2024屆上海市松江區(qū)高三年級上冊期末質(zhì)量監(jiān)控數(shù)學試題（解析版）

2024屆上海市松江區(qū)高三上學期期末質(zhì)量監(jiān)控數(shù)學試題

一、填空題

1.已知全集為R,集合P={x|x?l},則集合

【答案】{x|x<l}

【分析】根據(jù)補集的知識求得正確答案.

【詳解】由于P={x|x21},全集為R,

所以A={x|x<l}.

故答案為：{%|X<1}

2.雙曲線：-丁=1的右焦點坐標是.

【答案】(2,0)

【分析】根據(jù)雙曲線的定義求解.

【詳解】因為02=/+。2=4,所以C=2,

且焦點在x軸上，所以右焦點為(2,0).

故答案為：(2,0).

3.已知復數(shù)z=2+i(其中i是虛數(shù)單位)，則F卜

【答案】非

【分析】根據(jù)共軌復數(shù)、復數(shù)的模等知識求得正確答案.

【詳解】依題意三=2-i，所以同=指+(一=卮

故答案為：V5

4.已知向量a=(l,2),6=(4,3),貝i]a?2a-b)=

【答案】0

【分析】根據(jù)向量的坐標運算求解即可.

【詳解】??"=(1,2),1=(4,3),.?.2"方=(—2,1),

".(2a-6)=1x(-2)+2x1=0.

故答案為：0.

5.已知sind=g,6?6（0,^）,貝！Itan（。-；）的值為

【答案】-1

【分析】先求得tan。，然后利用兩角差的正切公式求得正確答案.

【詳解】由于sin6=13,ee（On$,

所以cos0—Vl-sin20—1,

八兀31

3tan6^-tan———1

所以sn°=“所以tan?-9=---------------yJ

4I八兀r37

1+tan3+tan—14—

44

故答案為：

6.已知lga+lg0=l,則〃+25的最小值為

【答案】475

【分析】根據(jù)對數(shù)運算求得的關(guān)系，利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】依題意，lg〃+lg6=lg"=l,

所以"=10且。>0,6>0,

所以a+2bN2da-2b=4#,

當a=2b=24時等號成立.

故答案為：4如

7.二項式（3+x「的展開式中，龍2項的系數(shù)是常數(shù)項的5倍，則"=；

【答案】10

【分析】先寫出二項展開式的通項公式，令廠=2得/的系數(shù)，令r=0得常數(shù)項，再由已知列出等

式，解出〃即可.

【詳解】由題知,當r=2時，d的系數(shù)為C：3"-z；當r=0時，常數(shù)項為C；3"；

又V的系數(shù)是常數(shù)項的5倍，所以C；37=5C：3",解得〃=10.

故答案為：10

8.有5名同學報名參加暑期區(qū)科技館志愿者活動，共服務兩天，每天需要兩人參加活動，則恰有1人

連續(xù)參加兩天志愿者活動的概率為.

【答案】|3

【分析】由分布乘法計數(shù)原理的知識結(jié)合古典概型的概率公式可解.

【詳解】每天從5名同學中抽取2名參加志愿者活動，一共有C；C；=100種方式，

恰有一人連續(xù)參加兩天志愿者活動有C；C：C；=60種方式，

由古典概型的概率公式可得恰有1人連續(xù)參加兩天志愿者活動的概率為需=g，

3

故答案為：—.

9.在..ABC中，設角A3及。所對邊的邊長分別為〃/及。，若a=3,c=5,B=2A,則邊長

b=.

【答案】2m

【分析】利用正弦定理以及三角恒等變換求得cosA,再次利用正弦定理求得人

acc35

【詳解】由正弦定理得一^二一一./八3，即3="7，

smAsinCsin(A+B)sinAsin3A

5sinA=3sin3A=3sinAcos2A+3cosAsin2A

=3sinA(^2cos2A—1)+6sinAcos2A=12sinAcos2A—3sinA,

由于B=2A,所以A為銳角，sinA>0,

所以12cos2A=8,cosA=,

3

由正弦定理得=、=&=_-J,

sinAsinBsm2A2smAcosA

貝U〃=——-——,b=2acosA=2x3x=2A/6.

2cosA3

故答案為：2?

-7T兀

10.已知函數(shù)/(X)=T2+6X+7W,g(x)=2sin(2x+y).對任意x()e0,—,存在%,％e[-1,3],使得

/(再)<g(x。)</(x2),則實數(shù)m的取值范圍是.

【答案】[-7,8]

【分析】根據(jù)/'(x)和g(尤)的值域以及恒成立、存在性等知識求得機的取值范圍.

【詳解】0V尤V0V2x4紜，工V2無+巴V型，

42336

所以g(x)=2sin[2+1]e[l,2].

/(x)=-X2+6x+m的開口向下，對稱軸為％=3,

所以/(同在區(qū)間［T3］上單調(diào)遞增，/(-l)=m-7,/(3)-m+9,

所以/(%)￡[加-7,/+9],

TT

由于任意無()e0,-,存在玉e[-1,3],使得/(占)4go(,)47(9),

fm-7<1「i

所以〃z+9>。'解得—74〃ZV8,所以機的取值范圍是[-7,8].

故答案為：［-7,8］

11.若函數(shù)y=/(x)是定義在R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)X都有

X"(X+2)=(X+2)?/(X)+2,則/(2023)=.

【答案】-1

【分析】利用賦值法，結(jié)合累加法求解.

【詳解】函數(shù)>=/(尤)是定義在R上的不恒為零的偶函數(shù)，貝廳(T)=-/(X),

x-f(x+2)=(x+2)-/(x)+2中，令彳=一1,得一/(I)=/(-1)+2,

貝卜〃1)=/⑴+2,得/⑴=-1,

當x>0時，由x,/(x+2)=(x+2)?/(尤)+2,得———)+——,

x+2xx(x+2)

嗔〃元+2)/(x)11

即-------------=--------,

x+2xxx+2

./(2023)二/(2023)”2021)1/(2021)/(2019)??/(3)/(I)?/(I)

…2023—2023202120212019311

111111-111-11

2021202320192021131~2023112023'

”(2023)=2023x1人卜1.

故答案為：-1.

12.已知正四面體A-BCD的棱長為2應，空間內(nèi)任意點尸滿足卜8+尸4=2,則AP.A。的取值范

圍是.

【答案】［4-2后,4+2后］

【分析】先判斷出尸點在球上，然后根據(jù)數(shù)量積的運算求得APAD的表達式，結(jié)合三角函數(shù)值域的

知識求得AP.AD的取值范圍.

【詳解】設的中點為。.

因為動點P滿足|PB+PC|=2,所以|。4=1,

即點P落在以。為球心，以1為半徑的球上.

因為AP=AO+OP,

所以APAD=（AO+OP）.">=AO-AO+OP-AZ）.

因為正四面體A-3C￡）的棱長為2垃，

所以AO=DO=2應xsin6（F=痛，

在三角形AOD中，AD=2-j2,AO=DO=s/6.

取4。的中點為E,OE，A。，

所以AO在AO上的射影為|A@,

所以40乂0=,￡卜卜。卜立x20=4.

設（0尸,皿=6,

所以42?陋=40乂0+0「乂￡>=4+|0尸卜,0卜05，=4+2垃<：0$氏

因為cos。w[—1,1],

所以APA0￡[4-2"4+2VT|.

故答案為：[4-2應,4+20]

【點睛】本題主要考查空間向量線性運算和數(shù)量積的運算，形如|。尸卜廠的尸點，其運動軌跡在以。

點為球心，半徑為「的球面上.求解一個式子的最值，可以考慮的方向有：基本不等式、函數(shù)的單調(diào)

性、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的值域等知識.

二、單選題

13.英國數(shù)學家哈利奧特最先使用“〈”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的

發(fā)展影響深遠.對于任意實數(shù)以b、c、d,下列命題是真命題的是（）

A.若a?<〃，貝qq<6B.若a<6,貝!Jac<be

C.若a<b,c<d,則acebdD.若a<b,c<d,則a+c<0+d

【答案】D

【分析】借助不等式的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】對A：因為/<〃，可能6<。<0,故錯誤；

對B：當c<0時，若a<b,貝!Jac>bc,故錯誤；

對C：當a<Z?<0,c<d<0時，則ac>6d,故錯誤；

對D：若a<b,c<d,則a+c<6+d,故正確.

故選：D.

14.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩支籃球隊各6名隊員某場比賽的得分數(shù)據(jù)（單位：分）.則下

列說法正確的是（）

甲隊乙隊

7089

26197

02278

13

A.甲隊數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙隊數(shù)據(jù)的中位數(shù);

B.甲隊數(shù)據(jù)的平均值小于乙隊數(shù)據(jù)的平均值;

C.甲隊數(shù)據(jù)的標準差大于乙隊數(shù)據(jù)的標準差;

D.乙隊數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為27.

【答案】D

【分析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、方程、百分位數(shù)等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項，甲隊的中位數(shù)是今竺=18,乙隊的中位數(shù)是史=18,

兩者相等，所以A選項錯誤.

7+12+16+20+22+31度=18

B選項，甲隊的平均數(shù)為

66

8+9+17+19+27+28108

乙隊的平均數(shù)為-----------------------------=-----=118O,

兩者相等，所以B選項錯誤.

C選項，甲隊的標準差為：

|（7-18）2+（12-18）2+（16-18）2+（20-18）2+（22-18）2+（31-18）2_[175

V6-1亍，

乙隊的標準差為：

（（8-18）2+（9-18）2+（17-18）2+（19-18）2+（27-18）2+（28-18）2_1182

所以甲隊數(shù)據(jù)的標準差小于乙隊數(shù)據(jù)的標準差，所以C選項錯誤.

D選項，乙隊的數(shù)據(jù)為8,9,17,19,27,28,6x0.75=4.5,

所以乙隊數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為27,D選項正確.

故選：D

15.函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，y=/（x）為函數(shù)y=/（x）的導函數(shù)，則不等式的解集

為（）

A.(-3,-1)B.(0,1)

C.(-3,-1)u(0,1)D.(—,-3)J(1,+<?)

【答案】C

【分析】先判斷（（%）的符號，由此求得不等式/3＜0的解集.

X

【詳解】由圖象可知，在區(qū)間（3,-3）,（-1,1）上/'（力＜0,

在區(qū)間（―3,—1）,（1,內(nèi)）上用勾＞0,

所以不等式＜0的解集為（-3,-1）u（0,l）.

故選：C

16.關(guān)于曲線加：%+/=1，有下述兩個結(jié)論：①曲線〃上的點到坐標原點的距離最小值是日;

②曲線M與坐標軸圍成的圖形的面積不大于則下列說法正確的是（）

A.①、②都正確B.①正確②錯誤C.①錯誤②正確D.①、②都錯誤

【答案】C

【分析】利用基本不等式判斷①的正確性，利用不等式的性質(zhì)判斷②的正確性.

【詳解】對于①，由1+，=1平方可得，x+y+2y[xy=1.因為左+丫會聲!'，

所以又因為，Y+y2」,（x+y）N亨,

當且僅當=J時等號成立，故①錯誤；

4

對于②，由f+f=i知，%,ye[0,1],兩邊平方可得y=l+x-2?.

因為所以y=l+x-26<l+x-2x=1-x,

即曲線C在直線y=l-x的下方，

因此所圍圖形的面積不大于：，故②正確.

故選：C

【點睛】用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：“一正，二定，三相等（1）“一

正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；

要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值

時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯

誤的地方，注意多次運用不等式，等號成立條件是否一致.

三、證明題

17.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，R4,底面ABCD,鉆，仞，點E在線段AD上，且CE〃AB.

(1)求證：CE_L平面RID；

(2)若四棱錐尸一ABCD的體積為3，AB=1,AD=3,CD=&，ZCDA=45,求二面角尸—CE-A

o

的大小.

【答案】(1)證明見解析

(2)arctan；

【分析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理即得.

(2)由(1)的信息確定二面角的平面角，利用錐體體積公式求出R4,再在直角三角形中求出解即

可.

【詳解】(1)由外，底面ABCD,CEu平面ABCD,得上4LCE,

由ABJLAZXCEV/AB,得CE_LAD,而PAcAD=A,PA,AOu平面上4￡),

所以CE_L平面己4￡).

(2)由(1)知，CE_L平面PAD,而PEu平面PAD,則CE_LPE,又CELAE,

因此NPE4是二面角尸-CE-A的平面角，

在RtAECD中，DE=CDcos45=1,CE=CDsin45=1,

顯然CE=AB=1,A3//C￡,四邊形ABCE為矩形，于是BC=AE=2,

而四棱錐尸一ABCD的體積/_ABCO=：SABCZ<PA=2X](2+3)X1.PA=3,解得2=1,

3326

PA11

在Rt上4石中，tanZPEA=——=—,因此NP￡A=arctan—,

AE22

所以二面角P-CE-A的大小為arctang.

18.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且0-&=%-4=。4-4.

(1)證明：%=瓦；

⑵若集合/=｛左也=q“+?i，lVmW50｝,求集合A7中的元素個數(shù).

【答案】(1)證明見解析

(2)6

【分析】（1）借助數(shù)列的基本量運算即可得到；

（2）將條件轉(zhuǎn)換后計算出，〃與k的關(guān)系，再根據(jù)加的范圍要求代入計算即可得.

【詳解】⑴證明：設數(shù)列｛叫的公差為則[q+d一2止跖-（4+3〃）,

即尸

[4+2d-5bl=0

解得4=%=（,所以原命題得證.

（2）由（1）知4=%=：,所以4.=a“,+4o/=%+（7"-1）“+4,

因為。尸0,所以〃2=2"241,50],解得24心題250+2=3+1鳴25,

由24=15,25=32,^4<log225<5,即7<3+log?25<8,

所以滿足等式的解左=2,3,4,567.

故集合〃中的元素個數(shù)為6.

四、解答題

19.為了鼓勵居民節(jié)約用氣，某市對燃氣收費實行階梯計價，普通居民燃氣收費標準如下：

第一檔：年用氣量在。-31。（含）立方米，價格為。元/立方米；

第二檔：年用氣量在310-520（含）立方米，價格為6元/立方米；

第三檔：年用氣量在520立方米以上，價格為c元/立方米.

（1）請寫出普通居民的年度燃氣費用（單位：元）關(guān)于年度的燃氣用量（單位：立方米）的函數(shù)解析

式（用含6,c的式子表示）；

（2）已知某戶居民2023年部分月份用氣量與繳費情況如下表，求”,4c的值.

月份1234591012

當月燃氣用量（立方米）5680665860535563

當月燃氣費（元）168240198174183174.9186264.6

ax,0<x<310

【答案】⑴"310〃+仇兄-310),31。<工工520

310^+210Z?+c(x-520),x>520

(2)a=3,b=3.3,c-4.2

【分析】(1)根據(jù)燃氣收費標準求得解析式.

(2)根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)以及函數(shù)解析式求得

【詳解】(1)依題意，函數(shù)解析式為：

ax,0<x<310

y=^310?+&(x-310),310<x<520

310〃+210b+c(x-520),x>520

(2)解法一：

由一月份數(shù)據(jù)可得：。=警=3,

56

通過計算前5個月用量：56+80+66+58+60=320,

前5個月燃氣總費用：168+240+198+174+183=963,

由(1)中函數(shù)解析式，計算可得：963=310x3+^(320-310),

所以6=3.3,

又9月份，10月份，12月份的燃氣費均價分別為：3.3,3.38,4.2均不同，

所以12月份為第三檔，0=等=4.2.

63

解法二：

1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃氣費均價分別為：3,3.05,3.3,3.38,4.2均不同.

所以1月份為第一檔，5月份為第一檔和第二檔，10月份與12月份不同，

則12月份為第三檔，10月份與9月份不同，10月份為第二檔與第三檔，9月份為第二檔.

從而得到，。=3,6=3.3,c=4.2.

20.己知橢圓+/=1(a>8>0)的離心率為,，其上焦點F與拋物線K:Y=4y的焦點

重合.

圖1

（1）求橢圓「的方程;

（2）若過點下的直線交橢圓r于點A,2,同時交拋物線K于點c,。（如圖1所示，點C在橢圓與拋物

線第一象限交點上方），試比較線段AC與8。長度的大小，并說明理由;

（3）若過點P的直線交橢圓「于點A,8,過點F與直線A3垂直的直線EG交拋物線K于點E,G（如

圖2所示），試求四邊形A￡BG面積的最小值.

2

【答案】⑴『X』

（2）\AC\>\BE\,理由見解析

(3)4A/2

【分析】（1）根據(jù)已知條件求得。，仇c,從而求得橢圓的方程.

（2）設出直線A3的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，由此求得|鉆|,聯(lián)立直線

的方程和拋物線的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，由此求得|CD|,利用差比較法求得|AC|>|比）|.

（3）對直線A3的斜率是否存在進行分類討論,由（2）求得|AB|,|EG|,進而求得四邊形AEBG面

積的表達式，根據(jù)不等式的性質(zhì)求得面積的最小值.

【詳解】（1）由題意得尸即：c=i,又￡=變，所以°=夜,

a2

2

由"一k=。2,得討=[,所以橢圓的方程為工+/=1.

2

（2）由題意得過點尸的直線A3的斜率存在，設直線A3方程為丫=爪+1,

設3（蒼,％），C（F，%），。（々，%），

y=kx+1

聯(lián)立2消去y得：(2+k2)x2+2kx—1=0,

2-+x2=l''

12

ni12k1

則…=2=三百

2夜（1+陰

-2+,-

拋物線K的方程為：x2=4y,

\y=kx+1

聯(lián)立,消去y得：-4=。，

貝"x3+x4=4k,x3x4=-4,

所以\CD\=’（1+^（164+16）=4（1+Z:2）,

所以|AC|-忸￡>|=（|4。+|3|）-（忸必+|*|）=|8|-|他|

二2"2（l+^2）（2F+4-V2）

>0,

2+產(chǎn)

即M>|叫

(3)設8(孫、2)，石優(yōu)，%)，G(%46)，

當直線AB的斜率存在且不為零時，

設直線A3方程為、=履+1化片0),

則直線EG方程為尸-%+1,

由（2）的過程可知：.1=21（1+、）,

112+k1

由|CD|=4(1+左2),以一:替換上,可得但G|=4(l+gj

所以%BG=g|ABHEG|=；x等等X440（1+4

〃（2+用

40(1+44忘

(l+)t2)2-l

1----

(1+用

4f>40

因為1+左2>1,所以消『江。，1),1-//武。,1),SAEBG

當直線4B的斜率不存在時，|AB|=20,|EG|=4,

所以男/=三人加忸3=gx2萬x4=40；

綜上所述：S碼G240,所以四邊形AEBG面積的最小值為40.

【點睛】求解橢圓的標準方程，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求得匕，〃和6是兩個未知參數(shù)，要求出兩個

參數(shù)的值，需要兩個已知條件，如本題中“橢圓的離心率以及焦點”兩個已知條件，再結(jié)合/=62+02

即可求得。，6,從而求得橢圓的標準方程.

21.已知函數(shù)>=/(無)，記/'(x)=^+sinx,x&D.

⑴若。=［0,2兀］,判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若,不等式/*)>依對任意xe。恒成立，求實數(shù)上的取值范圍；

(3)若D=R,則曲線y=〃x)上是否存在三個不同的點A2,C,使得曲線y=〃x)在A,2,C三點處

的切線互相重合？若存在，求出所有符合要求的切線的方程；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)函數(shù)>=/(尤)在［0,22上是增函數(shù)

2

(2)k<—F1

71

(3)存在，滿足條件的切線方程為y=x±i

【分析】(1)利用導數(shù)判斷出〃x)在區(qū)間［0,2兀］上的單調(diào)性.

(2)由〃x)>H分離參數(shù)人，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合多次求導來求得上的取值范圍.

(3)先設出切線方程，然后根據(jù)切線重合列方程，由此進行分類討論來求得切線方程.

【詳解】(1)因為/'(%)=l+cosx?0,當且僅當在x=兀時，r(x)=O,

所以函數(shù)y=f(x)在［。,2兀］上是增函數(shù).

QinV

(2)由題意得，(左—l)%vsinx,于是％—1<------.

x

令/1(兀)=包3，貝(]/(%)=xcosx—sinx

X

71

令〃(x)=xcosx-sinx,貝UMO)=-xsinx<0,x￡(0,5],

JTIT

所以“(X)在(Oq]上是嚴格減函數(shù)，于是a(X)<M(0)=0,XC(0,3],

由于〃(無)=xc°slnx<已?勺，于是/i(x)在(0,勺上是嚴格減函數(shù),

x22

所以%。(尤)=〃百=2，因止匕"1<工，即發(fā)<2+1?

2717171

(3)解法一:

設4芭,％)、5(々，為)、。(冗3，為)，則曲線在ABC三點處的切線分別為直線

4:y=(1+cos%1)x-xxcosx{+sin石,

l2:y=(l+cosx2)x-x2cosx2+sinx2,

4:y=(1+cosx3)x-x3cosx3+sinx3.

因為直線4,，2,4互相重合，所以COS%=cosx2=cosx3,

且一再cosX]+sin玉=-x2cosx2+sinx2=-x3cosx3+sinx3.

因為cos再=cosx2=cosx3,

所以sin=±sinx2,sinx2=±sinx3,sinx3=±sin項.

①若sin再=-sin%,sinx2=-sinx3,sinx3=-sinxx.

貝Usin%]=0,sinx2=0,sin七=0,

于是一％1COSxx=-x2cosx2=-x3cosx3,

因為COSX=cosx2=cosx3=±1w0,

所以尤1=無2=鼻，與AB,C三點互不重合矛盾.

②若sin%=sin%,sinx2=sinx3,sin七=sin玉中至少一個成立,

不妨設sin%[=sin%2成立，則玉cosjq=x2cosx2,

若cos%=cosww。，貝!J%i=%2，矛盾，舍去,

于是cos%=cos%=°,sin=sinx2=±1,

所以滿足要求的切線方程為y=x+i或丁=尤-1

解法2：

假設存在三個不同點A&，M),5(9,%)，C(%，為)在曲線＞=/(%)上滿足條件,

貝U必=玉+sin玉,%-xi+sin%2，，3=%3+sin%3,且為,々,當互不相同.

曲線y=/(%)在A民c三點處的切線方程分別為：

4:y=(1+cosxjx+sin玉-石cos玉,

Z2:y=（14-cosx2）x+sinx2-x2cosx2,

l3:y=（1+cosx3）x+sinx3—x3cosx3,

cos石=cosx=cosx①

依題意，有23

sin玉一玉cos玉=sinx2-x2cosx2=sinx3-x3cosx3②

由①得，％2=2阮±%],工3=2〃兀±%1，左,〃￡Z.

情形1：若％2=2攵兀+%,％3=2及兀+石,女,〃。0,左代入②得，

sin演-玉cos再=sin王-（2fai+玉）cos玉=sin玉-（2〃兀+再）cos王.

（2fai）cosx,=0

即,而N〃w。，故cos%=0,sin±=±l,

（2〃兀）cos芯=。

此時滿足條件的切線方程為y=x±i.

情形2：若％=2阮-%,%3=2河-玉/W",代入②得,

sin%-玉cos玉=-sin%-Qkit一玉）cos玉=-sin%-（2〃兀一%）cos玉.

sin玉+（E-F）COS玉=0

兩式相減,

sin玉+（〃兀一九1）cos玉=0

得(左一〃)7T-COS玉=。，由于左，幾，故COSM=0,

止匕時sin