人教版七年級數學下冊 5.1.2 垂線（教學設計）

5.1.2垂線教學設計一、內容和內容解析1.內容本節(jié)課是人教版《義務教育教科書?數學》七年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章“相交線與平行線”5.1.2垂線，內容包括：垂線的有關概念、性質及畫法、垂線段和點到直線的距離的概念.2.內容解析垂線是平面幾何所要研究的基本內容之一.垂線的概念、畫法和性質是重要的基礎知識，是進一步學習平面直角坐標系、三角形的高、切線的性質和判定、以及空間里的垂直關系等知識的基礎，與其他數學知識一樣，它在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用.垂線的概念和性質，蘊含著“從一般到特殊”的認識規(guī)律，是培養(yǎng)學生思維能力的重要內容之一.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點為：垂直定義、垂直性質的理解與運用.二、目標和目標解析1.目標（1）理解垂線的有關概念、性質及畫法；（2）知道垂線段和點到直線的距離的概念，并會應用其解決問題.2.目標解析認識垂線，理解“互相垂直”和“垂足”的含義;會用三角板或量角器過一點畫一條直線(或射線、線段)的垂線:3.知道垂線的性質:過一點有且只有一條直線垂直于已知直線；培養(yǎng)學生的觀察、理解能力，幾何語言能力，畫圖能力，抽象思維能力；培養(yǎng)學生動手操作能力和創(chuàng)造精神，運用知識解決實際問題能力，形成垂線的空間觀念；培養(yǎng)學生辯證唯物主義思想及勇于探索的精神；培養(yǎng)學生的合作精神，進行集體觀念的教育.三、教學問題診斷分析七年級學生是第三學段低年級的學生，他們在課堂中思維活躍，有想法就會舉手發(fā)言甚至是搶答，探索真理的欲望比較強.因此，我們要營造輕松、和諧的課堂氣氛，充分激活學生的探索欲望，讓學生在教師創(chuàng)設的情境中充滿好奇地學，留給學生足夠的自主活動、相互交流的空間，讓學生在觀察中不斷發(fā)現(xiàn)數學問題、在實踐中領悟數學思想、在評價中逐步形成數學價值觀.七年級學生由于年齡較小，他們雖然對新事物容易產生興趣，但這種興趣并不穩(wěn)定，上課時注意力也不易持久，容易分散，因而在教學中不斷激發(fā)他們的興趣，吸引他們的注意力至關重要。我采用生動形象多媒體教學，給學生以動感，既加深了理解，也不斷地引發(fā)學生的興趣.基于以上學情分析，確定本節(jié)課的教學難點為：能利用垂線的性質進行簡單的推理.四、教學過程設計情境引入觀察下面圖片，你能找出其中相交的直線嗎？它們有什么特殊的位置關系？自學導航在相交線的模型中，固定木條a，轉動木條b.當b的位置變化時，a、b所成的角∠α也會發(fā)生變化.當∠α=90°時，我們說a與b互相垂直，記作a⊥b.當兩條直線相交所構成的四個角中有一個是直角，我們就說這兩條直線互相垂直.其中一條直線叫做另一條直線的垂線；互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足.如上圖，直線AB與直線CD垂直，記作：AB⊥CD，垂足是O；

直線m與直線n垂直，記作：m⊥n；

“⊥”是“垂直”的記號，讀作“垂直于”；

而“┐”是圖形中“垂直”(直角)的標記.垂直的定義有以下兩層含義：1.∵AB⊥CD(已知)2.∵∠1=90°(已知)

∴∠1=90°(垂直的定義)∴AB⊥CD(垂直的定義)日常生活中，兩條直線互相垂直的情形很常見，說出下圖中的一些互相垂直的木條.你能再舉出其他例子嗎？做一做1.你能借助三角尺畫出兩條互相垂直的直線嗎？2.如果只有直尺，你能在方格紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎？3.利用下面的方法可以折出互相垂直的線，你試試看!合作探究1.用三角尺或量角器畫已知直線l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？

2.經過直線l上一點A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？

3.經過直線l外一點B畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？經過一點(已知直線上或直線外)，能畫出已知直線的一條垂線，并且只能畫出一條垂線.即在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.考點解析考點1：垂線★★★例1.如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥CD，垂足為O.若∠1=54，則∠2的度數為()A.26°B.36°C.44°D.54°【遷移應用】1.如圖，點О在直線AB上，OC⊥OD.若∠AOC=120°，則∠BOD的度數為()A.30°B.40°C.50°D.60°2.如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB，OF平分∠BOD，∠COE=40°，則∠BOF的度數為()A.40°B.50°C.65°D.70°3.如圖，AB與CD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥CD.若∠EOD=2∠BOD，則∠EOF=_______.4.已知OA⊥OC，∠AOB:∠BOC=1:3，則∠BOC的度數為______________.考點2：垂線的畫法★★★例2.如圖，在三角形ABC中，過點B畫邊AC的垂線，下列畫法正確的是()【遷移應用】1.下列各圖中，過直線l外一點Р畫l的垂線CD，操作三角尺的方法正確的是()2.如圖，過點P分別畫出OA,OB的垂線.合作探究思考：如圖，在灌溉時，要把河中的水引到農田P處如何挖渠能使渠道最短？探究：如圖，連接直線l外一點P與直線l上各點O，A1，A2，A3，A4，A5，…，其中PO⊥l(我們稱PO為點P到直線l的垂線段).比較線段PO，PA1，PA2，PA3，PA4，PA5，…的長短，這些線段中，哪一條最短？連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.

簡單說成：垂線段最短.

直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.現(xiàn)在，你知道水渠該怎么挖了嗎？在書中圖5.1-8中畫出來，如果圖中比例尺為1:100000，水渠大約要挖多長？則：沿著垂線段PH挖渠能使渠道最短.我們如何測量立定跳遠的成績？考點解析考點3：垂線、垂線段的性質★★★例3.如圖，在三角形ABC中，AB⊥BC，其中AC=2.5，AB=1，P是線段BC上任意一點，那么線段AP的長度可能為()A.0.5B.0.7C.1.5D.4解析:因為Р是線段BC上任意一點，且AB⊥BC，根據“垂線段最短”可知線段BC上的所有點中，與點A的距離最近的為點B，即線段AP的長度最短為1；與點A的距離最遠的為點C，即線段AP的長度最長為2.5，所以1≤AP≤2.5，選項中滿足條件的只有1.5.【遷移應用】1.如圖，AC⊥BC，AD⊥CD，垂足分別為C，D.若AD=4，AB=7，則AC的長可能是()A.4B.6C.7D.82.如圖，測量運動員跳遠成績選取的是線段AB的長度，其依據是()A.兩點確定一條直線B.垂線段最短C.兩點之間，線段最短D.垂直的定義3.如圖，AB⊥MN，BC⊥MN，垂足都是B，那么A，B，C三點在一條直線上，其依據是________________________________________________________.考點4：點到直線的距離★★★★例4.如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，其中AC=4，AB=3，BC=5，AD=125，CD=165，則點B到ADA.3B.5C.165D.【遷移應用】1.P為直線m外一點，A，B，C為直線m上三點，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，則點P到直線m的距離()A.等于4cmB.等于2cmC.小于2cmD.不大于2cm2.如圖，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足為D，AC=10，AB=6，BC=8，則點B到直線AC的距離為______.考點5：利用垂直的定義判斷兩直線的位置關系★★★★★例5.如圖，O是直線AB上一點，∠AOC=13∠BOC，OC是∠AOD的平分線(1)求∠COD的度數；(2)判斷OD與AB的位置關系，并說明理由.解:(1)因為∠AOC=13∠BOC所以∠BOC=3∠AOC.因為∠AOC+∠BOC=180°,所以∠AOC+3∠AOC=180°，所以∠AOC=45°.因為OC是∠AOD的平分線，所以∠COD=∠AOC=45°.(2)OD⊥AB.理由如下:由(1)知∠COD=∠AOC=45°，所以∠AOD=∠COD+∠AOC=90°，所以OD⊥AB.【遷移應用】1.如圖，直線AB，CD相交于點O，OE為射線.若∠1=30°，∠2=120°，則OE與AB的位置關系是_____________.2.如圖，直線AB，CD相交于點O，OM⊥AB.若∠1=∠2，判斷ON與CD的位置關系，并說明理由.解:ON⊥CD.理由如下:因為OM⊥AB，所以∠AOM=90°,所以∠1+∠AOC=90°.因為∠1=∠2，所以∠2+∠AOC=90°.即∠CON=90°，所以ON⊥CD.3.如圖，已知O為直線AB上一點，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，則OE與OD有什么位置關系?為什么?解:OE⊥OD.理由如下:因為OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，所以∠COE=12∠BOC，∠COD=1因為∠AOC+∠BOC=180°，所以∠COD+∠COE=12(∠AOC+∠BOC)=12即∠DOE=90°,所以OE⊥OD.考點5：利用垂直的定義判斷兩直線的位置關系★★★★★例6.【分類討論思想】如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥CD.(1)若∠BOD:∠BOC=1∶4，求∠AOE的度數；(2)在(1)的條件下，過D點О作OF⊥AB，求∠EOF的度數.解:(1)因為∠BOD∶∠BOC=1∶4，∠BOD+∠BOC=180°.所以∠BOD=180×15=36°所以∠AOC=∠BOD=36°.因為OE⊥CD，所以∠COE=90°,所以∠AOE=∠AOC+∠COE=126°.(2)因為OE⊥CD，所以∠EOD=90°.因為∠BOD=36°,所以∠EOB=∠EOD-∠BOD=54°.分兩種情況討論:①如圖①，當OF在AB的下方時，因為OF⊥AB，所以∠BOF=90°,所以∠EOF=∠BOF+∠EOB=144°；②如圖②，當OF在AB的上方時，因為OF⊥AB，所以∠BOF=90°,所以∠EOF=∠BOF-∠EOB=36°.綜上所述，∠EOF的度數為144°或36°.【遷移應用】1.如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，∠AOE=24°，則∠COF的度數是()A.146°B.147°C.157°D.136°2.在直線AB上任取一點O，過點О作射線OC，OD，使OC⊥OD于點O.當∠AOC=30°時，∠BOD的度數為()A.60°B.120°C.60°或90°D.60°或120°3.如圖，直線AB，CD相交于點O，OF⊥CD，OE平分∠BOC.(1)若∠BOE=60°，求∠AOF的度數；(2)若∠BOD:∠BOE=4∶3，求∠AOF的度數.解:(1)因為OE平分∠BOC，∠BOE=60°，所以∠BOC=2∠BOE=120°，所以∠AOC=180°-∠BOC=60°.