（江蘇版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題7.2 一元二次不等式及其解法（講）-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

專題7.2一元二次不等式及其解法【考綱解讀】?jī)?nèi)容要求備注ABC集合一元二次不等式√對(duì)知識(shí)的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個(gè)層次（在表中分別用A、B、C表示）.了解：要求對(duì)所列知識(shí)的含義有最基本的認(rèn)識(shí)，并能解決相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.理解：要求對(duì)所列知識(shí)有較深刻的認(rèn)識(shí)，并能解決有一定綜合性的問(wèn)題.掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)的或較為困難的問(wèn)題.線性規(guī)劃√基本不等式√【直擊考點(diǎn)】題組一常識(shí)題1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是________．2．某產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時(shí)的最低產(chǎn)量是________臺(tái)．【解析】根據(jù)題意，得3000＋20x－0.1x2≤25x，整理得x2＋50x－30000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.因?yàn)閤∈N，所以生產(chǎn)者不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量是150臺(tái)．3.若關(guān)于x的一元二次方程mx2－(1－m)x＋m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是______________．【解析】易知m≠0，Δ＝[－(1－m)]2－4m2<0，整理得－3m2－2m＋1<0，即3m2＋2m－1>0，解得m<－1或m>eq\f(1,3)，所以m的取值范圍是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)4．已知函數(shù)f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，則不等式f(－2x)＜0的解集是______________.題組二常錯(cuò)題5．不等式x(2－x)>0的解集為_(kāi)_______．【解析】由不等式x(2－x)＞0，得不等式x(x－2)＜0，則0＜x＜2.6．不等式(ax－1)(x－2)＜0(a≤0)的解集是________．【解析】當(dāng)a<0時(shí)，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)>0，解得x＜eq\f(1,a)或x>2；當(dāng)a＝0時(shí)，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化為x－2＞0，解得x＞2.7．不等式eq\f(x－1,2x＋1)≤0的解集是________．【解析】原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）（2x＋1）≤0，,2x＋1≠0，))解得－eq\f(1,2)＜x≤1.題組三?？碱}8．設(shè)集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B＝________________．【解析】集合A＝(1，3)，B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))，所以A∩B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).9．不等式2x2－x＜4的解集為_(kāi)_______．【解析】因?yàn)?x2－x<4＝22，所以x2－x<2，解得－1<x<2，故不等式的解集為(－1，2)．10．設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f(x)＜0恒成立，則m的取值范圍是________．【解析】要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，顯然－1＜0；若m≠0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝m2＋4m＜0))?－4＜m＜0，所以m的取值范圍為－4＜m≤0.【知識(shí)清單】考點(diǎn)1一元二次不等式的解法對(duì)于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來(lái)討論一元二次不等式或的解集.二次函數(shù)（）的圖象有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根考點(diǎn)2一元二次不等式恒成立問(wèn)題由二次函數(shù)圖像與一元二次不等式的關(guān)系得到的兩個(gè)常用結(jié)論(1)不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))(2)不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))當(dāng)定義域不是全體實(shí)數(shù)時(shí)，可結(jié)合二次函數(shù)圖象考慮或者參變分離或轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值．考點(diǎn)3一元二次不等式的應(yīng)用構(gòu)建不等式模型解決實(shí)際問(wèn)題不等式的應(yīng)用問(wèn)題常常以函數(shù)為背景，多是解決實(shí)際生活、生產(chǎn)中的最優(yōu)化問(wèn)題等，解題時(shí)，要仔細(xì)審題，認(rèn)清題目的條件以及要解決的問(wèn)題，理清題目中各量之間的關(guān)系，建立恰當(dāng)?shù)牟坏仁侥Ｐ瓦M(jìn)行求解．【考點(diǎn)深度剖析】江蘇新高考對(duì)不等式知識(shí)的考查要求較高，整個(gè)高中共有8個(gè)C能級(jí)知識(shí)點(diǎn)，本章就占了兩個(gè)，高考中以填空題和解答題的形式進(jìn)行考查，涉及到數(shù)形結(jié)合、分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，著重考查學(xué)生基本概念及基本運(yùn)算能力.經(jīng)常與其它章節(jié)知識(shí)結(jié)合考查，如與函數(shù)、方程、數(shù)列、平面解析幾何知識(shí)結(jié)合考查.一元二次不等式及其解法主要有兩種常見(jiàn)的考查方式：一是解一元二次不等式，往往是比較簡(jiǎn)單的，是一些問(wèn)題的基礎(chǔ)；二是與恒成立問(wèn)題相結(jié)合，這一般都要與一元二次方程和一元二次函數(shù)相結(jié)合，也就是常說(shuō)的“三個(gè)二次”問(wèn)題.【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1一元二次不等式的解法【1-1】不等式的解集為，則.【答案】a=－4，b=－9【解析】不等式的解集為，為方程的兩根，則根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得，.【1-2】已知不等式的解集為，則不等式的解集為.【答案】解為；【1-3】已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】或，∴或，∴或，∴.【1-4】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞)【解析】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>4.【1-5】解不等式【思想方法】1．解一元二次不等式首先要看二次項(xiàng)系數(shù)a是否為正；若為負(fù)，則將其變?yōu)檎龜?shù)；2．若相應(yīng)方程有實(shí)數(shù)根，求根時(shí)注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法；3．寫不等式的解集時(shí)首先應(yīng)判斷兩根的大小，若不能判斷兩根的大小應(yīng)分類討論；4．根據(jù)不等式的解集的端點(diǎn)恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達(dá)定理，找到不等式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系；5．若所給不等式最高項(xiàng)系數(shù)含有字母，還需要討論最高項(xiàng)的系數(shù).【溫馨提醒】注意一元二次方程、二次函數(shù)、二次不等式的聯(lián)系，解二次不等式應(yīng)盡量結(jié)合二次函數(shù)圖象來(lái)解決，培養(yǎng)并提高數(shù)形結(jié)合的分析能力；當(dāng)時(shí)，需要計(jì)算相應(yīng)二次方程的根，其解集是用根表示，對(duì)于含參數(shù)的二次不等式，需要針對(duì)開(kāi)口方向、判別式的符號(hào)、根的大小分類討論.考點(diǎn)2一元二次不等式恒成立問(wèn)題【2-1】不等式x2－2x＋5≥a2－3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】[－1,4]【解析】x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值為4，所以x2－2x＋5≥a2－3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故選A.【2-2】若不等式的解集是R，則m的范圍是.【答案】【2-3】若不等式對(duì)滿足的所有都成立，則x的取值范圍是.【答案】【解析】不等式化為：，令，則時(shí)，恒成立所以只需即，所以x的范圍是.【2-4】為.【答案】【解析】記，因?yàn)椴煌瑫r(shí)為，所以僅需.【2-5】在上定義運(yùn)算：，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是.【答案】【解析】根據(jù)定義可得不等式為即，此不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以，從中解得.【思想方法】(1)解決恒成立問(wèn)題一定要清楚選誰(shuí)為主元，誰(shuí)是參數(shù)．一般地，知道誰(shuí)的范圍，就選誰(shuí)當(dāng)主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．(2)對(duì)于二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．【溫馨提醒】二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題實(shí)質(zhì)是相應(yīng)的圖象落在x軸上方或者下方，借助數(shù)形結(jié)合思想或者分類討論思想求解.考點(diǎn)3一元二次不等式的應(yīng)用【3-1】有純農(nóng)藥液一桶，倒出8升后用水補(bǔ)滿，然后又倒出4升后再用水補(bǔ)滿，此時(shí)桶中的農(nóng)藥不超過(guò)容積的28%，則桶的容積的取值范圍是________．【答案】【3-2】汽車在行駛中，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個(gè)重要因素．在一個(gè)限速40km/h以內(nèi)的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但還是相碰了，事發(fā)后現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲車的剎車距離略超過(guò)12m，乙車的剎車距離略超過(guò)10m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)車速x(km/h)之間有如下關(guān)系：，.問(wèn)：超速行駛應(yīng)負(fù)主要責(zé)任的是誰(shuí)？【答案】A【思想方法】不等式應(yīng)用問(wèn)題常以函數(shù)、數(shù)列的模型出現(xiàn)，在