（江蘇版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題2.4 函數(shù)單調(diào)性（講）-江蘇版高三全冊數(shù)學(xué)試題

專題2.4函數(shù)單調(diào)性【考綱解讀】內(nèi)容要求備注ABC函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ函數(shù)的基本性質(zhì)

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1．理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義．2．會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)．3．會(huì)求簡單函數(shù)的值域，理解最大(小)值及幾何意義．【直擊考點(diǎn)】題組一常識(shí)題1．[教材改編]函數(shù)f(x)＝(a－1)x＋a是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是________．【答案】a>1【解析】a－1>0即a>1時(shí)，f(x)＝(a－1)x＋a是R上的增函數(shù)．2．[教材改編]函數(shù)f(x)＝－(x＋2)2＋1(x∈[－3，0])的單調(diào)遞增區(qū)間是________；單調(diào)遞減區(qū)間是________．【答案】[－3，－2](－2，0]【解析】易知函數(shù)f(x)＝－(x＋2)2＋1(x∈[－3，0])的單調(diào)遞增區(qū)間是[－3，2]，單調(diào)遞減區(qū)間是(－2，0]．3．[教材改編]函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x－3)(x∈[4，5])的最大值與最小值分別是________．【答案】2，1【解析】函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x－3)在[4，5]上是減函數(shù)，所以最大值為f(4)＝2，最小值為f(5)＝1.題組二常錯(cuò)題4．在下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意x1，x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)”的是________．(填序號)①f(x)＝eq\f(1,x)；②f(x)＝(x－1)2；③f(x)＝ex；④f(x)＝ln(x＋1)．【答案】①【解析】由題意知f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)．①中，f(x)＝eq\f(1,x)滿足要求；②中，f(x)＝(x－1)2在[0，1]上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)；③中，f(x)＝ex是增函數(shù)；④中，f(x)＝ln(x＋1)是增函數(shù)．5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－2）x，x≥2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－1，x<2))滿足對任意的實(shí)數(shù)x1≠x2，都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________．【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,8)))6．函數(shù)f(x)＝ln(4＋3x－x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))【解析】函數(shù)f(x)的定義域是(－1，4)，又－x2＋3x＋4＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,4)，e>1，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4)).7．函數(shù)y＝f(x)是定義在[－2，2]上的減函數(shù)，且f(a＋1)<f(2a)，則實(shí)數(shù)a【答案】[－1，1)【解析】由條件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤a＋1≤2，,－2≤2a≤2，,a＋1>2a，))解得－1≤a<1.題組三?？碱}8．下列函數(shù)中，在區(qū)間(－1，2)上為增函數(shù)的是________．(填序號)(1)y＝e－x，(2)y＝x3，(3)y＝lnx，(4)y＝|x|，(5)y＝(x＋2)2－1.【答案】(2)(5)【解析】根據(jù)各函數(shù)的定義域和圖像，可以判斷符合題意的函數(shù)是(2)(5)．9．已知a＝2eq\f(4,3)，b＝3eq\f(2,3)，c＝4－eq\f(2,3)，則a，b，c的大小關(guān)系是________．【答案】a>b>c【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝xeq\f(2,3)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且a＝2eq\f(4,3)＝4eq\f(2,3)，b＝3eq\f(2,3)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\f(2,3)，所以a>b>c.10．函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x－2)(x≥3)的最大值為________．【答案】3【解析】f(x)＝eq\f(x,x－2)＝1＋eq\f(2,x－2)在區(qū)間[3，＋∞)上是減函數(shù)，所以f(x)max＝f(3)＝3.【知識(shí)清單】1函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減．單調(diào)區(qū)間要分開寫，即使在兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同，也不能用并集表示.2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用單調(diào)性的應(yīng)用主要體現(xiàn)在利用單調(diào)性求最值，進(jìn)行大小比較，解抽象函數(shù)不等式，解題時(shí)要注意：一是函數(shù)定義域的限制；二是函數(shù)單調(diào)性的判定；三是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．【考點(diǎn)深度剖析】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，幾乎是每年必考的內(nèi)容，例如判斷和證明單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間、利用單調(diào)性比較大小、求值域、最值或解不等式．【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1函數(shù)單調(diào)性的判斷【1-1】“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的__________條件.【答案】充分必要當(dāng)a>0時(shí)，結(jié)合函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的圖象知函數(shù)在(0，＋∞)上先增后減再增，不符合條件，如圖(2)所示．所以，要使函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增只需a≤0.即“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增”的充要條件．【1-2】函數(shù)y＝log(2x2－3x＋1)的單調(diào)減區(qū)間為________．【答案】(1，＋∞)【1-3】討論函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x2－1)(a>0)在x∈(－1,1)上的單調(diào)性．【答案】f(x)在(－1,1)上為減函數(shù)【解析】設(shè)－1<x1<x2<1，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(ax1,x\o\al(2,1)－1)－eq\f(ax2,x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(ax1x\o\al(2,2)－ax1－ax2x\o\al(2,1)＋ax2,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(ax2－x1x1x2＋1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1).∵－1<x1<x2<1，∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(xeq\o\al(2,1)－1)(xeq\o\al(2,2)－1)>0.又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴函數(shù)f(x)在(－1,1)上為減函數(shù)【1-4】函數(shù)f(x)對任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0時(shí)，恒有f(x)>1.求證：f(x)在R上是增函數(shù)；【答案】詳見解析【解析】證明設(shè)x1，x2∈R，且x1<x2，∴x2－x1>0，∵當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1， ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0?f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上為增函數(shù)． 【思想方法】判斷函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論；(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)，為增函數(shù)，不同時(shí)為減函數(shù)；(3)圖像法：如果f(x)是以圖像形式給出的，或者f(x)的圖像易作出，可由圖像的直觀性判斷函數(shù)單調(diào)性．(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性．【溫馨提醒】在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)注意以下兩方面的問題：一是必須在定義域的范圍內(nèi)研究單調(diào)性，超出了定義域范圍的單調(diào)區(qū)間是沒有意義的，二是單調(diào)區(qū)間的表述要正確．如函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞)[或(－∞，0)，(0，＋∞)]，而不能表述為(－∞，0)∪(0，＋∞)．考點(diǎn)2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【2-1】如果函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______．【答案】－eq\f(1,4)≤a≤0【2-2】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≤0，,－x2－2x＋3，x>0，))則不等式f(a2－4)>f(3a)的解集為________．【答案】(－1,4)【解析】作出函數(shù)f(x)的圖像，如圖所示，則函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞減的．由f(a2－4)>f(3a)，可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，即(a＋1)(a【2-3】已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(axx>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2x≤1))是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】[4,8)【思想方法】1.含“f”不等式的解法：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意g(x)與h(x)的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)．2.當(dāng)要比較的函數(shù)值不在對稱軸的同一側(cè)，即不在同一單調(diào)區(qū)間上時(shí)，可通過比較相應(yīng)自變量值與對稱軸的距離的大小進(jìn)行判斷．【溫馨提醒】分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值．【易錯(cuò)試題常警惕】分段函數(shù)的單調(diào)性問題，一定要保證各段上同增（減）和上、下段間端點(diǎn)值間的大小關(guān)系．如：是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．【分析】因?yàn)槭巧系膯握{(diào)遞增函數(shù)，所以，解得，所以