2022年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型+重難題型突破類型二匯總（附答案解析）

類型二恒成立問題與有解問題

不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，已知函數(shù)y=∕(x),x∈[α,5∣,y=g(x),x∈[c,d]

⑴若V%e[α,b],%∈[c,d],總有/(χ)<g(w)成立，故/(x)max<g(w)mh,；

(2)若Vx∣∈上/,句，3J?∈[CS],有/(χ)<g(W)成立，故/(x)maxVg(W)max；

(3)若叫w[a,b],Bx2≡[c,d],有/(%)<g(x2)成立,故/⑺二<g(w).；

(4)?*X∕X]e[α,,3Λ^≡[c,d?,有〃石)=g(w),則“X)的值域是g(x)值域的子

集.

二.恒成立問題的一般解答方法如下：

(1)參數(shù)分離法：將原不等式化為“>g(x)或α<g(x)恒成立的問題，然后分析函數(shù)g(x)

在所給區(qū)間的單調(diào)性及最值，只需滿足最值成立即可；

(2)分類討論：討論函數(shù)/(*)在所給區(qū)間單調(diào)性及最值，需滿足舞X(X)(°或

Znin(X)>。

【典例11已知函數(shù)F(X)=(De-l.

(D求/Xx)的極值；

⑵設(shè)g(x)=(X—t>+(InX-?,存在X∣∈(-8,+8),茲∈(0,+8),使方程f(χι)

=g(xz)成立，求實數(shù)加的最小值.

【解析】解⑴fω=-Λe',

當(dāng)x∈(O,+8)時，f(Λ)<O,當(dāng)χG(-8,0)時，f(χ)>0,

.?.當(dāng)戶0時，F(xiàn)(x)有極大值F(O)=e°—1=0,F(x)沒有極小值.

(2)由(D知F(X)W0,

又因為g(x)=(x—O?+1In

所以要使方程f(為)=名(就有解，必然存在及e(0,+o°).使g(xJ=O,所以x=2,InX

~~t,

等價于方程Inx=@有解，

X

即方程勿=XInX在(0,+8)上有解,

o

記力(X)=XInxf%∈(O,+°),則力'(X)=Inx+l,

令人'(X)=0,得x=(,

所以當(dāng)χw(θ,3時，力'(x)<0,力(x)單調(diào)遞減，當(dāng)χeg,+8)時，h,(x)>0,力(x)單調(diào)

遞增，

所以當(dāng)X=I時，力(X)Inin=-L

ee

所以實數(shù)卬的最小值為一、

e

【典例2】設(shè)函數(shù)F(X)=aV-xlnx—(2a—l)x+a-1QwR).若對任意的X￡[1,+o°),

f(x)20恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】解F(x)=2aχ-1—InX-(2a—1)=2a(χ-1)—Inx(x>0),

易知當(dāng)X￡(0,+8)時，InXWX—1,

則f(x)22a(χ-1)—(X—1)=(2a—1)(?-1).

當(dāng)2a—120,即a2刎，由χd[l,+8)得/(χ)20恒成立，

f(x)在[1,+8)上單調(diào)遞增，/ω≥Λl)=0,符合題意；

當(dāng)a<0時，由X￡[1,+8)得F(X)WO恒成立，F(xiàn)(X)在[1,+8)上單調(diào)遞減，

Λx)≤∕(l)=0,顯然不符合題意,a<0舍去；

當(dāng)0<水；時，由Inτ≤χ-1,

得InW-1,即In

XXX

則f(x)W2a(χ-1)—(1—^θ=θ^^θ(2dχ-1),

V0<a<^,Λ->1.

2Za

當(dāng)x∈1,J時，ff(x)≤0恒成立，

乙a_

.?.f(x)在1,；上單調(diào)遞減，

,當(dāng)XW1，4時，F(xiàn)(X)WF(I)=0,

_Za_

顯然不符合題意，O<ag舍去.

綜上可得，a∈?,+8)

【典例31已知F(X)=X2—4x—6Inx.

(1)求F(X)在(1,F(I))處的切線方程以及MX)的單調(diào)性；

(2)對任意x∈(l,+∞),有XF(x)—/'(才)>f+64?(1—j—12恒成立，求4的最

大整數(shù)解；

(3)令g(x)=f(x)+4x—(a—6)In筋若g(x)有兩個零點分別為x,在(為〈也)且Ab為

g(x)的唯一的極值點，求證：XI+3X2>4XO.

【解析】(1)因為F(X)=V-4χ-61nx,所以定義域為(0,+∞),所以/(*)=2、一4一

62

一，且所以切線方程為,又

Xr(1)=-8,Λl)=-3,v=-8x+5f'(X)=X-(X+1)(L3),

令/(x)>0解得x>3,令F(X)Vo解得OVXV3,所以F(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3),

單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+∞).

/、,/、/、.?+?lnX、T,、χ-?~?lnx?,

②Xf(X)-F(X)>『?+641一一-12等價于k<----—,記力(X)=---------,則

IX)X-I?-l

X—2—InX

K力(x)min,且力'(X)=-7----H-，記/(X)=X—2—InX,則加‘(X)=I—>0,所以勿(x)

(?-1)X

為(1,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù)，且//?(3)=ι-ιn3<0,77/(4)=2—In4>0,所以存在照

￡(3,4),使得勿(XO)=0,即施一2一In照=0,所以方(x)在(1,劉)上單調(diào)遞減，在(施，+

8)上單調(diào)遞增，且方(*)『祗)=注斗』曰3,4),所以A的最大整數(shù)解為3.

(3)證明：g{x)=/—alnx,

.∣,/Xa(/x+V?(/L√?

m9z

貝IJg(x)=ZX-—X=-----X-----,

(x)<0,

m上單調(diào)遞減，在

+∞時，g'(?)>0,所以g(x)在0,,+°o

上單調(diào)遞增，而要使g(x)有兩個零點，要滿足g(x0)<0,即

0=>a>2e.

因為OVXlV令二=z(t>l),由g(x∣)=g(x2),可得aln*ι=打一

aln如即-alnx,"x?n戊，所以#=甥,而要證汨+3Q4x0,只需證(3￡

+l)x∣>2匹，即證(3t+l)∕>8a,即(3t+l)'>8a,又a>0,t>l,所以只需證

(3f+l)2lnf-8Γ+8>0,令力(t)=(3?+1尸加力一8d+8,則為'(?)=(18?+6)Int-lt

+6+},令〃(Z)=(18z+6)Int~lz+6+y?

則n,(f)=181nr+ll÷-->->0(z>1),故〃(。在(1,+8)上單調(diào)遞增，∏{t)>/?(1)

=0,故力(。在(L+8)上單調(diào)遞增，h{t}>A(1)=0,所以XI+3X2>4XO.

【典例4】已知函數(shù)/'(x)=V+JicosX.

(1)求函數(shù)Ax)的最小值；

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)—a在(0,+8)上有兩個零點汨，χ2f且水如求證：xι+x2<

π.

【解析】(1)易知函數(shù)/Lr)為偶函數(shù)，故只需求彳∈[0,+8)時∕?(χ)的最小值.F(X)=

,,

2x—πsinx,當(dāng)%∈O時，設(shè)力(X)=2χ-πsinx9h(x)=2—πcosx,顯然h

(x)單調(diào)遞增，而力,(0)<0,"(?∣^)>0,由零點存在性定理知，存在唯一的Λi)∈(θ,3,

使得〃(%)=0.當(dāng)χW(0,苞)時，h,(X)V0,力(工)單調(diào)遞減，當(dāng)萬￡(照，萬j時，h,(x)

∕θ^)=0,故X￡(0，?j,Λ(x)<0,即x∈(θ,?j,

>0,方(入)單調(diào)遞增，而A(O)=0,ff

(X)V0,f(x)單調(diào)遞減，又當(dāng)x∈+°o,2x>π>πsinx,ff(%)>0,F(x)單調(diào)

遞增，所以Xx)

5，+oo?構(gòu)造函數(shù)分(X)=F(X)—F(幾一x),

⑵證明:

x∈(θ,?

,F,(?)=f(%)+f,(H—x)=2π-2Hsinx>0,

即函數(shù)尺x)單調(diào)遞增，所以Z*)<∕(2)=0,即當(dāng)xd(θ,時，F(xiàn)(X)<f(n-χ),

而Xι∈(θ,—

所以F(Xl)</'(π—??),又F(M)=F(X2),

即/'(生)Vf(n一小)，此時X2,n一xι∈仔，+8).

由(1)可知，F(xiàn)(X)在停，+8)上單調(diào)遞增，所以上<“一小，即x∣+&<n.

【典例5】已知函數(shù)F(X)=ae'f—Inx+lna.若F(X)21,求a的取值范圍.

【解析】解F(X)的定義域為(。，+8)/⑸=一.

當(dāng)0<水1時,?(l)=a+lna<l.

-vl

當(dāng)a=l時，f{x)=e''-Inx9f(Λ)=e^-?

X

當(dāng)x∈(0,1)時，fUXO;

當(dāng)χW(l,+8)時，f,(X)>0.

所以當(dāng)x=l時，Ax)取得最小值，最小值為/U)=l,

從而f(x)21.

當(dāng)a〉l時，f{x)=aer^1-In%÷lna≥eτ'—InΛ≥1.

綜上，a的取值范圍是［1,+∞).

【典例6】設(shè)函數(shù)/'(X)=HnxΛ--^χ-bx^a≠-V),曲線y=∕U)在點(1,f(l))處的切線

斜率為0.

⑴求b?,

(2)若存在於21,使得f(x0)〈=)，求a的取值范圍.

a-?

2思路分析

?存在冊21,使得f(x0)〈」7

a—1

!

?/X≡in<~~

?求fX

【解析】解⑴/(x)=f+"a)i

山題設(shè)知f(1)=0,解得6=L

(2)F(x)的定義域為(0,+∞),

?—a

由(1)知，F(xiàn)(x)=aln?+—-χ-χ9

fl(Λ)=；+(1—a)LI=

a

①若aWj,則—Wl,故當(dāng)x∈(l,+8)時，f(χ)>0,F(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以，存在於21,使得/'(加)〈」7的充要條件為

a—1

解得一蛆一1<水位一L

1O

②若小沃1,則^--->1,

Z1-H

故當(dāng)XC(1，言〉寸，F(xiàn)(力<0，

當(dāng)萬仁卜^，+8)時，f(χ)>0,f(χ)在(1,三；)上單調(diào)遞減，在(JE，+8)上單調(diào)遞

增.

所以，存在施21,使得/?(揚)<告的充要條件為F(產(chǎn)?)<告.

a—1-a/a—I

所以不符合題意.

③若a>l,則F(I)=寧T=千〈V.

LZa—1

綜上，a的取值范圍是(一小一1,√2-l)U(l,+∞).

【典例7】己知函數(shù)F(X)=21nx+1.若F(X)W2x+0求C的取值范圍.

【解析】解設(shè)力(X)=Fa)—2x—c,

則力(x)=2Inχ-2x+?-C9

2

其定義域為S,+8),htω=f-2.

X

當(dāng)O<K1時，h,(Λ)>0:當(dāng)彳>1時，h,(x)<0.

所以ZzCr)在區(qū)間(Oj)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減.

從而當(dāng)x=l時，力(x)取得最大值，最大值為力(I)=-I-C

故當(dāng)一1—cW0,即C2—1時，f{x)≤2A^+C.

所以。的取值范圍為［—1,+∞).

【典例8】已知函數(shù)/'(x)=lnX—ax,g(x)=V,a∈R.

⑴求函數(shù)f(x)的極值點；

(2)若f(x)Wg(x)恒成立,求a的取值范圍.

【解析】解(I)F(X)=InX—ax的定義域為(0,+o°),

f,(?)=--a.

X

當(dāng)a≤0時，f(?)='—a>0,

X

所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，無極值點；

當(dāng)a>0時，由〃(力=’—a>0,得(KXd,

Xa

由/"(X)=I一水0,得x>L

Xa

所以f(χ)在(0,0匕單調(diào)遞增，在(5+8)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)AX)有極大值點T，無

極小值點.

(2)由條件可得Inx一父一axW0(x>0)恒成立，

1nV

則當(dāng)x>0時，a≥-——X恒成立，

X

令力(X)=——X,X〉。，則〃(X)=TT

XX

令4(x)=1—*2—InX,x>O,

則當(dāng)x>0時，k'(X)=—2x—1<0,

X

所以A(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

又以1)=0,所以在(0,1)上，Reo>0,在(L+∞)±,/?'(x)<0,

所以/;(*)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

所以方(x)nMX=力(1)=-1,所以a2一1.

即a的取值范圍為aN-l.

【典例9］己知乃=:為函數(shù)F(X)=Y,lnX的極值點.

Ye

(1)求a的值；

kχ

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=~7,若對VX1∈(O,+8),3X∈R,使得/'(汨)-g(X2)20,求〃的取值

e2

范圍.

【解析】解⑴/(x)=aLlnx+xT"T(aln*+l),

調(diào)遞增,

所以X=為函數(shù)f(x)=ΛnX的極小值點,

因此a=2.

(2)由(D知f{x)^=f函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x)=A(l-χ)e<

①當(dāng)A>0時,

當(dāng)KI時，g(x)>0,g(x)在(一8,D上單調(diào)遞增；當(dāng)工〉1時，g,(χ)<0,g(x)在(1,+

8)上單調(diào)遞減，

對VXI∈(0,+∞),m照=一：，使得g(3=(一：)=一一<—1<一(或/'(汨)，符合題意.

②當(dāng)左=O時，g(x)=O,取乂=左，對Vxz￡R有F(XI)—g(生)<0,不符合題意.

③當(dāng)ZO時，

當(dāng)x<l時，g,(?)<0,g(x)在(-8,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)χ>l時，g'(χ)>0,g(x)在(1,+

8)上單調(diào)遞增，

k

g(x)min=g(l)=3

k1

若對Vxι∈(O,+o°),m^eR,使得F(*∣)—g(*2)20,只需/xWinW/XM.in,即一W—

eZe

解得AW

綜上所述，Ae(—8,—?U(0,+∞).

規(guī)律方法(1)由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題的策略

①求最值法，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題.

②分離參數(shù)法，將參數(shù)分離出來，進而轉(zhuǎn)化為a>f(x)""或水/'(*)W的形式，通過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)

用求出f(x)的最值，即得參數(shù)的范圍.

(2)不等式有解問題可類比恒成立問題進行轉(zhuǎn)化，要理解清楚兩類問題的差別.

1e

【典例10】設(shè)函數(shù)./(x)=αχ2-。-InX,g(x)=f-/,其中"CR,e=2.718…為自然對數(shù)的底

數(shù).

⑴討論y(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)x>l時，g(x)>O;

(3)確定”的所有可能取值，使得兀v)>g(x)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立.

19∕τχ,2—1

【解析】.(1)解f(x)=2ax~~=--------(x>0).

當(dāng)gO時,f(x)<O,3x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.

當(dāng)t∕>0時，由f(x)-0有x=

當(dāng)χ≡3?>，/(x)<O,?r)單調(diào)遞減；

當(dāng)X∈(±,+力時，F(xiàn)(X)>0,火X)單調(diào)遞增.

(2)證明令5(x)=et^,-Λ^,則HX)=e?r—1.

當(dāng)QI時，s<x)>O,所以e?ι>x,

從而g(χ)=［一擊>。,

(3)解由(2)知，當(dāng)Ql時，g(x)>O.

當(dāng)α≤0,x>l時，J(x)=a(x1-1)—Inx<O,

故當(dāng)√U)>g(χ)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立時，必有〃>o.

當(dāng)0<sv；時,^y=>1,

由⑴有6?)W)=°'而8(總”

所以yU)>g(χ)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)不恒成立；

當(dāng)點5時，令∕J(X)=TW—g(x)gi)>

因此，萬。)在區(qū)間(1,+8)單調(diào)遞增.

又因為/z(l)=0,所以當(dāng)x>l時，∕z(x)=Λx)—g(x)>0,

即危)>g(x)恒成立.綜上,“eg，+∞).

【典例11]已知函數(shù)HX)=InX一巧宜.

(1)求函數(shù)yu)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)x>l時，J(x)<χ-};

⑶確定實數(shù)％的所有可能取值，使得存在χo>ι,當(dāng)ι∈(i,刈)時，恒有應(yīng)0>武工一i).

1--Y*2γ?-∣-1

【解析】.解(W(x)=,x+]=r,x∈(0,+∞).

由/(x)>0得

故./U)的單調(diào)遞增區(qū)間是0

(2)令F(X)=Kx)—(x一1),Λ∈(0,÷∞).

則有k(X)==E

當(dāng)x∈(l,+?>)時，F(xiàn),(Λ)<0,所以尸(X)在［1,+oo)上單調(diào)遞減,

故當(dāng)x>l時，F(xiàn)(X)VF(I)=O,

即當(dāng)x>l時，,/(x)<χ-l.

(3)由(2)知，當(dāng)Z=I時?，不存在xo>l滿足題意.

當(dāng)%>1時，對于工>1,有yu)vx—ιvk(Λ-i),

則/U)v左(x—1)，從而不存在沏>1滿足題意.

當(dāng)ZVI時，令Ga)=/U)—?X一1),x∈(0,+∞),

n?士/1-X2+(1-k)x+1

則有G,(x)=-~xl+1~fk=---------------------------.

由G<x)=0得，一jc2+(l-k)x+l=O.

1—k—7(1—k)2+41—k+y∣(1—Z)2+4

解得Xl=<0,X='>1.

222

當(dāng)x∈(l,W)時，G,(x)>0,故Ga)在［1,X2)內(nèi)單調(diào)遞增.

從而當(dāng)x∈(l,X2)時，G(x)>G(l)=0,

即yu)>%(χ一1).

綜上，人的取值范圍是(一8,1).

類型三等比數(shù)列

1.下列結(jié)論中,錯誤的個數(shù)為（）

①滿足a,,n=qa,,（n∈N?,q為常數(shù)）的數(shù)列｛aj為等比數(shù)列.

②a,b,c三個數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac.

③如果數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列,bn=a2n-l+a2n,則數(shù)列｛bn｝也是等比數(shù)列.

④如果數(shù)列｛aj為等比數(shù)歹%則數(shù)列｛lnaj是等差數(shù)列.

A.1B.2C.3D.4

【答案】I）

【解析】對于①,當(dāng)n屬于正整數(shù),q為常數(shù)且不等于O時,數(shù)列｛aj為等比數(shù)列，故①錯誤；

對于②,由等比中項的概念可知,a,b,c三個數(shù)成等比數(shù)列的必要條件是b'=ac,故②錯誤;對

于③,當(dāng)?shù)缺葦?shù)列｛a,J的公比q=-l時,b,,=0,此時｛b,,）不是等比數(shù)列，故③錯誤;對于④,當(dāng)a..

為正數(shù)時,數(shù)列｛lna”｝是等差數(shù)列,故④錯誤.所以結(jié)論中錯誤的個數(shù)為4,故選D.

2.［2021陜西百校聯(lián)考］已知等比數(shù)列｛aj的公比為q,前4項的和為a∣+14,且a2,a3+l,3成等

差數(shù)列,則q的值為（）

Λ.團1團2團或2B.1或團1團2團C.2D.3

【答案】A

［解析］由題意知a∣+a2+a*+a?ι=a∣+14,且a2+a∣=2（as+l）,

兩式聯(lián)立，Uj解得ai=4,所以az+a產(chǎn)10,a2a,=0a0302Ξ=16,解得團ElISa回2團=2,回團a!34團=8團團或

團團回ag∣2團=8,ElEIaE14團=2,13團所以q=2或q=團1團2團，故選A.

3.［2021安徽省四校聯(lián)考］已知正項等比數(shù)列｛aπ｝的前n項和為S.,若

a=回1團8日，53-@尸日3圓4回，貝!|54=（）

A.01121613B.01080C.0310160D.015080

【答案】D

【解析】解法一設(shè)等比數(shù)列ω的公比為q（q>0且q≠l）,Va4=BlSSB,S3-a1=03040,Λ

舀回EII2laml回（I-團qUI3團）回1-q回一回a回1回=回3團4團,團回a回1酬q回3回=團1團8團,回回得

al≈l,q=0102EI,.?.St=01×（l-01l2l0204a0）0H21102l210=l2115080.

解法二

設(shè)等比數(shù)列｛a,,｝的公比為

q（q>O且qW1）,：S3-a∣=a2+a3=酬a回4回團回q!22酬+酬a團4回回q團=回3回4圖，a產(chǎn)團1回8團，；.

q二團1圈2團，，a尸團EIa團4團團團q團3團5=1,5，尸81+@2+鈾+。產(chǎn)1+團3圈4團+日1回8回二團15團8回.

4.在等比數(shù)列｛a』中，若a3=2,a7=8,則a5等于（）

A.4B.-4C.±4D.5

【答案】A

【解析】?；數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且a?=2,a,=8,

Λa5=a3?a7=2×8=16,則as=±4,

Y等比數(shù)列奇數(shù)項的符號相同，.?.as=4.

S

5.（2020金國∏）記S“為等比數(shù)列｛aj的前n項和.若as—a3=12,ae-a∣=24,則」等于（）

3?n

A.2n-lB.2-2'^n

C.2-2n^'D.2'^n-l

【答案】B

【解析】方法一設(shè)等比數(shù)列｛a,,｝的公比為q,

山a$a3=1aya1q12B∣12i?∣a∣=l.

所以a,,=ad'τ=2"τ,Sn--,1-q-=2"-l,

1-q

所以盤=U=2-2'T

3?ll2

方法二設(shè)等比數(shù)列ω的公比為q,

2

fa3q-a3=12,①

2

?[a∣q-a1=24,②

將q=2代入①，解得出=4.

所以aι=?=l,下同方法一.

q

6.已知等差數(shù)列｛aj和等比數(shù)列?1｝的各項都是正數(shù)，且a∣=b,au=bn.那么一定有（）

A.ae≤beB.a6≥bβC.a12≤b12D.a12≥b12

【答案】B

【解析】因為等差數(shù)列瓜｝和等比數(shù)列｛bn｝的各項都是正數(shù),且a∣=b∣,a∏=b∏,所以a∣

+au=bι+bu=2a6,

所以W=包募U=包9""eJbιbu=b6?

當(dāng)且僅當(dāng)b∣=bu時，取等號，此時數(shù)列｛bn｝的公比為L

7.已知等比數(shù)列｛aj的各項均為正數(shù),公比為q,且a∣>l,a6+a7>a6a7+1>2,記｛a,,｝的前n

項積為TV,則下列選項中正確的是()

?.O<q<lB.a?>l

C.T,2>lD.T,3>l

【答案】ABC

【解析】由于等比數(shù)列｛a,,｝的各項均為正數(shù)，公比為q,且a∣>l,aβ+a7>a6a7+l>2,所以

(a6-l)(a7-l)<0,由題意得證>1,aXl,所以0<q<l,A,B正確;因為aβaτ+l>2,所以a6a,l,

r，i

Tι2=aι?a2..........a∣ι?aι2=(a6a7)>l,Tι3=a｝<l,所以滿足T“>1的最大正整數(shù)n的值為12,

C正確，D錯誤.

1

8.數(shù)列｛a,,｝中，a∣=2,a≡,+r,=a,,,a,,,?ak+ι+ak+z4--∣-ak+ιo=2,-2°,則k等于()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】；ai=2,a?+?=a.a?,

令m=l,貝!|ann=a∣an=2a,>,

.?.W是以a∣=2為首項，2為公比的等比數(shù)列,

n

Λan=2×2"^'=2.

又'.?a∣<+ι+ak+2+…+ak+κ(=2"-2",

2k+l1-2'°

1-2

即2k+'(2K)-D=2“2'°-1),

Λ2k+1=22*5,Λk+1=5,Λk=4.

2

9.己知函數(shù)f(x)=]+χz(xGR)，若等比數(shù)列｛aj滿足aιa2020=l,則f(a?)÷f(a2)÷f(a3)+…

+￡3。2。)等于()

A.2020B.1010C.2D』

【答案】A

【解析】,?*a?az(>20=1>

22

??f(31)+f(32020),l^^j+tI~2

1?a?1十打2020

2?2______2,j_2af

1+a；1l+aι1+a?

l+^2

???W為等比數(shù)列，

則a?a^020=3232019=???=Hi(HOaloll=L

?*?f(32)4-f(32019)=2>???>f(a?010)H-f(3lOil)=2f

即f(a∣)+f(az)+f(a3)+-+f(a2θ2o)=2Xl010=2020.

規(guī)律方法等差、等比數(shù)列的性質(zhì)問題的求解策略

(1)抓關(guān)系，抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手，選擇恰當(dāng)?shù)?/p>

性質(zhì)進行求解.

(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用

函數(shù)的性質(zhì)解題.

10.(2020?全國I)設(shè)｛ar>｝是等比數(shù)列，且a1+a2+a3=l,a2+a3+a∣=2,則ae+aj+as等于

()

A.12B.24C.30D.32

【答案】D

【解析】設(shè)等比數(shù)列ω的公比為q,

a2÷a3÷a2、

則q=-------------1=——2

a1+a2+a31

所以a?+aτ+as=(a∣+a2+a3)?q"=lX2"=32.

(2)已知正項等比數(shù)列｛aj的前n項和為S”,且SKI=I0,S30=130,則SM等于()

A.-510B.400

C.400或一510D.30或40

【答案】B

【解析】：正項等比數(shù)列｛a,,｝的前n項和為S”,

.,.SlO.$20-S10,Sao—S?20,S.IO—Sso也成等比數(shù)列,

2

Λ10×(13O-S2o)=(S20-IO),

解得S20=40或SZo=-30(舍)，

故SR-Sa=270,ΛS4o=4θO.

11.[2021四省八校聯(lián)考]設(shè)無窮數(shù)列｛a.,｝的前n項和為S”有三個條件：

①a"+?=a??an,②S“=a”i+1,aι≠0,(3)S,,=2an+Ξll21pl2)(p是與n無關(guān)的參數(shù))，則從中選出兩個條件,

能使數(shù)列｛aj為唯一確定的等比數(shù)列的條件是.

【答案】①③

【解析】在①中，令m=n=l,得az=Ela團1團2團；在②中，S,,=a,n+l,當(dāng)n>2時，S,*a,,+1,兩式相減，

得an=a”「a”，即a”.i=2a”；在⑤)中，S∏=2a∣∣+010p0,S”-i=2a”+i+團1團P團，兩式相減,得a”“=2a”“-2a”

即a““=2a”.若選①②，貝IJ忸團@ag)2團=IjIa回1回2回,團回ami團=回ag∣2團+1,由團即

0a01E20=a-l,0a01020-a,+l=O,Δ=(-l)2-4×lXl=-3<0,方程無解，故不能選①②作為條

件；若選①③，則由a,,H=2a,.知，數(shù)歹IJ｛a,,｝的公比為2,由

團團團a團2團=國aEll團2團,團回a團IE)=212a團1團+l21E)p團,團團a!31團+Ela!32團=2團a國2團+mIlilP團,團團

得團團13a團lEl=2Mp=司1團2團,回團所以數(shù)歹∣J｛&,｝是首項為2、公比為2的等比數(shù)列；若選②③作

為條件,則無法確定首項,數(shù)列｛&,｝不唯一，故不能選②③作為條件.綜上所述,能使數(shù)列｛a.,)

為唯一確定的等比數(shù)列的條件是①③.

12.數(shù)歹!|｛an｝,｛bn｝滿足a,≈-l,b1=2,且000a0n+10=-

0bl2)nl2!,l2lΞbΞn+ll2l=20aanl2-30banl2l00(n∈N*),則b2oιs+b2oκ=.

【答案】-3×221115

--

【解析】易知bz=-8,由bn*i=2a「3b“=b"+2=2a”「3b”“，將消去得bn42=2bn3b∣∣-∣,所以

bn÷2÷bn÷ι=-2(bn<∣+bn),故可得bn÷∣+bn=(-2)"'(b^+bi)=(-8+2)X(-2)''=3X(-2)1,所以b：：OIIi+b」

oιs=-3X2?0,5.

13.已知點(n,an)在函數(shù)f(x)=2-的圖象上(n∈N*的數(shù)列｛a｝的前n項和為設(shè)b.=

log5%土?,數(shù)列｛b,,｝的前n項和為T,..則T”的最小值為________.

近64

【答案】一30

【解析】:點(n,a.)在函數(shù)f(x)=2一的圖象上，

Λa∏=2"-l(n∈N*),

???｛&｝是首項為&=1,公比q=2的等比數(shù)列，

，｛b』是首項為一10,公差為2的等差數(shù)列,

,nn—1o121

ΛT,,=-10n+——-——×2=n-Iln

又n∈N*,

J

的最小值為T5=‰=Q-^=-30.

14.(2020?江蘇)設(shè)⑸｝是公差為d的等差數(shù)列，｛b>1｝是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列｛③

+b,,)的前n項和Sn=r√—n+2"-l(n∈N*),則d+q的值是.

【答案】4

【解析】由題意知qWl,

所以Sn=(ai+a2+…+a∏)+(bl+b2+…+bn)

nn—1l-qn

=*+G§

h+產(chǎn)1-q-詈1—q

=n2-n+2n-l,

d

a?-2=-1,

所以＜解得d=2,q=2,

?=2"

所以d+q=4.

R1

15.已知等比數(shù)列｛afl｝的首項為卞公比為一點前n項和為Sn,且對任意的n∈N*,都有A

≤2Sn-?B恒成立，則B-A的最小值為

13

【答案】÷

O

Q1

【解析】Y等比數(shù)列｛為｝的首項法，公比為一卞

117

???2SL專的最小值為《，最大值為《

Sn63

又A≤2Sn-?B對任意nGN*恒成立，

?n

7113

?,?B-A的最小值怎一￡=臺.

3O6

16.（2020?聊城模擬）在①a5=b3+b5,②$3=87,③ag—a∣°=b+b2這三個條件中任選一個,

補充在下面問題中，并給出解答.

設(shè)等差數(shù)列｛a力的前n項和為S“，數(shù)列｛b0｝的前n項和為T“，,a∣=be,若對于任

意n∈N*都有Tn=2b“一l,且S“<Sk（k為常數(shù)），求正整數(shù)k的值.

【解析】由Tn=2b?-l,n∈N*得,

當(dāng)n=l時,b?-1；

當(dāng)n22時，Tn-1=2b,,-ι-l,

從而b,,=2b,,-2bn-i,即bn=2b,,-ι,

由此可知，數(shù)列｛bj是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，

-

故bn=2"'.

①當(dāng)a5=b3+b5時，a∣=32,as=20,

設(shè)數(shù)列｛all｝的公差為d,則a5=al+4d,

即20=32+4d,解得d=-3,

所以a,,=32-3(n-l)=35-3n,

因為當(dāng)nWll時,?,>0,當(dāng)為11時,an<0,

所以當(dāng)n=ll時;S”取得最大值.

因此，正整數(shù)k的值為IL

②當(dāng)Ss=87時?，al=32,3a2=87,

設(shè)數(shù)列｛a,,｝的公差為d,則3(32+d)=87,

解得d=-3,

所以a∩-32—3(n—1)=35—3n.

因為當(dāng)nWll時，a,?,>0,當(dāng)n>ll時，an<0,

所以當(dāng)n=ll時，S“取得最大值，

因此，正整數(shù)k的值為IL

③當(dāng)ao—a∣0=b∣+b2時，aι=32,a9-aw=3,

設(shè)數(shù)列ω的公差為d,則一d=3,解得d=-3,

所以?1=32-3(n—l)=35-3n,

因為當(dāng)nWll時,a,,>0,當(dāng)為11時,an<0,

所以當(dāng)n=ll時，Sn取得最大值，

因此，正整數(shù)k的值為IL

17.(2019?全國II)已知數(shù)列｛an｝和｛b?｝滿足al=Lbl=0,4an+ι=3an-b∏+4,4bn+∣=3bn-

a?—4.

(1)證明：｛a,,+b,,｝是等比數(shù)列，｛an—bj是等差數(shù)列;

⑵求｛aj和｛bj的通項公式.

(1)證明由題設(shè)得4(an+ι+bn+∣)—2(a∣l+bn)，

即a?+1÷bn+????(an÷b?).

因為a∣+bι=l,

所以｛a,,+bj是首項為1,公比為：的等比數(shù)列.

由題設(shè)得4(a∏+ι-bn÷ι)=4(an-bn)+8,

即dn+l—bn+l=3n—bn+2.

又HLbi=L

所以｛a“一b”｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.

⑵解由(1)知，a1>+bu=2，-"a”—bn=2n—1.

所以a,l=^[(a∏+bn)+Elbn)]==?^+∏--(n∈N*),

bn=∣[(a,,+bn)—(a?—U)]=不一n+)(n∈N'),

乙乙乙

易錯提醒￡=a.a+i(n22,nCN*)是｛a.｝為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個

數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0?

18.已知數(shù)列｛aj滿足a∣=l,na“+i=2(n+l)a,“設(shè)b”=包.

n

⑴求b∣,b2,b3；

(2)判斷數(shù)列｛bj是不是等比數(shù)列，并說明理由；

⑶求｛aj的通項公式.

解⑴由條件可得a“+尸2"1a”.

n

將n=l代入得，a2=4a1,而aι=l,所以m=4.

將n=2代入得，a3=3a2,所以渙=12.

從而bι=Lb2=2,b3=4.

(2)｛bJ是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.理由如下：

由條件可得且言=9，即be=2b?,

又b∣=l,所以｛bj是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

⑶由⑵可得:=2。所以…T(n∈N*)?

19.已知等比數(shù)列｛aj的公比q>l,a.=2,且a“a2,as—8成等差數(shù)列,數(shù)列己Mj的前n

2n-1,3"+1

項和為-------2-----------

⑴分別求出數(shù)列｛an｝和｛bn｝的通項公式;

(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為S.,,任意n∈N*,S"Wm恒成立，求實數(shù)m的最小值.

【解析】(1)因為a∣=2,且a”a2,人一8成等差數(shù)歹∣J,

所以2d2=aι+a3-8,

即2aιq=aι+ay2-8,所以q2-2q—3=0,

所以q=3或q=-1,又q>l,所以q=3,

所以arι=2?3"T(n∈W)?

”2n—1?3+1

因為Hib1+a2b2^∣***1a∏bn=,

2-3?3n-1+l

所以aib?÷a2b2+???÷a,,-ιb,,-ι=------n---------------------(n≥2),

兩式相減,得a∏bn=2n-31(n≥2),

因為a∣=2?3"I所以bn=n(π22),

當(dāng)n=l時,由a?b?=2及aι=2,得bι=l(符合上式),

所以bn=n(n∈N*).

(2)因為數(shù)列｛③｝是首項為2,公比為3的等比數(shù)列，

所以數(shù)列是首項為今公比為;的等比數(shù)列，

［duj乙J

因為任意n∈N*,SIWm恒成立，

所以m2*即實數(shù)m的最小值為|.

20.［2016全國卷m,17,12分］［理］已知數(shù)列｛a,,)的前n項和Sn=l+λa,1,其中λ≠0.

(1)證明｛aj是等比數(shù)列,并求其通項公式；

⑵若&=回31團32回，求λ.

【答案】.⑴由題意得a>=S,=l+λa,,i?λ≠l.a∣=0101-λ回,a,≠0.

由Sn=l+λan,S,,.F1+λan÷ι得an÷∣=λ?>÷1-λan,即a,,÷ι(λ-l)=λan.又a∣≠0,入≠0且入≠1,所

以團回a!3n+l回I3l3al2)nl3團=回λ0λ-10.

所以｛aj是首項為E)I團I-入0,公比為團λ0λ-1團的等比數(shù)列，故an=01Ξl-λ0(0λ團λ

-IEDn-'.

(2)由(D得Sn=l-(0λ0λ-10)".由Ss=回31團32團得l-(0λ0λ-10)?310320,即(回λ團λ

-10)5=010320,解得入=T.

21.［2020全國卷m,17,12分］設(shè)等比數(shù)列｛aj滿足a∣+a2=4,a=a∣=8.

(1)求EJ的通項公式；

(2)記SIl為數(shù)列｛log3aj的前n項和.若SnASai=Sn,,3,求m.

n，

【答案】⑴設(shè)瓜｝的公比為q,則a?=aiq.

由已知得回回團a團1回+@a國imq=4,ISI3a團IBRlq團2回-團aEll回=8.回回解得a??l,q=3.

所以瓜｝的通項公式為a“=3”〔

(2)由(1)知log3a∏=n-l.

故SE回n(n-l)團2團.

由S?+S=$”3得m(m-l)+(ιn+l)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0.

解得m=T(舍去)或m=6.

22.[2020海南，18,12分]已知公比大于1的等比數(shù)列｛aj滿足a2+a4=20,a3=8.

⑴求｛a,,｝的通項公式；

nl

(2)求aιa2-a2a3+???+(-1)a∏an÷ι.

【答案】.⑴設(shè)｛aj的公比為q.由題設(shè)得a∣q+ad=20,a∣q'8?

解得q=01@2團(舍去)，q=2.由題設(shè)得a∣=2.

所以｛aj的通項公式為a“=2”.

(2)由(1)可知a"=2”,

則(-1)"'a,,a*(-l)n^l×2"×2n+'=8X(-4)nl,

記Tn=aιa2-a2a3+???+(-1)"'anan<ι,

則T,,=8×(-4)0+8×(-4),+???+8×(-4)n''

=8XmI-(Y回)2ln團團I-(Y)團

=08050[l-(-4)n].

類型二概率、隨機變量及分布

考點一古典概型

古典概型的概率公式

P小M事件A中所含的基本事件數(shù)

"A，—n1試驗的基本事件總數(shù).

【典例】1已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有

一件次品的概率為()

A.0.4B.0.6C.0.8D.1

【答案】B

【解析】5件產(chǎn)品中有2件次品，記為a,b,有3件合格品，記為c,d,e,從這5件產(chǎn)

品中任取2件，結(jié)果有(a,b),(a.c),(a,d),(a,e),(b>c),(b,d),(b,e),(c,

d),(c,e),(d,e)共10種.恰有一件次品的結(jié)果有6種，則其概率為p*=0.6.

(2)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率

為

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

【答案】D

【解析】：設(shè)2名男同學(xué)為團AlM團,A忸回2回，3名女同學(xué)為團BIM團用B回2E)EB回3回，

從以上5名同學(xué)中任選2人總共有

團AEn團團A團2團,團AEIl團團BElII3,團AI21I3回BS12I21,E]AI31團日B團3團,團A團2團團BEll團,E!Ag]2團團BI32團，

IΣ1AEI2團團B團3@,I2IB團1團團B回2E),I3B團1團團Bg∣3Sl,EIB團2團團B團3團共10種可能，

選中的2人者R是女同學(xué)的情況共有E)Bml回團B團2E1MBI21團團B團3團,團BI32回團B團3團共三種可能

則選中的2人都是女同學(xué)的概率為P=E13團10回=0.3,

故選D.

【拓展訓(xùn)練】1(1)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥

德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如