浙江省杭州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

2022學(xué)年第二學(xué)期杭州市高二年級教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域(黑色邊框)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無效！3．考試結(jié)束，只需上交答題卡．選擇題部分(共60分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的一個方向向量是()A B. C. D.2.若是空間的一個基底，則也可以作為該空間基底的是()A. B.，，C.，， D.3.“巴赫十二平均律”是世界上通用的音樂律制，它與五度相生律、純律并稱三大律制．“十二平均律”將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．而早在16世紀(jì)，明代朱載最早用精湛的數(shù)學(xué)方法近似計(jì)算出這個比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．若第一個單音的頻率為，則第四個單音的頻率為()A. B. C. D.4.“點(diǎn)在圓外”是“直線與圓相交”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日在杭州開幕，因工作需要，還需招募少量志愿者．甲、乙等4人報(bào)名參加了“蓮花”、“泳鏡”、“玉琮”三個場館的各一個項(xiàng)目的志愿者工作，每個項(xiàng)目僅需1名志愿者，每人至多參加一個項(xiàng)目．若甲不能參加“蓮花”場館的項(xiàng)目，則不同的選擇方案共有()A.6種 B.12種 C.18種 D.24種6.，兩個學(xué)科興趣小組在實(shí)驗(yàn)室研究某粒子的運(yùn)動軌跡，共同記錄到粒子的一組坐標(biāo)信息．小組根據(jù)表中數(shù)據(jù)，直接對作線性回歸分析，得到：回歸方程，決定系數(shù)．小組先將數(shù)據(jù)按照變換，進(jìn)行整理，再對，作線性回歸分析，得到：回歸方程，決定系數(shù)．根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識，下列方程中，最有可能是該粒子運(yùn)動軌跡方程的是()A. B.C. D.7.設(shè)，，，是半徑為1的球的球面上的四個點(diǎn)．設(shè)，則不可能等于()A.3 B. C.4 D.8.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上不與頂點(diǎn)重合的一點(diǎn)，記為的內(nèi)心．直線交軸于點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為()A B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的部分圖像如圖所示，則()A.是的一個極大值點(diǎn)B.是的一個極小值點(diǎn)C.是的一個極大值點(diǎn)D.是的一個極小值點(diǎn)10.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子(六個面上的數(shù)字是、、、、、)，拋擲兩次．設(shè)事件“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和大于”，事件“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之積大于”，事件“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和小于”，則()A.事件與事件互斥 B.C. D.事件與事件相互獨(dú)立11.設(shè)雙曲線，直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，，則下列說法中正確的是()A.雙曲線離心率的最小值為4B.離心率最小時雙曲線的漸近線方程為C.若直線同時與兩條漸近線交于點(diǎn)，，則D.若，點(diǎn)處的切線與兩條漸近線交于點(diǎn)，，則為定值12.已知曲線，，及直線，下列說法中正確的是()A.曲線在處的切線與曲線在處的切線平行B.若直線與曲線僅有一個公共點(diǎn)，則C.曲線與有且僅有一個公共點(diǎn)D.若直線與曲線交于點(diǎn)，，與曲線交于點(diǎn)，，則三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中的系數(shù)為________．14.曲率是衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)．定義：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．已知，則曲線在點(diǎn)處的曲率為________．15.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿足的正整數(shù)的最小值為________．16.設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在四面體中，，，，，．(1)求證：、、、四點(diǎn)共面．(2)若，設(shè)是和的交點(diǎn)，是空間任意一點(diǎn)，用、、、表示．18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)若中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.如圖，在三棱柱中，所有棱長均為2，，．(1)證明：平面平面．(2)求平面與平面的夾角的正弦值．20.第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日在杭州拉開帷幕，為了更好地迎接亞運(yùn)會，杭州市政府大舉加強(qiáng)了城市交通基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)．至2023年地鐵運(yùn)行的里程數(shù)達(dá)到516公里，排位全國第六．同時，一張總長464公里、“四縱五橫”為骨架、通達(dá)“東西南北中”十城區(qū)的快速路網(wǎng)也順利完工準(zhǔn)備接待世界各地的來賓．現(xiàn)杭州公共出行的主流方式為地鐵、公交、打車、共享單車這四種，基本可以覆蓋大眾的出行需求．(1)一個興趣小組發(fā)現(xiàn)，來自不同的城市的游客選擇出行的習(xí)慣會有很大差異，為了驗(yàn)證這一猜想該小組進(jìn)行了研究．請完成下列列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析城市規(guī)模是否與出行偏好地鐵有關(guān)？(精確到0.001)單位：人出行方式國際大都市中小型城市合計(jì)偏好地鐵20100偏好其他60合計(jì)60(2)國際友人David來杭游玩，每日行程分成段，為了更好的體驗(yàn)文化，相鄰兩段的出行方式不能相同，且選擇地鐵、公交、打車、共享單車的概率是等可能的．已知他每日從酒店出行的方式一定是從地鐵開始，記第段行程上David坐地鐵的概率為，易知，①試證明為等比數(shù)列；②設(shè)第次David選擇共享單車的概率為，比較與的大?。剑?，．0.0500.0100.0013.8416.63510.82821.設(shè)拋物線，過焦點(diǎn)直線與拋物線交于點(diǎn)，.當(dāng)直線垂直于軸時，.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，.①求證：直線過定點(diǎn)；②求與面積之和的最小值.22.設(shè)函數(shù)，若曲線在處的切線方程為．(1)求實(shí)數(shù)的值．(2)證明：函數(shù)有兩個零點(diǎn)．(3)記是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，為的兩個零點(diǎn)，證明：．

2022學(xué)年第二學(xué)期杭州市高二年級教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域(黑色邊框)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無效！3．考試結(jié)束，只需上交答題卡．選擇題部分(共60分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的一個方向向量是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率先得到直線的一個方向向量，然后根據(jù)方向向量均共線，求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的一個方向向量為，又因?yàn)榕c共線，所以的一個方向向量可以是，故選：A.2.若是空間的一個基底，則也可以作為該空間基底的是()A. B.，，C.，， D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間基底的概念逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對選項(xiàng)A：，因此向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；對選項(xiàng)B：，因此向量，，共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；對選項(xiàng)C：假設(shè)，即，這與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，可以構(gòu)成基底，正確；對于選項(xiàng)D：，因此向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；故選：C3.“巴赫十二平均律”是世界上通用的音樂律制，它與五度相生律、純律并稱三大律制．“十二平均律”將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．而早在16世紀(jì)，明代朱載最早用精湛的數(shù)學(xué)方法近似計(jì)算出這個比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．若第一個單音的頻率為，則第四個單音的頻率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將所要解決的問題轉(zhuǎn)化為：求首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的第4項(xiàng)，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果即可.【詳解】由題設(shè)可得：依次得到的十三個單音構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，第四個單音的頻率為.故選：B.4.“點(diǎn)在圓外”是“直線與圓相交”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】求出給定的兩個命題的充要條件，再分析即可判斷得解.【詳解】命題p：點(diǎn)在圓外等價(jià)于，命題q：直線與圓相交等價(jià)于，從而有，所以p是q的必要不充分條件.故選：B5.第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日在杭州開幕，因工作需要，還需招募少量志愿者．甲、乙等4人報(bào)名參加了“蓮花”、“泳鏡”、“玉琮”三個場館的各一個項(xiàng)目的志愿者工作，每個項(xiàng)目僅需1名志愿者，每人至多參加一個項(xiàng)目．若甲不能參加“蓮花”場館的項(xiàng)目，則不同的選擇方案共有()A.6種 B.12種 C.18種 D.24種【答案】C【解析】【分析】先從除甲外的3人中選1人參加“蓮花”場館的項(xiàng)目，再安排另外兩個項(xiàng)目，利用排列、組合知識計(jì)算求解．【詳解】先從除甲外的3人中選1人參加“蓮花”場館的項(xiàng)目，再安排另外兩個項(xiàng)目，若甲不能參加“蓮花”場館的項(xiàng)目，則不同的選擇方案共有種．故選：C.6.，兩個學(xué)科興趣小組在實(shí)驗(yàn)室研究某粒子的運(yùn)動軌跡，共同記錄到粒子的一組坐標(biāo)信息．小組根據(jù)表中數(shù)據(jù)，直接對作線性回歸分析，得到：回歸方程，決定系數(shù)．小組先將數(shù)據(jù)按照變換，進(jìn)行整理，再對，作線性回歸分析，得到：回歸方程，決定系數(shù)．根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識，下列方程中，最有可能是該粒子運(yùn)動軌跡方程的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由統(tǒng)計(jì)學(xué)知識可知，越大，擬合效果越好，由此可得回歸方程，整理得結(jié)論．【詳解】由統(tǒng)計(jì)學(xué)知識可知，越大，擬合效果越好，又小組的決定系數(shù)，小組的決定系數(shù)，小組的擬合效果好，則回歸方程為，又，即．故選：C．7.設(shè)，，，是半徑為1的球的球面上的四個點(diǎn)．設(shè)，則不可能等于()A.3 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，得到，利用判斷等號成立條件，確定不可能取的值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，而，?dāng)且僅當(dāng)同向時，等號成立，而A，，，在球面上，不可能共線，即不同向，所以且均小于直徑長2，即，綜上，.根據(jù)選項(xiàng)可知A不符合.故選：A8.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上不與頂點(diǎn)重合的一點(diǎn)，記為的內(nèi)心．直線交軸于點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用角平分線性質(zhì)得到，設(shè)，則，根據(jù)橢圓定義得到，然后利用平面向量的數(shù)量積和余弦定理即可求解.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，如圖所示，因?yàn)闉榈膬?nèi)心，所以為的角平分線，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，由橢圓的定義可知，，可得，所以，，又因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理可得，，所以，則，故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的部分圖像如圖所示，則()A.是的一個極大值點(diǎn)B.是的一個極小值點(diǎn)C.是的一個極大值點(diǎn)D.是的一個極小值點(diǎn)【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)，與原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，進(jìn)行逐一判斷.【詳解】對于A選項(xiàng)，由圖可知，在左右兩側(cè)，函數(shù)左增右減，是的一個極大值點(diǎn)，A正確.對于B選項(xiàng)，由圖可知，在左右兩側(cè)，函數(shù)左減右增，是的一個極小值點(diǎn)，B正確.對于C選項(xiàng)，由圖可知，在左右兩側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞增，不是的一個極值點(diǎn)，C錯誤.對于D選項(xiàng)，由圖可知，在左右兩側(cè)，函數(shù)左增右減，是的一個極大值點(diǎn)，D錯誤.故選：AB.10.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子(六個面上的數(shù)字是、、、、、)，拋擲兩次．設(shè)事件“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和大于”，事件“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之積大于”，事件“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和小于”，則()A.事件與事件互斥 B.C. D.事件與事件相互獨(dú)立【答案】AC【解析】【分析】列舉出事件、、所包含的基本事件，利用互斥事件的定義可判斷A選項(xiàng)；利用古典概型的概率公式可判斷B選項(xiàng)；利用條件概率公式可判斷C選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子(六個面上的數(shù)字是、、、、、)，拋擲兩次，設(shè)第一次、第二次拋擲骰子正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為、，以為一個基本事件，則基本事件的總數(shù)為，事件包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，對于A選項(xiàng)，事件與事件互斥，A對；對于B選項(xiàng)，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，所以，，B錯；對于C選項(xiàng)，，C對；對于D選項(xiàng)，，，事件包含的基本事件有：、、、、、、、、，共種，所以，，D錯.故選：AC.11.設(shè)雙曲線，直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，，則下列說法中正確的是()A.雙曲線離心率的最小值為4B.離心率最小時雙曲線的漸近線方程為C.若直線同時與兩條漸近線交于點(diǎn)，，則D.若，點(diǎn)處的切線與兩條漸近線交于點(diǎn)，，則為定值【答案】BCD【解析】【分析】由離心率公式，結(jié)合基本不等式可判斷A；根據(jù)可得雙曲線方程，然后可得漸近線方程，可判斷B；將問題轉(zhuǎn)化為AB的中點(diǎn)與CD的中點(diǎn)是否重合的問題，設(shè)直線方程，聯(lián)立漸近線方程求C，D坐標(biāo)，再由點(diǎn)差法求AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后可判斷C；結(jié)合圖形可知，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，聯(lián)立漸近線方程求E，F(xiàn)的橫坐標(biāo)，代入化簡可判斷D.【詳解】由題知，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為4，的最小值為2，故A錯誤；當(dāng)時，雙曲線方程為，此時漸近線方程為，即，B正確；若直線的斜率不存在，由對稱性可知；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程為，，AB的中點(diǎn)為，CD的中點(diǎn)為則，由點(diǎn)差法可得，所以，所以，又雙曲線漸近線方程為，聯(lián)立分別求解可得，所以，所以M，N重合，則，或，故C正確；若，則雙曲線方程為，漸近線方程為，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，雙曲線在第一象限的方程為，，得切線斜率為，方程為，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)坐標(biāo)分別為，分別作垂直于y軸，垂足分別為P，Q，E在第一象限，F(xiàn)在第四象限，則又，所以，聯(lián)立漸近線方程和切線方程可解得，整理得，兩式相乘得，所以，所以，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考察圓錐曲線的綜合運(yùn)用，C選項(xiàng)需要靈活處理，將問題轉(zhuǎn)化為AB的中點(diǎn)與CD的中點(diǎn)是否重合的問題，利用點(diǎn)差法和直接計(jì)算可解；D選項(xiàng)需結(jié)合圖象將面積靈活轉(zhuǎn)化，在求解時，要結(jié)合式子的結(jié)構(gòu)特征靈活處理.12.已知曲線，，及直線，下列說法中正確的是()A.曲線在處的切線與曲線在處的切線平行B.若直線與曲線僅有一個公共點(diǎn)，則C.曲線與有且僅有一個公共點(diǎn)D.若直線與曲線交于點(diǎn)，，與曲線交于點(diǎn)，，則【答案】ACD【解析】【分析】對與A選項(xiàng)，分別求出在處的切線與在處的切線即可判斷；對于B選項(xiàng)，求出，即可判斷出曲線的單調(diào)性，畫出草圖則可判斷；對于C選項(xiàng)，畫出曲線與的草圖，即可判斷；對于D選項(xiàng)，借助圖像可知直線過曲線與的交點(diǎn),由此即可得出，則可得，，，則可得出.【詳解】對于A選項(xiàng)：，，，所以曲線在處的切線為：；同理，，，曲線在處的切線為，即曲線在處的切線與曲線在處的切線平行，正確；對于B選項(xiàng)：，令，解得，所以曲線在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又當(dāng)時，當(dāng)時，若直線與曲線僅有一個公共點(diǎn)，則或，錯誤；對于C選項(xiàng)：曲線的定義域?yàn)椋?，，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以曲線與曲線的大致圖像為：易知當(dāng)時，，，即曲線與曲線在區(qū)間上無交點(diǎn)；當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且，，即曲線與曲線在區(qū)間上有一個交點(diǎn)；當(dāng)時，記，，當(dāng)時恒成立，即在上單調(diào)遞增，即，即,又曲線在上單調(diào)遞減，所以，即，即恒成立，即曲線與曲線在區(qū)間上沒有交點(diǎn)；所以曲線與有且僅有一個公共點(diǎn)，正確;對于D選項(xiàng)：當(dāng)直線經(jīng)過曲線與的交點(diǎn)時，恰好有3個公共點(diǎn)，且，,由，所以，由，所以，即，正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷兩個函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，根的個數(shù)即為交點(diǎn)個數(shù)；(2)數(shù)形結(jié)合法：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，直接得出答案三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中的系數(shù)為________．【答案】【解析】【分析】利用的展開式通項(xiàng)公式求項(xiàng)，然后可得的展開式中項(xiàng)，可得答案.【詳解】的展開式通項(xiàng)公式，令得，所以的展開式中項(xiàng)為，所以的系數(shù)為.故答案為：14.曲率是衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)．定義：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．已知，則曲線在點(diǎn)處的曲率為________．【答案】0【解析】【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后代入題中公式即可求出答案.【詳解】因，所以，，則，，所以曲線在點(diǎn)處的曲率為.故答案為：.15.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿足的正整數(shù)的最小值為________．【答案】63【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算和遞推公式可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后對數(shù)運(yùn)算結(jié)合累乘法可得，解不等式可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以所以，因?yàn)椋?，即，解得，因?yàn)椋哉麛?shù)的最小值為63.故答案為：6316.設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的平移變換及偶函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，再利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及絕對值不等式的解法即可求解.【詳解】由向右平移個單位，得為偶函數(shù)，所以關(guān)于軸對稱，所以關(guān)于對稱，當(dāng)時，，當(dāng)時，因?yàn)椋?，?dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由得，即，解得，所以使得成立的的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的平移變換及偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，再利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的單調(diào)性及絕對值的解法即可.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，四面體中，，，，，．(1)求證：、、、四點(diǎn)共面．(2)若，設(shè)是和的交點(diǎn)，是空間任意一點(diǎn)，用、、、表示．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)證明出，即可證得結(jié)論成立；(2)由(1)可得出，可得出，則，由此可得出，再結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、、、的表達(dá)式.【小問1詳解】證明：因?yàn)椋?，所以，則，因此、、、四點(diǎn)共面．【小問2詳解】解：當(dāng)時，，即，可得，因?yàn)椋矗傻茫?1)知，，，因此，又因?yàn)?、不在同一條直線上，所以，，則，則，即，所以，.18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)若中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式基本量計(jì)算即可；(2)利用等比數(shù)列概念及通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列求和公式求解即可.【小問1詳解】設(shè)差數(shù)列的公差為，則由，可得，解得，因此.【小問2詳解】由，得，又由是以為首項(xiàng)，2為公比等比數(shù)列，得，因此，所以，所以.19.如圖，在三棱柱中，所有棱長均為2，，．(1)證明：平面平面．(2)求平面與平面的夾角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】【分析】(1)取中點(diǎn)，證明，再利用線面垂直、面面垂直的判定推理作答.(2)利用(1)中信息作出平面與平面所成二面角的平面角，再借助直角三角形求解作答.【小問1詳解】三棱柱的所有棱長均為2，取中點(diǎn)，連接，，則，由，，得為等邊三角形，則，顯然，而，則，有，又，平面，于是平面，而平面，所以平面平面．【小問2詳解】在三棱柱中，平面平面，因此平面與平面的夾角的正弦值與平面與平面的夾角的正弦值相等，由(1)知平面，平面，則，過作于點(diǎn)，連接，有，平面，于是平面，而平面，則，因此為平面與平面所成二面角的平面角，顯然，而，則，從而，所以平面與平面的夾角的正弦值為．20.第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日在杭州拉開帷幕，為了更好地迎接亞運(yùn)會，杭州市政府大舉加強(qiáng)了城市交通基礎(chǔ)設(shè)施的建設(shè)．至2023年地鐵運(yùn)行的里程數(shù)達(dá)到516公里，排位全國第六．同時，一張總長464公里、“四縱五橫”為骨架、通達(dá)“東西南北中”十城區(qū)的快速路網(wǎng)也順利完工準(zhǔn)備接待世界各地的來賓．現(xiàn)杭州公共出行的主流方式為地鐵、公交、打車、共享單車這四種，基本可以覆蓋大眾的出行需求．(1)一個興趣小組發(fā)現(xiàn)，來自不同的城市的游客選擇出行的習(xí)慣會有很大差異，為了驗(yàn)證這一猜想該小組進(jìn)行了研究．請完成下列列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析城市規(guī)模是否與出行偏好地鐵有關(guān)？(精確到0.001)單位：人出行方式國際大都市中小型城市合計(jì)偏好地鐵20100偏好其他60合計(jì)60(2)國際友人David來杭游玩，每日的行程分成段，為了更好的體驗(yàn)文化，相鄰兩段的出行方式不能相同，且選擇地鐵、公交、打車、共享單車的概率是等可能的．已知他每日從酒店出行的方式一定是從地鐵開始，記第段行程上David坐地鐵的概率為，易知，①試證明為等比數(shù)列；②設(shè)第次David選擇共享單車的概率為，比較與的大小．附：，．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)表格見解析，有關(guān)系(2)①證明見解析；②．【解析】【分析】(1)根據(jù)題意即可完成列聯(lián)表，再根據(jù)公式求出，再對照臨界值表即可得出結(jié)論；(2)①根據(jù)全概率公式結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得出結(jié)論；②先求出的表達(dá)式，進(jìn)而可求出，即可得解.【小問1詳解】列聯(lián)表如下：出行方式國際大都市中小型城市合計(jì)首選地鐵8020100首選其他6040100