三角形面積公式的另類推導(dǎo)方法

三角形面積公式的另類推導(dǎo)方法在講單位換算時時常強調(diào)，一平方米即邊長為一米的正方形的面積。轉(zhuǎn)而又想，能否以此定義為基礎(chǔ)，導(dǎo)出三角形的面積等于底乘高除以2呢？仔細(xì)想想，確實可行。過三角形A的兩個頂點作各自對邊的平行線，可得一與之全等的三角形和一由此兩全等三角形組成的平行四邊形B。顯然，平行四邊形B的面積是三角形A的面積的兩倍。過平行四邊形B的任一邊的兩個頂點作其對邊的高，可得一矩形C。由這兩條高與各自的鄰邊所圍成的兩個直角三角形全等，可推知矩形C與平行四邊形B的面積相等。這樣，三角形A的面積就等于矩形C的一半。因此，問題也就轉(zhuǎn)化為證明矩形的面積等于兩鄰邊邊長的乘積。若矩形C的兩鄰邊的邊長分別是單位長一米的m與n倍（注：m、n與下文中的p、q均為自然數(shù)），則將此兩條鄰邊分別均分m與n等份。過這兩條鄰邊的這些等分點作各自對邊的垂線。顯然，這些垂線將矩形C分成mn個邊長為一米的正方形。由一平方米的定義可推知，矩形C的面積等于兩鄰邊邊長的乘積。若矩形C的兩相鄰邊邊長分別為一米的m與n分之一，則可將邊長為一米的正方形的兩鄰邊分別均分為m與n等份。過這兩條鄰邊的這些等分點作各自對邊的垂線。顯然，這些垂線將此正方形分成mn個小矩形，所有的小矩形都與矩形C全等。這樣，矩形C的面積就等于一平方米的mn分之一，因而也就等于矩形C的兩相鄰鄰邊邊長的乘積。將上述兩種情形結(jié)合起來，不難導(dǎo)出兩鄰邊邊長分別為單位長一米的m/p與n/q倍的矩形C的面積計算公式。具體地講，先將矩形C的兩鄰邊各自均分m與n等份，再過各自的等分點作對邊的垂線。這些垂線將矩形C分為mn個鄰邊邊長分別為單位長一米的p與q分之一小矩形。由于小矩形的面積等于一平方米的pq分之一，故矩形C的面積為一平方米的mn/pq倍。這樣，矩形C的面積也就等于其兩相鄰鄰邊邊長的乘積。若矩形C的兩相鄰鄰邊之一或兩者的長度均為單位長一米的無理數(shù)倍，則由任何一個無理數(shù)都可用一組有理數(shù)無限逼近可推知，矩形C也可用一組邊長為單位長一米的有理數(shù)倍的矩形逼近。這樣，矩形C的面積也就也等于其兩相鄰鄰邊邊長的乘積。后記：物理學(xué)是建立在測量的基礎(chǔ)上的。測量是將待測量與標(biāo)準(zhǔn)量進行比較的過程，測量結(jié)果的含義即為待測量是標(biāo)準(zhǔn)量的多少倍。與之相類似，數(shù)學(xué)也應(yīng)可建立在度量的基礎(chǔ)上?；谶@樣的一種想法，我就試著以面積的度量單位為基礎(chǔ)導(dǎo)出三角形的面積公式。在導(dǎo)出了三角形的面積公式后，我想依此類推應(yīng)當(dāng)可以導(dǎo)出錐體體積的計算公式。在推導(dǎo)錐體體積的過程中，突然想起了祖暅原理。運用比例相關(guān)的知識與祖暅原理，不難導(dǎo)出錐體體積公式。進一步將三角形的面積公式與祖暅原理對照起來看，發(fā)現(xiàn)在某種意義上講，前者可視作二維情形下祖暅原理的一個推論。將任一三角形與一與之等底等高的直角三角形放在一起，使它們的底邊處在同一直線上。過直角三角形斜邊上的任一點作底邊的平行線，由比例知識可知，此線被上述的兩個三角形所切割得的兩線段相等。由祖暅原理可知，上述的兩個三角形的面積相等。這樣，就可由直角三角形的面積公式導(dǎo)出一般三角形的面積公式。由三角形面積公式含系數(shù)1/2，三維錐體體積公式含系數(shù)1/3，很容易猜想出n維錐體體積公式應(yīng)含系數(shù)1/n。后一點由微積分不難得到。這里非常有意思的一點是，利用上述結(jié)論可導(dǎo)出正n體（注：正2體即二維空間上正方形，正3體即三維空間上的正方體，依此類推正n體即n維空間上的“正方體”）有多少個“側(cè)面（注：正2體的側(cè)面即其四邊，正3體的側(cè)面即其上下左右前后的六個正2體，依此類推，正4體的各個側(cè)面即其側(cè)的各個正3體）”。為簡明起見，考慮邊長為1的正n體。顯然，其中心點到其各個側(cè)面的距離為1/2。這樣，由其中心點與其任一側(cè)面所連接而成的n維錐體的體積為1/2n。因為所有的這樣的n維錐體的總體積為1，所以這樣的n維錐體的總數(shù)為2n。這樣，一個正n體所擁有的側(cè)面的總數(shù)為2n。換句話講，一個正n體是由2n個正n-1體圍成的。一個正n體有2n個“側(cè)面”其實是很“顯然”的事。因為每一維都有“前后”或“左右”或“上下”兩個側(cè)面，所以正n體就有2n個“側(cè)面”。由此結(jié)論再結(jié)合“伸縮版”的祖暅原理，也可以導(dǎo)出一般n維錐體的體積計算公式。設(shè)待求體積的n維錐體“底面”上的高為h，“底面”的“面積”為S。為求其體積，可先取一邊長為2h的正n體。顯然，所取的正n體的體積為(2h)n，各個側(cè)面的“面積”為(2h)n-1。由正n體有2n個“側(cè)面”可知，若將此正n體的中心與其各個側(cè)面連接起來，即可將此正n體均分為2n個全等的n維錐體，每個錐體的高均為h，體積均為(2h)n／2n。這樣，這些分割來的n維錐體的體積就都等于它們的“底面積”與高的乘積的1／n?，F(xiàn)將這樣分割而來的一個n維錐體與待求體積的n維錐體一起“平”放在同一“平面”。因二者的高相等，所以若沿二者之中的一條高上的任一點作“底面”的“平行面”，則此“平行面”在上述的二錐體上所截得的兩部分的“面積”之比就等于二者的“底面積”之比。因為所有的“等高面”上的“截面面積”之比都等于“底面積”之比，所以由“伸縮版”的祖暅原理即推知此二錐體的體積之比就等于二者的“底面積”之比（旁白：在微積分中有這樣的一個定理，若一個被積項始終等于另一個被積項的c倍，則其累積后的值也等于后者累積后的值的c倍，此即筆者所謂的“伸縮版”的祖暅原理。在剛才的論述中是利用高相等，通過“水平伸縮”導(dǎo)出一般n維錐體的體積。其實，也可利用“底面積”相等，通過“豎直伸縮”導(dǎo)出一般n維錐體的體積。這兩種方法之所以等效，是因為多重積分的求和順序是可換的。將二者結(jié)合起來，即在“水平”與“豎直”兩個方向同時伸縮，那從單位邊長的正n體的體積出發(fā)也可導(dǎo)出一般n維錐體的體積計算公式。）。這樣，一般的n維錐體體積也就等于其“底面積”與高的乘積的n分之一。下面再來看看一個正n體有多少個頂點有多少條邊。正2體有4個頂點，正3體比正2體多一個與之相垂直的維度。與這一維度相對應(yīng)的“前后”兩個“側(cè)面”各有4個頂點，故正3體共有2×4個頂點。依此類推，由數(shù)學(xué)歸納法即可導(dǎo)出正n體共有2n個頂點。將頂點坐標(biāo)化也可導(dǎo)出正n體的頂點個數(shù)。建立一個平面直角坐標(biāo)系。顯然點（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）為一單位邊長的正2體的4個頂點。增加一個與之垂直的維度，此4點（第3個分坐標(biāo)均為0）與它們沿所添加的維度正向平移一個單位長所得的4點（第3個分坐標(biāo)為1）顯然為一單位邊長的正3體的8個頂點。再增加一個與此三維空間相垂直的第四個維度，此8點（第4個分坐標(biāo)均為0）與它們沿第四個維度正向平移一個單位長所得的8個點（第4個分坐標(biāo)為1）顯然為一單位邊長的正4體的16個頂點。依此類推，由于n維空間共有n個分坐標(biāo)，而利用上述方法所構(gòu)造出的正n體的頂點的分坐標(biāo)顯然都有且只有兩種可能性，即要么為0要么為1，故而頂點的總數(shù)為2n。再看邊數(shù)。因為正n體的每個頂點都是n條邊的公共頂點（因為是n維，所以每個頂點都是n條邊的交點），且每條邊都有且僅有兩個頂點，所以正n體的總邊數(shù)為n2n-1。這一結(jié)論也可利用遞推關(guān)系得到。正n體有條邊。由正n體共有2n個頂點，結(jié)合前述的由正n體構(gòu)造正n+1體的過程不難得到下述的關(guān)系式：由n＝1、2、3、4時的值很容易猜