（江蘇版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題9.6 雙曲線（測(cè)）-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

專(zhuān)題9.6雙曲線一、填空題1．若實(shí)數(shù)k滿足0＜k＜9，則曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9－k)＝1與曲線eq\f(x2,25－k)－eq\f(y2,9)＝1的________相等．【解析】由0<k<9，易知兩曲線均為雙曲線且焦點(diǎn)都在x軸上，由eq\r(25＋9－k)＝eq\r(25－k＋9)，得兩雙曲線的焦距相等．2．已知雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2)，則C的方程為_(kāi)_______．【解析】由題意，設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(y2,4)－x2＝λ(λ≠0)，因?yàn)殡p曲線C過(guò)點(diǎn)(2,2)，則eq\f(22,4)－22＝λ，解得λ＝－3，所以雙曲線C的方程為eq\f(y2,4)－x2＝－3，即eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝1.3．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______．【解析】因?yàn)椤螰1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝3a，|AF2|＝a，則10a2＝4c2，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,2)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),2)(負(fù)值舍去)．4．設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過(guò)F作A1A2的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn)．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為_(kāi)_______．5．(2017·江南十校聯(lián)考)已知l是雙曲線C：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1的一條漸近線，P是l上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是C的左、右焦點(diǎn)，若·＝0，則點(diǎn)P到x軸的距離為_(kāi)_______．【解析】由題意知F1(－eq\r(6)，0)，F(xiàn)2(eq\r(6)，0)，不妨設(shè)l的方程為y＝eq\r(2)x，點(diǎn)P(x0，eq\r(2)x0)，由·＝(－eq\r(6)－x0，－eq\r(2)x0)·(eq\r(6)－x0，－eq\r(2)x0)＝3xeq\o\al(2,0)－6＝0，得x0＝±eq\r(2)，故點(diǎn)P到x軸的距離為eq\r(2)|x0|＝2.6．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1與直線y＝2x有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為_(kāi)_______．【解析】∵雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，則由題意得eq\f(b,a)＞2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＞eq\r(1＋4)＝eq\r(5).即雙曲線離心率的取值范圍為(eq\r(5)，＋∞)．7．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x，則雙曲線C的方程為_(kāi)_______________．【答案】x2－eq\f(y2,4)＝1【解析】易得橢圓的焦點(diǎn)為(－eq\r(5)，0)，(eq\r(5)，0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝5，,\f(b,a)＝2，))∴a2＝1，b2＝4，∴雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,4)＝1.8．過(guò)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)F1作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為A，B，若v＝，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)___________．【答案】3x±y＝09．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦點(diǎn)，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延長(zhǎng)AF2交雙曲線右支于點(diǎn)B，則△F1AB的面積等于______．【答案】4【解析】由題意可得|AF2|＝2，|AF1|＝4，則|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|＝|BF1|.又∠F1AF2＝45°，所以△ABF1是以AF1為斜邊的等腰直角三角形，則|AB|＝|BF1|＝2eq\r(2)，所以其面積為eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝4.10．已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________．【答案】2二、解答題11．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq\r(2)，且過(guò)點(diǎn)(4，－eq\r(10))．點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)求證：·＝0；(3)求△F1MF2的面積．解：(1)∵e＝eq\r(2)，∴雙曲線的實(shí)軸、虛軸相等．則可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ.∵雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴雙曲線方程為eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)證明：不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，則＝(－2eq\r(3)－3，－m)，＝(2eq\r(3)－3，－m)．∴·＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3).由(2)知m＝±eq\r(3).∴△F1MF2的高h(yuǎn)＝|m|＝eq\r(3)，∴S△F1MF2＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×eq\r(