圖2，∵BC為直徑，∴∠BDC＝∠CDA＝90°，∴∠CDE+∠EDA＝90°，∵DE⊥AC，∴∠ADE+∠A＝90°，∴∠A＝∠CDE，∵CA＝CB，∴∠A＝∠B，∴∠CDE＝∠ABC，∴，設(shè)CE＝3x，CD＝5x，則DE＝＝4x，∵S△OCE＝CE?DE＝6＝6，∴x＝1或x＝﹣1（不合題意，舍去），∴x＝1，∴CD＝5，∵，∴BC＝，∴⊙O的半徑為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓的切線的性質(zhì)定理、圓周角定理、銳角三角函數(shù)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．提升篇提升篇1．如圖，點(diǎn)、、都在格點(diǎn)上，則的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接并延長，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理可求出，，設(shè)，再由勾股定理可求出x的值，從而可的正弦值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接并延長，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，在中，∵，，，∴由勾股定理可知：，同理，在中，由勾股定理可知：，設(shè)，則在中，由勾股定理可知：；同理，在中，∵，，∴，∴，∴，解得：，即，∵，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，將矩形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，那么的值為()．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，，由勾股定理得，進(jìn)而得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，列出方程，求出x的值，即可得到答案．【詳解】∵四邊形為矩形，∴，．∵矩形沿直線折疊，頂點(diǎn)恰好落在邊上的處，∴，，∵在中，，∴，設(shè)，則，∵在中，，∴，解得：，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形中折疊的性質(zhì)以及勾股定理和正弦三角函數(shù)的定義，掌握勾股定理，列方程，是解題的關(guān)鍵．3．如圖，中，，若，則sin________【答案】##【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得，即可在Rt求出sin．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在Rt中，sinsin故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)和正弦函數(shù)的定義，掌握在直角三角形中，任意一銳角的對邊與斜邊的比叫做的正弦，記作sin是解題關(guān)鍵．4．如圖，在上述網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，O都在格點(diǎn)上，則∠AOB的正弦值是______．【答案】【分析】利用勾股定理求出AO、BO的長，再由=AB×2=AO?BC，得出BC，sin∠AOB可得答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)