彎曲變形-用積分法求彎曲變形（材料力學(xué)）

第六章彎曲變形§6-1基本概念及工程實(shí)例§6-2撓曲線的微分方程§6-3用積分法求彎曲變形§6-4用疊加法求彎曲變形§6-5提高彎曲剛度的措施§6-3用積分法求彎曲變形1.由第五章彎曲應(yīng)力分析得純彎曲時(shí)曲率與彎矩的關(guān)系2.由高等數(shù)學(xué)的曲率公式知代入可得Oxw曲線向下凸時(shí):

曲線向上凸時(shí):

因此,與的正負(fù)號(hào)相同xOw式中，正負(fù)號(hào)的選取：與1相比十分微小而可以忽略不計(jì),此式稱為

梁的撓曲線近似微分方程工程中轉(zhuǎn)角變形很小，故上式可變形為：一、微分方程的積分若為等截面直梁,其抗彎剛度EI為一常量.上式可改寫成1.積分一次得轉(zhuǎn)角方程2.再積分一次,得撓度方程二、積分常數(shù)的確定1.邊界條件2.連續(xù)條件AB在簡(jiǎn)支梁中,左右兩鉸支座處的撓度和都等于0.在懸臂梁中,固定端處的撓度和轉(zhuǎn)角都應(yīng)等于0.AB例題1圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F作用.試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角.ABxFwxwABxF（1）彎矩方程為解：（2）撓曲線的近似微分方程為

對(duì)撓曲線近似微分方程進(jìn)行積分

梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為

邊界條件

將邊界條件代入（3）（4）兩式中,可得BxyAFBxyAF都發(fā)生在自由端截面處和（）（）例題2圖示一抗彎剛度為EI的簡(jiǎn)支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載作用.試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其和ABqlABqlFRAFRBx

解:由對(duì)稱性可知,梁的兩個(gè)支反力為此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為

邊界條件

x=0和x=l時(shí),

xABqlFRAFRB

A

Bwmax梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為

在x=0和x=l處轉(zhuǎn)角的絕對(duì)值相等且都是最大值，

跨中有最大撓度值例題3圖示一抗彎剛度為EI的簡(jiǎn)支梁,在D點(diǎn)處受一集中力F的作用.試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并求其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角.ABFDablFRAFRBABFDabl12xx解:梁的兩個(gè)支反力為

兩段梁的彎矩方程分別為

兩段梁的撓曲線方程分別為

（a）（0

x

a）

撓曲線微分方程

轉(zhuǎn)角方程

撓曲線方程（b）（a

x

l

）

轉(zhuǎn)角方程

撓度方程

撓曲線微分方程

邊界條件

在x=a處

在x=0處,

在x=l處,

代入方程可解得:ABFDab12FRAFRB

（a）（0

x

a）

（b）（a

x

l

）

將x=0和x=l

分別代入轉(zhuǎn)角方程左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角

當(dāng)a>b

時(shí),右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對(duì)值為最大

簡(jiǎn)支梁的最大撓度應(yīng)在處

先研究第一段梁,令得

當(dāng)a>b時(shí),x1<a

最大撓度確實(shí)在第一段梁中

梁中